ว ตถ เคล อนท ด วยความเร วท เปล ยนแปลง ม.3

ตอบ การเคล่ือนทแ่ี นวตรงเป็นการเคล่ือนท่ขี องวตั ถุโดยท่วี ตั ถเุ ปล่ียนตาแหนง่ ในการเคลือ่ นทเี่ ปน็ เส้นตรง ท

3. อธบิ ายความแตกตา่ งระหว่างอตั ราเร็วเฉล่ียและอตั ราเร็วขณะหน่ึง

ตอบ อตั ราเร็วเฉลย่ี คือ อตั ราส่วนระหวา่ งระยะทางทีว่ ัตถุเคลื่อนที่ไดก้ บั ช่วงเวลาทใี่ ชใ้ นการเคล่ือนท่ี ซงึ่ ช่วงเวลาที่ใช้ในการ เคลอ่ื นทีด่ ังกลา่ วอาจมีค่ามากหรอื นอ้ ยก็ได้ ในขณะที่อตั ราเร็วขณะหนงึ่ คือ อัตราเร็วของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

4. เมอื่ เราพบปา้ ยจากดั ความเร็วบนถนนเปน็ 60 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง ความเร็วดงั กล่าวหมายถึงความเรว็ ขณะหนึ่ง หรือ ความเร็วเฉลีย่

ตอบ ความเร็วขณะหนึ่ง ท

5. ถ้าครอบครัวหน่ึงขับรถด้วยอัตราเรว็ เฉลี่ย 75 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง จากกรุงเทพฯไปจงั หวดั สุราษฎรธ์ านซี ง่ึ มรี ะยะทาง ประมาณ 640 กโิ ลเมตร ครอบครัวน้ีจะใช้เวลาเดินทางประมาณเทา่ ใด

วิธีทา จาก อัตราเร็วเฉล่ีย คอื อตั ราส่วนระหวา่ งระยะทางต่อเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนท่ี โดยที่ ระยะทาง เทา่ กบั 640 กิโลเมตร อัตราเร็วเฉลย่ี เทา่ กับ 75 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง จาก

จะได้

ตอบ ครอบครัวนใี้ ชเ้ วลาเดนิ ทางประมาณ 8.53 ชัว่ โมง หรือ 8 ชว่ั โมง 32 นาที

6. รถยนต์คันหน่ึงเคลื่อนท่ีในแนวตรงโดยทุก ๆ 1 วินาที รถคันน้ีจะมีอัตราเร็วเพ่ิมข้ึน 4 เมตรต่อวินาที ถ้าที่เวลา เริ่มต้นรถคนั น้มี ีอัตราเรว็ 16 เมตรต่อวินาที เม่อื เวลาผ่านไปจากเร่ิมต้น 5 วนิ าที รถจะมอี ัตราเรว็ เทา่ ใดในการ

วิธีทา โดยที่ ความเรว็ ที่เปลี่ยนไป เทา่ กับ 4 เมตรต่อวนิ าที ช่วงเวลาท่เี กดิ การเปลีย่ นแปลงความเรว็ เทา่ กับ 1 วนิ าที

จาก

จะได้

สาหรบั การเคลอื่ นทีใ่ นชว่ งเวลา 5 วินาที จะได้ ความเร็วทเ่ี ปลี่ยนไป = ความเร่ง × ช่วงเวลาท่ีเกดิ การเปลีย่ นแปลงความเร็ว

เมื่อเวลาเรมิ่ ตน้ รถคนั นมี้ ีอัตราเรว็ 16 เมตรต่อวนิ าที และเม่อื เวลาผา่ นไปจากเรมิ่ ต้น 5 วนิ าที รถมอี ัตราเรว็ เพิ่มขน้ึ จากเดิม 20 เมตรต่อวินาที

ดังน้ัน รถจะมีอัตราเร็ว = 16 + 20 = 36 m/s ตอบ รถจะมีอัตราเร็วเท่ากบั 36 เมตรต่อวนิ าที 7. โยนลูกบาสขึ้นไปตรง ๆ ในแนวด่ิง ด้วยอัตราเร็ว 29.4 เมตร/วนิ าที ขณะที่ออกจากมือลูกบาสจะใช้เวลาเท่าไหร่ จึงจะตกกลบั มาที่เดมิ เมื่อไม่คิดแรงตา้ นอากาศ วิธที า จาก ความเรง่ คือ อัตราส่วนระหว่างความเร็วท่ีเปล่ียนไปกบั ช่วงเวลาทเ่ี กิดการเปล่ียนแปลงความเรว็ โดยท่ี ความเรง่ ของลกู บาสมีค่าเท่ากบั ความเรง่ โน้มถว่ ง = -9.8 เมตรตอ่ วินาที2

