ก าหนดให สามเหล ยมม มฉาก abc ม c 90

บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต 4.1 ความรพู้ ืน้ ฐานเก่ยี วกับการใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต ขอ้ ความคาดการณ์ ขอ้ สรุปท่ีไดจ้ ากการสังเกตหรอื การทดลองหลาย ๆ ครงั้ ซ่ึงเช่อื วา่ มีความเป็นไปได้มากทสี่ ดุ แตย่ ังไม่ไดพ้ สิ จู นว์ า่ เป็นจรงิ ประโยคมีเง่อื นไข ประโยคทม่ี คี าเช่ือมวา่ ถา้ ... แลว้ ... โดยประโยคหลงั คาวา่ “ถ้า” เป็นเหตุ และประโยคหลังคาวา่ “แลว้ ” เปน็ ผล ตัวอย่างประโยคมเี งอื่ นไข 1) ถ้าโรงเรียนปิด แล้วตอ้ งเรียนออนไลน์ เหตุ คอื โรงเรยี นปดิ ผล คือ ต้องเรียนออนไลน์ 2) ถา้ a เป็นจานวนคู่ แล้ว a2 เป็นจานวนคู่ เหตุ คือ a เปน็ จานวนคู่ ผล คอื a2 เปน็ จานวนคู่

ประโยคเงื่อนไข ถ้า... แล้ว... จะพจิ ารณา 2 กรณี 1) ประโยคมเี ง่ือนไขเปน็ จริง เม่อื เหตเุ ป็นจรงิ แลว้ ทาใหเ้ กิดผลที่ เป็นจรงิ เสมอ (เหตเุ ปน็ จริง ผลเป็นจรงิ ) 2) ประโยคมเี งื่อนไขไมเ่ ปน็ จรงิ เมื่อเหตเุ ป็นจรงิ แล้วไมท่ าให้ เกดิ ผลท่ีเปน็ จริงเสมอไป (เหตุเป็นจริง ผลไม่เปน็ จรงิ ) บทกลับของประโยคมเี งื่อนไข การนาประโยคมีเงื่อนไขเป็นจรงิ มาสร้างเป็นประโยคใหม่ โดยนา ”ผล” ของประโยคมเี ง่อื นไขเป็นจรงิ มาเป็น”เหต”ุ และนา ”เหต”ุ ของประโยค เงอ่ื นไขเปน็ จรงิ “ผล” ประโยคมเี ง่อื นไขเป็นจรงิ ถ้า เหตุ แล้ว ผล บทกลับของประโยคมีเงื่อนไข ถ้า ผล แลว้ เหตุ ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี นบทกลบั ของประโยคมเี งอ่ื นไขต่อไปน้ี 1) ถ้ารปู สามเหล่ยี มรปู หนึ่งมีความยาวทง้ั สามด้านยาวเทา่ กัน แลว้ รปู สามเหลย่ี ม นัน้ เป็นรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ (ซ่ึงเป็นจรงิ ) บทกลบั : ถ้ารปู สามเหลย่ี มนั้นเปน็ รปู สามเหลย่ี มด้านเท่า แล้วรูปสามเหล่ยี มรปู หนึ่งมีความยาวทง้ั สามดา้ นยาวเท่ากนั (ซ่ึงเปน็ จรงิ ) 2) ถ้า ABCD เปน็ รูปส่ีเหล่ียมทม่ี ีดา้ นทงั้ สี่ยาวเทา่ กนั แล้วเส้นทแยงมุมทงั้ สอง ของ ABCD ตดั กันเปน็ มุมฉากและแบง่ ครงึ่ ซ่งึ กนั และกนั (ซง่ึ เปน็ จริง) บทกลบั : ถา้ เส้นทแยงมุมทง้ั สองของ ABCD ตัดกันเปน็ มุมฉากและแบง่ ครง่ึ ซึ่ง กนั และกัน แล้ว ABCD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมท่ีมีด้านทัง้ สย่ี าวเทา่ กัน (ซึ่งเปน็ จริง)

