2 (5, 8, 11, 14, …)สว่ นทเ่ี ป็นเรขาคณติ คือ 1 (21 , 1 , 1 , 1 , ...) 2n 4 8 16จึงทราบว่าควรเขียนเศษส่วนในรปู น้ี S 5 8 11 14 ... ______ (1) 2 4 8 16ถ้าคณู สมการน้ีดว้ ยคา่ r 1 จะได้ 1 S 5 8 11 14 ... ______ (2) 2 2 4 8 16 32นํา (1) - (2) โดยใหพ้ จน์ทม่ี ีส่วนเทา่ กันเข้าลบกนั จะได้ 1 S 5 3 3 3 ... 2 2 4 8 16ซึ่งในวงเล็บเปน็ อนกุ รมเรขาคณิตอนนั ต์ จึงใช้สตู รไดเ้ ป็น.. 5 1 3/ 4 4 2 1/2..ดงั นัน้ จึงไดค้ าํ ตอบ S 8ตัวอยา่ ง ใหห้ าคา่ ของ S 3 1 5 2 7 4 9 8 ... 21 512สว่ นทเี่ ป็นเลขคณิตคือ 3, 5, 7, 9, …, 21ส่วนทเี่ ป็นเรขาคณิตคือ 1, 2, 4, 8, …, 512จึงนําค่า r 2 คูณสมการน้ี จะได้2 S 3 2 5 4 7 8 9 16 ... 21 1024ต้งั ลบสมการโดยให้พจนท์ ี่มตี ัวคณู เทา่ กนั เขา้ ลบกัน จะได้S 3 1 (2 2 2 4 2 8 ... 2 512) 21 1024ซ่งึ ในวงเลบ็ เปน็ อนุกรมเรขาคณิต จงึ ใช้สูตรได้เป็น.. 3 (42(29 11)) 21504 19457..ดังนั้นจึงได้คาํ ตอบ S 19457 ข้อสอบลเขํา้ามดหบัาวแทิ ยลาละยั อ..นบกุททรี่ 1ม11. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2540] ;Þ 4. 20พจน์แรกท่ีเป็นจํานวนเต็มลบของลาํ ดบั เลขคณติ 200, 182, 164, 146, ...มคี ่าต่างจากพจนท์ ี่ 10 เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 54 2. 38 3. 222. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2539] ;Þให้ m เปน็ จํานวนเตม็ บวกทนี่ ้อยท่สี ดุ ทีท่ าํ ใหพ้ จนท์ ี่ m ของลาํ ดับเลขคณิต 2, 5, 8, ...มีคา่ มากกวา่ 1,000 จาํ นวนในขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นตัวหารของ m 1. 67 2. 111 3. 166 4. 1673. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั / 2541] ;Þให้ x, y, z, w เปน็ พจน์ 4 พจนเ์ รียงกันในลําดบั เรขาคณติ โดยท่ี x เป็นพจนแ์ รกถ้า y z 6 และ z w 12 จงหาคา่ สมั บูรณ์ของพจนท์ ่ี 5 ของลําดับน้ี4. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั / มี.ค.2544]กําหนดให้ a, b, c เปน็ 3 พจนเ์ รยี งตดิ กนั ในลาํ ดับเรขาคณิต และมผี ลคูณเปน็ 27ถา้ a, b3, c2 เป็น 3 พจนเ์ รยี งติดกนั ในลําดบั เลขคณิต แลว้ a b c มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด5. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2538]ให้ an เปน็ พจน์ท่ี n ของลาํ ดับเรขาคณิต โดยมี r เปน็ อตั ราส่วนร่วมถา้ a1 a2 ... an 2n แล้ว r คือข้อใดต่อไปนี้a1 a2 a2 a3 an an 11. 1 2. 1 3. 2 4. 2 22เฉลย 1. 1 2. 4 3. 48 4. 13 5. 1 บทที่ 11 144 ตะลุยโจทยข อ สอบคณิตศาสตร6. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2520] :(กําหนดพจน์ที่ n ของลาํ ดับคอนเวอร์เจนตใ์ นรูป an np q (p, q เปน็ จาํ นวนจริง) n1ถ้าผลบวกของ 10 พจนแ์ รกมากกว่าผลบวกของ 8 พจน์แรก เป็นจํานวนเทา่ กบั คา่ ของพจนท์ ี่ 109และ a1 7 แลว้ คา่ ของ p และ q เป็นเท่าใด 6 1. p 2 , q 6 2. p 2 , q 3 3. p 2 , q 6 3 3 3 4. p 2 , q 3 5. ไม่มคี าํ ตอบทถี่ ูกตอ้ งในขอ้ 1. ถึงขอ้ 4. 37. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย / ม.ี ค.2548] ;Þนายแดงนําเงนิ ไปฝากธนาคารออมสนิ โดยฝากเดือนแรก 100 บาทเดือนต่อไปฝากเพม่ิ ข้ึนเดือนละ 5 บาท ทุกเดอื น เมอื่ ครบ 2 ปี นายแดงนาํ เงนิ ไปฝากทัง้ หมดเทา่ ใด8. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / ต.ค.2543]ให้ 5, x, 20, ... เป็นลําดบั เลขคณติ ทม่ี ีผลบวกของ 12 พจน์แรกเปน็ aและ 5, y, 20, ... เป็นลาํ ดับเรขาคณิตทีม่ ีพจน์ที่ 6 เป็น b โดยที่ y 0 แล้ว a b มคี า่ เท่าใด 1. 205 2. 395 3. 435 4. 8459. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั / 2531]ถ้า S {200, 201, 202, ..., 400} แล้วผลบวกทง้ั หมดของจํานวนในเซต S ท่หี ารดว้ ย 8 ลงตวัแต่หารด้วย 12 ไม่ลงตัว เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 2,700 2. 5,400 3. 7,122 4. 10,80010. [ข้อสอบเขา้ มหาวิทยาลัย / 2534]ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหนึง่ เทา่ กับ 430ถา้ พจนท์ ่ี 10 ของอนกุ รมนีค้ ือ 79 แลว้ ผลบวก 3 พจน์แรกมีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 44 2. 45 3. 46 4. 4711. [ข้อสอบเขา้ มหาวิทยาลยั / ต.ค.2545]กาํ หนดให้ log x , log (x2), log (x16) เปน็ สามพจนแ์ รกที่เรยี งกนั ของลาํ ดับเลขคณิตถ้า a10 เปน็ พจนท์ ี่ 10 และ S10 เปน็ ผลบวก 10 พจน์แรกของลําดับนี้ แลว้ ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ,a10 9 log 5 8 log 3 S10 5 [9 log 5 7 log 3] 2. ,a10 9 log 5 8 log 3 S10 5 [9 log 7 2 log 3] 3. ,a10 9 log 7 log 3 S10 5 [9 log 5 7 log 3] 4. ,a10 9 log 7 log 3 S10 5 [9 log 7 2 log 3]12. [ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย / มี.ค.2544]กําหนดให้ n เปน็ จํานวนเตม็ บวกทที่ ําให้ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต7 15 23 ... มีค่าเท่ากบั 217 แลว้ 2n 2n1 ... 22n มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี 28 1. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5 คณิต มงคลพิทักษสขุ 145 ลาํ ดับและอนกุ รม 13. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2525]จงหาผลบวก n พจน์ของอนุกรม 1 1 1 ... 1 (n 2) x 1 x 1x 1 x 1 x1. n(2 (n 3) x) 2. 1 (1 x)n 2 (1 x) x (1 x)(1 x)n13. n(2 x) 4. n 2 (1 x2) 1 x5. n x เม่อื n<2 และเปน็ n เมอ่ื n>3 1 x 1 x14. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั / 2521] ;Þผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 0.2 0.067 0.00067 0.0000067 ... เท่ากับเทา่ ใด1. 53 2. 67 3. 96 198 212 2454. 123 5. 562 397 99915. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2529]กําหนดให้ A เป็นอนุกรม 1 m m2 m3 ...และ B เป็นอนุกรม 1 m2 m4 m6 ...ถ้าอนุกรม A และ B ต่างก็เป็นอนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ทัง้ คู่ และผลบวกของอนกุ รม Aเป็นสองเทา่ ของผลบวกของอนกุ รม B แลว้ m จะมคี า่ เท่ากบั เท่าใด1. 1 2. 1 m 13. 1 4. m หาค่าไมไ่ ด้16. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2536]จํานวนเตม็ บวก m ท่ีมากทีส่ ุด ท่ที าํ ใหอ้ นกุ รม 1 1 1 1 ... 2m 2m 1 2m 2 2m 3มผี ลบวกมากกว่า 0.01 เปน็ สมาชกิ ของเซตใดต่อไปนี้1. {1, 2, 3} 2. {4, 5, 6}3. {7, 8, 9} 4. {10, 11, 12}17. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2539]ถา้ อนกุ รม 1 2x (1 22x (1 23x ... มผี ลบวกเทา่ กบั 9 1 2x 2x)2 2x)3แล้ว อนกุ รม log2 x (log2 x)2 (log2 x)3 (log2 x)4 ... เป็นจริงตามขอ้ ใดต่อไปน้ี1. มผี ลบวกเท่ากับ 1 2. มีผลบวกเท่ากบั log2 3 1 log2 3 1 log2 33. มีผลบวกเทา่ กบั log2 3 4. เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ 1 log2 3เฉลย 6. 4 7. 3780 8. 2 9. 2 10. 2 11. 4 12. 3 13. 1 14. 1 15. 4 16. 2 17. 4 บทที่ 11 146 ตะลยุ โจทยข อสอบคณิตศาสตร18. [ข้อสอบเขา้ มหาวิทยาลัย / 2528]คา่ ของ log3 3 log 3 3 log33 3 log43 3 ... logn3 3 เทา่ กบั เท่าใด 1. 1 (n 1)log 3 2. n (n 1)log 3 2 2 3. 1 (n 1) 4. n (n 1) 2 219. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2522]พจนใ์ นข้อใดเป็นผลบวกของอนกุ รม log 1 b log 1 b log 1 b ... a2 a4 a8 1. log b 2. loga 1 a1 b 3. 2 log1 b 4. 2 log 1 b a a2 5. อนกุ รมที่กําหนดให้เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ จึงไม่สามารถหาผลบวกได้20. