เฉลย ข อสอบ o-net ป การศ กษา 2556 ม.6

เฉลย

ขอสอบ O-NET ปการศกษา 2555 กล มสาระวทยาศาสตร ชั นประถมศกษาปท  6

ขอสอบ เฉลย ขอ 3 ผนังเซลล ชวยเสรมสรางความแขงของเซลล ทาใหเซลลพชควรรปรางอย ด นวเคลยส ทาหนาท  ควบคมการทางานของเซลลและการเจรญเตมโตเย อห มเซลล ทาหนาท ควบคมปรมาณและชนดของสารบางอยาง ท ผานเขาหรอออกจากเซลล ลักษณะเฉพาะของขอสอบ มาตรฐาน : ว 1.1 สาระ : ส งมชวตกับกระบวนการดารงชวต ตัวช วัด : ม.3 แบบขอสอบ : แบบปรนัย

ขอสอบ เฉลย ขอ 1 ภาพ ก ภาค ค. เพราะการจัดเรยงตัวของเน อลาเลยงน าและอาหารในพชใบเล ยงเด ยวจะกระจายอย ทั วไปในชั น สวนในลาตนของพชเล ยงดจะเรยงกันเปนวง และเซลลพชจะมผนังเซลล และมลักษณะเปนเหล ยม สวนเซลลสัตว ไมมผนังเซลลและมลักษณะคอนขางกลม ลักษณะเฉพาะของขอสอบ มาตรฐาน : ว 1.1 สาระ : ส งมชวตกับกระบวนดารงชวต ตัวช วัด : ม.1/9 รปแบบขอสอบ : แบบปรนัย

• 1. ม.6 ประจําปการศึกษา 2560 สอบวันที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ www.Facebook.com/GTRmath
• 2. หนา |1 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด จํานวน 28 ขอ (ขอ 1 – 28) ขอละ 2.5 คะแนน รวม 70 คะแนน 1. 4 1 5 5 5 5    มีคาเทากับขอใด 1. 5 2. 2 5 3. 3 5 4. 2 3 5 5. 8 5 25 5  2. 2 1 1 6 427 9      มีคาเทากับขอใด 1. 6 2. 6 3 3. 9 4. 9 3 5. 12 3. ถา 3 x 11 64 8 20 125   แลวคาของ x อยูในชวงใด 1. [0, 2) 2. [2, 4) 3. [4, 11 2 ) 4. 11 [ ,7) 2 5. [7, 8)
• 3. หนา |2 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 4. กําหนดให 12 a 6 9 14 b 2 3  15 10 c 2 3  ขอใดถูกตอง 1. a < b < c 2. a < c < b 3. b < c < a 4. c < a < b 5. c < b < a 5. จํานวนเต็มบวก x ที่สอดคลองกับอสมการ 5 2x 1 x 2 11 12 4 3 12      มีจํานวนทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 จํานวน 2. 4 จํานวน 3. 5 จํานวน 4. 6 จํานวน 5. 7 จํานวน 6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม C เปนมุมมฉาก มี a และ b เปนความยาวของดานตรงขามมุม A และ B ตามลําดับ ถา   A 2B แลวขอใดถูกตอง 1. b a 2  2. 3 a b 3  3. 3 a b 2  4. a 3b 5. a = 2b
• 4. หนา |3 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 7. ปายโฆษณารูปสี่เหลี่ยมผืนผาอันหนึ่งติดอยูดานขางตึกสูง โดยที่ขอบลางของปายขนานกับพื้น นักเรียนคนหนึ่งยืนอยูหางจากตึกเปนระยะทาง 60 เมตร ถามุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุด กึ่งกลางของเสนขอบลางของปายมีขนาด 30 องศา และมุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลาง ของเสนขอบบนของปายมีขนาด 45 องศา แลวระยะหางจากจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนถึงจุดกึ่งของเสน ขอบลางของปายโฆษณาเทากับขอใด 1. 20 เมตร 2. 30 เมตร 3. 10 3 เมตร 4. 20 3 เมตร 5. 20(3 3) เมตร 8. รานขายเสื้อแหงหนึ่ง ขายเสื้อราคาตัวละ 200 บาท หากซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะไดสวนลด 20% ทุกตัว ถาเอมซื้อเสื้อ 25 ตัว เปนเงินทั้งหมด a บาท และ บีมซื้อเสื้อ 30 ตัว เปนเงินทั้งหมด b บาท แลวขอใดถูกตอง 1. a = b – 200 2. a = b + 200 3. a = b 4. a = b – 1,000 5. a = b + 1,000 9. กําหนดให f(x) = x 5 5  ขอใดไมถูกตอง 1. f(–6) = 6 2. f(–5) = 5 3. f(0) = 0 4. f(5) = –5 5. f(6) = –6
• 5. หนา |4 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 10. กําหนดกราฟ สมการในขอใดที่เปนไปไดที่จะมีกราฟดังรูป 1. x y 3 1   2. x y 3 1   3. x y 3 4. x y 3 1  5. x y 3 1  11. กําหนดให  2 r (2a, a ) a เปนจํานวนจริง  คูอันดับในขอใด เปนสมาชิกของ r 1. (–2, –1) 2. (–1, 1) 3. (1, 1) 4. (2, 2) 5. (4, 4) 12. ลําดับในขอใด เปนลําดับเลขคณิต 1. 1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 , 1.1111 2. 1 , –1 , 1 , –1 , 1 3. –5 , 7 , –9 , 11 , –13 4. –5 , 19 4  , 18 4  , 17 4  , –4 5. –5 + 10 , –5 + 2 10 , –5 + 3 10 , –5 + 4 10 , –5 + 5 10 X Y 0 1 y f(x)
• 6. หนา |5 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 13. กําหนดให 1 2 3a , a , a , ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีพจนแตละพจนเปนจํานวนจริงบวก ถา 5 1a 4a แลวอัตราสวนรวมของลําดับนี้เทากับขอใด 1. 1 4 2. 1 2 3. 1 2 4. 2 5. 2 14. กําหนดให A เปนเซตของจํานวนเต็ม B เปนเซตของจํานวนจริงที่มากกวา 3 C เปนเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 โดยที่ f เปนฟงกชัน 4 และ 5 เปนสมาชิกของเซต ดังแผนภาพ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนเต็ม ข. คําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 มีคามากกวา 3 ค. 4 เปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ง. 5 ไมเปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 จํานวนขอความที่ถูกตอง เทากับขอใด 1. 0 ขอความ(ไมมีขอความใดถูก) 2. 1 ขอความ 3. 2 ขอความ 4. 3 ขอความ 5. 4 ขอความ A BC 4 5
• 7. หนา |6 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 15. ถากราฟของ 1y f(x) ตัดกราฟของ 2y g(x) ที่จุด (1, 3) และ (4, 5) ดังรูป แลวเซตคําตอบของอสมการ f(x) g(x) คือเซตในขอใด 1. (1, 4) 2. (3, 5) 3. (–, 4) 4. (–, 1) (4, ) 5. (–, 3) (5, ) 16. กําหนดให c > 0 ถาเซตคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0   คือชวงเปด (–3c , c) แลว c มีคาเทากับขอใด 1. 1 4 2. 1 2 3. 1 4. 3 2 5. 2 17. เซตของจํานวนจริง k ที่ทําใหสมการ 2 x kx 5 0   ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง คือเซตในขอใด 1. ( , 20)  2. ( , 20) 3. ( 20, 20) 4. [0, ) 5. ( ,0] X Y 0 (1,3) 1y f(x) 2y g(x) (4,5)  
