น้องๆ สามารถเลือกทำโจทย์ได้ตามต้องการ ไม่มีการจับเวลา ไม่มีการนับคะแนน ตอบผิดแล้ว สามารถตอบใหม่ได้ สิ่งสำคัญ ก็คือ ควรทำความเข้าใจกับวิธีทำในเฉลยละเอียด การเรียนคณิตศาสตร์ให้ได้คะแนนดี ต้องเรียนด้วยการลองทำโจทย์เยอะๆ เคล็ดลับจากติวเตอร์ ระหว่างอ่านเฉลย อย่าลืมมองหา "เคล็ดลับจากติวเตอร์" กรอบสีเขียว เพื่อเรียนวิธีลัด ตีโจทย์แตก เร็ว แวร๊ง! เผยแพร่ทางเว็บไซต์เป็นที่เรียบร้อยแล้ว เพื่อให้ต้นสังกัดและโรงเรียนได้นำไปใช้ในวางแผนและพัฒนาคุณภาพการเรียนการสอน รวมถึงยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนให้ดียิ่งขึ้น หากท่านใดมีข้อเสนอแนะที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับข้อสอบและเฉลยคำตอบ O-NET ปีการศึกษา 2562 สามารถส่งข้อมูลมาที่ สทศ. ตามช่องทาง ดังนี้ ในการเขยี นเซตโดยท่ัวไปจะเขียนเซตด้วยตวั พิมพ์ใหญ่ A, B, C, D และสมาชิกจะเขียนดว้ ยตวั พมิ พเ์ ลก็ a, b c, d สญั ลกั ษณเ์ กยี่ วกบั เซต n(A) แทน จานวนสมาชกิ เซต A ∈ แทน เป็นสมาชิก ∉ แทน ไมเ่ ป็นสมาชกิ เซตจากดั เช่น {a, b, c, d} เซตอนนั ต์ เชน่ {1, 2, 3, 4,…} ∅ หรอื { } คือ เซตว่าง เป็นเซต ที่ไมม่ ีจานวนสมาชกิ U คือ เอกภพสัมพทั ธ์ >>>>>>>>> เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท้งั หมดของสิ่งทเ่ี ราสนใจ *******สาคญั ******* ∅ ≠ {∅} การเขยี นเซต สามารถเขยี นได้ 2 แบบ - แบบแจกแจงสมาชิก (Tubular form) เขียนสมาชกิ ในวงเล็บปีกกา สมาชกิ แต่ละตวั คั่นด้วยเครื่องหมาย จุลภาค ( , ) สมาชิกซ้ากนั ใหเ้ ขยี นเพยี งตัวเดียว ในกรณีที่จานวนสมาชกิ มากๆ ให้เขยี นสมาชิกอยา่ งน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จดุ (Triple dot) แลว้ จงึ เขียนสมาชกิ ตัวสดุ ท้าย เช่น เซตของจานวนนับไมเ่ กนิ 10 เขยี นได้............................................................................................................................................. - แบบบอกเง่อื นไข (Set Builder form) เขยี นเซตด้วยปกี กา กาหนดตัวแปรแทนสมาชกิ ทงั้ หมดตามดว้ ยเครอื่ งหมาย (( | )) อ่านว่าโดยท่ี แลว้ ตามดว้ ยเง่ือนไขของตวั แปรนน้ั ๆ เช่น เซตของจานวนเต็มระหวา่ ง – 3 กับ 5 เขียนได.้ ............................................................................................................................... เซต แบบแจกแจงสมาชกิ แบบบอกเงอื่ นไข เซตของจานวนเตม็ ทน่ี ้อยกวา่ 6 เซตจานวนเตม็ ระหวา่ ง -2 กบั 7 เซตของสระในภาษาอังกฤษ { ∈ | 2 = 9} { ∈ | เปน็ ตัวประกอบของ 10} {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} 1 {จนั ทร,์ อังคาร, พธุ , ... , อาทติ ย}์ สญั ลกั ษณแ์ ทนจานวนตา่ ง ๆ I เซตของ_________________________ N เซตของ_________________________ Q เซตของ_________________________ I+ เซตของ_________________________ Q' เซตของ_________________________ I- เซตของ_________________________ R- เซตของ_________________________ R+ เซตของ_________________________ R เซตของ_________________________ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเซต เซตท่เี ทา่ กัน A = B ก็ต่อเม่อื ................................................ .............................................................................................. เซตท่เี ทียบเท่า A เทยี บเท่า B กต็ ่อเมือ่ .......................................................................................................................................... เซตท่ไี มเ่ ทา่ กนั A ≠ B ก็ตอ่ เมื่อ................................................................................................................................................. สบั เซต (Subset) A เป็นสับเซตของ B กต็ ่อเมอ่ื สมาชกิ ทุกตวั ของ A เป็นสมาชกิ ของ B เขียนแทนดว้ ย ⊂ A เปน็ สบั เซตแท้ของ B กต็ อ่ เม่อื ......................................................................................................... จานวนสมาชกิ สบั เซต เทา่ กับ .............................................. จานวนสมาชกิ สบั เซตแท้ เทา่ กับ ................................... ****JUM*** A ⊂ A ⊂ A ∅ ⊂A ตัวอย่าง จงหาสับเซตทง้ั หมดของเซตตอ่ ไปน้ี A = {2,4} สับเซตของ A ไดแ้ ก่ .................................................................................................................................................. B = {1, 2, 3} สับเซตของ B ได้แก่.................................................................................................................................................. C = {∅, {∅}} สับเซตของ C ได้แก่.................................................................................................................................................. D=∅ สบั เซตของ D ไดแ้ ก่.................................................................................................................................................. พาวเวอรเ์ ซต (Power Set) พาวเวอรเ์ ซตของ A คอื เซตของสบั เซตทง้ั หมดของ A เขยี นแทนด้วย P(A) ตัวอย่าง กาหนดให้ A = {2,4} จงหา P(A) NOTE 1. ∅ เป็นสบั เซตของทกุ เซต 2. ∈ 3. { } ⊂ 4. { } ∈ ( ) 5. ∅ ⊂ 6. ∅ ∈ ( ) 2 แผนภาพเวน – ออยเลอร์ A และ B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั A เปน็ สบั เซตของ B A และ B มีสมาชิกรว่ มกัน การดาเนนิ การของเซต อนิ เตอรเ์ ชคชนั (Intersection : ∩) ยเู นยี น (Union : ∪) A ∩ B = { | ∈ และ ∈ } A ∪ B = { | ∈ หรือ ∈ } ผลตา่ ง (Difference : -) คอมพลเี มนต์ (Complement : A’ or Ac) A − B = { | ∈ แต่ ∉ } A’ = { | ∈ แต่ ∉ } เพมิ่ เตมิ สมบตั บิ างประการเกยี่ วกบั การดาเนนิ การของเซต สมบตั สิ ลับที่ สมบตั เิ ปล่ียนกลมุ่ A∪B = ________ (A ∪ B) ∪ C = _________________ A∩B = ________ (A ∩ B) ∩ C = ________________ ∪ ∩ ∩ ∪ สมบตั กิ ารแจกแจง A∪ (B ∩ C) =_____________________________ A ∩ (B ∪ C) =_____________________________ 3 A∪∅=A A ∪ = A∩∅=∅ A ∩ = A A - B = A ∩ B' เพม่ิ เตมิ 1. A - B = ___________ ถ้า A ⊂ B เเลว้ 2. A ∩ B = ___________ 3. A ∪ B = ___________ สมาชกิ ของเซต 1. n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 2. n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C) แบบฝกึ หัด 1. ให้ U = {-3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3} A = {-3, - 2, -1, 0} , B = {0, 1, 2, 3} และ C = {-2, - 1, 0, 1, 2} จงหาคา่ ของ A∪B =………………………………………………………… A – B =…………………………………………………………………. B∪A =………………………………………………………… B – C =…………………………………………………………………. A∩B =………………………………………………………… A∩(C – B) =……………………………………………………… A∩C =………………………………………………………… (A – B) ∩ C’ =……………………………………………………… C∩B =………………………………………………………… (A∪B) ∩ C’ =………………………………………………………... C’ =………………………………………………………… 2. กาหนด A B และ C เป็นเซตใด ๆ และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ จงหาเซตตอ่ ไปน้ี ..................................... ............................................. ..................................... ............................................. ..................................... ............................................. 