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2536]ถา้ n เป็นจํานวนเตม็ บวก ซง่ึ ทําให้ 1 log 22 log322 ... logn22 n2 21แล้ว 1 2 22 ... 2n มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด 1. 63 2. 127 3. 255 4. 51121. [ข้อสอบเขา้ มหาวิทยาลยั / 2531]ถ้า ln(log2 3) ln(log4 3) ln(log5 4) ... ln(logn(n 1)) (10 log2)(ln 36)แลว้ คา่ ของ n เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 12 2. 36 3. 64 4. ข้อ 1, 2 และ 3 ไมม่ ขี อ้ ใดถูก22. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2523]ถา้ log(314 1 1 ... 1 n) ) 0 แล้ว n จะมีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด 11 10 (13 33 33 33 1. 5 2. 15 3. 25 4. 35 5. ไม่มีคาํ ตอบทถ่ี กู ตอ้ ง23. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2537]ค่าของ x ทัง้ หมดท่สี อดคล้องกับอสมการ [ log3x log32 x log34 x log38 x ... ] 1คือข้อใดต่อไปน้ี 1. 0 x 3 2. x 3 3. 0 x 3 3 4. x 3 3 คณิต มงคลพิทักษสขุ 147 ลาํ ดับและอนกุ รม 24. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2532]ถา้ a เป็นผลรวมของอนุกรม log 1 2 log 1 2 log 1 2 log 1 2 ... 22 24 28 216และ b เปน็ ผลรวมของอนกุ รม 2 log22 2 log2 4 2 log28 2 log2 16 ...แลว้ a b มีคา่ เทา่ กับเท่าใด25. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / ต.ค.2543]ถ้า A 3 2 แล้ว det (4 (A1)) det (4 (A1)2) det (4 (A1)3) ... det (4 (A1)6) มีคา่ เท่าใด 2 226. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2535]กาํ หนดให้ A คอื เมทรกิ ซ์ 1 1 1 1ถ้า an det (1 A)n เมื่อ n เป็นจาํ นวนเต็มบวก 2แลว้ อนกุ รม เปน็ จริงตามขอ้ ใดต่อไปน้ี an n1 1. เป็นอนกุ รมไดเวอร์เจนต์ 2. มีผลบวกเป็น 0 4. มีผลบวกเป็น 2 3. มีผลบวกเป็น 127. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2541]สาํ หรับ x (1, 1) ให้ S(x) เปน็ ผลบวกของอนุกรม 1 x x2 x3 ...จงหาคา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสุดของเซต A เมื่อ A { 1 | x (1, 1)} S(x)28. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2534]ถ้า f(x) 1 x x2 x3 ... ทุกจาํ นวนจริง x ซงึ่ ทําให้อนกุ รมลู่เข้า (คอนเวอรท์ )และ g(x) 1 x2 ทุกจาํ นวนจริง xแล้วข้อใดตอ่ ไปน้เี ป็นจรงิ เมื่อ D แทนโดเมนของ f g 1. D (, ) และ (g f)(x) 1 x ทุก x D 2. D (1, 1) และ (g f)(x) 1 x ทกุ x D 3. D (, ) และ (g f)(x) 1 x ทุก x D 4. D (1, 1) และ (g f)(x) 1 x ทุก x D29. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2528]ลูกปงิ ปองตกจากโตะ๊ สูง 4 ฟุต ถา้ ทุกครง้ั ทีล่ ูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะทาง 3 ของความสงู ทต่ี กลงมา ระยะทางท้งั หมดทีล่ ูกปงิ ปองเคลอ่ื นที่ในแนวดง่ิ เปน็ กี่ฟุต 4 1. 16 ฟุต 2. 24 ฟตุ 3. 28 ฟตุ 4. 32 ฟตุเฉลย 18. 4 19. 4 20. 3 21. 3 22. 3 23. 3 24. 0 25. 15.75 26. 3 27. 2 28. 4 29. 3 บทที่ 11 148 ตะลุยโจทยขอ สอบคณติ ศาสตร30. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2522]กาํ หนดใหส้ ามเหลย่ี มด้านเทา่ รูปท่ี n 1 เกิดจากการลากเส้นตอ่ จุดกง่ึ กลางด้านท้งั สามของสามเหลี่ยมดา้ นเท่า รปู ที่ n ถา้ กระบวนการสรา้ งรูปสามเหล่ียมด้านเท่านีเ้ กิดขึ้นไมส่ ้ินสุด และผลบวกของเสน้ รอบรูปของสามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู ท่ี 1 เป็น pพจนใ์ นข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นผลบวกของเสน้ รอบรูปท้ังหมดของสามเหลี่ยมเหล่าน้ี 1. 3p 2. 2p 3. 3p 2 4. 4p 5. 6p31. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2540]ให้ a 3 , a , a 2 เป็น 3 พจนเ์ รยี งกนั ตามลําดับเรขาคณติ ทมี่ ีอตั ราสว่ นเป็น rดังนนั้ มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี a rn1 n1 1. 8 2. 9 3. 16 4. 1832. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / ต.ค.2547]กาํ หนดให้ r 1 sin ผลบวกของอนกุ รมในขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ท่ากับ 1 8 1r 1. rn 2. 3. 1 4. (1)n n0 r n1 n0 r n1 (1)n r n n0 n033. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / ม.ี ค.2545]กาํ หนดให้ n 1 k 1 และ 1 k 1 10 10 Sn S k1 k1จาํ นวนเต็มบวก n ที่ทําให้ S Sn 1 (105) เท่ากับเท่าใด 934. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2530]อนุกรมเรขาคณิตอนกุ รมหนงึ่ มีพจนท์ ส่ี องเท่ากบั 4 และมีผลบวกของอนกุ รมเท่ากบั 16ผลบวก 3 พจนแ์ รกของอนกุ รมนี้เทา่ กบั คา่ ในข้อใด 1. ผลต่างร่วมของอนกุ รมเลขคณติ 1 17 33 49 65 ... 2. 5 3. 4 (k 1) (k2 4) k1 k1 4. ขอ้ 1, 2 และ 3 ไม่มขี ้อใดถูก35. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2535] 2. ก. และ ข. ผดิพิจารณาข้อความ 4. ก. ผดิ แต่ ข. ถูก ก. 3 3 4 3 42 ... 3 419 420 1 ข. 1 2 2 3 3 4 ... 19 20 2660ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง 1. ก. และ ข. ถูก 3. ก. ถกู แต่ ข. ผิด คณติ มงคลพิทักษส ุข 149 ลําดับและอนกุ รม 36. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / ม.ี ค.2543]ถา้ ลาํ ดับเลขคณิต a1, a2, a3, ... มีพจน์ที่ 10 และพจนท์ ่ี 15 เป็น 19 และ 34 ตามลาํ ดับแลว้ 20 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (ai 2 i) i1 1. 30 2. 15 3. 10 4. 2037. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / ม.ี ค.2542]ถา้ f (x) x 1 แลว้ 30 (f f)(n2) มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี n 10 1. 9028 2. 9030 3. 9128 4. 917038. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / ต.ค.2543]ถ้า , และ10 10 10 xi 8 yi 4 (5 xi)(yi 2) 76 i1 i1 i1แล้ว 10 มคี ่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ (xiyi) i1 1. 60 2. 30 3. 30 4. 6039. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2527]จงหาผลบวกของ 18 พจนแ์ รกของอนุกรม 1 9 25 49 81 ... 1. 7,734 2. 7,751 3. 7,753 4. 7,77040. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2529] :(นายออมทรัพย์นําเงนิ ไปฝากธนาคารออมสินเดอื นแรก 100 บาท เดอื นถัดๆ ไปเขาฝากเพมิ่ ขน้ึเดือนละ 100 บาท ทุกๆ เดอื น ธนาคารออมสินคดิ ดอกเบี้ยไมท่ บต้นให้ในอัตรารอ้ ยละ 0.20 บาทต่อเดอื น เม่ือครบปนี ายออมทรพั ย์จะมีเงินรวมเทา่ กบั เทา่ ใด 1. 1,527.20 บาท 2. 7,872.80 บาท 3. 8,127.20 บาท 4. 9,436.00 บาท41. [ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย / 2538]ถา้ loga(ax) 2 loga(a2x) 3 loga(a3x) ... 10 loga(a10x) 110แล้ว x มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. a10 2. a5 3. 5 4. 5 a2 a4เฉลย 30. 2 31. 4 32. 4 33. 6 34. 3 35. 1 36. 3 37. 3 38. 4 39. 4 40. 2 41. 2 บทที่ 11 150 ตะลุยโจทยขอ สอบคณติ ศาสตร42. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2539] :( 1 เมอื่ n 1, 2กาํ หนดให้ an an2 2 เมอื่ n 3, 5, 7, ... 2an 2 เมอื่ n 4, 6, 8, ...ดงั นนั้ 101 มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ai i1 1. (50)(51) 250 1 2. (51)2 250 1 4. (51)2 249 1 3. (50)(51) 249 143. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2520] ;Þถา้ ผลบวกของอนุกรมอนันต์ 1 1 1 1 ... เท่ากบั S 12 22 32 42อนกุ รมอนันต์ 2 2 2 2 ... จะมลี กั ษณะตามขอ้ ใด 22 42 62 82 1. เป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ ซึ่งมีผลบวกเทา่ กับ S 2. เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ ซง่ึ มีผลบวกเท่ากับ 3 S 4 3. เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ ซ่งึ มีผลบวกเทา่ กบั 1 S 2 4. เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ ซง่ึ มผี ลบวกเทา่ กบั 1 S 4 5. หาผลบวกไมไ่ ด้ เพราะเป็นอนุกรมไดเวอรเ์ จนต์44. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2525]ผลบวกอนนั ต์ของ 1 3 7 15 ... 2n 1 ... เทา่ กับเท่าใด 4 16 64 4n 1 1. 2 2. 4 3. 2 33 4. 8 5. 10 3345. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2535]เราทราบว่า 1 1 1 n(n 1) n n 1ดงั นัน้ อนุกรม [ 5 3] มผี ลบวกเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 2n n(n 1) n1 1. 0 2. 2 3. 4 4. 5 คณิต มงคลพิทักษส ุข 151 ลาํ ดับและอนุกรม 46. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / ต.ค.2542]ให้ a เป็นจํานวนจรงิ กาํ หนดพจนท์ ี่ n ของอนกุ รมคอื 1 (n2) a 1 aถา้ พจนท์ ่ี m คอื 1 38 a แล้ว ผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1 a 1. 40 740 a 2. 40 790 a 1 a 1 a 3. 20 720 a 4. 20 760 a 1 a 1 a47. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2524] :(อนกุ รม sin(n 2) (1)n 1 n มผี ลบวกเทา่ กบั เทา่ ใด (1)n3 5 n1 1. 0 2. 1 3. 5 4 4 4. 2 5. 5 3348. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2531] :( 7 มคี า่ มากกวา่ (1)n cos n n อยเู่ ท่าใด (1)n 2 (n2 4n 1) 3 n1 n149. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2527]จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ 1 log 2 1 log 4 1 log 8 1 log 16 ... 4 8 16 32 1. 1 log 2 2. log 2 2 3. 1 log 2 4. หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะเปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ 450. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / ต.ค.2546] :(ให้ x เปน็ จาํ นวนจริง ซ่งึ |x| 1ถ้าอนกุ รม 1 (1x)(1) (1xx2)(1)2 (1xx2x3)(1)3 ... มผี ลบวกเทา่ กับ 16 22 2 7แล้ว x มคี ่าเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 3 4 3 4เฉลย 42. 2 43. 3 44. 4 45. 2 46. 1 47. 4 48. 33 49. 2 50. 4 บทที่ 11 152 ตะลยุ โจทยขอสอบคณติ ศาสตร51. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2529] :(กําหนดให้ an เป็นพจน์ที่ n ของลาํ ดับเลขคณิต ซ่ึง an 0ข้อใดต่อไปน้ีผิด 1. 1 1 1 ... 1 n 1 a1 a2 a2 a3 a3 a4 an1 an an a1 2. อนุกรม 1 1 ... 1 ... เปน็ อนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์ a1 a2 a2 a3 an1 an 3. ถา้ a1 a2 a3 ... an แลว้ 1 1 ... 1 n a1 a2 a2 a3 an1 an an a1 4. ถา้ an n , n 1, 2, 3, ..., 9 แล้ว 1 1 1 ... 1 1 a1 a2 a2 a3 a8 a952. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2529]ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู 1. ถา้ a1 a2 a3 ... เปน็ อนุกรมเรขาคณติ และ Sn n ak k1 แล้ว lim Sn หาค่าได้เสมอ n 2. ถา้ an เป็นพจน์ที่ n ของลําดับซงึ่ มพี จน์ an1 an สําหรบั ทุกๆ n แลว้ ลาํ ดับนเ้ี ปน็ ลาํ ดบั ไดเวอรเ์ จนต์ 3. ให้ an เปน็ ลําดบั ซึ่งกําหนดโดย an 1 เมอื่ n เป็นเลขค่ี และ an n 1 เมื่อ n เปน็ เลขคู่ แล้ว an เป็นลําดับคอนเวอร์เจนต์ n2 3 4. 1 5 12 22 35 ... 45 3 32 33 34 853. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2528]ขอ้ ความใดตอ่ ไปนี้เป็นจรงิ 1. อนกุ รม 1 1 1 1 ... 1 เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ 2 22 23 24 2n 2. ถา้ a 0 แลว้ อนุกรม a ( a )2 ( a )3 ... เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ 1 a 1 a 1 a ซ่งึ a )n a ( 1 a n1 1 3. ln 1 ln 2 ln 3 ln 4 ... เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ 2345 4. ถ้า an เปน็ ลําดบั คอนเวอรเ์ จนต์ ซงึ่ lim an 0 แล้ว 0 < an < 1 n n สาํ หรบั ทกุ คา่ ของ n คณติ มงคลพิทักษส ุข 153 ลาํ ดับและอนกุ รม 54. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2525]ข้อความใดตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ1. อนุกรมท่ีได้จากลาํ ดับไดเวอร์เจนต์ย่อมเปน็ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์ และอนุกรมทไ่ี ด้จากลําดับคอนเวอร์เจนต์ย่อมเปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์2. ถา้ an เป็นพจนท์ ่ี n ของลาํ ดับไดเวอร์เจนต์ จะตอ้ งไดว้ า่ lim an เป็นอนนั ต์ n3. ถา้ an เป็นพจน์ท่ี n ของลําดับคอนเวอรเ์ จนต์ จะไดว้ า่ a1 , a2 , a3 , ... เป็นลําดบั คอนเวอรเ์ จนต์ดว้ ย4. ถา้ an เป็นพจนท์ ่ี n ของลําดับ ซ่งึ มี an1 an สําหรับทุก n จะไดว้ ่าลําดับน้ีจะเป็นลาํ ดบั ไดเวอรเ์ จนต์5. ผลบวกอนันต์ของอนกุ รมเรขาคณิตที่มี a เปน็ พจน์แรก และ r 1 เปน็ อตั ราส่วนร่วมคือ a 1r55. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2530]กําหนดอนกุ รม a1 a2 a3 ... an ... โดย an R , n 1, 2, 3, ...ให้ Sn ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมข้อใดต่อไปนถ้ี กู 1. ถา้ a2n1 2 และ a2n 2 , n 1, 2, 3, ... แลว้ อนกุ รมน้ีเปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนตท์ ี่มผี ลบวกเท่ากับ 02. ถา้ an 1 แลว้ อนุกรมน้เี ปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ (n 3)(n 4) และมีผลบวกเท่ากับ 1 43. ถา้ an1 r (r เปน็ คา่ คงตวั ), n 2, 3, 4, ... และ r 1 an แลว้ อนุกรมน้เี ปน็ อนกุ รมไดเวอร์เจนต์4. ถ้าอนุกรมท่กี าํ หนดให้มีคณุ สมบัตวิ า่ Sn1 Sn สาํ หรบั ทุกๆ n จะได้ว่าอนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมไดเวอร์เจนต์56. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2536]ให้ a1, a2 , a3 , ... เป็นลาํ ดับของจาํ นวนจรงิและ Sn a1 a2 ... an ทกุ จาํ นวนนบั nข้อใดต่อไปนผ้ี ดิ1. ถา้ an 2n1 ทกุ จาํ นวนนบั n แลว้ Sn 2n 1 ทกุ จํานวนนบั n2. ถ้า lim Sn หาคา่ ได้แล้ว lim an 0 n n3. ถา้ an ( 1)n1 ทุกจาํ นวนนับ n แล้ว lim Sn 2 2 3 n4. ถ้า lim an 0 แล้ว เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ n an n1เฉลย 51. 3 52. 4 53. 3 54. 3 55. 2 56. 4 บทที่ 11 154 ตะลยุ โจทยข อสอบคณติ ศาสตร57. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / 2524]กาํ หนดให้ (1) a1, a2, a3, ..., an, ... เป็นลําดบั อนันต์ (2) a1 a2 a3 ... an ... เป็นอนุกรมอนนั ต์ที่ได้จากลําดบั ใน (1)และให้ Sn a1 a2 a3 ... an เป็นผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมใน (2)ข้อต่อไปน้ขี ้อใดไมถ่ ูกต้อง 1. lim (S2n S2n1) lim a2n n n 2. ถา้ อนุกรมใน (2) เป็นอนุกรมเรขาคณติ จะหาคา่ lim Sn ไดเ้ สมอ n 3. ถา้ อนุกรมใน (2) เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนตแ์ ล้ว lim an 0 n 4. แม้ lim an 0 ก็ไม่จําเป็นทอ่ี นกุ รมใน (2) เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ n 5. ถา้ an 1 ใน (1) แล้ว ลาํ ดบั ใน (1) จะเป็นลาํ ดับคอนเวอรเ์ จนต์ n58. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2526] ;Þf(n) ซึง่ กําหนดในข้อใดตอ่ ไปนเ้ี ปน็ พจน์ท่ี n ของลําดับคอนเวอร์เจนต์ 1. f(n) cos (2n 1) 2. f(n) cos n 2 3. f(n) sin (2n 1) 2 4. f(n) (1)n59. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2530] ;Þลาํ ดบั ในข้อใดเป็นลาํ ดบั ไดเวอรเ์ จนต์ 1. an sin2 1 cos2 1 2. 1, 1 , 1 , 1 , ... n n 35 7 3. an (1)n1 (n 1) 4. an ( 1)n n 260. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2526] ;Þลําดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รมอนันต์ในข้อใดต่อไปน้ี เป็นลาํ ดับคอนเวอรเ์ จนต์ 2. sin(2n 1) 1. cos n 2 3. (1)n 4. 1 2n61. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย / 2531]พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ีก. ลาํ ดับซ่งึ มพี จน์ที่ n เท่ากบั n 1 เปน็ ลาํ ดับไดเวอร์เจนต์ n1 n 1ข. ลาํ ดบั ซงึ่ มพี จนท์ ่ี n เท่ากบั 1 rn เม่ือ r 1 เปน็ ลําดับไดเวอร์เจนต์ 1rค. 1 1 1 ... ( 1 )n ... เปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ 10 100 1,000 10ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู 1. ถกู เฉพาะข้อ ก. และ ข. 2. ถูกเฉพาะข้อ ก. และ ค. 3. ถกู เฉพาะข้อ ข. และ ค. 4. ถูกท้ัง ก., ข. และ ค. คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ 155 ลาํ ดับและอนกุ รม62. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2538] ;Þ สาํ หรับจาํ นวนเตม็ บวก n ใดๆ 4. หาค่าไม่ได้ให้ Mn n1n1 n และ an det(Mn) n 1แลว้ lim an เป็นจรงิ ตามข้อใดตอ่ ไปนี้ n 1. มคี ่าเป็น 0 2. มีค่าเป็น 1 3. มีค่าเปน็ 263. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2535]ถ้าสาํ หรับแต่ละจาํ นวนเต็มบวก nให้ zn เปน็ จํานวนเชิงซ้อน กําหนดโดย zn 1 1 3i 2nแลว้ ลาํ ดบั an zn zn เป็นจรงิ ตามข้อใดต่อไปน้ี 1. มีลมิ ติ เป็น 4 2. มีลิมติ เป็น 8 3. มีลิมิตเป็น 10 4. เป็นลาํ ดบั ไดเวอร์เจนต์64. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2525] ;Þให้ a1, a2, a3, ... เป็นลําดบั ทีน่ ยิ ามโดย 1 เมอ่ื n เป็นจาํ นวนคี่ an n เมือ่ n เปน็ จํานวนคู่ 1 n2จงหาคา่ ของ lim an n 1. 1 2. 0 3. 1 และ 0 4. 5. ไมม่ ีขอ้ ใดในขอ้ 1. ถึง 4. ทถ่ี กู65. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2523] ;Þลิมติ ของลาํ ดับ an เม่อื an 3n2 2n 5 8 มีค่าเทา่ กับเทา่ ใด 6n2 1. 1 2. 5 3. 17 262 4. 8 5. ไมม่ คี ําตอบทถี่ ูกต้อง66. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2541] ;Þ n2 n 1 2n 5n 3n2 1 5n 9ถา้ และan bn แลว้ ลิมติ ของลาํ ดบั ท่มี พี จนท์ ่ี n เป็น an bn anbn มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 0 4. 1 3เฉลย 57. 2 58. 1 59. 3 60. 4 61. 3 62. 3 63. 3 64. 5 65. 3 66. 4 บทที่ 11 156 ตะลยุ โจทยข อสอบคณิตศาสตร67. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2533] ;Þจงหาคา่ ของ lim 5n 1 3n 1 n 2n 1 5n 168. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2522] 1ลมิ ติ ของลาํ ดับ an (1 n1)(3 n3) มีค่าเทา่ กบั เทา่ ใด 2 5 n3 n4 1. 1 2. 3 3. 1 55 4. 0 5. ลมิ ิตหาคา่ ไมไ่ ด้69. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2521] :(ลมิ ิตของลาํ ดับ an n 3n 1 เท่ากับเทา่ ใด 5 4 n 3 2n 1. 1 2. 1 3. 0 5 32 4. 1 5. ไม่มีคําตอบทถ่ี ูกตอ้ งในขอ้ 1. ถงึ ข้อ 4.70. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / ต.ค.2544]ถา้ c เป็นจาํ นวนจรงิ ซง่ึ lim 3cn3 n2 cn (2)n1 แลว้ c มีคา่ เทา่ ใด (2n 1)3 n 1 3n2 n71. [ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลัย / 2539]สําหรบั แตล่ ะจาํ นวนเตม็ n > 4 กําหนดให้ an 13 23 n4 1 33 ... n3ลําดบั an เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. มลี มิ ติ เปน็ 1 2. มีลิมติ เป็น 2 3. มลี ิมิตเปน็ 4 4. เป็นลาํ ดบั ไดเวอร์เจนต์72. [ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / มี.ค.2547]กาํ หนดพจน์ท่ี n ของลําดับสองลาํ ดับดังนี้ n(1 2 3 ... n) 3n 2 3n 1 3 (12 22 32 ... n2) n2 n1 และan bn 3. 1 1lim (an bn) มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 23n 1. 1 1 2. 1 3 4. 1 3 3 273. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2537] :(ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของเซต { (1 2 ... n) | n เปน็ จาํ นวนเต็มบวก } ใน R n2เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 3. 1 4. 0 24 คณติ มงคลพิทกั ษสุข 157 ลาํ ดับและอนกุ รม74. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั / มี.ค.2548] :( 3. 1 ถา้ an เป็นคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู 3 4. 2 มี nพจน์ 3 1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., nแลว้ lim an เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี n n 1. 0 2. 1 275. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2536]ให้ R เป็นเซตของจาํ นวนจรงิและ A { a R | a 0 และ a 1} สาํ หรบั ทกุ a Aนยิ าม fa : R R โดย fa(x) ax1อนกุ รม มคี ุณสมบัตติ ามข้อใดต่อไปนี้ fa(logan) n1 1. คอนเวอร์เจนตท์ กุ a A 2. ไดเวอร์เจนต์ทุก a A 3. คอนเวอร์เจนตท์ ุก a A ซึง่ 0 a 1 และไดเวอร์เจนต์ทุก a A ซง่ึ a 1 4. ไดเวอร์เจนต์ทุก a A ซง่ึ 0 a 1 และคอนเวอร์เจนต์ทุก a A ซ่ึง a 176. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2541]ถ้า a1, a2 , ... เปน็ ลาํ ดับคอนเวอร์เจนตแ์ ละมลี ิมิตเป็น 1แลว้ อนกุ รม a1 an) เปน็ จริงตามขอ้ ใดต่อไปนี้ (an1 n1 1. มผี ลบวกเป็น a1 2. มผี ลบวกเป็น 0 3. มผี ลบวกเป็น 1 4. เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์77. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2538] * ข้อนี้อาศัยเนื้อหา “แคลคูลัส (ปรพิ นั ธ์)” ดว้ ยถ้า an 0 2 1 dx เมอื่ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก x2nแลว้ อนกุ รม เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (1 2n) an n1 1. เป็นอนกุ รมไดเวอร์เจนต์ 2. มีผลบวกเป็น 2 3 3. มผี ลบวกเป็น 1 4. มีผลบวกเป็น 1 278. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / ต.ค.2541] :( * ขอ้ นี้อาศยั เน้อื หา “แคลคูลัส (อนพุ นั ธ์)” ดว้ ยให้ f (x) x8 x6 และ f คอื อนพุ ันธ์ของ fถ้า {an} เปน็ ลําดบั ซึ่งมี lim an 1 แล้ว lim (f f)(an) มีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี n n 1. 68 2. 92 3. 150 4. 192เฉลย 67. 25 68. 4 69. 2 70. 4.8 71. 3 72. 3 73. 2 74. 4 75. 2 76. 3 77. 2 78. 4 บทที่ 11 158 ตะลุยโจทยข อ สอบคณิตศาสตร79. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2527]จงหาลมิ ติ ของลาํ ดับอนันต์ 3, 3 3 , 3 3 3 , 3 3 3 3 , ... 1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 080. [ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย / 2533] :(ให้ b และ c เป็นจํานวนจรงิ คงทส่ี องจาํ นวนนิยามลาํ ดบั an โดยที่ a1 1 และสาํ หรบั จาํ นวนเต็มบวก n ใดๆ an1 an cbnถ้าลําดับ an มีลิมิตเท่ากบั 2 และ a3 3 แลว้ c 2b มคี า่ เทา่ ใด 281. [ขอ้ สอบเข้ามหาวิทยาลยั / 2532] :(กําหนดให้ f1(x) x และ ,fn(x) (f1 fn1)(x) n > 2ถา้ และan f1(2) f2(2) f3(2)... fn(2) bn ln anแล้วลาํ ดับ bn มีลิมิตเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. (ln 2)2 2. ln 2 3. 1 ln 2 4. หาไมไ่ ดเ้ พราะลําดบั นเ้ี ป็นลําดับไดเวอร์เจนต์ 282. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / 2533]ให้ R เปน็ เซตของจํานวนจรงิ และ f : R R นยิ ามโดยf(x) 2x ถา้ x > 0 x ถา้ x 0อนุกรมในข้อใดตอ่ ไปนีห้ าผลบวกได้ 1. (f f)(n) 2. 3. 4. (1)(n) f (f f)(n) (f f)(n) n1 n1 n1 n1เฉลย 79. 3 80. 1 81. 2 82. 2 คณติ มงคลพิทักษส ขุ 159 ลาํ ดับและอนกุ รม เฉลยวิธีคดิ (1) พจนท์ ่ี 10 คือ a10 200 9(18) 38 (5) จากโจทย์ จะได้สมการเปน็ดังนน้ั a11 20, a12 2, a13 16แสดงวา่ ค่า 38 กับ 16 เปน็ คา่ ทีโ่ จทยก์ ล่าวถงึ a1 a1 a1r a1r a1r2 .....