• 8. หนา |7 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 18. สระวายน้ํา “รักสุขภาพ” คิดคาบริการ 2 แบบ คือ แบบที่ 1 บุคคลที่ไมเปนสมาชิก คิดคาใชสระวายน้ํา 40 บาทตอครั้ง แบบที่ 2 บคคลที่เปนสมาชิก คิดคาสมาชิกรายป 2,000 บาท และคาใชสระวายน้ํา 15 บาทตอครั้ง ภายใน 1 ป จํานวนครั้งที่นอยที่สุดในการใชสระวายน้ําใน 1 ป ที่ทําใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคล ที่เปนสมาชิก นอยกวาของบุคคลที่ไมเปนสมาชิก เทากับขอใด 1. 79 ครั้ง 2. 81 ครั้ง 3. 101 ครั้ง 4. 133 ครั้ง 5. 134 ครั้ง 19. พี่มีนยืมเงินจากนองมิว 630 บาท และตกลงกันวาจะจายเงินคืนใหนองทุกวัน โดยวันแรกจะคืนเงินให 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให 12 บาท และในวันตอๆ ไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันกอนหนาวันละ 2 บาท ทุกวัน จํานวนวันที่พี่มีนจะจายเงินคืนใหนองมิวไดครบพอดีเทากับขอใด 1. 21 วัน 2. 22 วัน 3. 23 วัน 4. 24 วัน 5. 25 วัน 20. ถา 1 2 3 12a , a , a , ... , a เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 และ 1 2 3 12a a a ... a 63     แลว 1 2 3 10a a a ... a    เทากับขอใด 1. 29 2. 30 3. 31 4. 32 5. 33
• 9. หนา |8 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 21. ขอมูลชุดใด มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีคามากที่สุด 1. 500 , 500 , 500 , 500 , 500 , 500 2. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 3. 100 , 100 , 100 , 101 , 101 , 101 4. 44 , 44 , 45 , 45 , 46 , 46 5. 78 , 78 , 78 , 78 , 80 , 80 22. ตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนวายน้ําของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนวายน้ํา (ป) ความถี่ (คน) 6 5 7 10 8 15 9 10 คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กกลุมนี้เทากับขอใด 1. 7 ป 6 เดือน 2. 7 ป 7 เดือน 3. 7 ป 8 เดือน 4. 7 ป 9 เดือน 5. 8 ป 23. ผองศรีทําการเก็บขอมูลชุดหนึ่ง โดยนํามาเรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 ในภายหลัง ผองศรีไดรับขอมูลมาเพิ่มอีกหนึ่งคา หลังจากผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิมแลว ขอความใดเปนไปไมได 1. คาเฉลี่ยเลขคณิตเทาเดิม 2. มัธยฐานเทาเดิม 3. มัธยฐานเพิ่มขึ้น 20 4. พิสัยเทาเดิม 5. พิสัยเพิ่มขึ้น 20
• 10. หนา |9 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 24. ขอมูลแสดงภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่ง เปนดังนี้ ภูมิลําเนา จํานวนพนักงาน (คน) ภาคเหนือ 90 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 30 ภาคกลาง 50 ภาคตะวันออก 20 ภาคใต 10 คากลางในขอใดใชเปนตัวแทนของภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงนี้และคากลางนั้นคืออะไร 1. ฐานนิยม คือ ภาคเหนือ 2. ฐานนิยม คือ ภาคใต 3. ฐานนิยม คือ 90 4. มัธยฐาน คือ 30 5. มัธยฐาน คือ ภาคกลาง 25. โรงเรียนแหงหนึ่งมีชมรมสําหรับนักเรียน 3 ชมรม คือ ชมรมกีฬา ชมรมศิปวัฒนธรรม และชมรมวิทยาศาสตร นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายทุกคนตองสมัครเขาชมรมคนละหนึ่งชมรม ตารางแสดงจํานวนนักเรียนในแตละชมรม เปนดังนี้ นักเรียนชั้น จํานวนนักเรียนในแตละชมรม (คน) กีฬา ศิลปวัฒนาธรรม วิทยาศาสตร ม.4 85 95 120 ม.5 125 75 100 ม.6 95 100 105 รวม 305 270 325 ถาสุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายมา 1 คน ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 เทากับขอใด 1. 1 3 2. 2 3 3. 11 45 4. 17 180 5. 61 180
• 11. หนา |10 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 26. กําหนดให  S 9 , 8 , 7 , ... , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5     ถา a เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ไดจากการสุม ความนาจะเปนที่ a a 0  เทากับขอใด 1. 2 3 2. 3 5 3. 2 5 4. 1 3 5. 1 5 27. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ ที่มีหมายเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ใบละหนึ่งหมายเลข ถาสุมหยิบสลากในกลองนี้ขึ้นมาสองใบ โดยหยิบทีละใบแบบไมใสคืน แลวนําหมายเลขที่ไดมาประกอบ เปนจํานวนสองหลัก โดยหมายเลขบนสลากใบแรกเปนเลขโดดในหลักสิบ และหมายเลขบนสลากใบที่สอง เปนเลขโดดในหลักหนวย ความนาจะเปนที่จะไดจํานวนสองหลักที่นอยกวา 60 เทากับขอใด 1. 3 10 2. 2 5 3. 1 2 4. 3 5 5. 3 4 28. ตารางแสดงน้ําหนัก (กรัม) ตอผล ของมะนาวจากสวนแหงหนึ่งเปนดังนี้ น้ําหนัก (กรัม) ตอผล ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ 20 – 29 0.25 30 – 39 0.40 40 – 49 0.70 50 – 59 60 – 69 0.25 ถาสุมมะนาวจากสวนแหงนี้มา 1 ผล ความนาจะเปนที่จะไดมะนาวที่มีน้ําหนักอยูในชวง 40 – 59 กรัม เทากับขอใด 1. 0.25 2. 0.30 3. 0.35 4. 0.40 5. 0.45
• 12. หนา |11 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลขที่เปนคําตอบ จํานวน 12 ขอ (ขอ 29 – 40) ขอละ 2.5 คะแนน รวม 30 คะแนน 29. ถา | a 5 | | b 7 | 0    แลว a + b เทากับเทาใด 30. เมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา A เขามองขึ้นไปบนยอดเสา B เปนมุมเงยขนาด 30 องศา และเมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา B เขามองขึ้นไปยอดเสา A เปนมุมเงยขนาด 60 องศา ถาเสา A สูง 45 เมตร แลวเสา B สูงกี่เมตร (กําหนดใหโคนเสา A และ B อยูบนระนาบเดียวกัน และไมคิดความสูงของวินัย) 31. กําหนดให A {1 , 2 , a, b , c} {1 , b , c}  B {2 , 3 , c} {2 , b , d}  C {1, 2 , 3 , b} {3 , a , b}  จํานวนสมาชิกของเซต B (A C)  เทากับขอใด 32. ให เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย พิจารณาการนํา มาวางตอกันแลวแรเงาบางรูป ตามแบบรูปตอไปนี้ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 ในขั้นที่ 99 มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย ซึ่งไมไดแรเงา อยูกี่รูป