กต็ ่อเม่อื ถ้าประโยคเงื่อนไขเปน็ จริงและบทกลบั เป็นจรงิ อาจเขียนเปน็ ประโยคเดียวกันโดยใช้คาวา่ ก็ต่อเม่ือ ตัวอย่างที่ 2 ประโยคเงื่อนไข : ถา้ รูปสามเหล่ียมรูปหนึ่งมคี วามยาวทงั้ สามดา้ นยาว เท่ากัน แลว้ รูปสามเหลีย่ มนนั้ เป็นรปู สามเหล่ียม ด้านเทา่ (ซง่ึ เปน็ จรงิ ) บทกลบั : ถา้ รูปสามเหลี่ยมนน้ั เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แลว้ รูปสามเหลย่ี มรปู หนงึ่ มคี วามยาวทง้ั สามดา้ น ยาวเท่ากนั (ซึง่ เปน็ จริง) เขยี นเปน็ ประโยคเดยี วกนั ไดด้ ังนี้ รปู สามเหลย่ี มรปู หนงึ่ มคี วามยาวทง้ั สามด้านยาวเทา่ กนั ก็ตอ่ เมื่อ รปู สามเหล่ยี มนั้นเป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ตัวอยา่ งท่ี 3 จงเขยี นประโยคต่อไปน้ี ใหอ้ ยู่ในรูปประโยคมเี งอ่ื นไข 2 ประโยค “รปู สามเหล่ียมรปู หนึ่งมขี นาดของมุมเทา่ กันสองมมุ ก็ตอ่ เมื่อ รปู สามเหลยี่ มนนั้ เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจว่ั ” ประโยคเงื่อนไข : ถ้ารปู สามเหลย่ี มรปู หนง่ึ มขี นาดของมมุ เท่ากันสอง มมุ แลว้ รูปสามเหล่ียมนน้ั เป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จั่ว (ซึง่ เปน็ จริง) บทกลับ : ถ้ารปู สามเหล่ยี มหน่ึงเป็นรูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั แล้วรูปสามเหลย่ี มรูปน้นั มขี นาดของมุมเทา่ กันสอง มมุ (ซง่ึ เป็นจริง)

การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต คาอนยิ าม คือ ขอ้ ความหรือคาทใ่ี ช้เป็นพื้นฐานในการสอื่ ความหมายใหเ้ ขา้ ใจ ตรงกันโดยไม่ต้องกาหนดความหมาย เช่น จดุ เส้นตรง บทนยิ าม คือ ขอ้ ความหรอื คาทใี่ หค้ วามหมายทช่ี ัดเจนและรัดกมุ เพอ่ื ให้เขา้ ใจ ตรงกัน สจั พจน์ คือ ข้อความทย่ี อมรับวา่ เปน็ จรงิ โดยไมต่ ้องพิสจู น์ ทฤษฎบี ท คอื ข้อความท่ีสามารถพสิ ูจนไ์ ดว้ า่ เป็นจริง ซึง่ ในการพิสจู น์อาจใช้คา อนยิ าม คานิยาม สัจพจน์ หรอื ทฤษฎีบทอน่ื ๆ ท่ไี ด้พิสจู นม์ าแลว้ การพสิ ูจน์ 1) การพิสูจนว์ ่าขอ้ ความเปน็ จริง จะต้องใหเ้ หตผุ ลเพ่ือแสดงวา่ เมอื่ เหตุ เปน็ จริงแลว้ เหตุนนั้ ทาใหเ้ กดิ ผลทเ่ี ป็นจรงิ เสมอ โดยเร่ิมจากส่ิงทกี่ าหนดใหแ้ ลว้ อาศัยบทนยิ าม สัจพจน์ ข้อความทเ่ี คยพสิ จู น์มาแลว้ และสมบัติต่าง ๆ อยา่ งใด อย่างหน่ึงหรือหลายอย่างประกอบกันมาให้เหตผุ ล เพอื่ สรปุ วา่ ผลทต่ี ้องการพิสจู น์ เป็นจรงิ 2) การพิสูจน์วา่ ขอ้ ความไมเ่ ปน็ จริง เพียงแค่ยกตวั อยา่ งทเ่ี ปน็ จรงิ ตามสงิ่ ที่ กาหนดใหห้ รือเหตุ แตผ่ ลสรปุ ทไี่ ด้ไมเ่ ป็นจรงิ เรยี กตัวอยา่ งนว้ี า่ ตวั อยา่ งคา้ น