ความเร็วเรมิ่ ตน้ ของลูกบาส = 29.4 เมตรตอ่ วนิ าที ความเร็วสุดท้ายของลูกบาสทจ่ี ุดสงู สุด = 0 เมตรต่อวนิ าที จาก

จะได้ ดังนัน้ เวลาทใี่ ช้ในการเคลื่อนทข่ี องลกู บาสจนตกกลบั มาท่เี ดมิ = 2 x 3 วนิ าที = 6 s ตอบ ลกู บาสจะใช้เวลาในการเคลื่อนทีต่ กกลบั มาท่ีเดิมถึงจุดสงู ท่ีสดุ เทา่ กับ 6 วนิ าที

8. ถ้าแรงทก่ี ระทากบั วตั ถกุ บั ความเร็วของวัตถมุ ีทศิ ทางตรงขา้ มกนั ความเร็วของวัตถุจะเปล่ียนแปลงอย่างไร

ตอบ ความเรว็ ของวตั ถุจะมีคา่ ลดลง ท

9. ถ้าออกแรงท่ีมีขนาดเท่ากันผลักวัตถุท่ี 1 และวัตถุที่ 2 ให้เคล่ือนที่ โดยวัตถุทั้งสองมีรูปร่างเหมือนกันทุกประการ แตม่ วลของวัตถทุ ่ี 1 มากกว่ามวลของวัตถุท่ี 2 วตั ถุใดจะเคล่อื นทีด่ ว้ ยความเร่งมากกว่ากัน

ตอบ วตั ถทุ ี่ 2 ซึ่งมีมวลนอ้ ยกว่าจะเคลื่อนท่ดี ้วยความเร่งมากกวา่ วตั ถทุ ่ี 1 ท

10. ถา้ มแี รงกระทากบั วัตถุทาให้แรงลพั ธม์ ีทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกบั การเคลอ่ื นที่ของวัตถุ เมื่อเวลาผา่ นไปวัตถจุ ะ เคล่ือนที่ไปในทิศทางเดยี วกับแรงลัพธ์หรือไม่ จงอธิบาย

ตอบ ในชว่ งแรก วตั ถุจะมีการเคลอื่ นทใ่ี นทศิ ทางเดิมซึ่งมีทิศทางตรงกนั ข้ามกบั ทิศทางของแรงลัพธ์ท่กี ระทา แตเ่ มื่อเวลา ผ่านไป วัตถุจะมีความเรว็ ลดลง จนกระท่งั ความเร็วเปน็ ศูนย์ จากน้นั วัตถจุ ะเคล่ือนที่ไปในทศิ ทางเดยี วกบั แรงลัพธ์

11. จงหาแรงลพั ธ์ ถา้ มีแรงสองแรงกระทากับวตั ถุ ดงั รูป

หาแรงลัพธ์ได้จากการรวมแบบเวกเตอร์หางต่อหวั ดังรูป

หาแรงลัพธ์ จากสูตร หา a จากสตู ร

ดังนัน้ ตอบ แรงลัพธ์มีขนาดเท่ากับ 8 นวิ ตัน โดยมที ิศทางตงั้ ฉากกับแรง 6 นิวตนั

12. นกั เล่นสเกตบอรด์ A และ B ยนื หนั หนา้ เข้าหากัน ถา้ นักเล่นสเกตบอร์ด A ผลักนักเล่นสเกตบอร์ด B ดังรปู

ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง เราได้เรียนกันมาตั้งแต่วิทยาศาสตร์ระดับ ม.ต้น จนมาถึงวิชาฟิสิกส์ระดับ ม.ปลาย สูตรจำนวนมากมายที่เราท่องกัน เช่น $\displaystyle s=ut+\frac{1}{2}at^2$ หรือ $v=u+at$ นั้น เคยสงสัยกันบ้างไหมครับว่ามีที่มาอย่างไร เนื่องจากความเร่ง $(a)$ ของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว $(v)$ เทียบกับเวลา $t$ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามสมการ $s=f(t)$ เมื่อ $s$ คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา $t$ แล้ว

จะได้ $\displaystyle a=\frac{dv}{dt}$ และ $\displaystyle v=\frac{ds}{dt}$

ดังนั้น $\displaystyle a=\frac{d}{dt} \left( \frac{ds}{dt} \right)=\frac{d^2s}{dt^2}$

นั่นคือ ความเร่งขณะเวลา $t$ ใดๆ คืออนุพันธ์อันดับที่ $2$ ของ $s=f(t)$

เพราะฉะนั้น จากสมการ $\displaystyle s=ut+\frac{1}{2}at^2$

จะได้ $\displaystyle v(t)=s'(t)=u+\frac{1}{2}(2)at=u+at$ นั่นเอง

ตัวอย่างการประยุกต์เรื่องความเร็วและความเร่ง

ตัวอย่างที่ 1

วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ได้ระยะทาง $\displaystyle s=4t^3-2t^2+3t-1$ เมตร เมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที จงหา (1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ (2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ (3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