และมีผลตา่ งเทา่ กบั 38 (16) 54 ตอบ a1r a1r2 a1r2 a1r3หมายเหตุ วิธคี ํานวณหาพจน์แรกท่ตี ิดลบอาจทําดงั นี้ a1rn 1 2n a1rn1 a1rn200 (n 1)(18) 0 n 12.11 1 1 1 ... 1 2nแสดงว่า n 13 จะเปน็ พจน์แรกทีต่ ิดลบ 1r 1r 1r 1 rและมีคา่ a13 200 12(18) 16 นัน่ เอง n 2n 1r 1 1 r 2 ตอบ r 1 2(2) ลาํ ดับ 2, 5, 8, ... มคี า่ an 2 (n 1)(3) (6) ..จาก a1 7 จะได้ pq 7 .....(1)จงึ ไดเ้ งอ่ื นไขวา่ 2 (n 1)(3) 1000 6 26 n 1 998 332.67 n 333.67 ..จาก S10 S8 a109 นน่ั คือ a9 a10 a109 3 จะได้ 9p q 10p q 109p qm เปน็ จาํ นวนเตม็ ที่นอ้ ยทสี่ ดุ ทสี่ อดคลอ้ งเงอ่ื นไขน้ี 10 11 110แสดงว่า m 334 ..และตัวหารของ m คอื ขอ้ 4. คูณดว้ ย 110; 99p 11q 100p 10q 109p q 90p 20q 0 …..(2)(3) สมมตใิ ห้ x, y, z, w เปน็ x, xr, xr2 , xr3 แกร้ ะบบสมการได้ p 2 และ q 3 ตอบจะได้วา่ xr xr2 6 xr (1 r) 6 .....(1) 3และ xr2 xr3 12 xr2(1 r) 12 .....(2) (7) โจทยข์ ้อนีใ้ ห้หาคา่ ของอนุกรมเลขคณิตสมการ (1) (2); r 2 ..ดังน้ัน x 3และพจนท์ ี่ 5 มคี า่ เปน็ xr4 3(2)4 48 ตอบ 100 105 110 พจนท์ ่ี 24 24 (a1 a24) 2(4) เง่ือนไขลาํ ดบั เรขาคณติ b c .....(1) 24 (100 (100 23 5)) 3,780 ตอบ ab 2เง่ือนไขผลคูณ abc 27 .....(2) (8) ลําดบั เลขคณติ ; d 20 5 7.5เงอ่ื นไขลาํ ดบั เลขคณติ 2 b 3 a c 2 b 3 .....(3) a S12 12 (5 (5 11 7.5)) 555 2แกร้ ะบบสมการ (1),(2) ได้ b 3, ac 9แทนค่า b ลงในสมการ (3) จะได้ a c 10 ลาํ ดับเรขาคณิต; r2 20 r 2..โจทย์ถามค่า a b c จงึ ตอบ 10 3 13 5 (เพราะคา่ y 0 )หมายเหตุ ในขอ้ น้ีไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งแกห้ า a, c ต่อ b a6 5(2)5 160..แตส่ มมติถา้ แกส้ มการต่อ จะไดผ้ ลเปน็a 1, c 9 หรือ a 9, c 1 ก็ได้ ตอบ a b 555 160 395 บทที่ 11 160 ตะลุยโจทยข อสอบคณติ ศาสตร(9) คิดจาก “ผลบวกจาํ นวนทีห่ าร 8 ลงตัวทัง้ หมด” (12) จากสตู ร Sn n (a1 an)ลบออกด้วย “ผลบวกจํานวนทห่ี ารดว้ ย 8 และ 12 2ลงตวั ทั้งค”ู่ (แปลวา่ หาร ค.ร.น. คอื 24 ลงตวั ) จะได้ 217 n (7 7 (n 1)(8)) n (8n 6) (200 208 216 ... 400) 22 (216 240 264 ... 384) 4n2 3n 217 0 n 7, 31 4..เนื่องจาก 200 8(25) และ 400 8(50)ดังนนั้ วงเลบ็ แรกมี 26 พจน์ แต่ n ตอ้ งเปน็ จาํ นวนนบั n 7 เทา่ นั้นและเนอ่ื งจาก 216 24(9) และ 384 24(16)ดงั นนั้ วงเลบ็ หลังมี 8 พจน์ ..แสดงว่าโจทยถ์ าม (27 28 29 214) 28 ใชส้ ูตรอนกุ รมเลขคณติ คาํ นวณผลบวก 27(28 1) 28 27(28 1)ไดเ้ ปน็ 26 (200 400) 8 (216 384) 28 21 22 28 1 127.5 ตอบ 7800 2400 5400 ตอบ 2 (13) รปู ทวั่ ไปทาํ ใหท้ ราบว่า เป็นอนุกรมเลขคณติ เพราะอย่ใู นรปู แบบ n ดีกรี 1 เทา่ นนั้ ..(10) จากเงอื่ นไข S10 10 (a1 a10) 430 พบวา่ คา่ d x (จากสัมประสิทธ์ขิ อง n) 2 1 xยา้ ยขา้ งไดเ้ ปน็ a1 a10 86 และค่า a1 1 x (จากการแทนค่า n ดว้ ย 1) 1 x..แตโ่ จทย์บอกวา่ a10 79 ..ดังนน้ั Sn n1 x 1 (n 2) x 1 x ดงั นนั้ a1 86 79 7 2 1 x และ 79 7 9d d 8 n 2 (n 3) x ตอบ (ขอ้ 1.) ตอบ ผลบวกสามพจนแ์ รกคอื 7 15 23 45 2 1 x (11) เง่ือนไขของลําดบั เลขคณติ คอื (14) ในวงเลบ็ นเี้ ป็นอนุกรมเรขาคณติ อนันต์log(x 2) log x log(x 16) log(x 2) 0.2 (0.067 0.00067 0.0000067 ...) x 2 x 16 x2 4x 4 x2 16x 1 0.067 1 67 x x2 5 1 0.01 5 1000 10x 1 1 67 53 ตอบ 3 5 990 198 a1 log( 1) และ d log(7) log( 1) log 7 3 33..จึงได้ a10 log( 1) 9 log 7 9 log 7 log 3 (15) ใช้สตู รอนกุ รมเรขาคณติ อนันต์ 3 จะได้ SA 1, SB 1 1 m2และ S10 10 (log( 1) (9 log 7 log 3)) 1m 23 แตโ่ จทย์กําหนด SA 2SB 5(9 log 7 2 log 3) ตอบ ขอ้ 4. ดงั นนั้ 1 2 1m 1 m2 ..ซึง่ m 1 แน่นอน จงึ นํา 1 m คูณท้งั สองข้าง ไดเ้ ปน็ 1 2 m 1 ซึง่ เปน็ ไปไม่ได้ 1m ..ดังนน้ั ตอบ ข้อ 4. คณติ มงคลพิทักษสขุ 161 ลาํ ดับและอนกุ รม หมายเหตุ m 1 เพราะวา่ คา่ อตั ราส่วนร่วมของ (19) จากโจทย์อนุกรมเรขาคณติ อนันต์ ทหี่ าค่าได้ ต้องมีคา่ ในชว่ ง 1 loga1 b 1 loga1 b 1 loga1 b ...(1, 1) เท่านน้ั 2 4 8 (1 1 1 ...)(loga1 b) (อนุกรมเรขาคณติ ) 2 4 8(16) อนกุ รมเรขาคณติ (1 / 2m) ( 1/ 2 2)(loga1 b) loga1 b ซงึ่ ตรงกบั ขอ้ 4. 1 (1 / 2) 1 1/ 2 3 (2m) (เพราะ 2 )loga1 b 2 log 1 b 2 loga1 b ..โจทยก์ าํ หนด 2 0.01 a2 3 (2m) 2m 2 2m 66.67 (20) จากสมการทใี่ หม้ า จะได้ 0.03แสดงวา่ ค่า m มากทส่ี ดุ คอื 6 (26 64) 1 2 log2 2 3 log2 2 ... n log2 2 n2 21ตอบ อยูใ่ นเซตขอ้ 2. 1 2 3 ... n n2 21(17) อนกุ รมแรกเปน็ เรขาคณติ ซง่ึ มี r 2x n(n 1) n2 21 n2 n 2n2 42 1 2x 2จงึ ไดส้ มการวา่ 1 9 n2 n 42 0 (n 7)(n 6) 0 1 1 2x n 7 เทา่ นนั้ 2x (เพราะโจทย์กาํ หนดวา่ เปน็ จาํ นวนเต็มบวก) ตอบ 1 2 22 ... 27 (1)(28 1) 255 21 1 2x 9 2x 8 x 3 1 2x 2xดังนน้ั อีกอนุกรมหนง่ึ เป็นอนกุ รมเรขาคณติ (21) ซ้ายมอืทม่ี คี า่ r log2 x log2 3พบว่าค่า r นอ้ ยกวา่ 1 จงึ เปน็ อนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์ ln(log2 3 log3 4 log4 5 ... logn1 n)ตอบ ข้อ 4. ln(log 3 log 4 log 5 ... log n )หมายเหตุ ถ้าใชส้ ตู รคาํ นวณจะได้ผลเหมือนขอ้ 3. log 2 log 3 log 4 log(n1)แตท่ จี่ ริงอนกุ รมนห้ี าคา่ ไม่ได้ จงึ ห้ามใช้สูตร เพราะผลทไ่ี ดจ้ ะไม่เป็นจริง.. ln(log n) ln(log2 n) log 2(18) จากโจทย์ และคา่ ของ 10 log 2 10log 21 21 1 2 ..ดังนน้ั สมการกลายเปน็ ln(log2 n) 1 (2 ln 6) 2 log2 n 6 n 26 64 ตอบ log3 3 2 log3 3 3 log3 3 4 log3 3 (22) จากโจทย์ อยูใ่ นรปู log() 0 ... n log3 3 แสดงว่า 100 1 (1 2 3 4 ... n)(log3 3) ..น่นั คอื ตวั สว่ นทงั้ หมดคณู กนั ไดเ้ ปน็ 1 n (n 1) ตอบ 34 11 10 ... (133n) 2 3 3 1 4 11 10 ... (13 n) 0 33 3 12 11 10 ... (13 n) 0 ดังนน้ั 13 n 12 (ผลบวกจงึ มีคา่ เปน็ 0 ได้) ตอบ n 25 บทที่ 11 162 ตะลุยโจทยขอ สอบคณิตศาสตร(23) จากโจทย์ จะได้ (27) สูตรอนุกรมเรขาคณติ จะได้ S(x) 1 1 xlog3 x 1 log3 x 1 log3 x 1 log3 x ... 1 2 4 8 ดังนนั้ A { 1 x | x (1, 1)} (0, 2) ตอบ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของ A คอื 2 (log3 x)(1 1 1 1 ...) 1 2 4 8 (log3 x)( 1) 1 1 1/2 log3 x 3 3 (28) f(x) 1 1 เมอ่ื 1 x 1 2 1 (x) 1 x x 32 (g f)(x) (1 x2)( 1 ) 1 x..แตเ่ นอื่ งจาก x อยู่ใน log จงึ ไดว้ า่ x 0 เสมอ 1 xตอบ 0 x 3 3 โดยท่ี Dgf Dfg Df Dg(24) 1 1 1 (1, 1) R (1, 1) 2 4 8 ตอบ ขอ้ 4. a log2 2 log2 2 log2 2 ... 1 1 1 ... 1/2 1 (29) รวมระยะทางทงั้ หมดไดด้ งั น้ี 248 1 1/2b 21 41 81 ... 4 (3 4) (3 4) (3 3 4) (3 3 4) ... 1 1 1 ... 1/2 4 4 44 44 248 1 1/2 ลง ข้ึน ลง ขน้ึ ลง 1ตอบ a b 0 4 2((3) 4 (3)24 (3)34 ...) 44 4 4 2( 3 ) 4 2(12) 28 ฟุต ตอบ 1 3/4(25) คา่ ของ 42 42 42 42 A A2 A3 A6 16 1 1 1 1 (30) จากกฎทวี่ า่ เสน้ ตรงเชอื่ มจดุ กึ่งกลางของ 2 2 4 8 64 ด้าน จะยาวเปน็ ครงึ่ หนง่ึ ของดา้ นที่เหลอื เสมอ 16 (1/2)(1 (1/2)6) 16(1 1 ) 1 (1/2) 64 ..ทําใหเ้ ราทราบวา่ หากสามเหลีย่ ม 16 63 63 15.75 ตอบ รปู นอกสดุ มีเส้นรอบรปู ยาว p แลว้ 64 4 สามเหลย่ี มชนั้ ถดั ไปย่อมมี a a/2 a เสน้ รอบรปู ยาว p 2 a/2 a/2(26) A 1 1 2 และผลรวมเสน้ รอบรูปทกุ รปู aดงั นน้ั an 1An (( 1)2 A )n คอื p p p p ... p 2p ตอบ 2 2 248 1 1/2 (( 1)(2))n (1)n 42และคา่ ของ an 1 1 1 1 ... 2 4 8 16 1/2 1 ตอบ 1 1/2 คณิต มงคลพิทกั ษส ุข 163 ลําดับและอนุกรม (31) เง่ือนไขของลาํ ดบั เรขาคณิต a 2 a (34) อนกุ รมนค้ี อื 4 4 4r 4r2 ... 