• 13. หนา |12 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 33. ถา 2 , 9, 16 , ... เปนลําดับเลขคณิต แลวพจนที่เทาใดของลําดับนี้ที่มีคาอยูในชวง [180, 185] 34. จากการสอบถาม เรื่องความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม ของเด็กอนุบาลจํานวน 40 คน พบวา มี 25 คน ชอบรสวนิลา 10 คน ชอบรสสม 8 คน ไมชอบทั้งรสวนิลาและรสสม มีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวนิลาและรสสมกี่คน 35 ถากราฟของ 2 f(x) ax bx c   ตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) มีจุดวกกลับที่ (3, 0) ดังรูป แลว f(–6) เทากับเทาใด 36. นักเรียนหองหนึ่งไดตกลงกันวา แตละคนจะทําการดอวยพรวันปใหมและสงใหเพื่อนๆ ในหองทุกคน ถานักเรียนทุกคนในหองนี้ทําตามขอตกลง และมีบัตรอวยพรที่สงใหกันทั้งหมด 1,722 ใบ แลวหองนี้มีนักเรียนกี่คน 0 X Y 1 1 2 22 1 3 3 4 5 6 7 8 1
• 14. หนา |13 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 37. ผลบวกของคําตอบของสมการ 2 |x 4| 33 27  เทากับเทาใด 38. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวนเต็มบวก 10 จํานวน ดังนี้ 5 , 6 , 9 , 6 , 10 , 5 , 9 , 8 , x , y ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 7.2 แลวมัธยฐานเทากับเทาใด 39. คุณครูกําหนดวาจะใหระดับคะแนน 4 แกนักเรียนที่สอบไดสูงกวาเปอรเซ็นไทลที่ 85 ผลการสอบของนักเรียนจํานวน 49 คน ปรากฏดังแผนภาพตน – ใบ 3 4 5 5 8 4 0 5 6 7 8 8 5 0 1 2 3 4 5 6 6 7 7 6 2 2 2 5 5 5 8 8 9 9 7 0 5 5 5 6 8 8 9 8 0 2 3 3 4 5 7 9 0 3 4 5 จากผลการสอบนี้ นักเรียนในกลุมที่ไดระดับคะแนน 4 ไดคะแนนต่ําสุดกี่คะแนน 40. วันทามีธนบัตรหนึ่งพันบาท 3 ฉบับ และธนบัตรหารอยบาท 2 ฉบับ ถาวันทาสุมหยิบธนบัตรขึ้นมา 2 ฉบับพรอมกัน แลวความนาจะเปนที่ธนบัตร 2 ฉบับนี้ จะมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท เทากับเทาใด    
• 15. หนา |14 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. เฉลย ------------- ตอนที่ 1 1. 1 2. 5 3. 1 4. 4 5. 2 6. 4 7. 5 8. 2 9. 5 10. 2 11. 5 12. 4 13. 4 14. 5 15. 1 16. 5 17. 3 18. 2 19. 1 20. 3 21. 2 22. 4 23. 3 24. 1 25. 3 26. 1 27. 4 28. 3 ตอนที่ 2 29. 2 30. 15 31. 3 32. 9900 33. 27 34. 3 35. 9 36. 42 37. 8 38. 7 39. 84 40. 0.9 ------------- ตอนที่ 1 ขอ 1. ตอบ 1. แนวคิด โดยที่ 4 5 5  ทําให 4 5 0 5   ดังนั้น 4 4 5 5 5 5         จะไดคาของ 4 1 5 5 5 5    4 1 5 5 5 5         4 1 5 5 5 5      5 5 5 5     5 5 5 5 5 5          5   5 5 5 5  5 5 5    = 5  -------------
• 16. หนา |15 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 2. ตอบ 5. แนวคิด 2 1 1 6 427 9      2 1 1 3 26 4(3 ) (3 )        2 3 2 6 43 3        2 1 1 2 23 3        2 1 22 3        2 1 2 22 3        2 2 22 3  2 1 2 3  4 3  12  ------------- ขอ 3. ตอบ 1. แนวคิด จากสมการ 3 x 11 64 8 20 125   3 3 3 x 11 4 8 20 5   x 11 4 8 20 5   x 4 11 8 5 20   x 16 11 8 20 20   x 5 8 20  x 1 8 4 
• 17. หนา |16 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; x 1 8 16  1 x 8 16   x = 1 2 จะพบวา 1 x [0,2) 2    ------------- ขอ 4. ตอบ 4. แนวคิด โดยที่ 12 12 12 12 3 2 9 10 9 10 a 6 (2 3) 2 3 2 3 (2 3 ) 72 (2 3 )            9 14 4 9 10 9 10 b 2 3 3 (2 3 ) 81 (2 3 )        15 10 6 9 10 9 10 c 2 3 2 (2 3 ) 64 (2 3 )        เนื่องจาก 64 < 72 < 81 จะได 9 10 9 10 9 10 64 (2 3 ) 72 (2 3 ) 81 (2 3 )        นั่นคือ c < a < b  ------------- ขอ 5. ตอบ 2. แนวคิด จากอสมการ 5 2x 1 x 2 11 12 4 3 12      นํา 12 คูณตลอดอสมการ ; 5 2x 1 x 2 11 12 12 12 12 12 4 3 12          5 3(2x 1) 4(x 2) 11     5 6x 3 4x 8 11     5 2x 5 11   นํา 5 บวกตลอดอสมการ ; 10 2x 16  นํา 2 หารตลอดอสมการ ; 5 x 8  ดังนั้นจํานวนเต็มบวก x ที่สอดคลองกับอสมการไดแก 5, 6, 7, 8 มีทั้งหมด 4 จํานวน  -------------
• 18. หนา |17 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 6. ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม C เปนมุมมฉาก มี a และ b เปนความยาวของดานตรงขามมุม A และ B ตามลําดับ จะไดรูป โดยที่ ˆ ˆ ˆA B C 180    โจทยกําหนด ˆ ˆA 2B และ ˆC 90  ; ˆ ˆ2B B 90 180    ˆ3B 90  ˆB 30  จากรูปจะได b tan B a  แทน ˆB 30  ; b tan 30 a  1 b a3  ดังนั้น a 3b  ------------- b aC A B
• 19. หนา |18 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 7. ตอบ 5. แนวคิด กําหนด ปายโฆษณารูปสี่เหลี่ยมผืนผาอันหนึ่งติดอยูดานขางตึกสูง โดยที่ขอบลางของปายขนานกับพื้น นักเรียนคนหนึ่งยืนอยูหางจากตึกเปนระยะทาง 60 เมตร มุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลางของเสนขอบลางของปายมีขนาด 30 องศา และ มุมเงยของสายตาของนักเรียนที่มองจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนของปายมีขนาด 45 องศา ดังรูป จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได y tan 30 60  1 y 603  60 y 3  60 3 3  20 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได x y tan 45 60   x y 1 60   แทน y 20 3 ; x 20 3 1 60   60 x 20 3  x 60 20 2  20(3 3)  ดังนั้น ระยะหางจากจุดกึ่งกลางของเสนขอบบนถึงจุดกึ่งของเสนขอบลางของปายโฆษณา เทากับ 20(3 3) เมตร  ------------- ปายโฆษณา 30 45 60 x y A B C D