4 1. กาหนดให้ U = { - 2, -1, 0, 1, 2, …, 7, 8, 9 } A x x U และ x เป็นจำนวนค่ี และ B x x U และ x2 9 A – B คอื เซตในขอ้ ใด (Onet’63; 8) 1. {-1, 1} 2. {1, 3} 3. {5, 7, 9} 4. {3, 5, 7, 9} 5. {1, 3, 5, 7, 9} 2. กาหนดให้ a เปน็ จานวนจรงิ และ S x x 2 a เมอื่ a 1 2 เซต S เปน็ สบั เซตของเซตในขอ้ ใด(Onet’63; 9) 1. { 1, 3, 5, 7 } 2. { 3, 4, 5, 6 } 3. { -2, 1, 2, 3 } 4. { -2 , -1, 1, 2 } 5. { - 5, -2, 2, 5 } 3. จากการสารวจลกู ค้าที่ดมื่ กาแฟ จานวน 125 คน ของรา้ นกาแฟแหง่ หน่ึงเกยี่ วกับการใสน่ า้ ตาล นมสด หรอื ครีมเทยี มในกาแฟ พบวา่ 1) มีลูกค้าท่ใี สน่ า้ ตาลในกาแฟ 40 คน
ในการสารวจน้ี มลี กู ค้าท่ีใส่นมสดในกาแฟเพียงอย่างเดยี วก่ีคน (Onet’63; 10) 1. 10 คน 2. 15 คน 3. 20 คน 4. 30 คน 5. 35 คน 4. จากการสารวจนักเรยี นทเี่ ข้าร่วมกจิ กรรมของโรงเรียนแห่งหนง่ึ จานวน 800 คน พบวา่
ในการสารวจน้ี นกั เรยี นทเ่ี ข้าร่วมท้ังกิจกรรม A กจิ กรรม B และกจิ กรรม C มีจานวนก่คี น (ONET’63; 35) 5 5. ถา้ = { 5 , 6 , 7 , … , 12 , 13 , 14 } และ = { ( , ) ∈ × | = −21} แลว้ มีสมาชิกทั้งหมดก่ีตัว (ONET’63; 36) 6. กาหนดให้ u แทนเอกภพสมั พัทธ์ ส่วนทีแ่ รเงาในแผนภาพขอ้ ใด คอื A (B C) (ONET’62; 10) 7. กาหนดให้ A แทน เซตของจานวนคท่ี ี่มีมากกวา่ 4 แตน่ ้อยกว่า 14 B แทน เซตของจานวนเฉพาะท่ีมากกว่า 4 แต่น้อยกวา่ 14 จานวนในข้อใดเป็นสมาชิกของ A – B (ONET’62; 8) 1. 5 2. 7 3. 9 4. 11 5. 13 8. กาหนด A = {1, 2, 3, 6} ถา้ A B {1,2,3,4,6,8} และ A B {1,3} แล้ว B คือเซตในขอ้ ใด (ONET’62; 9) 1. {1, 3, 4, 8} 2. {1, 3, 6, 8} 3. {2, 4, 6, 8} 4. {1, 3} 5. {4, 8} 9. จากการสารวจผู้ท่ใี ช้บริการโรงพยาบาล 70 คน พบวา่
ในการสารวจนี้ มีผู้ใช้บริการโรงพยาบาล B มที ั้งหมดก่ีคน (ONET’62; 36) 6 10. กาหนดให้ r = {(2a, a2) | เป็นจานวนจรงิ } คูอ่ ันดบั ในขอ้ ใด เปน็ สมาชิกของ r (ONET’61; 11) 1. (-2, - 1) 2. (-1,-1) 3. (1, 1) 4. (2, 2) 5. (4, 4) 11. กาหนดให้ A, B, และ C เป็นสบั เซตท่ไี มเ่ ป็นเซตวา่ งของเอกภพสมั พทั ธ์ U โดยท่ี B C และ A C ข้อใดถูก (ONET’60; 11) 2. A B C 3. A B C B 1. A B B C 4. A B C B 5. B C A' 12. กาหนดเอกภพสัมพัทธค์ อื เซตของจานวนนับ ถา้ A {1,2,3,...,10} B {4,8,12,16,20} และ 3. A B {4,8} C {x (x 1)(x 4) 0} แล้วข้อใดผิด (ONET’60 17) 1. A C B C 2. B C B 4. B A {12,16,20} 5. A C B {8,12,16,20} 13. กาหนดให้ A = {1, 2, a, b, d} – {1, b, c} B = {2, 3, c} {2, b, c} C = {1, 2, 3, b} {3, a, b} แลว้ จานวนสมาชิกของเซต B (A C) เทา่ กบั เท่าใด (ONET’61; 31) 7 14. หมู่บ้านแหง่ หนง่ึ มี 60 ครอบครวั มีอาชพี ทานา ทาสวน หรือเลี้ยงสตั ว์ ถา้ ทานา 34 ครอบครวั สวน 30 ครอบครัว ทานา และ ทาสวน 8 ครอบครัว ทานา และ เลย้ี งสตั ว์ 23 ครอบครัว ทาสวน และ เลย้ี งสตั ว์ 20 ครอบครัว ทานาอย่างเดยี ว 6 ครอบครวั แลว้ มีทัง้ หมดก่ีครอบครวั ทม่ี ีอาชีพเพียงอาชีพเดยี ว(ONET’60; 36)
16. จากการสอบถาม เรอื่ งความชอบไอศกรมี รสวานลิ าและรสสม้ ของเดก็ อนบุ าลจานวน 40 คน พบวา่ มี 25 คน ชอบรสวานิลา 10 คน ชอบรสสม้ 8 คน ไม่ชอบทงั้ รสวานิลาและรสส้ม มีเด็กอนุบาลที่ชอบทั้งรสวานิลาและรสส้มกค่ี น (Onet’61; 34 ) 8 17. กาหนดให้ A,B และ C เปน็ เซตที่มคี วามสัมพันธ์กนั ดงั แผนภาพ ขอ้ ใดถูกต้อง (ONET’59; 1) 1. A C B 2. ( A B) C 3. A B B C 4. A B C 5. B C A' 18. นกั เรยี นหอ้ งหนึ่งมี 50 คน ถ้าในจานวนน้มี คี นเลน่ กีตาร์ 25 คน เล่นเปียโน 14 คน ไมเ่ ลน่ กตี ารแ์ ละไมเ่ ล่นเปยี โน 15 คน แลว้ จานวนนักเรยี นที่เล่นกตี าร์อยา่ งเดียวมีกี่คน (ONET’59; 33) 19. ส่วนท่ีแรเงาของแผนภาพตอ่ ไปนี้ ไมใ่ ช่ เซตในข้อใด 1. (A B) C 2. A (B C ) 5. B (A C) (A B C) 3. A (B C) C 4. (A B) (B C) 20. จากการสอบถามนักเรยี นชัน้ ม.6 ท่เี รยี นสายวทิ ยาศาสตรจ์ านวน 180 คน พบว่า มี 83 คน ชอบเคมี มี 23 คนชอบทงั้ เคมีและฟสิ ิกส์ มี 68 คน ชอบฟสิ กิ ส์ มี 22 คน ชอบท้ังฟิสกิ ส์และชีววิทยา มี 84 คน ชอบชีววทิ ยา มี 25 คน ชอบท้งั เคมแี ละชวี วทิ ยา และ มี 3 คน ไม่ชอบวิชาใดเลยในสามวิชานี้ ดังนั้น มีนกั เรยี นก่คี นทชี่ อบเคมีแต่ไม่ชอบฟิสกิ ส์และชีววทิ ยา 9 21. ส่วนทแ่ี รเงาของแผนภาพในขอ้ ใด หมายถงึ A (B C) 22. จากการสอบถามความชอบรบั ประทานไอศกรีมของนกั เรียนจานวน 180 คน พบว่า มี 86 คน ชอบรสช็อกโกแลต มี 31 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและวานิลลา มี 87 คน ชอบรสวานลิ ลา มี 27 คน ชอบรสวานลิ ลาและรสสตรอเบอรี่ มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอร่ี มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอร่ี และ มี 5 คน ไมช่ อบทั้งสามรส ดงั นน้ั มนี กั เรยี นท่ชี อบท้ังสามรสก่คี น 23. เซต (B A)' C คือบริเวณทแี่ รเงาในขอ้ ใด 10 24. ในการสารวจความชอบรับประทานก๋วยเต๋ยี ว ข้าวมันกา และข้าวหมูแดง ของนกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 จานวน 100 คน ของ โรงเรยี นแห่งหนึง่ พบว่ามนี กั เรยี น ชอบก๋วยเต๋ยี ว 49 คน ชอบกว๋ ยเตี๋ยวและขา้ วมันไก่ 22 คน ชอบข้าวมนั ไก่ 48 คน ชอบก๋วยเตีย๋ วและขา้ วหมูแดง 32 คน ชอบข้าวหมูแดง 59 คน ชอบขา้ วมันไก่และข้าวหมูแดง 27 คน ชอบท้ังสามอย่าง 15 คน จานวนนักเรยี นทีไ่ มช่ อบอาหารท้ังสามอยา่ งน้ีมีก่ีคน 25. กาหนดให้ A,B และ C เป็นเซตใด ๆ ซึง่ A B พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. (C A) (C B) ข. AC C AC B ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง ก. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 26. แผนภาพแรเงาในข้อใดแทน เซต ((A B) (A C)) ((B C) (A B C)) 11 27. ให้ A และ B เป็นเซต ซง่ึ n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(A B) =2 ถ้า C (A B) (B A) แล้ว n(P(C)) เท่ากบั เทา่ ใด 28. ในการสารวจงานอดิเรกของนกั เรยี น 200 คน ปรากฏว่า 120 คน ชอบอา่ นหนงั สือ 60 คน ชอบอา่ นหนังสอื และดูภาพยนตร์ 110 คน ชอบดูภาพยนตร์ 70 คน ชอบอา่ นหนังสือและเลน่ กีฬา 130 คน ชอบเลน่ กีฬา 50 คน ชอบดูภาพยนตรแ์ ละเลน่ กฬี า นกั เรยี นที่ชอบเล่นกีฬาเพียงอย่างเดยี วมีกค่ี น 29. ให้ A = {1, 2, 3, …} และ B = {{1,2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, …} ข้อใดเปน็ เทจ็ 1. A – B มสี มาชิก 5 ตัว 2. จานวนสมาชกิ ของพาวเวอร์เซตของ B – A เท่ากับ 4 3. จานวนสมาชกิ ของ (A B) (B A) เปน็ จานวนคู่ 4. A Bฺ คือเซตของจานวนนับท่ีมีคา่ มากกว่า 5 12 30. ในการสอบของนกั เรยี นชั้นประถมศึกษากลุ่มหนงึ่ พบว่า มีผู้ผา่ นวชิ าตา่ ง ๆ ดงั นี้ คณติ ศาสตร์ 36 คน สังคมศกึ ษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณติ ศาสตรแ์ ละสงั คมศกึ ษา 15 คน ภาษาไทยและสงั คมศกึ ษา 12 คน คณติ ศาสตร์และภาษาไทย 7 คน สอบผา่ นท้ังสามวชิ า 5 คน จานวนผู้สอบผา่ นอยา่ งน้อยหนึง่ วิชามีก่คี น 31. กาหนด A เปน็ เซตจากัด และ B เป็นเซตอนนั ต์ 2. มเี ซตจากัดทเ่ี ปน็ สับเซตของ B ขอ้ ความใดตอ่ ไปน้ีเปน็ เทจ็ 4. มเี ซตอนันต์ทเ่ี ปน็ สับเซตของ B 1. มเี ซตจากดั ทเี่ ปน็ สับเซตของ A 3. มเี ซตอนนั ตท์ ่ีเป็นสบั เซตของ A 32. ในการสารวจความชอบในการดมื่ ชาเขียวและกาแฟกลุม่ ตัวอย่าง 32 คน พบว่า ผูช้ อบด่ืมชาเขยี ว 18 คน 4. 