ในชีวิตประจำวัน เรามักจะได้ยินคำว่า “โอกาส” เช่น โอกาสที่ฝนจะตกเท่ากับ 80% หมายถึง เหตุการณ์ที่ฝนจะตกมากกว่าเหตุการณ์ที่ฝนไม่ตก แต่ถ้าเราโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ โอกาสที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยเป็นจำนวนเท่า ๆ กัน คือ 50% ซึ่งสิ่งที่อาจจะเกิดหรือไม่เกิดนั้นเรียกได้ว่าเป็นความน่าจะเป็น ซึ่งเราสามารถคำนวณได้ตามสูตรต่าง ๆ ดังต่อไปนี้ Show
[สรุปความน่าจะเป็น ม.4] หลักการบวกและการคูณในการที่เราจะนับจำนวนสิ่งของ เหตุการณ์ หรือ จำนวนวิธีในการทำงานบางอย่าง อาจจะสามารถนับได้โดยตรง แต่หากสิ่งที่จะนับมีจำนวนมาก อาจจะทำให้การนับโดยตรงนั้นทำได้ยาก จึงมีหลักการนับ เพื่อช่วยให้การนับสิ่งที่มีจำนวนเยอะ ทำได้ง่ายขึ้น หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยนหากมีสิ่งของอยู่ n ชิ้นแตกต่างกัน หากต้องการจะนำสิ่งของ r ชิ้นจากสิ่งของที่มีอยู่
การจัดหมู่การเลือกกลุ่มของสิ่งของมา โดยไม่คำนึงถึงลำดับในการเรียงของสิ่งของในกลุ่มที่เลือกมา [สรุปความน่าจะเป็น ม.5] การทดลองสุ่มและเหตุการณ์การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้ว่า เช่น การทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง แต้มที่ปรากฏอาจเป็น 1-6 แต่ไม่สามรถบอกได้ว่าจะเป็นเลขใด ปริภูมิตัวอย่าง หรือ แซมเปิลสเปซ ความน่าจะเป็นความน่าจะเป็น คือ จำนวนที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่สนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด บทนิยาม ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด โดยสมาชิกทุกตัวของ S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และให้ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S ความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วย P(E) เมื่อ n(E) แทนจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E และ n(s) แทนจำนวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง S สรุปความน่าจะเป็น สมบัติพื้นฐาน
ตัวอย่าง
วิธีทำ ให้ S แทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มนี้ จากหลักการคูณ จะได้ว่า วิธีเลือกจำนวนสองจำนวนนี้ไม่ซ้ำกันจาก {1,2,3,4,5} ทั้งหมด 5 x 4 = 20 วิธี ให้ E แทนเหตุการณ์ที่จะได้จำนวนแรกมากกว่า 3 และจำนวนทั้งสองไม่ซ้ำกัน หาจำนวนสมาชิก E ได้ดังนี้ ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนแรกได้ 2 วิธี เลือก 4 หรือ 5 ขั้นที่ 2 ในแต่ละวิธีของขั้นที่ 1 จะมีวิธีเลือกจำนวนที่สองที่ไม่ซ้ำกับจำนวนแรกได้ 4 วิธี ดังนั้น n(E) = 2 x 4 = 8 จะได้ P(E) = n(E)n(s) = 820 = 25 ( ใส่รูป 2 ) ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนแรกมากกว่า 3 เท่ากับ 2/5 กฎที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็นปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์ต่างก็เป็นเซต โดยในที่นี้ เอกภพสัมพัทธ์คือปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งมีเหตุการณ์เป็นสับเซต ดังนั้น สมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็นได้มาจากสมบัติของการดำเนินการของเซต ให้ S = ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มหนึ่ง A , B = เหตุการณ์ นั่นคือ A S และ B S จะได้ A B เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกในเหตุการณ์ A หรือ เหตุการณ์ B หรือ ทั้งสองเหตุการณ์ นั่นคือ A B = { x I x A หรือ x B} ทฤษฎีบท ให้ S เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด และ A,B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ จะได้ว่า
แบบฝึกหัด ความน่าจะเป็น ม.5
วิธีทำ A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองขึ้นแต้มเท่ากัน B แทนเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเป็น 7 และ C แทนเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองมากกว่า 10 จะได้ (2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6)} A = {(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(5,5),(6,6)} B = {(1,6),(2,5),(3,4), (4,3),(5,2),(6,1)} C = {(5,6),(6,5),(6,6)} [สรุปความน่าจะเป็น ม.6] ความหมายและชนิดของตัวแปรสุ่มตัวแปรสุ่ม (Random Variable) คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซตของจำนวนจริง โดยทั่วไป ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องการหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่สนใจสามารถใช้ความรู้เรื่องความน่าจะเป็นที่เรียนมาแล้วในชั้นม.5 และสามารถหาได้จากความถี่สัมพัทธ์จากตารางความถี่ได้อีกด้วยดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จำนวนพี่น้องของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่งจำนวน 50 คนแสดงด้วยตารางความถี่ได้ดังนี้ ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คนจากห้องนี้และให้ตัวแปรสุ่ม x คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่ม ได้จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง x คนเมื่อ x {0,1,2,3,4} วิธีทำ สำหรับ x {0,1,2,3,4} จะได้ว่า P(X=x) คือ ความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่สุ่มได้จะมีพี่น้อง x คน ดังนั้น P(X=0) = 6/50 = 0.12 P(X=1) = 22/50 = 0.44 P(X=2) = 17/50 = 0.34 P(X=3) = 4/50 = 0.08 P(X=4) = 1/50 = 0.02 จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มคือ โดยทั่วไปสำหรับตัวแปรสุ่ม x ใด ๆ จะได้ 0 น้อยกว่าหรือเท่ากับ P(X=x) น้อยกว่าหรือเท่ากับ