• 20. หนา |19 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 8. ตอบ 2. แนวคิด กําหนดรานขายเสื้อแหงหนึ่ง ขายเสื้อราคาตัวละ 200 บาท หากซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะไดสวนลด 20% ทุกตัว แสดงวาถาซื้อเสื้อตั้งแต 30 ตัวขึ้นไป จะขายเสื้อราคาตัวละ 80% ของ 200 บาท เทากับ 80 200 160 100   บาท โจทยกําหนด เอมซื้อเสื้อ 25 ตัว เปนเงินทั้งหมด a บาท จะได a 25 200 5000   บาท โจทยกําหนด บีมซื้อเสื้อ 30 ตัว เปนเงินทั้งหมด b บาท จะได b = 30 160 4800  บาท จะพบวา a = b + 200  ------------- ขอ 9. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให f(x) = x 5 5  จะได้ f(–6) = 6 5 5 11 5 6      ตัวเลือกที 1 ถูกต้อง f( 5) 5 5 5 10 5 5        ตัวเลือกที 2 ถูกต้อง f(0) 0 5 5 5 5 0      ตัวเลือกที 3 ถูกต้อง f(5) 5 5 5 0 5 5       ตัวเลือกที 4 ถูกต้อง f(6) 6 5 5 1 5 4       ตัวเลือกที 5 ไม่ถูกต้อง -------------
• 21. หนา |20 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 10. ตอบ 2. แนวคิด กําหนดกราฟ จากรูปจะไดวาเปนกราฟของฟงกชันเอกซโพแนนเชียล x y a k  เมื่อ 0 < a < 1 จากตัวเลือกจะไดวา 1 a 3  และไดสมการคือ x1 y ( ) k 3   x y 3 k   ...(*) จากกราฟผานจุด (0, 0) แทน x = 0 และ y = 0 ในสมการ (*) จะได 0 0 3 k   0 = 1 + k k = – 1 แทน k = – 1 ใน (*) จะได x y 3 1    ------------- ขอ 11. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให  2 r (2a, a ) a เปนจํานวนจริง  พิจารณาตัวเลือก ดังนี้ 1. ให 2a = –2 จะได a = –1 2 2 a ( 1) 1 1     ดังนั้น (–2, –1) ไมเปนสมาชิกของ r X Y 0 1 y f(x)
• 22. หนา |21 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 2. ให 2a = –1 จะได a = 1 2  2 21 1 a ( ) 1 2 4     ดังนั้น (–1, 1) ไมเปนสมาชิกของ r 3. ให 2a = 1 จะได a = 1 2 2 21 1 a ( ) 1 2 4    ดังนั้น (1, 1) ไมเปนสมาชิกของ r 4. ให 2a = 2 จะได a = 1 2 2 a 1 1 2   ดังนั้น (2, 2) ไมเปนสมาชิกของ r 5. ให 2a = 4 จะได a = 2 2 2 a 2 4  ดังนั้น (4, 4) เปนสมาชิกของ r  ------------- ขอ 12. ตอบ 4. แนวคิด โดยที่ลําดับเลขคณิตตองมีผลตางรวม นั่นคือ 2 1 3 2 4 3a a a a a a ....      พิจารณาลําดับแตละขอจะพบวา 1. เพราะวา 1.1 – 1 = 0.1 แต 1.11 – 1.1 = 0.01 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ 1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 , 1.1111 ไมเปนลําดับเลขคณิต
• 23. หนา |22 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 2. เพราะวา –1 – 1 = –2 แต 1 – (–1) = 2 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ 1 , –1 , 1 , –1 , 1 ไมเปนลําดับเลขคณิต 3. เพราะวา 7 – (–5) = 12 แต –9 – 7 = –16 จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ –5 , 7 , –9 , 11 , –13 ไมเปนลําดับเลขคณิต 4. เพราะวา 19 ( 5) 4     18 19 ( ) 4 4     17 18 ( ) 4 4     17 1 4 ( ) 4 4    จะพบวาลําดับมีผลตางรวม ดังนั้นลําดับ –5 , 19 4  , 18 4  , 17 4  , –4 เปนลําดับเลขคณิต 5. เพราะวา 2 ( 5 10 ) ( 5 10) 90      แต 3 2 ( 5 10 ) ( 5 10 ) 900      จะพบวาลําดับไมมีผลตางรวม ดังนั้น –5 + 10, –5 + 2 10 , –5 + 3 10 , –5 + 4 10 , –5 + 5 10 ไมเปนลําดับเลขคณิต จากการพิจารณาจะไดวา ลําดับ –5 , 19 4  , 18 4  , 17 4  , –4 เปนลําดับเลขคณิต  ------------- ขอ 13. ตอบ 4. แนวคิด กําหนด 1 2 3a , a , a , ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีพจนแตละพจนเปนจํานวนจริงบวก สมมติให r แทนอัตราสวนรวมของลําดับนี้ จะไดพจนทั่วไปของลําดับคือ n 1 n 1a a r    โจทยกําหนด 5 1a 4a จะได 4 1 1a r 4a นํา 1a หารตลอด ; 4 r 4 2 r 2 r 2  โดยที่แตละพจนเปนจํานวนจริงบวกแสดงวา r = 2  -------------
• 24. หนา |23 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 14. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให A เปนเซตของจํานวนเต็ม B เปนเซตของจํานวนจริงที่มากกวา 3 C เปนเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 โดยที่ f เปนฟงกชัน 4 และ 5 เปนสมาชิกของเซต ดังแผนภาพ พิจารณาขอความ ดังนี้ ก. จากแผนภาพจะพบวา C A แสดงวาเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 เปนสับเซตของเซตจํานวนเต็ม นั่นคือคําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนเต็ม ดังนั้น ขอความ ก. ถูก ข. จากแผนภาพจะพบวา C B แสดงวาเซตคําตอบของสมการ f(x) = 1 เปนสับเซตของเซตจํานวนจริงที่มากกวา 3 นั่นคือคําตอบทุกตัวของสมการ f(x) = 1 เปนจํานวนจริงที่มากกวา 3 ดังนั้น ขอความ ข. ถูก ค. จากแผนภาพ 4 C แสดงวา 4 เปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ดังนั้น ขอความ ค. ถูก ง. จากแผนภาพ 5 C แสดงวา 5 ไมเปนคําตอบของสมการ f(x) = 1 ดังนั้นขอความ ง. ถูก จากการพิจารณาทั้ง 4 ขอความ จะไดวาจํานวนขอความที่ถูกตอง 4 ขอความ  ------------- A BC 4 5
• 25. หนา |24 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 15. ตอบ 1. แนวคิด ถากราฟของ 1y f(x) ตัดกราฟของ 2y g(x) ที่จุด (1, 3) และ (4, 5) ดังรูป จากกราฟจะพบวา กราฟของ 1y f(x) อยูใตกราฟของ 2y g(x) เมื่อ 1 < x < 4 แสดงวาเซตคําตอบของอสมการ f(x) g(x) คือชวง (1, 4)  ------------- ขอ 16. ตอบ 5. แนวคิด โจทยกําหนดเซตคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0   คือชวงเปด (–3c , c) เมื่อ c > 0 นั่นคือสําหรับ –3c < x < c เปนคําตอบของอสมการ 2 x 2cx 6c 0   แตเนื่องจากสําหรับ –3c < x < c จะไดวา (x + 3c)(x – c) < 0 แสดงวาพหุนาม 2 x 2cx 6c  และพหุนาม (x 3c)(x c)  เป็นพหุนามทีเท่ากัน นั่นคือ 2 x 2cx 6c (x 3c)(x c)     2 2 2 x 2cx 6c x 2cx 3c     โดยการเทากับของพหุนามจะไดวา –6c = – 2 3c นํา c หารตลอด ; –6 = –3c ดังนั้น c = 2  ------------- X Y 0 (1,3) 1y f(x) 2y g(x) (4,5)   1 4