12 ผู้ชอบด่ืมกาแฟมี 16 คน ผู้ไม่ชอบด่มื ชาและไม่ชอบด่ืมกาแฟมี 8 คน จานวนคนทีช่ อบดมื่ ชาเขียวอยา่ งเดียวมกี ค่ี น 1. 6 2. 8 3. 10 33. นักเรียนกลมุ่ หน่งึ จานวน 50 คน มี 32 คน ไมช่ อบเลน่ กฬี าและไมช่ อบฟงั เพลง ถา้ มี 6 คน ชอบฟังเพลงแต่ไม่ชอบเลน่ กีฬา และมี 1 คน ชอบเล่นกฬี าแตไ่ ม่ชอบฟังเพลง แลว้ นกั เรียนในกลมุ่ นีท้ ช่ี อบเล่นกีฬาและชอบฟังเพลงเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน 13 34. จานวนสมาชกิ ของเซตต่าง ๆ ตามตารางตอ่ ไปนี้ ∪ ∪ ∩ ∩ เซต ∪ ∪ ∪ 30 7 จานวนสมาชิก 25 27 26 จานวนสมาชิกของ (A BฺC) เทา่ กับขอ้ ใด 3. 25 4. 26 1. 23 2. 24 35. กาหนด A และ B เป็นเซต ซ่ึง n(A B) 88 n[( A B) (B A)] 76 ถ้า n(A) = 45 แล้ว n(B) เทา่ กบั ข้อใด 1. 45 2. 48 3. 53 4. 55 36. นกั เรยี นกลุ่มหนึง่ จานวน 46 คน แตล่ ะคนมเี สอื้ สเี หลืองหรอื เสอ้ื สฟี ้าอยา่ งนอ้ ยสีละหน่งึ ตวั ถา้ นักเรยี น 39 คนมเี ส้อื สีเหลอื ง และ 19 คน มีเสอ้ื สฟี า้ แลว้ นักเรยี นกลุม่ นที้ ี่มเี ส้ือสีเหลอื งและเสือ้ สฟี า้ มีจานวนเทา่ กับขอ้ ใด 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 37. ถ้า A – B = {2, 4, 6} B – A = {0, 1, 3} และ A B {0,1,2,3,4,5,6,7,8} แลว้ A B เป็นสบั เซตของเซตใด ตอ่ ไปน้ี 1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8} 38. ในการสอบถามพอ่ บ้านจานวน 300 คน พบวา่ มคี นทีไ่ มด่ ืม่ ทั้งชาและกาแฟ 100 คน มีคนท่ีดม่ื ชา 100 คน และ มคี นที่ด่มื กาแฟ 150 คน พอ่ บา้ นทด่ี ื่มท้งั ชาและกาแฟมีจานวนเทา่ ใด 14 การใหเ้ หตผุ ล (Reasoning) โครงสรา้ งคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ ประกอบด้วย 4 สว่ น อนยิ าม (Undefined Terms) คือ คาหรอื ข้อความทม่ี กี ารตกลงวา่ ไม่ต้องให้ความหมาย หรือจากดั ความแต่เขา้ ใจตรงกนั เปน็ สากล บทนยิ าม (Defined Terms) คือ คาหรือข้อความท่ีมีการให้ความหมาย หรือจากดั ความไวอ้ ย่างชัดเจน สจั พจน(์ Axiom/postulate) คอื ข้อความท่ตี กลงกนั และยอมรับวา่ เปน็ จริงโดยไมต่ ้องพสิ ูจน์ และนาไปอา้ งเพอื่ การพสิ ูจนข์ ้อความอื่นวา่ เปน็ จรงิ ได้ ทฤษฏ(ี Theorem) คือ ข้อความที่ยอมรับวา่ เป็นจริงโดยอาศยั จากทฤษฎบี ท สัจพจน์ และวธิ ีการอยา่ งมเี หตผุ ล การอา้ งเหตผุ ล (Arguments) เป็นกระบวนการคดิ ของมนษุ ย์ และสือ่ ความหมายกบั ผู้อื่นด้วยภาษา ซงึ่ ประกอบดว้ ยขอ้ ความ หรอื ประโยคกล่มุ หนง่ึ ท่ียกขนึ้ มา สนับสนนุ ให้ไดข้ อ้ ความหรือประโยคท่ตี ามมา การใหเ้ หตุผล ข้ออา้ งหรือสาเหตุ (Premises) ขอ้ สรปุ หรอื ผล (conclusion) การให้เหตุผล มี 2 แบบ การใหเ้ หตผุ ลแบบอปุ นยั (Induction Reasoning) เป็นวิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสงั เกตหรอื ทดลองหลาย ๆ ครง้ั จากกรณียอ่ ย ๆ แลว้ นามาสรปุ เป็นความรูท้ ว่ั ไป ยดึ ขอ้ เทจ็ จรงิ จากรณยี อ่ ย แลว้ สรปุ เปน็ กรณใี หญ่ การใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นยั (Deduction Reasoning) เปน็ การนาความรู้พ้นื ฐาน อาจเปน็ ความเชื่อ ขอ้ ตกลง กฎหรอื บทนยิ าม ซ่ึงเปน็ สิง่ ท่รี ูม้ ากอ่ นและยอมรับวา่ เป็นจรองเพือ่ หาเหตผุ ลไปสู้ข้อสรปุ ยดึ ขอ้ เทจ็ จรงิ จากรณใี หญ่ แลว้ สรปุ เปน็ กรณยี อ่ ย ๆ ตวั อย่าง เหตุ 1. สตั ว์เล้ียงทุกตวั เป็นสตั ว์ไมด่ ุร้าย 2. แมวไม่ดุร้าย ผล แมวเปน็ สัตวเ์ ลี้ยง 15 ⊂ ⊄ B B A A A BA B ∈ ∉ หลังจากวาดแผนภาพ เราจะใช้แผนภาพท่ีได้มาตรวจสอบความสมเหตุสมผล ดงั น้ี ถ้า แผนภาพทกุ แบบ ไดผ้ ลสรปุ เปน็ จรงิ แลว้ การอา้ งเหตุผล เป็นสมเหตสุ มผล ถา้ แผนภาพบางแบบ ได้ผลสรุปเปน็ เทจ็ แลว้ การอา้ งเหตผุ ล เปน็ ไมส่ มเหตสุ มผล 16 ขอ้ สอบ เรอ่ื ง การใหเ้ หตผุ ล 1. พจิ ารณาการอ้างเหตผุ ล โดยกาหนดเหตแุ ละผล ดังนี้ เหตุ 1) ภาพวาดในโรงเรียนทุกภาพ วาดโดยครูศิลปะ
ผล มภี าพวาดในโรงเรยี นบางภาพเปน็ ภาพสนี ้ามนั กาหนดให้ S แทน เซตของภาพวาดในโรงเรยี น T แทน เซตของภาพวาดทวี่ าดโดยครูศิลปะ P แทน เซตของภาพสนี า้ มนั แผนภาพในข้อใดสอดคลอ้ งกับเหตุท่กี าหนดและแสดงวา่ ผลสรุปขา้ งต้น ไม่ สมเหตุสมผล (Onet’63; 11) 2. พจิ ารณาการอา้ งเหตุผลต่อไปน้ี ก) เหตุ 1) ขนมท่ีขายในโรงอาหารบางชนิดไมม่ นี ้าตาลเป็นส่วนผสม
ผล ขนม A ไม่มีน้าตาลเปน็ ส่วนผสม ข) เหตุ 1) นกั ฟตุ บอลทุกคนเป็นนักเรยี น ใส่กางเกงสเี หลอื ง
ผล เกง่ เป็นนักฟตุ บอล ค) เหตุ 1) ครูคณิตศาสตร์ทกุ คนในโรงเรยี น B แตง่ งานแล้ว
ผล ครูคณติ ศาสตรท์ กุ คนในโรงเรียน B อายุมากกวา่ 30 ปี ผลสรปุ ใดบา้ งสมเหตสุ มผล (Onet’63; 12) 1. ก) เทา่ นนั้ 2. ข) เทา่ น้นั 3. ค) เท่านนั้ 4. ก) และ ค) 17 5. ข) และ ค) 3. กาหนดให้ a, b และ c เปน็ จานวนเต็ม พจิ ารณาแบบรูปต่อไปนี้ a + b + c มคี า่ เทา่ กับเท่าใด (Onet’63; 37) 4. พจิ ารณาเหตุต่อไปนี้ เหตุ 1) นกั เรียนทีเ่ ปา่ ขลุ่ยได้บางคน สีซอได้
ผลสรปุ ในข้อใดสมเหตสุ มผล (Onet’62; 11) 1. จ้อยดดี พิณได้ 2. จอ้ ยสซี อได้ 3. จ้อยดดี พิณไมไ่ ด้ 4. จอ้ ยสซี อไม่ได้ 5. จอ้ ยตกี ลองไม่ได้ 5. พิจารณาการอา้ งเหตุผล โดยกาหนดเหตแุ ละผล ดังน้ี เหตุ 1) นักรอ้ งทุกคนเป็นนกั แสดง
แผนภาพในข้อใดสอดคล้องกบั เหตทุ ีก่ าหนดและแสดงว่าผลสรปุ ขา้ งต้นสมเหตุสมผล 18 6. ให้ เป็นรปู สี่เหลี่ยมจัตุรสั ขนาด 1 ตารางหนว่ ย พจิ ารณาการนา มาวางต่อกันแลว้ แรเงาบางรูป ตามแบบรูปตอ่ ไปน้ี ในข้นั ที่ 99 มรี ูปสเ่ี หล่ยี มจตั ุรัสขนาด 1 ตารางหนว่ ย ซ่งึ ไมไ่ ดแ้ รเงา อยูก่ ่รี ูป (onet’61; 32) 7. กาหนด “เหต”ุ เป็นดงั นี้ 1) สมาชกิ ทุกคนในชมรมดนตรไี ทย จะเลน่ ซออู้ได้
ข้อใดต่อไปน้ีเปน็ “ผล” ทท่ี าใหผ้ ลสรปุ สมเหตุสมผล 1. นาย ก เลน่ ซอด้วงได้ 2. นาย ก เปน็ สมาชิกชมรมดนตรีไทย 3. นาย ข ไม่เป็นสมาชกิ ชมรมดนตรีไทย 4. นาย ข เปน็ สมาชิกชมรมดนตรไี ทย 5. นาย ข เลน่ ซอด้วง และซออูไ้ ด้ 8. 19 9. กาหนด “เหตุ” เปน็ ดงั นี้ 2. มานะออกกาลงั กายสม่าเสมอ
ข้อใดตอ่ ไปน้เี ปน็ “ผล” ท่ีทาใหผ้ ลสรปุ สมเหตุสมผล (Onet’59; 8) 1. มานะไม่กนิ อาหารรสหวานจัด 3. สมศรีกนิ อาหารหวานจดั 5. สมศรอี อกกาลังกายสม่าเสมอ 10. กาหนด “เหตุ” เป็นดงั นี้
1. มานะไม่กินอาหารหวานจดั 2. มานะออกกาลงั กายสม่าเสมอ 3. สมศรกี ินอาหารหวานจดั 4. สมศรีไม่กนิ อาหารหวานจดั 5. สมศรีออกกาลังกายสม่าเสมอ 11. จงพจิ ารณา เหตุ ต่อไปนี้