16 a a3 r a2 a 6 a2 a 6 (4 / r) 16 4 16r 16r2แสดงวา่ ลําดบั นคี้ อื 9, 6, 4 ..ซง่ึ มี r 2 1r 3 4r2 4r 1 0 (2r 1)2 0 r 1โจทย์ถามค่า 6 6(2) 6(2)2 ... 33 2 arn1 ผลบวก 3 พจนแ์ รกเทา่ กับ 8 4 2 14 n1 ขอ้ 1. ผลต่างรว่ มเทา่ กบั 16 (ผิด) 6 18 ตอบ ขอ้ 2. 0 1 2 3 4 10 (ผดิ ) 1 2/3 ขอ้ 3. 3 0 5 12 14 ขอ้ 3. ถกู(32) ทดลองแจกแจงซกิ มา่ แลว้ ใชส้ ตู รหาผลบวกขอ้ 1. 1 r r2 1 (35) ขอ้ ก. 3(1 4 42 43 ... 419) 1rข้อ 2. 1 r r2 1 1(420 1) 1 r 4 1 ถกูข้อ 3. 1 1 1 (1 / r) 1 3 420 1 r r2 r3 1 (1 / r) r 1ข้อ 4. 1 1 1 (1 / r) r 1 1 ขอ้ ข. เขยี นรปู ทวั่ ไป ใสซ่ ิกม่าแลว้ คํานวณดงั นี้ r r2 r3 1 (1 / r) 19 i2 i i(i 1) i1พบว่ามขี อ้ ทน่ี า่ จะถูกอยู่ 2 ขอ้ คอื ขอ้ 2. กบั 4...แตท่ จี่ รงิ แล้วขอ้ 1. กบั 2. นนั้ ผดิ เพราะเปน็ (19)(20)(39) (19)(20)อนกุ รมอนนั ต์ท่มี อี ตั ราสว่ นรว่ มมากกวา่ 1 จะไม่ 62สามารถหาผลบวกถึงอนนั ตไ์ ด้ (sin 0.กว่า) 2470 190 2660 ถูก 8 (36) จากพจนท์ ่ี 10 และ 15 จะได้สมการเปน็ 19 a1 9d และ 34 a1 14dตอบ ข้อ 4. แก้ระบบสมการได้ d 3 และ a1 8(33) แจกแจงได้ S 1 1 1 10 100 รูปทวั่ ไปคอื an 8 (n 1)(3) 11 3nดังนนั้ คา่ ของ Sn 1(1 0.1n) 10 (1 0.1n) ดงั นน้ั 20 20 1 0.1 9 (ai 2i) (11 3i 2i)และค่าของ 1 10 S S 1 0.1 9 i1 i1 220 20(21) 2 ตอบ20 (11 i) i1 10..โจทยบ์ อกว่า S Sn 105 9 10 10 10 (0.1)n 105 30 30 9 9 9 9 (37) (f f)(n2) f(n2 1) 10 (0.1)n 105 10(0.1)n 105 99 n 10 n 10 (0.1)n 106 n 6 ตอบ 30 (n2 2) 30 n2 9 n2 30 n 10 n 1 n 1 2 n 10 30(31)(61) 9(10)(19) (21)(2) 66 9455 285 42 9128 ตอบ บทที่ 11 164 ตะลยุ โจทยขอ สอบคณิตศาสตร(38) จากสมการ (5 x)(y 2) 76 (42) ถ้า n เป็นจาํ นวนค่ีแจกแจงได้ 5 y 2 x xy 10 76 จะได้ a1 1 , a3 a1 2 3 , a5 a3 2 5แทนคา่ .. 5(4) 2(8) xy (10)(10) 76 xy 60 ตอบ (ดังน้นั an n )(39) S18 12 32 52 72 ... พจนท์ ี่ 18 ถา้ n เปน็ จาํ นวนคู่ 18 18 จะได้ a2 1, a4 2a2 2 , a6 2a4 4 (2i 1)2 (4i2 4i 1) (ดงั น้ัน an )n 1 i1 i1 22 4 i2 4 i 1(18) 4((18)(19)(37)) 4((18)(19)) 18 ..จะได้ 101 62 ai (1 3 5 ... 101) 8436 684 18 7770 ตอบ i1 (1 2 4 8 ...พจนท์ ่ี 50) 51(1 101) 1(250 1) 2 21 (51)2 250 1 ตอบ(40) สว่ นของเงนิ ตน้ (43) จาก 2 2 2 2 ... 22 42 62 82100 200 300 ... 1,200 2 (112 1 1 1 ...) 1S 12 (100 1,200) 7,800 บาท 22 22 32 42 2 2 ดงั นนั้ ข้อ 3. ถูกส่วนของดอกเบี้ย 0.2(1) 0.2(1 2) 0.2(1 2 3) ... 0.2(1 2 3 ... 12) (44) จากรปู ทวั่ ไปคือ 2n 1 เราจงึ ทราบวา่ 4n 1 0.2 [(1) (1 2) (1 2 3) ควรจะแยกคดิ เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ 2 อนกุ รม ... (1 2 3 ... 12)] 0.2 [ 1(2) 2(3) 3(4) ... 12(13)] คอื 2n 4 และ 1 ดงั นี้.. 22 2 2 4n 1 2n 4n 1 12 i(i 1) 0.1( i2 i) จาก 1 3 7 15 ... 2 4 16 64 0.2 i1 0.1(12(13)(25) 12(13)) 72.80 บาท (2 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 1 ) ... 62 4 2 16 4 64ตอบ เขาจะมเี งนิ รวม 7,872.80 บาท (2 1 1 1 ...) (1 1 1 1 ...) 24 4 16 64 2 1 4 4 8 ตอบ 3 3(41) ซ้ายมอื 1 1 1 1 2 4 (loga a loga x) (4 loga a 2 loga x) (9 loga a 3 loga x) ... (100 loga a 10 loga x) (1 4 9 ... 100) (1 2 3 ... 10)loga x (45) (25n) 5(1 1 1 1 ...) 2 4 8 16 10(11)(21) 10(11) loga x 6 2 5( 1/2 ) 5 1 1/2 385 55 loga x..ดงั นน้ั สมการคอื 385 55 loga x 110 ( 3 ) 3((1 1) (1 1) ( 1 1) ...) loga x 5 x a5 ตอบ n(n 1) 12 2 3 3 4 3(1) 3 ตอบ 5 3 2 คณติ มงคลพิทักษส ขุ 165 ลาํ ดับและอนุกรม (46) จากพจนท์ ่ี m ทีก่ าํ หนดมา เมอื่ เทียบกบั รูป (49) จากโจทย์ จะได้ท่ัวไป จะได้ m 2 38 m 40 1 log 2 2 log 2 3 log 2 4 log 2 .....และเม่อื สังเกตรูปแบบของรปู ทวั่ ไป จะพบว่า 4 8 16 32อนกุ รมน้ีเปน็ อนกุ รมเลขคณติ (เป็น n ดีกรี 1) (log 2)( 1 2 3 4 ...) 4 8 16 32จงึ ใชส้ ตู ร Sn n (a1 an) ให้ S 1 2 3 4 ... .....(1) 2 4 8 16 32 S40 40 1 a 1 38 a จะได้ 1 1 2 3 ... .....(2) a 1 a 2 8 16 32 2 1 S 20 2 37 a 40 740 a ตอบ สมการ (2)–(1); 1 S 1 1 1 1 ... 1 a 1 a 2 4 8 16 32 หมายเหตุ ถา้ ไมไ่ ด้สังเกตวา่ เปน็ อนกุ รมเลขคณติ 1/4 1จะหาผลรวมดว้ ยสูตรซิกม่าก็ได้ 1 1/2 2 S 1 ..คาํ ตอบข้อนี้จงึ เปน็ log2 ตอบ(47) พิจารณา sin(n ) จะเปน็ ลาํ ดับดงั น้ี (50) ให้ S 1 (1x)(1) (1xx2)(1)2 2 22sin , sin 3 , sin 5 , ... ซง่ึ มคี า่ 1, 1, 1, 1, ... 22 2 นํา 1 คณู ทงั้ สองขา้ ง จะได้ sin(n ) (1)n1 2จงึ ได้วา่ 2 เปน็ ลาํ ดับดังนี้ 1 S 1(1) (1x)(1)2 (1xx2)(1)3 (1)n 3 2 22 21 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , ... ลบกนั ได้ 1 S 1 x x2 1 1 1 1 1 2 2 22 1 (x / 2)ซึ่งมคี า่ 2, 2, 2, 2,... เทา่ กนั ทุกพจน์ S 2 4 1 (x / 2) 2x..แสดงวา่ โจทยถ์ ามค่าของ 2 n โจทยก์ าํ หนดให้ S 16 5 7 n1 2 2 2 2 3 ... 2/5 2 ตอบ ดงั นนั้ 4 16 x 1 ตอบ 5 5 5 1 2/5 3 2x 7 4(48) อนกุ รมแรกคอื (51) ข้อ 1. ซา้ ยมอื(n2 4n 1) n2 4 n 1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 7(8)(15) 4(7(8)) 7 35 a2 a1 a3 a2 a4 a3 62 ... an an1และอีกอนกุ รมคอื (1)n cos n n an an 1 3 (1)n 2 a2 a1 a3 a2 a4 a3 dd d (1 1)1 (1 1)2 (1 1)3 ... 3 (1) 3 (1) 3 (1) ... an an1 d (2)1 (2)2 (2)3 ... ( 2/ 3 ) 2 33 3 1 2/3 an a1 an a1 d d( an a1)ตอบ มคี า่ ตา่ งกนั อยู่ 33 (n 1)d ขวามอื d( an a1) ..ดังนน้ั ขอ้ 1. ถกู บทที่ 11 166 ตะลยุ โจทยขอ สอบคณติ ศาสตรขอ้ 2. (ผลจากขอ้ 1.) Sn n1 (53) ข้อ 1. ผดิ ..เป็นอนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ an a1 เพราะเปน็ เรขาคณติ ท่มี ีคา่ r อยู่ในชว่ ง (1, 1) lim Sn lim n1 a1 ขอ้ 2. ผดิ ..จาก a เป็นบวก a1 (n 1) d n nซงึ่ หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะดกี รีของ n ในเศษมากกวา่ สว่ น จะได้ r a มีคา่ ในชว่ ง (0, 1) แน่นอน 1 a..ดังนนั้ ข้อ 2. ถกู จึงเปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ ซงึ่ มีค่าเทา่ กับข้อ 3. ผดิ ..ตอ้ งได้ n 1 (ผลจากขอ้ 1.) a1 a a an a1 1 r 1a a a 1 aa 1 1 aข้อ 4. แทนคา่ ในข้อ 1. ด้วย n 9 ข้อ 3. ถกูจะได้ S9 8 a1 8 8 2 Sn ln 1 ln 2 ln 3 ... ln n 1 a9 9 14 2 3 4 nซง่ึ โจทย์กบ็ อกวา่ 1 S9 1 ..ดังนนั้ ขอ้ 4. ถูก ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ... ln n ln(n 1) ln 1 ln(n 1) ln(n 1) S lim Sn lim( ln(n 1)) ..หาคา่ ไมไ่ ด้ n n(52) ข้อ 1. ผิด lim Sn ของอนกุ รมเรขาคณติ ข้อ 4. ผดิ ..เชน่ an 1 n5 n(กค็ ือ S ) จะหาไดเ้ มือ่ คา่ r อยู่ในชว่ ง (1, 1) จะไดว้ า่ แต่ 1 n n lim an 0 an n1ขอ้ 2. ผดิ ..เชน่ an พบวา่ nan1 an เสมอ แตล่ มิ ติ ของ an หาคา่ ไดค้ ือ 1 (และยังมี n บางคา่ ท่ี an 0 หรอื หาคา่ ไม่ได้ด้วย)ข้อ 3. ผดิ ..ลาํ ดบั ยอ่ ยสองลาํ ดับ มลี ิมติ ไม่เทา่ กนั (54) ข้อ 1. ผดิ ..อนกุ รมท่ไี ดจ้ ากลําดับคอนเวอร์คือ 1 กับ 0 ดงั นน้ั เปน็ ลาํ ดับไดเวอรเ์ จนต์ เจนต์ ไมจ่ าํ เปน็ ต้องเปน็ อนกุ รมคอนเวอร์เจนตเ์ สมอข้อ 4. ให้ S 1 5 12 22 35 ... ไป (เชน่ เมื่อ lim an เป็นจาํ นวนจริงซึ่งไมใ่ ช่ 0) 3 32 33 34 nจะได้ 1 S 1 5 12 22 ... ขอ้ 2. ผดิ ..ไมจ่ าํ เป็น อาจเป็นลาํ ดับท่มี ีคา่ กวดั แกวง่ 3 3 32 33 34 เช่น 1, 1, 1, 1, ...ลบกนั ได้ 2 S 1 4 7 10 13 ... 3 3 32 33 34 ข้อ 3. ถกู ..เพราะถา้ lim an Lดังนนั้ 1 (2 1 4 7 10 33 S) 3 32 33 34 ... n 4 1 1 1 ย่อมได้วา่ lim an L ซงึ่ เปน็ จาํ นวนจรงิ เชน่ กัน 9 3 32 33ลบกนั อกี ครง้ั S 1 1 ... n 1 5 ข้อ 4. ผดิ ..