• 26. หนา |25 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 17. ตอบ 3. แนวคิด เนื่องสมการดีกรีสอง 2 ax bx c 0   ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง ก็ตอเมื่อ 2 b 4ac 0  โจทยกําหนด สมการ 2 x kx 5 0   ไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง แสดงวา 2 ( k) 4(1)(5) 0   2 k 20 0  2 2 k ( 20) 0  (k 20)(k 20) 0   จะได 20 k 20   ดังนั้นเซตของจํานวนจริง k ที่ทําใหสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริงคือ ( 20, 20)  ------------- ขอ 18. ตอบ 2. แนวคิด สระวายน้ํา “รักสุขภาพ” คิดคาบริการ 2 แบบ คือ แบบที่ 1 บุคคลที่ไมเปนสมาชิก คิดคาใชสระวายน้ํา 40 บาทตอครั้ง แบบที่ 2 บคคลที่เปนสมาชิก คิดคาสมาชิกรายป 2,000 บาท และคาใชสระวายน้ํา 15 บาทตอครั้ง ภายใน 1 ป ให x แทนจํานวนครั้งในการใชสระวายน้ําใน 1 ป ถาบุคคลที่ไมเปนสมาชิก จะตองจายเงินทั้งหมด 40x บาท ถาบุคคลที่เปนสมาชิก จะตองจายเงินทั้งหมด 2,000 + 15x บาท โจทยตองการใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคลที่เปนสมาชิกนอยกวาของบุคคลที่ไมเปนสมาชิก จะไดอสมการคือ 2000 + 15x < 40x 2000 < 25x นํา 25 หารตลอด ; 80 < x ดังนั้นจํานวนครั้งที่นอยที่สุดที่ทําใหจํานวนเงินที่ตองจายทั้งหมดของบุคคลที่เปนสมาชิกนอยกวาของบุคคล ที่ไมเปนสมาชิก คือ 81 ครั้ง  ------------- 20 20  
• 27. หนา |26 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 19. ตอบ 1. แนวคิด พี่มีนยืมเงินจากนองมิว 630 บาท และตกลงกันวาจะจายเงินคืนใหนองทุกวัน โดยวันแรกจะคืนเงินให 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให 12 บาท และในวันตอๆ ไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันกอนหนาวันละ 2 บาท ทุกวัน แสดงวาในแตละวัน การคืนเงินจะเพิ่มขึ้นเปนลําดับเลขคณิต ดังนี้ 10 , 12 , 14 , 16 , ... โดยพจนแรกของลําดับ 1(a )คือ 10 และผลตางรวม(d) เทากับ 2 จะไดผลบวก n พจนแรกของอนุกรม nS  1 n 2a (n 1)d 2    แทน 1a 10 , d 2  ; nS  n 2 10 (n 1)2 2       n 20 2n 2 2      n 2n 18 2   n(n 9)  2 n 9n  โจทยตองการคืนเงินใหครบจํานวน 630 บาท แสดงวาตองการหา n ที่ทําให nS 630 จะได 2 n 9n 630  2 n 9n 630 0   (n + 30)(n – 21) = 0 โดยที่ n + 30 > 0 แสดงวา n – 21 = 0 ดังนั้น n = 21 แสดงวาตองมีนจะจายเงินคืนใหนองมิวจํานวน 21 วัน จึงจะครบจํานวนที่ยืมพอดี  -------------
• 28. หนา |27 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 20. ตอบ 3. แนวคิด โจทยกําหนด 1 2 3 12a , a , a , ... , a เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 โดยสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต n 1 n a (1 r ) S 1 r    โจทยกําหนด 1 2 3 12a a a ... a 63     จะได 12S 63 12 1a (1 r ) 63 1 r    แทน r 2 ; 12 1a (1 ( 2) ) 63 1 2    6 1a (1 (2 )) 63 1 2    1a ( 63) 63 1 2    1a 1 1 2    1a 2 1  ดังนั้น 1 2 3 10a a a ... a    10S 10 1a (1 r ) 1 r    แทน 1a 2 1, r 2   ; 10 ( 2 1)(1 ( 2) ) 1 2     5 (1 2)(1 2 ) 1 2      (1 32)   31  -------------
• 29. หนา |28 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 21. ตอบ 2. แนวคิด พิจารณาตัวเลือกที่มีขอมูลแตละคามีความแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนั้นมาก จะทําใหมี สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมาก พิจารณาตัวเลือก 1. จากขอมูล 500 , 500 , 500 , 500 , 500 , 500 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 500 จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 0 ทั้งหมด 2. จากขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 2 4 6 8 10 12 7 6       จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 5, 3, 1, 1, 3, 5 ตามลําดับ 3. จากขอมูล 100 , 100 , 100 , 101 , 101 , 101 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 100 + 100 + 100 + 101 + 101 , 1 1 1 5 6 0 00. จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 0.5 ทั้งหมด 4. จากขอมูล 44 , 44 , 45 , 45 , 46 , 46 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 44 + 44 + 45 + 45 + 46 + 46 45 6  จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยเทากับ 1, 1, 0, 0, 1, 1 ตามลําดับ 5. จากขอมูล 78 , 78 , 78 , 78 , 80 , 80 มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 78 + 78 + 78 + 78 + 80 + 80 78.7 6  จะพบวาขอมูลแตกตางจากคาเฉลี่ยประมาณ 0.7, 0.7, 0.7, 0.7, 1.3, 1.3 ตามลําดับ จะพบวาขอมูลในเลือกที่ 2 คือขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 มีคาแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิตมากที่สุด จึงทําใหขอมูลดังกลาวมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากที่สุด 
• 30. หนา |29 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. หมายเหตุ 1. อาจจะพิจารณาไดจากความแตกตางกันของขอมูลในชุดนั้น ซึ่งจะพบวาตัวเลือกที่ 2 ที่มีขอมูล 2, 4, 6, 8, 10, 12 เปนขอมูลที่มีแตละคาแตกตางกันเยอะที่สุด ดังนั้นทําใหขอมูลดังกลาวมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากที่สุด 2. คาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชสูตร N 2 i i 1 (x ) N       จากตัวเลือกที่ 2 มีขอมูล 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 จะได 2 4 6 8 10 12 7 6         2 2 2 2 2 2 (2 7) (4 7) (6 7) (8 7) (10 7) (12 7) 6              = 35 3 ------------- ขอ 22. ตอบ 4. แนวคิด ตารางแจกแจงความถี่แสดงอายุของเด็กที่เรียนวายน้ําของโรงเรียนแหงหนึ่งเปนดังนี้ อายุของเด็กที่เรียนวายน้ํา (ป) ความถี่ (คน) 6 5 7 10 8 15 9 10 จากสูตรคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ k i i i 1 k i i 1 f x f     จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต = (6 5) (7 10) (8 15) (9 10) 5 10 15 10           = 30 70 120 90 40    = 310 40 = 7.75