ผลสรปุ ในขอ้ ใดต่อไปน้ีทาใหก้ ารอ้างเหตผุ ลสมเหตสุ มผล (Onet’58; 1) 1. ขาวไม่ชอบรสหวาน 2. ขาวชอบกนิ ผลไม้ 3. ดาชอบรสหวาน 4. ดาไม่ชอบรสหวาน 5. ดาไมช่ อบกินผัก 12. พจิ ารณาผลสรปุ ต่อไปน้ี ก. เหตุ 1) ทกุ คร้ังทฝ่ี นตก การจราจรจะตดิ ขัด
ผล วันน้ฝี นตก ข. เหตุ 1) ดาไมช่ อบกนิ ผกั
ผล ดาสายตาไม่ดี ค. เหตุ 1) ผู้ทป่ี ระหยดั จะไม่ยากจน
ผล นายมเี ป็นคนไมป่ ระหยัด ข้อใด ถูก (Onet’57; 6) 1. ข้อ ก. , ข. และ ค. สมเหตุสมผล 2. ข้อ ก. และ ข. สมเหตสุ มผล แต่ ค. ไมส่ มเหตสุ มผล 3. ขอ้ ข. และ ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. ไมส่ มเหตุสมผล 4. ข้อ ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. และ ข. ไม่สมเหตสุ มผล 20 5. ขอ้ ก. , ข. และ ค. ไม่สมเหตุสมผล 13. พจิ ารณาผลสรปุ ตอ่ ไปนี้ 2. ขอ้ ก. และ ข. สมเหตสุ มผล แต่ ค. ไม่สมเหตุสมผล (ก) เหตุ 1) ทุกคนท่อี ่านหนงั สือก่อนสอบจะสอบได้ 4. ข้อ ข. สมเหตุสมผล แต่ ก. และ ค. ไมส่ มเหตสุ มผล
ผล วนั นี้ฝนไม่ตก (ค) เหตุ 1) แมวบางตวั ไม่ชอบกนิ ปลา
3. ขอ้ ข. และ ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. ไมส่ มเหตสุ มผล 5. ขอ้ ก. , ข. และ ค. ไมส่ มเหตสุ มผล 14. พจิ ารณาผลสรุปต่อไปน้ี (ก) เหตุ 1) ถา้ ฝนไมต่ ก แล้ว เดชาไปโรงเรียน
ผล เดชาไมไ่ ปโรงเรียน (ข) เหตุ 1) รัตนาขยนั เรียน หรอื รตั นาสอบชงิ ทนุ รฐั บาลได้
ข้อใด ถูก (Onet’54; 3) 1. ขอ้ ก. สมเหตสุ มผล และ ข. สมเหตุสมผล 2. ขอ้ ก. สมเหตสุ มผล และ ข. ไมส่ มเหตสุ มผล 3. ขอ้ ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตสุ มผล 4. ข้อ ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 15. พจิ ารณาการใหเ้ หตุผลตอ่ ไปน้ี 2. พืชช้ันสูงบางชนดิ มีดอก เหตุ 1) A 4. พชื มดี อกบางชนดิ เปน็ พชื ชนั้ สูง
ข้อสรุปข้างต้นสมเหตสุ มผล ถา้ A แทนขอ้ ความใด 1. พชื ช้นั สูงทุกชนิดมดี อก 3. พชื มีดอกทกุ ชนดิ เปน็ พชื ชัน้ สูง 21 16. พจิ ารณาผลตา่ งระหว่างพจนข์ องลาดับ 2, 5, 10, 17, 26,... โดยการให้เหตผุ ลแบบอุปนยั พจนท์ ่ี 10 ของลาดบั คอื ขอ้ ใดต่อไปนี้ (ONET’52) 1. 145 2. 121 3. 101 4. 84 17. กาหนดเหตใุ หด้ งั ตอ่ ไปน้ี เหตุ (ก) ทุกจงั หวดั ทอ่ี ยไู่ กลจากกรุงเทพมหานครเปน็ จงั หวดั ทีม่ อี ากาศดี (ข) เชียงใหม่เป็นจังหวดั ท่มี อี ากาศไม่ดี ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนสี้ มเหตสุ มผล 1. เชยี งใหมเ่ ป็นจงั หวัดทอี่ ย่ไู มไ่ กลจากกรุงเทพมหานคร 2. นราธิวาสเป็นจังหวัดที่อย่ไู มไ่ กลจากกรุงเทพมหานคร 3. เชียงใหม่เปน็ จงั หวัดท่อี ยไู่ กลจากกรุงเทพมหานคร 4. นราธวิ าสเปน็ จังหวัดทอ่ี ยูไ่ กลจากกรงุ เทพมหานคร 18. จากรูปแบบต่อไปนี้ โดยการใหเ้ หตุผลแบบอุปนัย 2a – b + c มคี า่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี 4. 44 1. 11 2. 22 3. 33 19. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี 1. คนตกี อลฟ์ เกง่ ทุกคนเปน็ คนสายตาดี 2. คนท่ีตีกอลฟ์ ไดไ้ กลกวา่ 300 หลา บางคนเป็นคนสายตาดี 3. ธงชยั ตกี อลฟ์ เก่งแต่ตีได้ไม่ไกลกว่า 300 หลา แผนภาพในข้อใดต่อไปน้ี มีความเป็นไปไดท้ จ่ี ะสอดคลอ้ งกับขอ้ ความทั้งสามข้างต้นเมอ่ื จดุ แทนธงชยั 22 20. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี (1) นกั กีฬาทุกคนมีสุขภาพดี (2) คนที่มสี ขุ ภาพดีบางคนเป็นคนดี (3) ภราดรเปน็ นกั กฬี า และ เปน็ คนดี แผนภาพในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี มีความเป็นไปได้ทจี่ ะสอดคลอ้ งกบั ข้อความท้ังสามขา้ งต้นเมอ่ื จดุ แทนภราดร 21. เหตุ (1) ไมม่ ีคนขยันคนใดเปน็ คนตกงาน (2) มคี นตกงานทเ่ี ป็นคนใช้เงินเกง่ (3) มคี นขยนั ที่ไม่เปน็ คนใชเ้ งินเกง่ ผล ในข้อใดต่อไปนี้เป็นการสรปุ ผล จาก เหตขุ ้างต้นทีเ่ ป็นไปอยา่ งสมเหตุสมผล 1. มีคนขยนั ท่ีเปน็ คนใชเ้ งนิ เกง่ 2. มคี นใชเ้ งนิ เกง่ ที่เป็นคนตกงาน 3. มคี นใชเ้ งินเกง่ เป็นคนขยัน 4. มีคนตกงานทีเ่ ป็นคนขยนั 23 จานวนจรงิ (Real Number) จานวนนบั (Counting Number) จานวนธรรมชาต(ิ Natural Number ;N) หรือจานวนเต็มบวก(Possitive Integers; I+) {1, 2, 3,…} จานวนเตม็ (Integers) จานวนเต็มบวก (Possitive Integers) แทนด้วย I+ ={1,2,3,…} ศูนย์ (Zero) แทนด้วย 0 จานวนเตม็ ลบ (Nagative Integers) แทนด้วย I- ={…,-3,-2,-1} จานวนตรรกยะ (Rational Number; Q) จานวนทเี่ ขยี นให้อย่ใู นรูปเศษสว่ นได้ โดยท่เี ศษและเปน็ จานวนเต็ม และสว่ นไม่เทา่ กับ0 จานวนอตรรกยะ (Irrational Number; Q’) จานวนทีไ่ มส่ ามารถเขียนใหอ้ ยู่ในรปู เศษสว่ นได้ โดยทีเ่ ศษและเป็นจานวนเตม็ และ ส่วนไมเ่ ทา่ กบั 0 จานวนจรงิ (Real Number; R) จานวนตรรยะ ยเู นียน จานวนอตรรกยะ ≠ π 2, 3, 3 4 23,− 9 1 I- 0 I+ 3 7 2 1.2, 0.33…,-1.25 , 3 สมบตั กิ ารเทา่ กนั ของจานวนจรงิ ให้ a,b และ c∈R 1. สมบตั กิ ารสะทอ้ น a = a 2. สมบัตสิ มมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c 4. สมบัติการบวกด้วยจานวนท่เี ทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 24 5. สมบตั กิ ารคูณด้วยจานวนที่เทา่ กัน ถา้ a = b และ c≠0 แลว้ ac = bc สมบตั ริ ะบบจานวนจรงิ (Properties of Real Number) กาหนดให้ a,b และ c∈R การบวก การคณู สมบตั ปิ ดิ (Closure) a+b∈R ab∈R สมบตั สิ ลบั ท่ี (Commutative) a+b=b+a a+b=b+a สมบัตกิ ารเปลย่ี นกลุม่ (Associative) (a+b)+c = a+(b+c ) (ab)c = a(bc) สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์ (Identity) 0 เปน็ เอกลักษณ์การบวก 1 เปน็ เอกลกั ษณ์การคูณ 0 + a = a = a + 0 1∙a = a = a∙1 สมบตั ิการมอี ินเวอร์ส(Inverse) -a เปน็ อนิ เวอรส์ การบวก 1 เป็นอินเวอร์สการคูณ สมบตั แิ จกแจง (Distributive) (-a)+a = 0 =a+(-a) 1 a(b+c) = ab + ac ∙a = 1 = a∙ 1 เมือ่ a≠0 สมบตั กิ ารไมเ่ ทา่ กนั ของจานวนจรงิ 1. สมบตั ิการถ่ายทอด ถ้า a>b และ b>c แลว้ a>c 2. สมบัตบิ วกดว้ ยจานวนที่เทา่ กัน ถา้ a>b และ a+c > b+c 3. สมบัติการคูณดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั ถ้า a>b และ c>0 แล้ว ac > bc ถา้ a>b และ c<0 แลว้ ac < bc 4. สมบัติการตัดออกสาหรบั กาบวก ถ้า a+c > b+c แล้ว a>b 5. สมบัติการตดั ออกสาหรบั การคูณ ถ้า ac > bc และ c>0 แล้ว a>b ถ้า ac > bc และ c < 0 แลว้ a<b สมบตั ไิ ตรวภิ าค กาหนด a,b ∊ R ความสัมพนั ธร์ ะหว่าง a กบั b จะเกดิ ขึ้นเพียงกรณีเดียวเท่านนั้ ใน 3 กรณีต่อไปนี้ 1. a>b 2. a<b 3. a=b 25 ชว่ ง นิยาม กาหนด a,b ∊ R และ a < b 1. ช่วงเปิด (a , b) หมายถงึ x | a x b 2. ช่วงปิด [a , b] หมายถึง x | a x b 3. ช่วงคร่งึ เปิด (a , b] หมายถึง x | a x b 4. ช่วงคร่ึงเปดิ [a , b) หมายถึง x | a x b 5. ช่วงอนันต์ (a , ) หมายถงึ x | x a 6. ชว่ งอนันต์ [a , ) หมายถึง x | x a 7. ชว่ งอนันต์ (a , ) หมายถึง x | x a 8. ชว่ งอนันต์ [a , ) หมายถงึ x | x a พหุนาม (Polynomial) ▪ นยิ มแทนพหุนามด้วย P(x), Q(x), R(x) P(x) = 3x4–2x3+3x+7 พนุนามดกี รี 4 มี 4 พจน์ ▪ สญั ลักษณ์ P(c) หมายถึง ค่าของ P(x) เม่อื แทน