จาก $\displaystyle s=4t^3-2t^2+3t-1$

(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ

\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(4t^3-2t^2+3t-1)\\ &=& 12t^2-4t+3 \end{eqnarray*}

(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ

\begin{eqnarray*} a(t) &=& v'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(12t^2-4t+3)\\ &=& 24t-4 \end{eqnarray*}

(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

\begin{eqnarray*} a(t) &=& 24t-4\\ a(2) &=& 24(2)-4\\ &=& 44 \end{eqnarray*}

(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $12t^2 -4t+3$ เมตร/วินาที (2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $24t-4$ เมตร/$\text{วินาที}^2$ (3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที เท่ากับ $44$ เมตร/$\text{วินาที}^2$

ตัวอย่างที่ 2

นักเรียนคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศ ก้อนหินเคลื่อนที่ได้ระยะทาง $s=128t-16t^2$ เมตร ในเวลา $t$ วินาที จงหา (1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$ (2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที (3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$ (4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ (5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$

เนื่องจากความเร็วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ดังนั้น การหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดๆ จึงใช้วิธีเดียวกับการหา โดยในขั้นแรกต้องหาความเร็วขณะเวลา $t$ ใดๆ ก่อน

\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(128t-16t^2)\\ &=& 128-32t \end{eqnarray*}

ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึง $3$ คือ

\begin{eqnarray*} \frac{v(3)-v(2)}{3-2} &=& \frac{[128-32(3)]-[128-32(2)]}{1}\\ &=& 128-96-128+64\\ &=& -32 \end{eqnarray*}

ความเร็วมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินกำลังลดความเร็วลงนั่นเอง

(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที

ในข้อนี้ถามระยะทางขณะ $t=5$ แสดงว่าเราเพียงแค่แทนค่าใน $s(t)$ เท่านั้น

\begin{eqnarray*} s(5) &=& 128(5)-16(5)^2\\ &=& 640-400\\ &=& 240 \end{eqnarray*}

(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$

จาก $v(t)=128-32t$ จะได้

\begin{eqnarray*} v(4) &=& 128-32(4)\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

ความเร็วเป็น 0 แสดงว่าก้อนหินขึ้นถึงจุดสูงสุดที่สามารถไปถึงได้ และกำลังจะเคลื่อนที่หล่นลงมา

(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ

จาก $v(t)=128-32t$ จะได้

\begin{eqnarray*} a(t) &=& v'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(128-32t)\\ &=& -32 \end{eqnarray*}

ความเร่งมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินมีความเร็วลดลงเรื่อยๆ

(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที

เนื่องจากความเร่งขณะเวลา $t$ ใดๆ เป็นค่าคงที่เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$ จะได้ $a(2)=-32$ เช่นกัน

(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$ เท่ากับ $-32$ เมตร/วินาที (2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที เท่ากับ $240$ เมตร (3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$ เท่ากับ $0$ เมตร/วินาที (4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$ (5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$

ตัวอย่างที่ 3

ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง โดยมีสมการการเคลื่อนที่คือ $s=96t-16t^2$ เมื่อ $s$ คือระยะทาง (ฟุต) และ $t$ คือเวลา (วินาที) จงหา (1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที (2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที (3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด

(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที

จาก $s=96t-16t^2$

\begin{eqnarray*} v(t) &=& s'(t)\\ &=& \frac{d}{dt}(96t-16t^2)\\ &=& 96-32t \end{eqnarray*}

ความเร็วของลูกบอลขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $96-32t$ เมตร/วินาที จะได้

$v(2)=96-32(2)=32$ เมตร/วินาที

(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที

จาก $v(t)=96-32t$ จะได้

$v(4)=96-32(4)=-32$ เมตร/วินาที

จะสังเกตได้ว่า อัตราเร็วขณะวินาทีที่ $2$ และ $4$ มีค่าเท่ากัน คือ $32$ เมตร/วินาที แต่ความเร็วของทั้งสองเวลามีทิศทางต่างกัน นั่นคือ ขณะเวลา $2$ วินาที ลูกบอลมีความเร็วเป็นบวก แสดงว่ากำลังเคลื่อนที่ขึ้น แต่ขณะเวลา $4$ วินาที ความเร็วติดลบ แสดงว่าลูกบอลกำลังเคลื่อนที่ตกลงมา

(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด

จาก $s=96t-16t^2$ เรายังไม่ทราบว่าเมื่อเวลาใดที่ลูกบอลจะขึ้นสูงที่สุด แต่ขณะที่ลูกบอลขึ้นไปถึงจุดสูงสุดนั้น ลูกบอลจะหยุดนิ่ง กล่าวคือมีความเร็วเป็น $0$ เมตร/วินาที เราจึงสามารถหาเวลาได้ ดังนี้