• 31. หนา |30 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กลุมนี้ = 7.75 ป = 7 ป 0.75 ป = 7 ป 0.75 12 เดือน = 7 ป 9 เดือน  ------------- ขอ 23. ตอบ 3 แนวคิด ผองศรีทําการเก็บขอมูลชุดหนึ่ง โดยนํามาเรียงลําดับจากนอยไปมากไดเปน 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะได คาเฉลี่ยเลขคณิต = 110 118 130 150 150 160 170 190 210 220 1 0 2 230 24           = 174 มัธยฐาน = 160 180 170 2   พิสัย = 240 – 110 = 130 ในภายหลัง ผองศรีไดรับขอมูลมาเพิ่มอีกหนึ่งคาหลังจากผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิม พิจารณาตัวเลือก 1. ถาเพิ่มขอมูลอีกคาใหเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดเดิม นั่นคือ เพิ่มเขาไปดวย 174 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 174 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดคาเฉลี่ยเลขคณิตขอมูลชุดใหม เทากับ 174 12 174 174 13    ซึ่งจะพบวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดใหม เทากับคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 1. เปนไปได 2. ถาเพิ่มขอมูลอีกคาใหเทากับมัยฐานของขอมูลชุดเดิม นั่นคือ เพิ่มเขาไปดวย 170 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดมัธยฐานขอมูลชุดใหม เทากับ 170 ซึ่งจะพบวามัธยฐานของขอมูลชุดใหม เทากับมัธยฐานของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 2. เปนไปได
• 32. หนา |31 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. 3. สมมติให x เปนขอมูลที่เพิ่มเขาไปใหม จากขอมูลชุดเดิมมีคามัธยฐานเทากับ 170 และตองการคามัธยฐานของขอมูลชุดใหมเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% แสดงวาคามัธยฐานขอมูลชุดใหม เทากับ 120% ของ 170 ซึ่งเทากับ 120 170 204 100   แตจากขอมูลชุดใหมที่เพิ่ม x เขาไป จะไดเปน กรณีที่ 1. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , x, 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 กรณีที่ 2. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , x , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 กรณีที่ 3. 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , x , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะพบวาทุกกรณี คามัธยฐานขอมูลชุดใหมนอยกวา 204 ดังนั้น ตัวเลือก 3. ไมเปนไปได 4. ถาเพิ่มขอมูลเขาไปดวย 170 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 170 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 จะไดพิสัยขอมูลชุดใหม เทากับ 240 – 110 = 130 ซึ่งจะพบวาพิสัยของขอมูลชุดใหม เทากับพิสัยของขอมูลชุดเดิม ดังนั้น ตัวเลือก 4. เปนไปได 5. จากขอมูลชุดเดิมมีพิสัยเทากับ 130 และตองการพิสัยของขอมูลชุดใหมเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% แสดงวาพิสัยขอมูลชุดใหมเทากับ 120% ของ 130 ซึ่งเทากับ 120 130 156 100   ถาเพิ่มขอมูลเขาไปดวย 266 ขอมูลทั้ง 13 จํานวนเรียงจากนอยไปมากไดดังนี้ 110 , 118 , 130 , 150 , 150 , 160 , 180 , 190 , 210 , 220 , 230 , 240 , 266 จะไดวาพิสัยของขอมูลชุดใหมเทากับ 266 – 110 = 156 ซึ่งจะเพิ่มขึ้นจากเดิม 20% ดังนั้น ตัวเลือก 5. เปนไปได จากการพิจารณาจะพบวาเมื่อผองศรีเพิ่มขอมูลใหมเขาไปในขอมูลชุดเดิมแลว ขอมูลชุดใหมมีมัธยฐานเพิ่มขึ้น 20% เปนไปไมได  -------------
• 33. หนา |32 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 24. ตอบ 1 แนวคิด ขอมูลแสดงภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่ง เปนดังนี้ ภูมิลําเนา จํานวนพนักงาน (คน) ภาคเหนือ 90 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 30 ภาคกลาง 50 ภาคตะวันออก 20 ภาคใต 10 จากตาราง ขอมูล คือ ภูมิลําเนา ความถี่ของขอมูล คือ จํานวนพนักงาน ซึ่งจะพบวา ขอมูลภูมิลําเนา เปนขอมูลเชิงคุณภาพ ดังนั้นคากลางที่เหมาะสมสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ฐานนิยม ซึ่ง ภูมิลําเนา ภาคเหนือ มีจํานวนพนักงาน(ความถี่) มากที่สุด ดังนั้นคากลางที่ใชเปนตัวแทนของภูมิลําเนาของพนักงานในบริษัทแหงนี้คือ ฐานนิยม คือ ภาคเหนือ  ------------- ขอ 25. ตอบ 3. แนวคิด โรงเรียนแหงหนึ่งมีชมรมสําหรับนักเรียน 3 ชมรม คือ ชมรมกีฬา ชมรมศิปวัฒนธรรม และชมรมวิทยาศาสตร นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายทุกคนตองสมัครเขาชมรมคนละหนึ่งชมรม ตารางแสดงจํานวนนักเรียนในแตละชมรม เปนดังนี้ นักเรียนชั้น จํานวนนักเรียนในแตละชมรม (คน) กีฬา ศิลปวัฒนาธรรม วิทยาศาสตร ม.4 85 95 120 ม.5 125 75 100 ม.6 95 100 105 รวม 305 270 325
• 34. หนา |33 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จากตารางนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย มีทั้งหมด 305 + 270 + 325 = 900 คน สุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายมา 1 คน จะไดทั้งหมด 900 วิธี นั่นคือ n(S) = 900 จากตารางนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 มีทั้งหมด 125 + 95 = 220 คน สุมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 มา 1 คน จะไดทั้งหมด 220 วิธี นั่นคือ n(E) = 220 ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่อยูชมรมกีฬาและไมใชนักเรียนชั้น ม.4 เทากับ n(E) n(S) = 220 11 900 45   ------------- ขอ 26. ตอบ 1. แนวคิด กําหนดให  S 9 , 8 , 7 , ... , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5     จะพบวา S มีสมาชิกทั้งหมด 15 ตัว ดังนั้นสุมสมาชิก 1 ตัวจาก S จะไดทั้งหมด 15 วิธี พิจารณาเหตุการณ E ซึ่งเปนเหตุการณที่มี a เปนสมาชิกหนึ่งตัวของ S ที่ทําให a a 0  เนื่องจาก a a 0  ก็ตอเมื่อ a a  ก็ตอเมื่อ a  0 จะได E = {–9 , –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0} จะพบวา E มีสมาชิกทั้งหมด 10 ตัว ดังนั้นสุมสมาชิก a ตัวจาก S ที่ทําให a a 0  จะไดทั้งหมด 10 วิธี ดังนั้นความนาจะเปนที่สุมสมาชิก a หนึ่งตัวจาก S ที่ทําให a a 0  เทากับ 10 2 15 3   -------------