x ด้วย c เชน่ P(x) = 3x4–2x3+3x+7 จะได้ P(1) = 3(1)4–2(1)3+3(1) +7 = 11 ▪ การบวก ลบพหุนาม ให้บวกเฉพาะสมั ประสิทธ์ิของเอกนามทค่ี ล้ายกัน เชน่ (3x4–2x3+3x+7) + (4x3-x+x2-3x+1) = 3x4+2x3+x2+8 (2x2+4x+1) - (x2-6x+5) = x2+10x-4 ▪ การคูณพหุนาม ใช้การแจกแจง (x + 2)(x + 5) = (x + 2)(x) + (x + 2)(5) = x2 +(2+5)x + 10 = x2+7x+10 การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม เช่น x2 -7x +12 = (x-3)(x-4) 1. ใชส้ มบตั ิการแจกแจง เชน่ 3x2 – 6x = 3x(x-2) 2. x2 + bx + c = (x+m)(x+n) โดย mn = c และ m+n = b 3. ax2 + bx + c = (Ax + M )(Bx +N ) โดยพจน์ตรงกลางตรวจสอบโดย b=MB+AN ใกลใ้ กล้ + ไกลไกล เชน่ 3x2 + 7x + 2 = (3x+1)(x+2) (3x 1) x สตู รการแยกตวั ประกอบ + (x 2) 6x ♥ กาลังสองสมบูรณ์ (น+ล)2 = น2 +2นล+ล2 (น-ล)2 = น2 -2นล+ล2 ♥ ผลตา่ งกาลังสอง น2 - ล2 = (น+ล)(น-ล) ♥ กาลงั สามของผลบวก /ผลต่าง (น+ล)3 = น3 +3น2 ล+3นล2 +ล3 (น-ล)3 = น3 -3น2 ล+3นล2 -ล3 ♥ ผลบวกกาลงั สาม ผลตา่ งกาลังสาม น3 + ล3 = (น + ล)(น2 – นล + ล2) น3 - ล3 = (น – ล)(น2 + นล + ล2) แบบฝกึ หดั 1. กาหนดให้ ax2+bx+c = (2x + 3)(3x – 1) จงหาคา่ ของ a+b+c 2. กาหนด P(x) = 3x + 1 ถา้ Q(x) = (x2–2x +3)P(x) จงหา P(1) 26 3. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี 2) x2+3x–54 3) 25 – 16x2
สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว (Quadratic Equation) ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a,b,c∊ R และ a≠0 1. แก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ 2. ใชส้ ูตร ax2 + bx + c = 0 (x+m)(x+n) = o ; x = - m , - n เช่น x2 –3x–4 = 0 x= − ± 2−4 (x-8)(x+5) = 0 2 x=8, -5 Note ; การพิจารณาคาตอบของสมการ 1. ถา้ b2 − 4ac > 0 แล้ว คาตอบของสมการจะมี 2 คาตอบ 2. ถ้า b2 − 4ac = 0 แล้ว คาตอบของสมการจะมี 1 คาตอบ 3. ถา้ b2 − 4ac < 0 แล้ว ไมม่ คี าตอบของสมการท่เี ปน็ จานวนจริง ถา้ สมการ ax2 + bx + c = 0 มีสองคาตอบทีแ่ ตกต่างกันแลว้ แบบฝึกหัด *** ผลบวกของคาตอบ = − *** ผลคูณของคาตอบ = จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้
27 5) x2 – 5x = – 4 6) 8x2 – 6x = 9 คา่ สมั บรู ณ์ (Absolute) นิยาม ถา้ x เป็นจานวนจรงิ ใดๆ คา่ สัมบูรณ์ x เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |x| ตัวอยา่ ง |2|=2 โดยมีความหมายดังนี้ | x | = {− เมอ่ื ≥ 0 เมอื่ < 0 ****สมบตั คิ า่ สมั บรู ณท์ สี่ าคญั **** | -2 | = 2 ให้ x , y เปน้ จานวนจรงิ ใด ๆ | 2-5 | = 3 1. |x| ≥ 0 เสมอทุกค่าของจานวนจริง x 2. |x| = |-x| 3. x = |x| 4. |x2| = |x|2 = x2 5. |xy| = |x| |y| สมการคา่ สมั บรู ณ์ |x|=a 6. | |= | | เม่อื y = 0 | | จะได้ x = a และ x = - a 7. |x-y| = |y-x| 8. |x+y| ≤ |x| + |y| 9. ถ้า x = y แล้ว |x| = |y| ตัวอย่าง จงหาคาตอบของสมการ | x - 5 | = 3 10. ถา้ |x| = |y| แล้ว x= y หรือ x-y วธิ ที า จาก | x - 5 | = 3 11. 2 = | | จะได้ x – 5 = 3 และ x – 5 = - 3 12. ถ้า a เป็นจานวนจริงบวกใดๆ x =8 x =2
28 เพิม่ เติม*** การแก้อสมการ อสมการ (Inequality) คอื ประโยคสัญลกั ษณท์ ่ีกลา่ วถึงความสมั พนั ธ์ของจานวน โดยมสี ญั ลักษณ์< (น้อยกว่า) \> (มากกวา่ ) ≤ (น้อยกว่าหรือเทา่ กับ) ≥ (มากกวา่ หรือเท่ากับ) ≠ (ไม่เทา่ กับ) บอกความสัมพันธ์ระหวา่ งจานวนเซตคาตอบของ อสมการใน x หมายถงึ เซตที่มสี มาชิกเป็นจานวนจริง โดยทจ่ี านวนเหล่านเี้ มื่อนามาแทน x แลว้ ทาใหอ้ สมการเปน็ จรงิ การแกอ้ สมการ คือ การหาเซตคาตอบของอสมการ การแก้อสมการจึงนยิ มใช้สมบัติ 2 ข้อดังตอ่ ไปนี้ 1. การบวกทงั้ สองข้างของอสมการด้วยจานวนจริง 2. การคูณท้งั สองข้างของอสมการดว้ ยจานวนจริงบวก ถ้าจะใช้สมบตั อิ ื่นตอ้ งระมัดระวังให้ดเี ป็นต้นว่าการคูณท้งั สองข้างของอสมการดว้ ยจานวนจริงลบการกลับตัวเศษเปน็ ตัวสว่ น การยกกาลังสองทั้ง สองขา้ ง ตอ้ งระมดั ระวังการเปลย่ี นเครอื่ งหมายของการไม่เท่ากัน ตวั อยา่ ง 1 จงแก้อสมการ 9x –2 < - 20 ค่าวิกฤต คือ x = 3 และ – 1 วิธีทา 9x –2 < - 20 (นา 2 มาบวกทัง้ สองขา้ ง); 9x –2 + 2 < - 20 + 2 9x < - 18 ∴ x < -2 ดงั น้ัน เซตคาตอบของอสมการ คือ {x|x < -2} ตวั อยา่ ง 2 จงแกอ้ สมการ x2– 2x – 3 ≤ 0 วธิ ีทา แยกตัวประกอบ จะได้ (x -3)(x + 1) ≤ 0 ดังน้นั เซตคาตอบของอสมการ คอื {x|-2 ≤ x ≤ 3} ตวั อยา่ ง 3 จงแกอ้ สมการ 3x2-7x + 2 ≥ 0 คา่ วิกฤต คือ x = 1/3 และ 2 วิธที า แยกตวั ประกอบ จะได้ (3x -1)(x - 2) ≤ 0 ดงั นัน้ เซตคาตอบของอสมการ คอื {x|x ≥ 1/3 หรอื x≥ 2 } 29 1. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี b 0 a 2 ถ้า a b 20 และ b 3 แลว้ a b มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด (ONET’63; 3) 1. 4 2. 6 3. 8 4. 12 5. 20 2. กาหนดให้ a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ขอ้ ใดถูกตอ้ ง (ONET’63; 4) 1. 2 a b 2a 4 2. a2 9 a2 3 3. 2 a2 1 2a2 2 4. (a 2)2 a2 4 5. (2a 4)2 8(a 2)3 3. กาหนดให้ a, b, s และ t เปน็ จานวนจริงบวก โดยที่ a < b และ s < t พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี (ONET’63; 5) ก) as < bt b a ข) t s s t ค) t a s s b t จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างตน้ ขอ้ ใดถูกตอ้ ง 1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียว 2. ขอ้ ความ ข) ถูกตอ้ งเพยี งข้อเดียว 3. ขอ้ ความ ค) ถูกตอ้ งเพยี งขอ้ เดยี ว 4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเทา่ นนั้ 5. ข้อความ ก) และ ค) ถูกตอ้ งเทา่ นัน้ 4. กาหนดให้ a เป็นจานวนจริงและ S x x 2 a เมอ่ื a 1 2 เซต S เปน็ สับเซตของเซตในขอ้ ใด 30 (ONET’63; 9) 2. { 3, 4, 5, 6 } 3. { -2, 1, 2, 3 } 1. { 1, 3, 5, 7 } 5. { - 5, -2, 2, 5 } 4. { -2 , -1, 1, 2 } 5. กาหนดให้ I แทนเซตจานวนเตม็ และ A = {x/ x∈I และ 2x2 –3x –14 ≤ 0} ผลรวมของสมาชกิ ทุกตัวในเซต A เท่ากบั เท่าใด(ONET’63; 15) 1. – 5 2. – 3 3. 3 4. 5 5. 7 6. บริษทั วางแผนการจ้างพนกั งาน โดยรายไดแ้ ละรายจา่ ยของบรษิ ทั คานวณไดด้ ังน้ี รายได้ตอ่ เดือน เทา่ กบั ax2 บาท และ รายจา่ ยต่อ เดอื น เทา่ กบั bx บาท เมือ่ x แทน จานวนพนักงานทีบ่ รษิ ทั จา้ งในหนงึ่ เดือน (คน) และ a, b เป็นจานวนจริงบวก จากขอ้ มลู เกย่ี วกับ การจา้ งพนกั งานของบริษัทน้ี พบว่า ในเดือนที่บรษิ ทั จา้ งพนักงาน 100 คน ในเดอื นนนั้ บรษิ ทั จะมีรายได้เท่ากบั รายจา่ ย ในเดอื นท่ีบรษิ ทั จา้ งพนกั งาน 200 คน ในเดือนน้ัน บรษิ ทั จะมรี ายได้มากกวา่ รายจา่ ยอยู่ 100,000 บาท ในเดือนท่ีบรษิ ทั นี้ จา้ งพนกั งาน 300 คน ในเดอื นนัน้ บรษิ ทั จะมรี ายไดม้ ากกว่ารายจ่ายอย่กู บี่ าท (ONET’63; 17) 1. 100,000 บาท 2. 150,000 บาท 3. 200,000 บาท 4. 250,000 บาท 5. 300,000 บาท 7. ผลลัพธ์ในข้อใดมีคา่ น้อยทส่ี ดุ (ONET’62; 1) 1. 2 4 2. 2 4 3. 5 6 4. 6 5 5. 6 5 8. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี a<b พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้ (ONET’62; 5) 1 ก) 0< ba ข) a b ค) a2 b2 จากข้อความ ก) ข) และ ค) ขา้ งต้น ข้อใดถูกต้อง 1. ขอ้ ความ ก) ถูกต้องเพยี งข้อเดยี วเท่านนั้ 2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพยี งข้อเดียวเท่านน้ั 3. ขอ้ ความ ค) ถูกต้องเพยี งขอ้ เดียวเทา่ นน้ั 4. ขอ้ ความ ก) และ ค) ถูกตอ้ งเทา่ นน้ั 31 5. ข้อความ ข) และ ค) ถูกตอ้ งเท่านน้ั 9. กาหนดให้ m และ n เปน็ ค่าคงตัวท่เี ปน็ จานวนจรงิ ถ้าคาตอบของสมการ x2 + mx + n = 0 คอื – 3 และ 2 แลว้ m + n เท่ากบั เท่าใด (ONET’62; 20) 1. – 1 2. – 5 3. – 6 4. – 7 5. – 11 10. เซตคาตอบของอสมการ 3 x 1 คอื เซตของขอ้ ใด (ONET’62; 21) 1. [0, 1] 2. [1, 2] 3. [2, 4] 4. [4, 16] 5. [4,∞) 11. เกตุซื้อโทรศัพท์จากรา้ นคา้ แหง่ หน่ึง ซ่ึงจดั รายการร่วมกับบตั รเครดิตของธนาคารสามแห่ง โดยลูกคา้ สามารถเลอื กผอ่ นชาระเงิน โดยไมเ่ สยี ดอกเบ้ยี ดงั นี้ (ONET’62 ข้อ 22) ธนาคาร ก ผอ่ นชาระเงิน 6 งวด แตล่ ะงวดชาระเงนิ เท่า ๆ กัน ธนาคาร ข ผอ่ นชาระเงนิ 8 งวด แต่ละงวดชาระเงนิ เทา่ ๆ กัน ธนาคาร ค ผอ่ นชาระเงิน 10 งวด แต่ละงวดชาระเงนิ เทา่ ๆ กนั ถา้ การผ่อนชาระเงินกบั บตั รเครดิตของธนาคาร ก ต้องชาระเงนิ ในแตล่ ะงวดมากกว่าการผอ่ นชาระเงนิ กับบัตรเครดติ ของธนาคาร ข ในแต่ละงวดอยู่ 500 บาท แลว้ การผ่อนชาระเงนิ กับบตั รเครดิตของธนาคาร ค ต้องชาระเงนิ งวดละกี่บาท 1. 1,000 บาท 2. 1,200 บาท 3. 1,500 บาท 4. 2,000 บาท 5. 2,500 บาท 12. นอ้ งได้รบั เงนิ ไปโรงเรียน m บาท โดยที่ m > 0 พ่ไี ดร้ ับเงินไปโรงเรียนเปน็ 2 เท่าของจานวนเงนิ ท่นี ้องไดร้ ับไปโรงเรยี น ถ้าผลคูณของจานวนเงินท่ีพ่กี บั น้องได้รับเปน็ 10เทา่ ของผลรวมของจานวนเงินท่ีทัง้ สองคนไดร้ ับ แล้วพี่และน้องทั้งสองคนนีไ้ ดร้ บั เงินไปโรงเรยี น รวมกนั ก่ีบาท (ONET’62; 37) 32 13. 4 5 5 1 มีค่าเท่ากบั เท่าใด (ONET’61; 1) 5 5 1. 5 2. 2 5 3. 3 5 4. 2 3 5 5. 8 5 25 5 14. จานวนเต็ม x ท่ีสอดคล้องอสมการ 5 2x 1 x 2 11 มีจานวนท้ังหมดเทา่ กบั ขอ้ ใด (ONET’61; 5) 12 4 3 12 1. 3 จานวน 2. 4 จานวน 3. 5 จานวน 4. 6 จานวน 5. 7 จานวน 15. รา้ นขายเสือ้ แห่งหนึง่ ขายเสอ้ื ราคาตัวละ 200 บาท หากซอ้ื เส้ือต้งั แต่ 30 ตัวขน้ึ ไป จะไดส้ ่วนลด 20% ทุกตัว ถา้ เอม ซ้ือเส้ือ 25 ตัว เปน็ เงนิ ท้งั หมด a บาท และ บมี ซือ้ เสอ้ื 30 ตัว เปน็ จานวนเงิน b บาท แลว้ ข้อใดถูกตอ้ ง (ONET’61; 8) 1. a = b – 200 2. a = b + 200 3. a = b 4. a = b – 1000 5. a = b + 1000 16. กาหนดให้ c > 0 ถา้ เซตคาตอบของอสมการ x2 + 2cx – 6c < 0 คือ ช่วงเปิด ( - 3c , c ) แล้ว c มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด (ONET’61; 16 ) 1. 1 2. 1 3. 1 4. 3 5. 2 42 2 33 17. เซตจานวนจรงิ k ทที่ าให้สมการ x2 – kx + 5 = 0 ไมม่ ีคาตอบทเ่ี ปน็ จานวนจรงิ คือเซตในข้อใด (ONET’61; 17) 1. (, 20) 2. (, 20) 3. ( 20, 20) 4. [0,) 5. (,0] 18. สระวา่ ยนา้ “รกั สุขภาพ” คิดค่าบรกิ าร 2 แบบ คือ แบบท่ี 1 บคุ คลทไ่ี มเ่ ปน็ สมาชกิ คิดคา่ ใช้สระวา่ ยนา้ 40 บาทต่อคร้ัง แบบท่ี 2 บุคคลที่เปน็ สมาชิก คดิ คา่ สมาชิกรายปี 2,000 บาท และ คา่ ใช้สระว่ายนา้ 15 บาทตอ่ ครั้ง ภายใน 1 ปี จานวนคร้งั ท่ีนอ้ ยท่ีสดุ ในการใชส้ ระว่ายน้าใน 1 ปีทีท่ าให้จานวนเงินทต่ี ้องจา่ ยท้ังหมดของบคุ คลทเี่ ป็นสมาชกิ น้อยกวา่ ของบคุ คลทไี่ ม่เป็น สมาชิก เท่ากบั ขอ้ ใด (ONET’61; 18 ) 1. 79 คร้ัง 2. 81 ครง้ั 3. 101 ครง้ั 4. 133 คร้ัง 5. 134 คร้ัง 19. ถา้ a 5 b 7 0 แลว้ a + b เท่ากบั เท่าใด (ONET’61; 29) 20. ถ้าจานวนจริง x แทนดว้ ยจุดบนเส้นจานวนจรงิ ดังรูป แล้วขอ้ ใดถูก (ONET’60; 1) 1. | | < 2 2. |− | < 2 3. | − 1| < 4 4. | + 2| > 1 5. | + 2| = + 2 34 21. สาหรบั จานวนจรงิ x, y และ z ใด ๆ ข้อใดตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ (ONET’60; 6) 1. (xn)1⁄n = x ทุกจานวนเต็มบวก n 2. √ + = + √ 3. ถา้ < แลว้ 2 < 2 4. ถา้ < และ < 0 แลว้ > 5. 2 + 2 ≤ 2 22. มูลนิธิหนง่ึ จัดสรรเงนิ จานวนไม่เกนิ 100,000 บาท เปน็ ทนุ การศึกษาสาหรบั นักเรียน ดังนี้ ทนุ สาหรบั นักเรยี นมัธยมตน้ ทนุ ละ 4,000 บาท ทุนสาหรับนกั เรียนมัธยมปลาย ทุนละ 6,000 บาท ถ้ามลู นิธิกาหนดให้ จานวนทุนสาหรบั นักเรยี นมัธยมต้น เปน็ สองเทา่ ของจานวนทุนสาหรบั นักเรยี นมัธยมปลายแล้วจานวนทนุ รวมทง้ั หมด มีได้มากทสี่ ุดกท่ี ุน (ONET’60; 7) 1. 15 ทุน 2. 18 ทุน 3. 21 ทุน 4. 24 ทนุ 5. 27 ทุน 23. ถา้ ความยาวของดา้ นของสามเหล่ียมมุมฉาก เป็น x, x+2 และ x+3 หนว่ ย ดงั รูป แลว้ ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยมเป็นเทา่ ใด (ONET’60; 19) 1. 8+3 6 หน่วย 2. 8 – 3 6 หนว่ ย 3. 1 + 6 หน่วย 4. 1 – 6 หน่วย 5. 11 + 6 6 หน่วย 35 24. นาลวดยาว 32 เซนติเมตร มาดัดทาเปน็ โครงกลอ่ ง รูปทรงส่เี หล่ียมมุมฉากไดพ้ อดี โดยมีดา้ นข้างทั้งสองเป็นรูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ สั ยาวดา้ นละ x เซนตเิ มตร และโครงกล่องยาว y เซนติเมตร ดังรูป ถา้ V เปน็ ปรมิ าตรกลอ่ ง(ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร) แล้วข้อใดถูก (ONET’60; 20) 1. V = 2x2(2 – x) 2. V = 2x2(3 – x) 3. V = 2x2(4 – x) 4. V = 2x(2 – x) 2 5. V = 4x(3 – x) 2 25. จากกราฟ เซตคาตอบของอสมการ ≤ (4 − ) คอื ชว่ งในขอ้ ใด 2 (ONET’60; 22) 1. [0,2] 2. [0,2.5] 3. [0,3] 4. [0,3.5] 5. [0,4] 26. จานวนเตม็ x ที่ทาให้ 16 6x x2 เป็นจานวนจริง มีทัง้ หมดก่ีจานวน (ONET’60; 37) 27. ร้านค้าแหง่ หนง่ึ ขายเส้ือสามแบบ คอื เสอ้ื ยืด ราคาตวั ละ 150 บาท เส้อื โปโล ราคาตัวละ 200 บาท และเสอื้ เชิต้ ราคาตวั ละ 300 บาท ถา้ จานวนเสื้อยืดขายได้เป็น 4 เท่าของเสอ้ื เชติ้ และจานวนเสอื้ โปโลท่ีขายได้เป็น 2 เทา่ ของเส้อื เช้ติ ทาให้ทางร้านขายไดเ้ งนิ ทง้ั หมด 26,000 บาท แล้ว เสื้อทขี่ ายได้มจี านวนทงั้ หมดก่ีตัว (ONET’60; 38) 36 28. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ปน็ จริง (ONET’59; 2) 1. ถา้ a < b แล้ว 1 > 1 2. ถ้า a < b แล้ว a2 < b2 4. √( + )2 = | + | 3. ถ้า a < b แลว้ c < d แล้ว ac < bd 5. | + | = | | + | | 29. กาหนดให้ A = { ∈ || + 1| ≤ 2} และ B = { ∈ | 2 − = 0} ขอ้ ใดถูก (ONET’59; 7) 1. A ∩ B = {0} 2. A ∪ B = 3. B − = ∅ 4. − = 5. ′ ∪ B′ = (1, ∞) 30. ถา้ | + 1| = 3 และ x มีค่าอยรู่ ะหวา่ ง – 5 กับ 1 แลว้ | | มีคา่ เท่าใด (ONET’59; 12) 1. – 16 2. – 4 3. 4 4. 8 5. 16 31. โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิง่ ด้วยอัตราเร็ว 96 ฟตุ /วนิ าที เมอ่ื เวลาผา่ นไป t วินาที ก้อนหนิ อยูท่ ่คี วามสงู h ฟตุ จากพื้นดิน ถา้ ความสมั พันธร์ ะหวา่ ง h และ t คือ h = 96t – 16t2 แล้วช่วงเวลาในข้อใดท่กี อ้ นหนิ อยูส่ ูงจากพนื้ ดนิ อย่างนอ้ ย 80 ฟุต(ONET’59; 16) 1. 1 ≤ ≤ 2 2. 1 ≤ ≤ 5 3. 2 ≤ ≤ 3 4. 2 ≤ ≤ 4 5. 