อาจลเู่ ขา้ หาคา่ ใดอยกู่ ็ได้ 2 1 1 1 เชน่ an 3 1 3 n S (5)(9) 45 ..ดงั นน้ั ขอ้ 4. ถกู พบวา่ an1 an เสมอ แตเ่ ป็นลาํ ดับทลี่ ูเ่ ขา้ สู่ 3 24 8 ขอ้ 5. ผดิ ..ต้องแกเ้ งือ่ นไขเปน็ 1 r 1 คณติ มงคลพิทักษสุข 167 ลําดับและอนุกรม (55) ข้อ 1. ลาํ ดับน้คี อื 2, 2, 2, 2, ... ไมม่ ลี มิ ิต ข้อ 3. ถกู ..เปน็ สงิ่ ทคี่ วรทราบ..อนุกรมจงึ เปน็ ไดเวอร์เจนต์ อนกุ รมซง่ึ หา S ได้ จะมคี า่ lim an 0 เสมอ(หรอื อาจพจิ ารณาจากลาํ ดับของผลบวกย่อยดงั นี้Sn 2, 0, 2, 0, ... จะเหน็ ได้ว่าไมส่ ามารถหา S ) n ข้อ 4. ถูก ..เปน็ สิง่ ทค่ี วรทราบ ถา้ lim an 0 ไม่จําเปน็ ตอ้ งหา S ได้เสมอไปขอ้ 2. ผลบวกคอื 1 1 1 ... n 45 56 67 ข้อ 5. ถกู ..ลาํ ดบั an 1 หาลิมติ ได้ (เปน็ 0) 1 1 1 1 1 1 1 n 4 5 5 6 6 7 ... 4..ดงั นน้ั ขอ้ 2. ถกูข้อ 3. an1 r a1 a2 ... (58) ข้อ 1. ลาํ ดบั cos , cos 3 , cos 5 , ... an a2 a3 22 2 นั่นคอื 0, 0, 0,... เปน็ ลาํ ดบั คอนเวอร์เจนต์แตอ่ ตั ราส่วนรว่ มคอื a2 a3 ... 1 a1 a2 r ข้อ 1. ถูก 1 1 เป็นอนุกรมเรขาคณติ “คอนเวอร์เจนต”์ ขอ้ 2. ลาํ ดบั cos , cos 2, cos 3, ... r นนั่ คอื 1, 1, 1,... เปน็ ลาํ ดับไดเวอรเ์ จนต์ข้อ 4. ผดิ ..เชน่ 1 1 1 1 ... ขอ้ 3. ลําดบั sin , sin 3 , sin 5 , ... 248 22 2 น่ันคอื 1, 1, 1,... เป็นลาํ ดับไดเวอร์เจนต์พบวา่ Sn1 Sn เสมอแตอ่ นุกรมนก้ี ห็ าคา่ ได้ เทา่ กับ 1 2 1 1 ขอ้ 4. ลาํ ดบั 1, 1, 1,... เป็นลําดบั ไดเวอรเ์ จนต์ 2(56) ข้อ 1. Sn 1 2 4 8 ... 2n1 (59) ข้อ 1. an 1 เสมอ (1)(2n 1) 2n 1 ถูกตอ้ ง เป็นลาํ ดบั คอนเวอร์เจนต์ 21 ขอ้ 2. ลาํ ดับยอ่ ยลูเ่ ขา้ หา 0 ..กค็ อื lim an 0ขอ้ 2. ถูก ..หากอนุกรมเป็นคอนเวอรเ์ จนต์ nแสดงว่าลาํ ดับตอ้ งลู่เขา้ สู่ 0 เสมอ เปน็ ลาํ ดับคอนเวอร์เจนต์ข้อ 3. S 1 1 1 1 ... ข้อ 3. ลําดับยอ่ ยลู่เขา้ หา 1 (กวัดแกว่ง) 2 4 8 เป็นลาํ ดับไดเวอรเ์ จนต์ 1 2 ถกู ต้อง ข้อ 4. ลาํ ดับยอ่ ยลู่เขา้ หา 0 ..กค็ อื lim an 0 1 ( 21) 3 nข้อ 4. ผดิ ..ถึงแมล้ าํ ดับจะล่เู ขา้ สู่ 0 ก็ไมจ่ าํ เปน็ ที่ เป็นลาํ ดบั คอนเวอร์เจนต์อนกุ รมจะเปน็ คอนเวอรเ์ จนต์(57) ข้อ 1. ถกู ..เพราะ S2n S2n1 a2n เสมอ (60) ข้อ 1. cos cos 2 cos 3 ...(เช่น S10 S9 )a10 1 1 1 1 ...ขอ้ 2. ผดิ ..อนกุ รมเรขาคณิต จะหา S ได้เมื่อคา่ r อยู่ในชว่ ง (1, 1) เทา่ นน้ั Sn 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... เปน็ ลาํ ดับไดเวอรเ์ จนต์ ขอ้ 2. sin sin 3 sin 5 ... 22 2 1 1 1 1 ... Sn 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... เปน็ ลําดบั ไดเวอรเ์ จนต์ บทที่ 11 168 ตะลยุ โจทยขอสอบคณติ ศาสตรข้อ 3. 1 1 1 1 ... (65) เนอื่ งจาก 3 2n 5 Sn 1, 0, 1, 0, ... เป็นลําดบั ไดเวอรเ์ จนต์ n2 an 8 6ข้อ 4. 1 1 1 1 ... ดงั นนั้ lim an 300 8 17 ตอบ 2 4 8 16 6 2 n Sn 1 , 3 , 7 , 15 , ... 2 4 8 16เป็นลาํ ดบั คอนเวอรเ์ จนต์ (ล่เู ขา้ สู่ 1) ตอบ ขอ้ 4. (66) จาก 1 1 1 ..ดงั นั้น 1 n n2 3 an lim an 3 1 n2 n(61) ข้อ ก. ผดิ ..นาํ n 1 หารทงั้ เศษและส่วน จาก bn (52)n 1 ..ดังนนั้ lim bn 1 1 1 9 1จะได้ an 1 ดังนนั้ lim an 1 5n n 1 1 n n1 ตอบ nlim(an bn anbn)ข้อ ข. ถูก ( 1) (1) ( 1)(1) 1..เพราะคา่ rn จะลเู่ ข้าเมอ่ื 1 r 1 เท่านนั้ 33ขอ้ ค. ถูก ..เพราะเปน็ อนกุ รมเรขาคณติ (67) ให้ an 5n 1 3n1ซึง่ มคี า่ r 1 อยใู่ นชว่ ง 1 r 1 พอดี 2n 1 5n1 10ตอบ ขอ้ 3. นํา 5n หารเศษและสว่ น จะได้ an 5 1 (53)n 3 2 (52)n 1(62) an (1)(n 1) (n)( 1) 5 nn ดังนน้ั lim an 50 25 ตอบ n11 2 1 n 0 1 n n 5 lim an 2 0 2 ตอบ n (68) นํา n4 หารทง้ั เศษและสว่ น(63) znzn (1 1 3 i)(1 1 3i) จะได้ an (n12 1 )(n32 11 2n 2n n3 n 3) 10 3 1 )2 (3)2 5 n 1 (1 2n n4 lim an lim znzn ดังนน้ั lim an (0 0)(0 0) 0 0 ตอบ 001 1 n n n lim((1 1 )2 32) 2n n (1 0)2 9 10 ตอบ (69) นํา n หารทั้งเศษและสว่ น จะได้ an 1 n 1 n 1 6 2(64) lim an เม่ือ n เป็นจาํ นวนคี่ คอื 1 5n 1 n 1 3 2 2 4 n ดังนนั้ 1 0 0 1 ตอบ lim an เม่ือ n เป็นจาํ นวนคู่ คอื 0 lim an 003 2 32 n n (คิดจาก 1 0 0) n 01 lim 1 n2 1 nลมิ ิตของลาํ ดับยอ่ ยมีคา่ ไม่เทา่ กนัดงั นนั้ an ไม่มลี ิมิต ตอบ ขอ้ 5. คณิต มงคลพิทกั ษส ขุ 169 ลําดับและอนกุ รม (70) ซา้ ยมอื lim 3cn3 n2 cn (73) เน่ืองจาก 1 2 3 ... n n(n 1) 8n3 1 2 n 3c 1 c ดังนน้ั (1 2 ... n) n(n 1) n n2 n2 2n2 lim 1 3c 8 n3 8 1 1 n 2 2nและขวามอื (2)n1 32 4 8 ..พบว่าเมอ่ื คา่ n มากข้ึน 39 n 1 3n 2 ค่าของ 1 1 กจ็ ะย่งิ มากขนึ้ ดว้ ย 2 2n 3 9 ( 23) 5 1 คือ 1 1 , 1 1 , 1 1 , ... 22 24 26 3c 9 c 4.8 ตอบ 85 ตอบ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ คอื lim( 1 1 ) 1 n 2 2n 2(71) (74) 1, 2, 2, 3, 3, 3, , n, n, n, , nเน่อื งจาก 13 23 33 ... n3 n(n 1)2 1 พจน์ 2 พจน์ 3 พจน์ n พจน์ 2 ดงั นน้ั an n4 1 4(n4 1) an คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ผลรวมข้อมูล n(n 1)2 n4 2n3 n2 จาํ นวนขอ้ มูล 2 (1)(2 2)(3 3 3) (n n n n) 12 3nตอบ lim an 4 (ดจู ากสมั ประสทิ ธิน์ าํ ) n 1 4 9 ... n2 1 2 3 ... n n(n 1)(2n 1) (72) จาก 6 2n 1 lim n n(n 1) n(n 1) 3 n 3 lim an 2 2 n(n 1)(2n 1) n 6 lim n 1 ดังนนั้ lim an lim 2n 1 2 ตอบ n n 3n 3 n n 2n 1 2และ lim bn lim ( 3n 2 3n 1) n n ( n 2 n 1)..คูณดว้ ย 3n 2 3n 1 n2 n1 (75) จาก fa(loga n) a(loga n)1 n a 3n 2 3n 1 n2 n 1 ดงั นนั้ fa(loga n) a 2a 3a ... n1จะได้ lim 1 ( n 2 n 1) n 1 ( 3n 2 3n 1) เปน็ อนุกรมเลขคณติ ซึ่งไดเวอร์เจนต์เสมอ (ขอ้ 2.)..นํา n หารทง้ั เศษและสว่ นได้ lim 1 2 1 1 1 1 1 (76) คา่ ของ n n n 3 3 3 a1 an) (an 1 2 1 n1 3 n 3 n a1 (a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) ...ดังนนั้ ตอบ lim (an bn) 1 1 a2 (a3 a2) (a4 a3) ... 2 3 n a3 (a4 a3) ... ฯลฯ ..พบว่า ผลบวกสดุ ทา้ ยจะมคี ่าเป็น a นน่ั คอื 1 ตอบ ขอ้ 3. บทที่ 11 170 ตะลยุ โจทยขอ สอบคณติ ศาสตร(77) an 0 2 x2n dx ( x2n 1 2 จาก a3 1 cb cb2 3 2 ) 2n 1 0 จะได้ 1 (1 b) (1 b)(b) 3 22n 1 0 22n 1 2 2n 1 1 2n 2 b2 3 b 1คา่ ของ (1 2n)(22n1) (22n1) 22 n1 1 2n ..ดงั นน้ั แทนคา่ ลงในสมการที่ (1) 1 1 1 1 ... 1/2 2 2 23 25 27 1 1/ 4 3 จะได้ c 1 b 1 1 2 1 bbตอบ ขอ้ 2. ตอบ c 2b ( 2 1) ( 2) 1 1(78) เน่ืองจาก f(x) 8x7 6x5 ..ดงั นั้นlim (f f)(an) lim f (8an7 6a5n) (81) จาก f1(2) 2n n lim [(8an7 6a5n)8 (8an7 6a5n)6] f2(2) f1(f1(2)) 2 n 2 ..ฯลฯซ่ึงโจทย์กําหนด lim an 1 f3(2) f1(f2(2)) n จงึ ได้ an 2 2 2 ... fn(2)ตอบ (8 6)8 (8 6)6 192 21 1 1 ... 1 2 4 8 2n(79) วธิ ที ่ี 1 ลมิ ิตคอื 3 3 3 3 ... x .....(1) ดังนน้ั bn ln an (1 1 1 ... 1 ) ln 2 2 4 8 2nจะได้ 3 3 3 ... x 3 ตอบ lim bn ( 1/2 ) ln 2 ln 2 n 1 1/2และยกกาํ ลงั สองได้เปน็ 3 3 3 ... x2 .....(2) 9 (82) เน่ืองจากแตล่ ะขอ้ ค่า n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก เสมอ ดังน้ันข้อ 2. กบั 4. ใช้เงอ่ื นไขบนแตเ่ นอ่ื งจาก (1) = (2); แต่ขอ้ 1. กับ 3. ใช้เงือ่ นไขลา่ ง (เพราะเปน็ –n)x x2 x2 9x 0 (x)(x 9) 0 ขอ้ 1. (f f)(n) f(n) n หาผลบวกไม่ได้ 9 เพราะเป็นอนกุ รมเลขคณิต 1 2 3 4 ... x 9 (เพราะไมเ่ ท่ากบั 0 แนๆ่ ) ตอบ 9วิธที ่ี 2 ลาํ ดบั นคี้ อื 31 , , ,1 1 1 1 1 … 2 2 4 3 3 ขอ้ 2. f(n) f(n) 2n 2n หาผลบวกได้ดังนน้ั ลมิ ติ ตอ้ งมคี ่าเท่ากบั 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 2( 1/2 ) 2 3 248..