• 35. หนา |34 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 27. ตอบ 4. แนวคิด กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ ที่มีหมายเลข 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ใบละหนึ่งหมายเลข สุมหยิบสลากในกลองนี้ขึ้นมาสองใบ โดยหยิบทีละใบแบบไมใสคืน หมายเลขที่ไดมาประกอบเปนจํานวนสองหลัก โดยหมายเลขบนสลากใบแรกและใบที่สอง เปนเลขโดดในหลักสิบและเปนเลขโดดในหลักหนวย ตามลําดับ จะไดผลลัพธทั้งหมด S = {13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59, 71, 73, 75, 79, 91, 93, 95, 97} n(S) = 20 ให E แทนเหตุการณจํานวนสองหลักจากผลลัพธทั้งหมดมีคานอยกวา 60 E = {13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59} n(E) = 12 ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะไดจํานวนสองหลักที่นอยกวา 60 เทากับ n(E) 12 3 n(S) 20 5    ------------- ขอ 28. ตอบ 3. แนวคิด เนื่องจาก ความถี่สัมพัทธของแตละอันตรภาคชั้น เทากับ ความถี่ของอัตรภาคชั้น ผลรวมของความถี่ทุกอัตรภาคชั้น แสดงวา ความนาจะเปนที่จะสุมขอมูล 1 คา โดยมีคาอยูในแตละอันตรภาคชั้น จะมีคาเทากับ ความถี่สัมพัทธของอัตรภาคชั้นนนั้น ...(*) โดยสมบัติ ผลบวกของความถี่สัมพัทธของทุกอันตรภาคชั้น เทากับ 1 จากตารางแสดงน้ําหนัก (กรัม) ตอผล ของมะนาวจากสวนแหงหนึ่ง ที่โจทยกําหนดให จะไดความถี่สัมพัทธของอัตรภาคชั้นที่เหลือ ดังนี้
• 36. หนา |35 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. น้ําหนัก (กรัม) ตอผล ความถี่สัมพัทธ ความถี่สะสมสัมพัทธ 20 – 29 0.25 0.25 30 – 39 0.40 – 0.25 = 0.15 0.40 40 – 49 0.70 – 0.40 = 0.30 0.70 50 – 59 1 – (0.25 + 0.25 + 0.15+0.30) = 0.05 60 – 69 0.25 สุมมะนาวจากสวนแหงนี้มา 1 ผล ความนาจะเปนที่จะไดมะนาวที่มีน้ําหนักอยูในชวง 40 – 59 กรัม เทากับ 0.30+ 0.05 = 0.35  ------------- ตอนที่ 2 ขอ 29. ตอบ 2 แนวคิด โดยสมบัติของคาสัมบูรณ x 0 สําหรับทุกจํานวนจริง x จากสมการ | a 5 | | b 7 | 0    แสดงวา | a 5 | 0  และ | b 7 | 0  a 5 0  และ b 7 0  a = –5 และ b = 7 ดังนั้น a + b = –5 + 7 = 2  ------------- ขอ 30. ตอบ 15 แนวคิด เมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา A เขามองขึ้นไปบนยอดเสา B เปนมุมเงยขนาด 30 องศา และเมื่อวินัยยืนอยูที่โคนเสา B เขามองขึ้นไปยอดเสา A เปนมุมเงยขนาด 60 องศา โดยที่เสา A สูง 45 เมตร เนื่องจากมุมเงยมองยอดเสา B นอยกวา มุมเงยที่มองยอดเสา A แสดงวาความสูงเสา B นอยกวา ความสูงเสา A ดังรูป
• 37. หนา |36 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จากรูปสามเหลี่ยม PQR จะได PQ tan60 PR  45 3 PR  3(PR) 45 45 PR 3  45 3 PR 3   PR 15 3 จากรูปสามเหลี่ยม PRS จะได RS tan 30 PR  1 RS 3 15 3  15 3 RS 3  15 RS ดังนั้นเสา B สูง 15 เมตร  ------------- ขอ 31. ตอบ 3 แนวคิด จาก A {1 , 2 , a, b , c} {1 , b , c}  จะได A = {2, a} จาก B {2 , 3 , c} {2 , b , d}  จะได B = {2, 3, b, c, d} 45เสา A เสา B 60 30 P Q R S
• 38. หนา |37 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. จาก C {1 , 2 , 3 , b} {3 , a , b}  จะได C = {3, b} ดังนั้น B (A C)  =  {2,3,b,c,d} {2,a} {3,b}  = {2,3,b,c,d} {2,3,a,b} = {2, 3, b} จะพบวา จํานวนสมาชิกของเซต B (A C)  ) เทากับ 3  ------------- ขอ 32. ตอบ 9900 แนวคิด ให เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย พิจารณาการนํา มาวางตอกันแลวแรเงาบางรูป ตามแบบรูปตอไปนี้ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 จะพบความสัมพันธของจํานวนของรูปสี่เหลี่ยม ในแตละขั้น ดังนี้ ขั้นที่ จํานวนรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่แรเงา จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมแรเงา ขั้นที่ จํานวนรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่แรเงา จํานวนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมแรเงา 1 2  2 = 4 2 (2  2) – 2 = 4 2 3 3 = 9 3 (3 3) – 3 = 6 3 4  4 =16 16 (4  4) – 4 = 12     จากความสัมพันธที่ไดในตารางขางตน จะไดวาในขั้นที่ 99 มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหนวย ซึ่งไมไดแรเงา ทั้งหมด (100 100) 100 9900   รูป  -------------
• 39. หนา |38 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 33. ตอบ 27 แนวคิด กําหนดลําดับเลขคณิต 2 , 9, 16 , ... จะพบวา พจนแรก ( 1a ) เทากับ 2 ผลตางรวม (d) เทากับ 9 – 2 = 7 จากสูตรพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต n 1a a (n 1)d   จะไดพจนทั่วของลําดับ 2 , 9, 16 , ... คือ na 2 (n 1)7   2 7n 7   7n 5  พิจารณาหาพจนที่มีคาของพจนนั้นอยูในชวง [180, 185] จากการแกอสมการ n180 a 185  แทน na 7n 5  ; 180 7n 5 185   185 7n 190  185 190 n 7 7   3 1 26 n 27 7 7   โดยที่ n เปนจํานวนนับ จะได n = 27 แสดงวาพจนที่ 27 มีคาอยูในชวง [180, 185]  ------------- ขอ 34. ตอบ 3 แนวคิด จากการสอบถาม เรื่องความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม ของเด็กอนุบาลจํานวน 40 คน พบวา มี 25 คน ชอบรสวนิลา 10 คน ชอบรสสม 8 คน ไมชอบทั้งรสวนิลาและรสสม