3 ≤ ≤ 6 32. พรเทพขับรถออกจากเมอื ง A เมื่อเวลา 13:00 ดว้ ยอัตราเรว็ 40 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง หลงั จากนั้น 30 นาที สธุ ขี ับรถออกจากเมอื ง A โดยมีจดุ เร่มิ ตน้ และใช้เส้นทางเดียวกบั พรเทพ ด้วยอตั ราเร็ว 55 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง สธุ จี ะขบั รถไปทนั พรเทพเม่ือเวลาใด (ONET’59; 18) 1. 14: 10 น. 2. 14:50 น. 3. 15:15 น. 4. 15:20 น. 5. 15:30 น. 37 33. อาหารเมด็ สาหรบั เลีย้ งแมวของบรษิ ัท A และ B มีส่วนผสมของโปรตีนและคารโ์ บไฮเดรตตอ่ 1 ถุงเปน็ ตาราง จานวน(กรมั ) AB โปรตีน 10 20 คารโ์ บไฮเดรต 15 45 สดุ าซ้ืออาหารเม็ดจากบรษิ ทั A จานวน x ถงุ และจากบริษัท B จานวน y ถุงมาผสมกนั เพื่อใหอ้ าหารมโี ปรตนี ไมน่ อ้ ยกวา่ 340 กรมั และมคี ารโ์ บไฮเดรตไมน่ ้อยกวา่ 420 กรมั แล้วขอ้ ใดถูก (ONET’59; 19) 1. x + 2y ≥ 30 และ x + 3y ≥ 20 2. x + 2y ≥ 34 และ x + 3y ≥ 28 3. 2x + y ≥ 34 และ x + 3y ≥ 28 4. 2x + y ≥ 30 และ 3x + y ≥ 20 5. x + 2y ≥ 34 และ x + 3y ≥ 26 34. ถา้ a และ b เปน็ ความยาวของด้านของรูปสีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั ทีม่ ีพนื้ ท่ี 9 ตารางหนว่ ย และ 12 ตารางหนว่ ย ตามลาดับ แลว้ เซต {a, b, ab, a + b, a – b, a2 + b2} มจี านวนตรรกยะกี่ตวั (ONET’59; 34) 35. ขอ้ ใดมีทัง้ จานวนเตม็ จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ (ONET’58; 3) 1 -7.222..., 3, π - 1 2. 11, 3 −8, 2.555 7 3. 12, - π , 9 − 1 4. − 3, 6.060060006…, 5 1000 36. จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถา้ a, b และ c เปน็ จานวนจริงใด ๆ และ a < b < c แล้ว ab < bc ข. ถ้า a และ b เป็นจานวนอตรรกยะ และ a≠ b แล้ว เป็นจานวนอตรรกยะ ค. ถา้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด แล้ว | | − | | ≤ | − | ขอ้ ใดถูก (ONET’58; 4) 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผดิ 3. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด 4. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด 38 5. ก., ข. และ ค. ผิด 37. กาหนดให้ A = { |3 2 + 5 − 12 < 0} และ B = { | 1 − 2 ≥ 0} A – B มีสมาชกิ ทเ่ี ป็นจานวนเตม็ กีต่ ัว −1 (ONET’58; 9) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 38. ให้ I = เซตของจานวนเต็ม ถา้ A = { | ∈ และ | − 2| ≤ 7} และ A = { | ∈ และ | + 1| > 2} แลว้ ข้อใดถูก (ONET’58; 10) 1. ∩ มีสมาชิก 12 ตวั 2. สมาชิกของ ∩ ที่เปน็ จานวนคู่และเปน็ บวกมี 3 ตัว 3. สมาชิกของ ∩ ทเี่ ป็นจานวนเฉพาะที่มคี ่ามากทสี่ ุดคอื 5 4. สมาชกิ ของ ∩ ท่ีมีค่านอ้ ยท่ีสดุ คือ – 4 5. ผลบวกของสมาชกิ ทกุ ตวั ของ ∩ มีคา่ เทา่ กบั 35 39. กลอ่ งรูปสี่เหลยี่ มมมุ ฉาก ไม่มีฝาปดิ ใบหน่งึ มคี วามจุ 126 ลูกบาศก์ฟุต ถ้าเส้นรอบฐานของกลอ่ งยาว 20 ฟตุ และกล่องสูง 6 ฟตุ แล้วพืน้ ทผี่ ิวของกลอ่ งเทา่ กับก่ตี ารางฟตุ (ONET’58; 19) 1. 120 2. 141 3. 146 4. 154 5. 162 40. บริษัทเทย่ี วท่ัวไทย จากดั ตอ้ งการจัดนาเทย่ี วสาหรับกลุม่ นกั ทอ่ งเทยี่ วไมเ่ กิน 40 คน โดยมีคา่ เชา่ รถ 10,000 บาท และค่าใช้จา่ ย อ่ืน ๆ 250 บาทต่อคน ถา้ บรษิ ัทคดิ คา่ บรกิ ารคนละ 600 บาท แล้วจะตอ้ งมีนักท่องเทีย่ วอย่างนอ้ ยทส่ี ุดกค่ี นบริษทั จงึ จะมีกาไรไม่นอ้ ยกวา่ 2,000 บาท (ONET’58; 20) 1. 34 2. 35 3. 36 4. 37 5. 38 39 41. รา้ นคา้ แหง่ หน่งึ ส่งั ซือ้ สินค้า A และ B จากผูผ้ ลิต โดยสัง่ ซอื้ 2 ครงั้ ดงั นี้ A(ชน้ิ ) B(ช้นิ ) รวมเป็นเงิน(บาท) ครง้ั ที่ 1 3 4 320 ครงั้ ที่ 2 2 3 230 ถา้ ครง้ั ต่อไปสัง่ ซ้อื สนิ ค้า A และ B อย่างละ 1 ช้นิ จะตอ้ งจ่ายเงินก่บี าท (ONET’58; 33) 42. กาหนดให้ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ พิจารณาข้อความต่อไปน้ี ก. ถา้ ab = ac แล้ว b = c ข. ถ้า | | < 0 และ b < 0 แล้ว | | < 0 ค. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว + ≥ 2 ขอ้ ใดถูก (ONET’57; 1) 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ข. และ ค.ถูก แต่ ก. ผิด 4. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผดิ 5. ค. ถูก แต่ ก.และ ข. ผดิ 43. ให้ = 18 − 12 และ = 75 − 50 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. a และ b เป็นจานวนอตรรกยะ ข. 3a < 2b ค. a + b < 2 ข้อใดถูก (ONET’57; 3) 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผดิ 3. ข. และ ค.ถูก แต่ ก. ผิด 4. ค. ถูก แต่ ข. และ ค. ผดิ 5. ก. ถูก แต่ ข. และ ค. ผดิ 44. ผลบวกของรากทง้ั หมดของสมการ +1 + = 1 เท่ากบั ข้อใด (ONET’57; 9) +2 1. – 4 2. – 3 3. – 2 4. 1 5. 2 40 45. ถา้ = { | | + 1| + 1 > 2} แล้ว ช่วงในขอ้ ใดเป็นสบั เซตของ A (ONET’57; 10) 1. ( - 4, 2] 2. (- 3,-1) 3. [ -1,0) 4. [0,2) 5. [2,3) 46. กาหนดให้ = { | | − 2| < 3} และ = { | 2 − 3 − 4 > 0} สมาชิกของ A – B เป็นจานวนเต็มมีก่ีตัว (ONET’57; 11) 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7 47. แม่ค้าชาระคา่ กว๋ ยเตี๋ยวชามละ 25 บาท โดยมคี า่ เช่ารา้ นวนั ละ 120 บาท และตน้ ต้นคา่ วตั ถดุ บิ ทัง้ หมดคดิ เป็นชามละ 18 บาท ถ้า ต้องการให้ไดก้ าไรไม่ต่ากว่าวันละ 500 บาท เขาตอ้ งขายให้ไดอ้ ยา่ งน้อยวนั ละกีช่ าม (ONET’57; 37) 48. หอ้ งประชุมแห่งหนึ่งจดั เปน็ ท่นี ง่ั เป็นแถวโดยนาโต๊ะมาเรยี งตอ่ กนั เปน็ แถว แถวละ 5 ต้น หลังจากจัดแลว้ ได้ทนี่ ั่งท้งั หมด 60 ทน่ี ั่ง ถา้ จานวนแถวน้อยกวา่ จานวนท่นี ั่งในแตล่ ะแถวอยู่ 4 หอ้ งประชมุ นม้ี โี ตะ๊ ท้ังหมดก่ีตวั (ONET’57; 38) 49. ให้ a, b และ c เปน็ จานวนจริงใด ๆ พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี (ก) ถ้า ab = ac แลว้ จะได้ว่า b = c (ข) ถ้า a < b แล้วจะไดว้ ่า a2 < b2 (ค) ถ้า a > b และ b > c แลว้ ab < bc ขอ้ ใดถูก (ONET’56; 1) 1. (ก), (ข) ถูก และ (ค) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) และ (ค) ผิด 3. (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผดิ 4. (ข) ถูก แต่ (ก) และ (ค) ผดิ 41 5. (ก), (ข) ถูก และ (ค) ผดิ 50. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มจี านวนตรรกยะอย่เู พยี งสองจานวน (ONET’56; 2) 1. − 4, π - 22 ,1.010010001 2. 3 2, 8, π2 7 4. 9 , 1.1111 … , 3 8 3. π +1, 16,1.101001000100001 11 5. 0. 8, 8 − 2, 3 3 51. ให้ = 2 − 1.4 B = π – 3.1 และ C = 5 − 1.63 ข้อใดถูก (ONET’56; 3)3 1. A < B < C 2. C < A < B 3. B < A < C 4. C < B < A 5. A < C < B 52. กาหนดให้ = { | (2 + 1)(4 − 3 ) > 0} ขอ้ ใดเปน็ เซตย่อยของ A (ONET’56; 6) 1. (-1.2, -0.2) 2. (-0.9,0.3) 3. (-0.6,1.2) 4. (0.4,1.5) 5. (0.3,1.3) 53. ถา้ รูปส่เี หลี่ยมผืนผ้ามดี ้านยาว ยาวกวา่ ดา้ นกวา้ งอยู่ 3 ฟุต และเสน้ ทแยงมมุ ยาวกวา่ ดา้ นกวา้ งอยู่ 7 ฟุต แลว้ เสน้ รอบรูปของรูป ส่ีเหลี่ยมน้ียาวกฟี่ ุต (ONET’56; 11) 1. 11 + 4 14 2. 11 + 8 21 3. 22 + 4 14 4. 22 + 4 21 5. 