ตัวอย่างการพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจรงิ กาหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จงพิสจู น์วา่ ∆ABC มีมมุ มุมหนง่ึ เป็นมมุ ฉาก พสิ จู น์ ∆ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก (กาหนดให)้ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากคอื รปู สามเหลีย่ มทม่ี มี ุมมมุ หนง่ึ เปน็ มมุ ฉาก (บทนยิ ามของ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก) ดังนั้น ∆ABC เปน็ มีมุมมุมหนงึ่ เปน็ มุมฉาก (จากบทนิยาม) ตวั อยา่ งการพสิ ูจน์ว่าขอ้ ความไมเ่ ปน็ จรงิ กาหนดให้ ∆ABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหน้าจั่ว จงพสิ จู น์วา่ ∆ABC เป็น รูปสามเหล่ียมด้านเทา่ พสิ จู น์ ∆ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มหน้าจวั่ (กาหนดให)้ รูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ มดี า้ นสองด้านยาวเทา่ กนั (บทนยิ ามของ รูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่วั ) รปู สามเหล่ียมด้านเท่ามดี า้ นสามดา้ นยาวเทา่ กนั (บทนิยามของ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า) ดังนั้น ∆ABC ไมเ่ ปน็ รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ (จากบทนิยามทง้ั สอง)

ตวั อยา่ งท่ี 4 A B E CD จากรปู กาหนดให้ AഥB // CഥD และ DഥE ตดั BഥC ท่จี ดุ E จงพิสูจน์ว่า BEƸD = ABොE + EDƸC กาหนดให้ AഥB // CഥD และ DഥE ตดั BഥC ท่จี ุด E ตอ้ งการพสิ จู นว์ า่ BEƸD = ABොE + EDƸC พสิ จู น์ เนอ่ื งจาก ABොE = DCƸB (ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มีขนาดเท่ากนั ) และ BEƸD = DCƸB + EDƸC (ถา้ ตอ่ ดา้ นใดด้านหน่งึ ของรูปสามเหลีย่ มออกไป มมุ ภายนอกที่เกิดขึน้ จะมขี นาดเทา่ กับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ ของมมุ ภาย นอกนั้น) ดงั นั้น BEƸD = AොBE + EDƸC (สมบตั ิของเทา่ กับ โดยแทน DCƸB ด้วย ABොE)

4.2 การสร้างและการใหเ้ หตุผลเกีย่ วกบั การสร้าง การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6 ขอ้ 1. การสร้างส่วนของเส้นตรงใหย้ าวเทา่ กบั ความยาวของส่วนของเสน้ ตรงท่ี กาหนดให้ กาหนดให้ AഥB เปน็ สว่ นของเส้นตรงเส้นหนึ่ง AB สรา้ ง XഥY ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับความยาวของ AഥB ไดด้ ังรปู XY จากรูปที่สร้าง จะได้ XഥY = AഥB 2. แบ่งครึง่ สว่ นของเส้นตรงทกี่ าหนดให้ กาหนดให้ AഥB เปน็ สว่ นของเสน้ ตรงเส้นหนึ่ง AB สร้าง PQ ใหม้ คี วามยาวเทา่ กับความยาวของ AഥB ได้ดังรูป P AC B Q จากรูปท่ีสรา้ ง จะได้ PQ แบง่ ครง่ึ AഥB ทจ่ี ดุ C ทาให้ได้ AC = BC

3. การสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมุมทกี่ าหนดให้ กาหนดให้ ABොC เปน็ มุมมุมหนงึ่ A BC สรา้ ง XYƸZ ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ AොBC ไดด้ งั รูป A D B EC X M Y NZ จากรปู ทส่ี ร้าง จะได้ XYƸZ = AොBC

4. การแบ่งครึง่ มุมทกี่ าหนดให้ กาหนดให้ AොBC เป็นมมุ มุมหน่งึ A BC D สร้าง BD แบง่ คร่ึง ABොC ไดด้ ังรปู A M B NC จากรูปทีส่ รา้ ง จะได้ BD แบง่ ครึ่ง AොBC เพราะวา่ ABොD = CොBD

5. การสร้างเสน้ ตรงตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกมายงั เสน้ ตรงทก่ี าหนดให้ กาหนดให้ จดุ P เปน็ จดุ จดุ หนึ่งที่อยภู่ ายนอก AB P AB สรา้ ง PQ ตง้ั ฉากกับ AB ให้จุดตดั คือ จดุ C ได้ดงั รูป P M N B A C Q จากรปู ที่สรา้ ง จะได้ PQ ตัง้ ฉากกับ AB ให้จดุ ตัดคอื จุด C เพราะวา่ ACƸP = BCƸP = 90° 6. การสรา้ งเสน้ ตงั้ ฉากทจ่ี ดุ จดุ หนงึ่ ทอี่ ย่บู นเสน้ ตรงทก่ี าหนดให้ กาหนดให้ จดุ P อยู่บน AB AP B สรา้ ง PQ ให้มคี วามยาวเทา่ กบั ความยาวของ AഥB ได้ดงั รปู X MN B AP จากรปู ทสี่ ร้าง จะได้ PX ตงั้ ฉากกับ AB ทีจ่ ุด P เพราะว่า APƸX = BPƸX = 90°