พจิ ารณาทีก่ าํ ลัง พบวา่ เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ อนันต์ 224488 1 1/2ซึง่ มคี า่ เทา่ กับ 1 2 ตอบ 32 9 ขอ้ 3. f(n) f(n) (n)(n) n2 หาผลบวก 1 1/2 ไมไ่ ด้ เพราะเปน็ อนุกรม 12 22 32 ...(80) a1 1 a2 1 cb ข้อ 4. 1 1 2n หาผลบวกไม่ได้ f(n) 2n a3 1 cb cb2 เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ี r 2ดังนนั้ an 1 cb cb2 cb3 ... cbn คือ 2 4 8 16 ...และ lim n an 1 cb cb2 cb3 ... 1 cb 2 (โจทยก์ ําหนด) 1b cb 1 b .....(1) ข้อสอบเสลรมิ าํ ปดระบั สบแกลาระณอ์ ..นบกุททรี่ 1ม183. [โควตา มช. / 2545] 4. 165กาํ หนดให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาํ ดบั เลขคณิตถา้ a1 a5 a9 a13 220 แล้ว a1 a7 a13 มคี ่าเท่ากบั ข้อใด 1. 55 2. 110 3. 13584. [สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ / 2548] 4. 2dกาํ หนดให้ a1, a2, a3, ..., a97 เป็นลาํ ดับเลขคณิต ซึ่งมี d เป็นผลตา่ งร่วมและ a1 a3 a5 ... a97 a2 a4 a6 ... a96ดังนนั้ a51 มีคา่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. d 2. d 3. 2d85. [สมาคมคณิตศาสตร์ฯ / 2549]ลําดับเลขคณิตชดุ หนง่ึ มที กุ พจน์เป็นจํานวนเต็มบวกถ้าผลบวก 9 พจน์แรกมคี ่าเทา่ กบั พจนท์ ี่ 43 ของลาํ ดบั และพจน์ที่ 5 มีคา่ น้อยกว่า 20แลว้ พจนท์ ่ี 15 มคี า่ เทา่ ใด86. [สมาคมคณิตศาสตรฯ์ / 2543]ถา้ ผลบวกของส่ีพจนแ์ รกของลําดับเลขคณิตลําดับหน่งึ เท่ากบั 44 และอัตราส่วนระหว่างผลคูณของพจนท์ ห่ี น่ึงกบั พจน์ทส่ี ่ี และผลคูณของพจนท์ ส่ี องกับพจน์ท่ีสาม เทา่ กบั 5 14แลว้ ผลคณู ของส่พี จนน์ ้นั เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี1. 4580 2. 4480 3. 4380 4. 428087. [สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ / 2544]พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ีก. ถา้ a1, a2 , a3 เป็นลําดับเลขคณิต แล้ว ,a1 a2 ,a1 a3 a2 a3 เป็นลําดับเลขคณติ ดว้ ยข. ถ้า a1, a2 , a3 เป็นลาํ ดบั เรขาคณิต แล้ว ,a21 ,a22 a23 เป็นลาํ ดบั เรขาคณติ ดว้ ยข้อใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง1. ขอ้ ก. และ ข. เปน็ จริง 2. ข้อ ก. เท่านัน้ เป็นจรงิ3. ข้อ ข. เทา่ น้นั เปน็ จรงิ 4. ข้อ ก. และ ข. เป็นเท็จเฉลย 83. 4 84. 4 85. 59 86. 2 87. 1 บทที่ 11 172 ตะลยุ โจทยข อ สอบคณิตศาสตร88. [พืน้ ฐานวศิ วะฯ / 2541]แผ่นฟลิ ์มกรองแสงชนิดหนงึ่ กรองแสงออกได้ 20 เปอร์เซน็ ต์ ถ้าต้องการนําแผ่นฟิล์มกรองแสงชนดิน้ีไปติดรถยนต์เพ่ือใหก้ รองแสงออกไดป้ ระมาณ 60 เปอร์เซ็นต์ โดยใช้แผ่นฟลิ ม์ ชนิดนี้ซอ้ นกัน อยากทราบว่าจะต้องใชแ้ ผ่นฟลิ ม์ ชนิดนกี้ ช่ี ้ัน สมมติให้แสงผ่านกระจกได้ 100 เปอร์เซน็ ต์ 1. 2 2. 3 3. 4 4. 589. [พนื้ ฐานวศิ วะฯ / ม.ี ค.2547]ผจู้ ดั การโรงงานแห่งหน่ึงวางแผนท่จี ะนาํ เงินรายได้ในแต่ละปีไปฝากธนาคาร เพอื่ จะใช้เป็น 300,000 เงนิ ลงทุนในอกี 4 ปขี า้ งหน้า โดยจะเร่มิ ฝากเงินในปหี น้า 200,000 เป็นปแี รก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม 100,000 ลําดบั (ดงั แผนภมู ิกระแสเงินสด) อยากทราบว่าในปีท่ี 4 ถา้ อตั ราดอกเบยี้ เงินฝากคงที่ 10% ต่อปี ผูจ้ ดั การคนนจ้ี ะมเี งิน ปที ี่ เกบ็ รวมเป็นเทา่ ใด (คิดเป็นหน่วยพันบาท) 0 1 23 490. [พนื้ ฐานวศิ วะฯ / 2539]เชือกเส้นหนึง่ ยาว 10 m นํามาตัดแบ่งครึง่ ความยาว แลว้ นาํ ส่วนท่แี บ่งแลว้ มาตดั แบง่ ครึ่งอกี นาํ สว่ นท่ถี กู ตัดแบง่ ครงึ่ แล้วมาตัดแบ่งครงึ่ ไปเรอื่ ยๆ ถามว่าจะตอ้ งตัดอย่างน้อยท่ีสุดกค่ี รงั้ ความยาวของเชอื กทถี่ ูกแบ่งคร้งั สดุ ทา้ ยจึงจะเหลือไมถ่ ึง 1 mm(กําหนดให้ log 2 0.301) 1. 12 2. 13 3. 14 4. 1591. [สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ / 2548]ให้ an เป็นลาํ ดบั เรขาคณติ ท่มี ีอตั ราสว่ นร่วมเปน็ จํานวนเตม็ ทไ่ี ม่เทา่ กับ 1ถ้า a6 เป็นจํานวนเตม็ และ a6 a9 52 แล้ว a1 มีค่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 2 2. 2 3. 1 4. 1 243 243 81 8192. [สมาคมคณิตศาสตรฯ์ / 2549]ให้ an เป็นลาํ ดับเรขาคณติ ของจาํ นวนจริงบวกซึง่ มี a2 a3 a4 a5 5 และ a4 a5 a6 a7 5 8 32แลว้ a1 a2 a3 ... a9 มีคา่ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 511 2. 511 3. 513 4. 513 128 384 128 38493. [สมาคมคณติ ศาสตร์ฯ / 2546] 4. 4ให้ a1, a2, a3, ... เปน็ ลาํ ดบั เลขคณิต และ b1, b2, b3, ... เป็นลาํ ดบั เรขาคณิตโดยที่ a1 0 และ bn an 2 สําหรบั ทุกจํานวนนบั nดังนัน้ b10 3 a20 b30 มีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ a1 1. 1 2. 2 3. 3 คณิต มงคลพิทักษส ุข 173 ลําดับและอนกุ รม94. [พ้ืนฐานวศิ วะฯ / มี.ค.2547] จงหาตัวเลขในตําแหนง่ ทขี่ าดหายไปของลาํ ดบั ตอ่ ไปน้ี 4. 5067125, 726, ......, 40328, 3628891. 5027 2. 5037 3. 504795. [สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ / 2544]ให้ an เปน็ ลาํ ดบั ของจํานวนจริงบวก ทสี่ อดคล้องสมการ (an)logan (an1)logan1 (n 1)โดย a1 8 , a2 16แลว้ log2a2544 มีค่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี1. 4(3)2544 2. 4(3)2543 3. 3(4)2543 4. 3(4)2544 4 4 3 396. [สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ / 2547]ในลาํ ดับเลขคณิตทีม่ ีผลตา่ งร่วมเปน็ บวก ถ้าผลบวกของพจนท์ ี่ 1 กับพจนท์ ่ี 7 มคี า่ เทา่ กบั 26และผลคูณของพจนท์ ่ี 2 กับพจน์ที่ 6 มคี า่ เท่ากับ 69 แล้วผลบวก 6 พจนแ์ รกของลําดบั น้มี ีค่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 69 2. 67 3. 65 4. 6397. [ทุนเล่าเรียนหลวง (กพ.) / 2539]ถา้ ผลบวกของ 50 พจนแ์ รกของลาํ ดับเลขคณติ เทา่ กบั 200และผลบวกของ 50 พจน์ถัดไปเท่ากบั 2700 จงหาพจน์แรก1. 45 2. 453. 20.5 4. 20.55. 21.598. [ทุนเล่าเรยี นหลวง (กพ.) / 2542]จงหาสี่พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ ซงึ่ มีผลบวก n พจน์แรกเปน็ n (3n 5) 299. [คดั โอลมิ ปิก / 2538]ให้ U {1, 2, 3, ..., 65} และ X { x U | ห.ร.ม. ของ x กับ 65 เทา่ กบั 1 }ผลบวกของสมาชกิ ในเซต X ทงั้ หมดมคี ่าตรงกับข้อใด1. 2145 2. 1560 3. 650 4. 585100. [สมาคมคณิตศาสตรฯ์ / 2549]ให้ a เป็นจํานวนเตม็ บวกท่ี 4 และ 7 หารลงตัวและผลบวกของจาํ นวนเต็มตั้งแต่ 9 ถึง a ที่ 7 หารลงตวั แต่ 4 หารไมล่ งตวั มีค่าเท่ากบั 7091แล้ว a มคี ่าเทา่ กับเท่าใดเฉลย 88. 3 89. 705.1 90. 3 91. 1 92. 2 93. 3 94. 3 95. 3 96. 4 97. 3 99. 2 100. 364 สีขั้นที่3มีอะไรบ้างสีข้ันที่สาม: เป็นการรวมกันของสีขั้นที่หนึ่งและสอง เรียกว่าสีขั้นที่สามหรือระดับกลางเนื่องจากลักษณะการผสมของสี น้ำเงิน-เขียว น้ำเงิน-ม่วง แดง-ส้ม แดง-ม่วง เหลือง-ส้ม และ เหลือง-เขียว เป็นสีผสมกันที่คุณสามารถสร้างได้จากการผสมสี สีข้ันที่สามจะอยู่ระหว่างสีหลักและสีรองบนวงล้อสี สีแดงผสมกับสีอะไรได้บ้างสีแดงเกิดจากสีอะไร? สีแดงเป็นสีหลักควบคู่ไปกับสีเหลืองและสีน้ำเงิน ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถผสมสีเพื่อสร้างสีแดงได้ แต่สีแดงสามารถถูกใช้เพื่อสร้างสีอื่น ๆ บนสเปกตรัมสีได้ สีแดงอยู่ที่ปลายสเปกตรัมของแสงที่มองเห็นได้ โดยอยู่ถัดจากสีส้ม และสีม่วงในอีกด้านหนึ่ง สีอะไรผสมกันแล้วเป็นสีส้มสีแดง+สีเหลือง \= สีส้ม สีอะไรผสมกันได้สีม่วงเข้มม่วง+ดำ \= ม่วงเข้ม ม่วง+แดง = สีม่วงแดง |
ว ธ ด ว าพ นท ม ค าf.a.rเท าไหร
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.ketajaman Inc.