1 การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องบทนิยาม ให้ x เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ x คือ X1 , X2 , X3 , ….Xn แล้วการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X เป็น การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง จากบทนิยามจะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะเป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องเมื่อเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ความน่าจะเป็น ตัวอย่างในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 1 ครั้งให้ตัวแปรสุ่ม x คือแต้มบนหน้าลูกเต๋าจงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่พร้อมทั้งเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x ในรูปตารางและกราฟ วิธีทำ
สำหรับ x {1,2,3,4,5,6} จะได้ว่า P(X=x) คือความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม x เนื่องจากลูกเต๋าเที่ยงตรง จะได้ว่า P(X=x) = ⅙ และได้กราฟแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ดังนี้ การแจกแจงทวินามการแจกแจงทวินาม คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x ซึ่งคือจำนวนครั้งของการเกิดผลสำเร็จจากการทดลองสุ่ม n ครั้งที่เป็นอิสระการ โดยในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ p และไม่เกิดผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 – p หมายเหตุ
สรุปลักษณะการแจกแจงทวินาม
ทฤษฎีบท ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม x เป็นการแจกแจงทวินามจะได้ว่า ( ใส่รูป 4 ) เมื่อ n แทนจำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม และ p แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลสำเร็จ ตัวอย่าง
จงหาว่าความน่าจะเป็นที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบคุณภาพ วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม x คือจำนวนสินค้าที่ชำรุดเมื่อส่งสินค้า 5 ชิ้นจากแต่ละกล่องจะได้ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม x คือ 0, 1 , 2, 3, 4, 5 ความน่าจะเป็นของที่สินค้าแต่ละกล่องที่ส่งมาตรวจสอบจะผ่านการตรวจสอบคุณภาพคือ P (X น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1) = P(X=0) + P(X=1) = (50) (0.95)5 + (51)(0.05)(0.95)4 0.7738 + 0.2036 0.9774 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกรณีที่ตัวแปรสุ่มที่สนใจเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ซึ่งมีเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นช่วง ซึ่งเป็นสับเซตของ R ซึ่งมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จึงไม่เหมาะที่จะเขียนแจกแจงในรูปตาราง แต่จะใช้เป็น เส้นโค้งความหนาแน่น โดยความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งจะเท่ากับพื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งความหนาแน่นกับแกน X ในช่วงนั้น เรียกพื้นที่ดังกล่าวว่า พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่น เส้นโค้งความหนาแน่นเป็นกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) โดยที่ x แทนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น การแจกแจงปกติการแจกแจงปกติ คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น คือ ( ใส่รูป 5 ) การแจกแจงปกติมาตรฐานคือ การแจกแจง ปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 ( =0) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 ( = 1) เรียกเส้นโค้งปกติซึ่งได้จากตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังรูป เรียกตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน ความน่าจะเป็น สูตร ทั้งหมดที่ควรจำได้สูตรความน่าจะเป็น สุ่มหยิบ 1. กฎการนับเบื้องต้น กฎการคูณ : จำนวนวิธีของงานที่ยังไม่เสร็จ = จำนวนวิธีในแต่ละขั้นตอนคูณกัน กฎการบวก : จำนวนวิธีของงานที่ทำเสร็จแล้ว= จำนวนวิธีของแต่ละกรณีมาบวกกัน 2.สัญลักษณ์ Factorial (!) , Combination ( C nr ) และ Permutation ( P nr ) ( ใส่รูป 6 ) 3. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือ การนำสิ่งของมาจัดเรียงกันโดยคำนึงถึงตำแหน่ง เป็นสำคัญ
4. วิธีจัดหมู่ (Combination) คือ การเลือกของ บางสิ่งหรือทั้งหมดของจำนวนหนึ่งที่มีอยู่โดย ตำแหน่งหรือลำดับไม่มี ความสำคัญ ไม่สนใจลำดับการเลือกของ r สิ่งจากของ n สิ่งที่แตกต่างกัน จะได้ C nr วิธี 5. การแบ่งของ : การแบ่งของแตกต่างกันออกเป็นกลุ่มย่อย ๆ คำถามที่พบบ่อย (FAQ)สรุปความน่าจะเป็น ม.3 คำศัพท์พื้นฐานที่ควรรู้การทดลองสุ่ม คือ การหาผลที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์โดยไม่ต้องอาศัยความชำนาญ สามารถบอกได้ว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถทำนายได้ว่าผลที่ออกมาจะเป็นอย่างไร แซมเปิลสเปซ คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เหตุการณ์ คือ ผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มที่เราสนใจ ความน่าจะเป็น คือ จำนวนที่แสดงให้รู้ว่าเหตุการณ์ ๆ หนึ่งจะเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด ค่าคาดหมาย คือ ผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับค่าตอบแทนของเหตุการณ์ |