ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ Show ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง (การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B ความสัมพันธ์ (Relation) โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ r ลักษณะของความสัมพันธ์วิธีหาโดเมนวิธีหาเรนจ์เซตแบบแจกแจงสมาชิกพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ rพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ rเซตแบบบอกเงื่อนไข
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1 ฟังก์ชันขั้นบันได ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน นั่นคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แล้ว y1 = y2 ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี ดังต่อไปนี้ วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x, y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้ วิธีที่ 2 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y) วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้ (x, y) ε R จะเขียนแทนด้วย y = f(x) เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์ เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้ 1) การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} หรือ f = {(x, y) | y = 2x + 1} เป็นต้น 2) การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x) ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …” เป็นต้น ดูยังไงว่าเป็นฟังก์ชัน 18. การตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันแบบ 1 – 1 หรือไม่
1. ถ้าเราสามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันนั้นได้ เราจะใช้วิธีการตรวจสอบโดยการลากเส้นขนานกับ แกน X ตัดกับกราฟของฟังก์ชันนั้น และถ้ามีเส้นที่ขนานกับแกน X เส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับกราฟเกิน 1 จุด ก็แสดงว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่แบบ 1 – 1.
คู่อันดับใดเป็นฟังก์ชันถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่ซ้ำกัน จะเป็นฟังก์ชัน ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าคู่อันดับซ้ำกัน อย่างน้อย 1 คู่อันดับ จะไม่เป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ที่มี y ยกกำลังเป็นเลขคู่ หรือ y อยู่ในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ จะไม่เป็นฟังก์ชัน
กราฟแบบไหนเป็นฟังก์ชันกราฟของฟังก์ชัน f (อังกฤษ: graph of a function) ในทางคณิตศาสตร์ คือการรวบรวมคู่อันดับ (x, f(x)) ทั้งหมด ถ้าฟังก์ชันรับค่า x เป็นสเกลาร์ กราฟนี้จะเป็นกราฟสองมิติ และจะกลายเป็นเส้นโค้งสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันรับค่า x เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง (x1, x2) กราฟนี้จะเป็นการรวบรวมสามสิ่งอันดับ (x1, x2, f(x1, x2)) ...
ฟังก์ชั่นคืออะไร ประกอบด้วยอะไรบ้างฟังก์ชั่น คือ เซตของชุดคำสั่งที่มีหน้าที่เพื่อจุดประสงค์เดียวกัน หรือเรียกว่า Program Statement ภายในฟังก์ชั่นก็จะมีสิ่งที่เรียกว่า อัลกอริทึ่ม (Algorithm) ซึ่งก็คือขั้นตอนลำดับการทำงานหรือการคำนวนของการแก้ปัญหา เช่น ผมต้องการสร้างฟังก์ชั่นการทอดไข่เจียว เพราะฉะนั้นอัลกอริทึ่มการทอดไข่เจียว ก็จะเป็น ใส่น้ำมันลงในกระทะ
|