• 40. หนา |39 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ให U แทนเซตของเด็กอนุบาลทั้งหมด A แทนเซตของเด็กอนุบาลที่ชอบไอศกรีมรสวนิลา B แทนเซตของเด็กอนุบาลที่ชอบไอศกรีมรสสม จากที่โจทยกําหนดจะได n(A) = 25, n(B) = 10, n(A B ) 8   และ n( ) 40U โดยสมบัติ n(A B) n( ) n(A B )   U จะได n(A B) = 40 – 8 = 32 โดยสมบัติ n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 32 = 25 + 10 – n(A B) 32 = 35 – n(A B) n(A B) = 35 – 32 n(A B) = 3 ดังนั้นมีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวนิลาและรสสมจํานวน 3 คน  ------------- ขอ 35. ตอบ 9 แนวคิด โจทยกําหนดกราฟของ 2 f(x) ax bx c   ตัดแกน Y ที่จุด (0, 1) มีจุดวกกลับที่ (3, 0) ดังรูป 0 X Y 1 1 2 22 1 3 3 4 5 6 7 8 1
• 41. หนา |40 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. โดยรูปมาตรฐานของฟงกชันกําหนดสองอีกแบบหนึ่งคือ 2 f(x) a(x h) k   เมื่อ (h, k) เปนจุดวกกลับ โดยที่กําหนดจุดวกกลับคือ (3, 0) จะได f(x) = 2 a(x 3) 0  = 2 a(x 3) ...(*) เนื่องจากจุด (0, 1) อยูบนกราฟของ f(x) แสดงวา f(0) = 1 ดังนั้น x = 0 ในสมการ (*) จะได f(0) = 2 a(0 3) แทน f(0) = 1 ; 1 = 9a a = 1 9 แทน a = 1 9 ใน (*) จะได f(x) = 21 (x 3) 9  ดังนั้น 2 21 1 1 f( 6) ( 6 3) ( 9) 81 9 9 9 9            ------------- ขอ 36. ตอบ 42 แนวคิด นักเรียนหองหนึ่งไดตกลงกันวา แตละคนจะทําการดอวยพรวันปใหมและสงใหเพื่อนๆ ในหองทุกคน โดยที่นักเรียนทุกคนในหองนี้ทําตามขอตกลง และมีบัตรอวยพรที่สงใหกันทั้งหมด 1,722 ใบ สมมติใหนักเรียนหองนี้มีจํานวน n คน โดยแตละคนสงการดอวยพรใหคนอื่นๆ 1 ใบ แสดงวานักเรียนแตละคนจะทําการดอวยพรจํานวน n – 1 ใบ ดังนั้นจํานวนการดทั้งหมดที่สงใหกันเทากับ n(n 1) ใบ ดังนั้นสมการคือ n(n – 1) = 1722 n(n – 1) = 42 41 ดังนั้น n = 42 แสดงวานักเรียนหองนี้มีทั้งหมด 42 คน  -------------
• 42. หนา |41 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 37. ตอบ 8 แนวคิด จากสมการ 2 |x 4| 33 27  จะได 2 |x 4| 3 33 (3 )  2 (3 ) |x 4| 33 3    |x 4| 2 3 3  แสดงวา x 4 2  x – 4 = 2 หรือ x – 4 = –2 x = 6 หรือ x = 2 คําตอบของสมการไดแก 2 , 6 ดังนั้นผลบวกของคําตอบของสมการ เทากับ 2 + 6 = 8  ------------- ขอ 38. ตอบ 7 แนวคิด กําหนดขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวนเต็มบวก 10 จํานวน ดังนี้ 5 , 6 , 9 , 6 , 10 , 5 , 9 , 8 , x , y โจทยกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้คือ 7.2 แสดงวา 5 + 6 + 9 + 6 + 10 + 5 + 9 + 8 + x 7.2 10 + y  7.2 1 5 x y 0 8    58 + x + y = 72 x + y = 14
• 43. หนา |42 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. สมมติให x < y พิจารณาคา x, y ดังนี้ กรณีที่ 1 x = 1 , y = 13 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 1, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 13 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 2 x = 2 , y = 12 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 2, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 12 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 3 x = 3 , y = 11 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 3, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 11 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 4 x = 4 , y = 10 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 4, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 5 x = 5 , y = 9 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 6 x = 6 , y = 8 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 6 8 7 2   กรณีที่ 7 x = 7 , y = 7 จะไดขอมูล 10 จํานวนเรียงจากนอยไปมากดังนี้ 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10 ซึ่งจะไดวา มัธยฐาน เทากับ 7 7 7 2   จากรณีที่ 1 ถึงกรณีที่ 7 จะไดวา คามัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ 7  -------------
• 44. หนา |43 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 39. ตอบ 84 แนวคิด ผลการสอบของนักเรียนจํานวน 49 คน ปรากฏดังแผนภาพตน – ใบ 3 4 5 5 8 4 0 5 6 7 8 8 5 0 1 2 3 4 5 6 6 7 7 6 2 2 2 5 5 5 8 8 9 9 7 0 5 5 5 6 8 8 9 8 0 2 3 3 4 5 7 9 0 3 4 5 ตําแหนงของเปอรเซ็นไทลที่ 85 เทากับ 85(N 1) 100  = 85(49 1) 42.5 100   จากแผนภาพ ตน – ใบ จะไดวา ตําแหนงที่ 42 ขอมูลมีคาเทากับ 83 ตําแหนงที่ 43 ขอมูลมีคาเทากับ 84 ดังนั้น ตําแหนงที่ 42.5 ขอมูลมีคาเทากับ 83 84 83.5 2   นั่นคือเปอรเซ็นไทลที่ 85 เทากับ 83.5 คุณครูกําหนดวาจะใหระดับคะแนน 4 แกนักเรียนที่สอบไดสูงกวาเปอรเซ็นไทลที่ 85 นักเรียนกลุมนี้ที่ไดระดับคะแนน 4 ไดแกคนที่สอบคะแนน 84, 85, 87, 90, 93, 94, 95 ดังนั้น นักเรียนในกลุมที่ไดระดับคะแนน 4 ไดคะแนนต่ําสุด 84 คะแนน  -------------
• 45. หนา |44 วันเสารที่ 3 มีนาคม 2561 เวลา 11.30 – 13.30 น. ขอ 40. ตอบ 0.9 แนวคิด วันทามีธนบัตรหนึ่งพันบาท 3 ฉบับ และธนบัตรหารอยบาท 2 ฉบับ ให T1 , T2 , T3 แทนธนบัตรหนึ่งพันบาท H1 , H2 แทนธนบัตรหารอยบาท วันทาสุมหยิบธนบัตรขึ้นมา 2 ฉบับพรอมกัน จะไดผลลัพธทั้งหมด ไดแก {T1, T2}, {T1, T3}, {T1, H1}, {T1, H2}, {T2, T3}, {T2, H1}, {T2, H2}, {T3, H1}, {T3, H2}, {H1, H2} ดังนั้น n(S) = 10 จะไดเหตุการณที่หยิบไดธนบัตรมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท ไดแก {T1, T2}, {T1, T3}, {T1, H1}, {T1, H2}, {T2, T3}, {T2, H1}, {T2, H2}, {T3, H1}, {T3, H2}, ดังนั้น n(E) = 9 จะได ความนาจะเปนที่สุมไดธนบัตร 2 ฉบับมีมูลคารวมกันมากกวา 1,200 บาท เทากับ n(E) 9 0.9 n(S) 10    -------------