22 + 8 14 54. จานวนเตม็ ท่ีสอดคลอ้ งกับอสมการ | − 3| ≤ 4 มีกจี่ านวน (ONET’56; 33) 42 55. โรงพมิ พ์แห่งหนึ่งคดิ คา่ จ้างในการพมิ พ์แผน่ พบั แยกเป็น 2 สว่ น คอื สว่ นท่ีหนง่ึ เปน็ คา่ เรียงพิมพ์ ซึ่งไมข่ ึ้นกับจานวนแผ่นพบั ท่ีพิมพ์ กับส่วนทสี่ องเป็นคา่ พิมพ์ ซึง่ ขึน้ อยู่กบั จานวนแผ่นพับทพ่ี มิ พ์ โดยโรงพมิ พเ์ สนอราคาดงั น้ี ถ้าสงั่ พิมพ์ 100 ใบ จะคิดค่าจา้ งรวมทงั้ หมดเปน็ เงิน 800 บาท และ ถ้าส่ังพิมพ์ 200 ใบ จะคดิ คา่ จ้างรวมทัง้ หมดเป็นเงนิ 1,100 บาท โรงพิมพค์ ิดคา่ เรียงพมิ พก์ ี่บาท (ONET’56; 35) 56. พีม่ เี งินมากกว่านอ้ ง 120 บาท ถา้ ทงั้ สองคนมีเงนิ รวมกนั ไมเ่ กนิ 1,240 บาท แลว้ พี่มีเงนิ มากท่ีสุดกบ่ี าท(ONET’56; 36) 57. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ถ้า a และ b เปน็ จานวนจริงซ่งึ | | < | | แล้ว a3 < b3 ข. ถา้ a, b และ c เปน็ จานวนจริง ซง่ึ ac = bc แล้ว a = b ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง (ONET’54; 5) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผดิ 58. กาหนดให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ซึง่ | | 3 > 0 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง (ONET’54; 6) 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 43 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ 59. ถ้าสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มรี ากทเ่ี ปน็ จานวนจริงเพียง 1 ราก คา่ ของ c จะอยูใ่ นช่วงใดต่อไปน้ี (ONET’54;7) 1. (0, 3) 2. (3, 6) 3. (6, 9) 4. (9, 12) 60. ถ้า a, b, c และ d เป็นจานวนจริงซง่ึ (x – 1) 2 (ax + b) = cx3+ dx + 4 ทกุ จานวนจริง x แลว้ a + b + c + d เท่ากบั เท่าใด (ONET’54; 25) 61. ถ้าชว่ งเปิด (a,b) เปน็ เซตคาตอบของอสมการ | − 1| + |6 − 3 | < 17 และ x > 2 แล้ว a + b เทา่ กับเท่าใด (ONET’54; 27) 62. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. จานวนทเี่ ป็นทศนยิ มไม่รูจ้ บบางจานวนเปน็ จานวนอตรรกยะ ข. จานวนท่ีเปน็ ทศนยิ มไมร่ ูจ้ บบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ ขอ้ ใดถูกต้อง (ONET’53; 3) 1. ข้อ ก. และ ข้อ ข. 2. ข้อ ก. เท่านนั้ 3. ข้อ ข. เทา่ นนั้ 4. ข้อ ก. และขอ้ ข. ผิด 44 63. กาหนดให้ s, t, u และ v เปน็ จานวนจริง ซ่งึ s < t และ u < v พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. s – u < t – v ข. s – v < t – u ข้อใดถูกตอ้ ง (ONET’53; 4) 1. ขอ้ ก. และ ข้อ ข. 2. ข้อ ก. เท่านน้ั 3. ข้อ ข. เทา่ น้ัน 4. ข้อ ก. และขอ้ ข. ผิด 64. ผลเฉลยของสมการ 2|5 − | = 1 อยู่ในช่วงใด (ONET’53; 5) 1. (-10, -5) 2. (-6, -4) 3. (-4, 5) 4. (-3, 6) 65. ถ้า 3 เป็นผลเฉลยหนง่ึ ของสมการ 4x2 + bx – 6 = 0 เมอื่ b เปน็ จานวนจริงแลว้ อีกผลเฉลยหนึง่ ของสมการนม้ี คี ่าตรงกบั ข้อใด 4 (ONET’53; 6) 1. – 2 2. − 1 3. 1 4. 2 2 2 66. รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากรูปหนงึ่ มพี ้ืนที่ 600 ตารางเซนติเมตร ถา้ ด้านประกอบมมุ ฉากดา้ นหนงึ่ ยาวเปน็ 75% ของด้านประกอบมุมฉาก อีกด้านหน่ึงแลว้ เส้นรอบรูปสามเหลย่ี มมุมฉากรูปนี้ ยาวกเี่ ซนติเมตร (ONET’53; 14) 1. 120 2. 40 3. 60 2 4. 86 67. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี (ก) มจี านวนตรรกยะท่นี ้อยทส่ี ดุ ที่มากกว่า 0 (ข) มีจานวนอตรรกยะที่นอ้ ยทส่ี ดุ ทมี่ ากกว่า 0 ข้อสรุปใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง (ONET’52; 1) 45 1. (ก) ถูก (ข) ถูก 2. (ก) ถูก (ข) ผิด 3. (ก) ผิด (ข) ถูก 4. (ก) ผิด (ข) ผดิ 68. กาหนดให้คา่ ประมาณที่ถูกตอ้ งถงึ ทศนิยมตาแหนง่ ที่ 3 ของ 3 และ 5 คอื 1.732 และ 2.236 ตามลาดับ พจิ ารณาข้อความ ต่อไปนี้ (ก) 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 (ข) 2.235 - 1.731 ≤ 5 − 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอ้ สรปุ ใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (ONET’52; 3) 1. (ก) ถูก (ข) ถูก 2. (ก) ถูก (ข) ผดิ 3. (ก) ผิด (ข) ถูก 4. (ก) ผดิ (ข) ผดิ 69. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี (ก) สมบตั ิการมอี นิ เวอร์สการบวกของจานวนจริงกลา่ ววา่ สาหรับจานวนจริง a จะมจี านวนจริง b ท่ี b + a = 0 = a + b (ข) สมบตั ิการมีอนิ เวอรส์ การคูณของจานวนจรงิ กล่าววา่ สาหรับจานวนจรงิ a จะมจี านวนจริง b ท่ี ba = 1 = ab ขอ้ สรปุ ใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (ONET’52; 4) 1. (ก) ถูก (ข) ถูก 2. (ก) ถูก (ข) ผิด 3. (ก) ผดิ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด (ข) ผิด 70. ให้ a และ b เป็นจานวนตรรกยะทีแ่ ตกต่างกัน ให้ c และ d เปน็ จานวนอตรรกยะทแี่ ตกต่างกัน พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ (ก) a – b เปน็ จานวนตรรกยะ (ข) c – d เปน็ จานวนอตรรกยะ ข้อสรปุ ใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง (ONET’52; 5) 1. (ก) ถูก (ข) ถูก 2. (ก) ถูก (ข) ผดิ 3. (ก) ผดิ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด (ข) ผดิ 71. พิจารณาสมการ | − 7| = 6 ข้อสรปุ ใดต่อไปนี้เปน็ เท็จ (ONET’52; 6) 1. คาตอบหนึง่ ของสมการมคี า่ ระหว่าง 10 และ 15 2. ผลบวกของคาตอบทง้ั หมดของสมการมีคา่ เท่ากบั 14 3. สมการน้ีมคี าตอบมากกว่า 2 คาตอบ 4. ในบรรดาคาตอบทง้ั หมดของสมการ คาตอบทนี่ ้อยทส่ี ดุ มีคา่ นอ้ ยกวา่ 3 72. ต้องการลอ้ มรวั้ รอบทด่ี นิ รูปสเ่ี หลยี่ มผืนผา้ ซ่ึงมพี นื้ ที่ 65 ตารางวา โดยดา้ นยาวของท่ีดนิ ยาวกว่าสองเท่าของด้านกวา้ งอยู่ 3 วา จะต้อง ใช้รว้ั ทีม่ คี วามยาวเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (ONET’52; 21) 1. 30 วา 2. 36 วา 3. 42 วา 4. 48 วา 46 73. เซตคาตอบของอสมการ −1 ≤ 2 + ≤ 1 คอื เซตในข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’51; 4) 1− 2 1. [ 2 − 1,1] 2. [ 2 − 1,2] . 3. [3 − 2 2, 1] 4. [3 − 2 2, 2] 74. สมการในขอ้ ใดตอ่ ไปน้มี คี าตอบที่เปน็ จานวนจริงมากกว่า 2 คาตอบ (ONET’51; 6) 1. (x – 2)2 + 1 = 0 2. (x2+ 2) (x2 – 1) = 0 3. (x – 1)2(x2+ 2) = 0 4. (x – 1)2(x +2)2 = 0 75. จานวนสมาชิกของเซต { | = ( + | 1 |)2 − (| | − 1)2 เม่ือ เปน็ จานวนจริงซงึ่ ไมเ่ ทา่ กับ 0} เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (ONET’51;21) 1. 1 2. 2 3. 3 4. มากกว่าหรอื เท่ากับ 4 76. ผลบวกของคาตอบทุกคาตอบของสมการ 3 − 2 = | | เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ONET’51; 24) 1. 0 2. 3 3. 3 − 1 4. 3 + 1 77. แมค่ ้านาเมล็ดมะมว่ งหมิ พานต์ 1 กโิ ลกรมั ถว่ั ลิสงค์ 3 กิโลกรมั และเมลด็ ฟักทอง 4 กโิ ลกรัม มาผสมกนั แล้วแบ่งใสถ่ ุง ถงุ ละ 100 กรัม ถ้าแม่ค้าซ้ือเมล็ดมะมว่ งหิมพานต์ ถ่ังลสิ ง และเมล็ดฟักทองมาในราคากโิ ลกรมั ละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลาดบั แลว้ แมค่ ้าจะต้องขายเมล็ดพืชผสมถงุ ละ 100 กรมั น้ี ในราคาเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี งึ จะได้กาไร 20% เมอื่ ขายหมด (ONET’51; 37) |
Search ข อสอบจร ง onet ม.6 คณ ต
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.ketajaman Inc.