4.3 การให้เหตุผลเก่ียวกบั รปู สามเหลี่ยมและรูปส่ีเหลยี่ ม การนาทฤษฎบี ทเกีย่ วกับความเทา่ กนั ทกุ ประการมาใช้อา้ งองิ ในการ พสิ จู นส์ มบตั ทิ ส่ี าคญั บางประการของรปู สามเหล่ยี มและรูปสเ่ี หลยี่ ม ตัวอยา่ งที่ 5 กาหนดให้ AഥC และ BഥD แบง่ ครง่ึ ซึง่ กันและกันทจี่ ดุ M จงแสดงว่า AഥB ขนานกบั DഥC DC M กาหนดให้ AഥCA และ BഥD แบ่งครงึ่ ซึง่ Bกนั และกันทจี่ ุด M ตอ้ งการพสิ จู นว์ า่ AB // DC พสิ จู น์ เนอ่ื งจาก AM = CM (AഥC และ BഥD แบง่ ครง่ึ ซึง่ กนั และกนั ท่ีจดุ M) AMොB = CMොD (เปน็ มมุ ตรงขา้ ม) MB = MD (AഥC และ BഥD แบ่งคร่ึงซงึ่ กนั และกันทจี่ ดุ M) ดังน้นั ∆AMB ≅ ∆CMD (มีความสมั พนั ธแ์ บบ ด้าน-มมุ -ดา้ น) จะไดว้ า่ MAƸB = MCƸD (มมุ คู่ท่สี มนยั กนั ของรปู สามเหลยี่ มที่เท่ากันทุกประการ จะมขี นาดเท่ากนั ) ดังนัน้ AB // DC (ถา้ เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หน่งึ ทาให้มมุ แยง้ มขี นาดเทา่ กัน แลว้ เส้นตรงคนู่ น้ั ขนานกนั )

ตัวอยา่ งท่ี 6 ∆ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มท่ี AƸ = ොB = CƸ จงพิสูจน์วา่ ∆ABC เป็น รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ A BC กาหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มที่ AƸ = Bො = CƸ ต้องการพสิ จู นว์ า่ ∆ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ พิสจู น์ เนือ่ งจาก AƸ = Bො และ Bො = CƸ (กาหนดให)้ จะได้ BC = AC และ AC = AB (ถา้ รูปสามเหลี่ยมรูปหนง่ึ มี มุมที่มีขนาดเทา่ กันสองมุม แล้วดา้ นทอ่ี ยตู่ รงข้ามกบั มุมคู่ทมี่ ขี นาดเท่ากนั จะ ยาวเท่ากนั ) ดงั นนั้ BC = AC = AB (สมบตั กิ ารเทา่ กนั ) นัน่ คอื ∆ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า

ตวั อย่างท่ี 7 กาหนด ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มด้านขนาน จุด E และจุด F เป็นจดุ กง่ึ กลางของดา้ น AD และดา้ น BC ตามลาดบั ลาก EഥB และ DഥF จง พสิ จู นว์ า่ DFBE เปน็ รปู สี่เหล่ียมด้านขนDาน C E F A B กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หล่ียมด้านขนาน จุด E เป็นจดุ ก่ึงกลาง ของด้าน AD และจุด F เปน็ จดุ ก่งึ กลางของดา้ น BC ลาก EഥB และ DഥF ตอ้ งการพสิ ูจน์ DFBE เป็นรูปส่ีเหลีย่ มดา้ นขนาน พสิ ูจน์ เนอ่ื งจาก EഥB // BഥF (เป็นส่วนหนง่ึ ของด้านตรงข้ามท่ี ขนานกนั ของรูปสี่เหลี่ยม ด้านขนาน) และ ED = BF (จุด E และจุด F เปน็ จดุ ก่ึงกลาง ของด้าน AD และด้าน BC ซ่ึงมี ความยาวเท่ากัน) ดงั น้ัน DFBE เป็นรปู ส่เี หล่ยี มด้านขนาน (รูปสเี่ หลยี่ มท่มี ี ดา้ นที่อยุ่ตรงข้าม กัน ค่หู นง่ึ ขนานกนั และยาวเท่ากนั เป็นรูปสี่เหลยี่ ม ดา้ นขนาน)