ต วอย างการหาเวกเตอร ล พธ ท ม สามแรงมากระทำ

แรง (Force) “ F ” หมายถึง ปริมาณท่กี ระทำกบั วัตถุแล้วทำใหว้ ัตถเุ ปล่ยี นสภาพการเคลอื่ นท่ที ำใหว้ ตั ถทุ อี่ ยู่

นิ่งเคลื่อนที่ไป ทำให้วัตถุที่เคลื่อนที่อยู่แล้วเคลื่อนที่เร็วหรือช้าลง ทำให้วัตถุมีการเปลี่ยนทิศตลอดจนทำให้วัตถุมีกา ร

เปลี่ยนขนาดหรือรปู ทรงไปจากเดมิ ไดแ้ รงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ที่มีทั้งขนาดและทิศทางการรวมหรือหักล้างกันของแรงจึง UMA ต้องเปน็ ไปตามแบบเวกเตอร์ 1- ñprnis แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ การหาแรงลัพธใ์ ช้วิธีเดยี วกบั กบั การหาเวกเตอร์ลพั ธ์

การหาแรงลพั ธข์ องแรงสองแรงที่กระทำมุมกัน ทำได้โดยการสรา้ งรูป โดยเขยี นลกู ศรแทนขนาดและทศิ ทางของแรงตาม

มาตราส่วนท่กี ำหนด หรือการคำนวณโดยแยกแรงแต่ละแรงเปน็ แรงย่อยในแนวแกน x และในแนวแกน y เปน็ วธิ กี ารหนึง่ ที่จะทำใหก้ MารAบIรNรยายแรงท่กี ระทำตอ่ วัตถุ แผนภาพวตั ถุอสิ ระ FBD body diagram)

(free –.

เป็นไปอยา่ งชัดเจน การเขยี นแผนภาพวัตถุอสิ ระจะเปน็ การนำเอาวัตถุทเ่ี ป็นระบบออกมาเขียนโดยไมน่ ำสงิ่ แวดลอ้ มมาเขยี น

ด้วย ทำใหท้ ราบว่า เรากำลังพิจารณาวตั ถกุ ้อนใดอยู่ แล้วจึงเขียนแรงทกุ แรงที่กระทำตอ่ วัตถุ โดยไม่เขียนแรงอยา่ งอนื่ ที่

ไมไ่ ดก้ ระทำต่อวตั ถุ ring ① bbrsniifanoisqaa.mg 49 ขัน้ ตอนการเขียนแผนภาพวัตถอุ ิสระ ② woñ%nqñoga 1. วาดรูปวตั ถใุ หม่ โดยวาดเฉพาะรปู วตั ถุที่เปน็ ระบบทีพ่ จิ ารณา ไม่วาดสงิ่ อนื่ อกี ion

2. เขยี นเวกเตอรแ์ รง แสดงแรงสัมผสั ทกุ แรงทกี่ ระทำตอ่ วตั ถุ โดยลากเวกเตอรแ์ รงออกจากวตั ถุ ไมว่ า่ จะเปน็

แรงผลักหรือแรงดึง เขยี นสญั ลกั ษณก์ ำกับเวกเตอร์แรงแต่ละแรงด้วย

3. เขยี นเวกเตอรแ์ รง แสดงแรงไมส่ มั ผสั

W มีแรง 5 แรงทีค่ วรรู้เปน็ พน้ื ฐาน คอื 1. น้ำหนักของวตั ถุ (weight) คือ แรงทีโ่ ลกดึงดดู วัตถุ มขี นาดขึ้นอยกู่ ับมวลของวัตถุ และมีทิศเข้าหาศนู ย์กลางโลก

Fs 2. แรงสปริง (spring force) เป็นแรงที่สปริงพยายามต้านกับแรงที่มากระทำต่อสปริง มีขนาดขึ้นกับความยาวของ สปริงทเ่ี ปล่ยี นไป มที ศิ ทางที่ทำให้สปรงิ กลับสู่รูปร่างเดิม

Fat 3. แรงดึง (tension force) เชน่ แรงดึงเชือก เป็นแรงท่เี ชือกดึงวัตถุ มีทิศออกจากวตั ถุ

n 4. แรงแนวฉาก (normal force) เปน็ แรงกระทำระหวา่ งผวิ วัตถสุ องก้อนทสี่Dัมผัสกนั Oมที ิศต้งั ฉากกบั แนวผวิ สมั ผสั

f 5. แรงเสียดทาน (frictional force) เป็นแรงกระทำระหว่างผิววัตถุสองก้อนที่สัมผัสกัน พยายามต้านการเคลื่อนท่ี

ระหวา่ งวัตถุ มที ิศในแนวผิวสมั ผสั

หน้า 1 สอนโดย ครูนปิ ัทมา นเิ ฮง

บทท่ี 1 ธรรมชาตขิ องฟสิ ิกส์ 2

คำถามชวนคดิ 1. จากรูป ชายคนหนึ่งดนั กล่อง มีแรงอะไรกระทำตอ่ กลอ่ ง A และ B บา้ ง

ตอบ

① .b..b..r.s..ñ..g..n..Ñ..v...............................................................................................................................................................................

หน่วยท่ี 1

ปรมิ าณเวกเตอร์

1.1 ความหมายของปริมาณเวกเตอร์ 1.2 ชนิดของเวกเตอร์ 1.3 การหาขนาดของเวกเตอร์ 1.4 การบวกเวกเตอร์ 1.5 การคูณเวกเตอร์

1.1 ความหมายของปริมาณเวกเตอร์

ปรมิ าณ (Quantities) ในวชิ าฟิสิกสอ์ าจแบ่งเปน็ กลุ่มยอ่ ยได้โดย ใชล้ ักษณะของปริมาณเป็นเกณฑ์ จะแบ่งไดเ้ ปน็ 1. ปรมิ าณสเกลลาร์ คือ ปริมาณทบ่ี อกแต่ขนาดอย่างเดียวก็สมบรูณไ์ ด้

เช่น ความยาว มวล พลังงาน เปน็ ตน้ 2. ปริมาณเวกเตอร์ คอื ปรมิ าณทีต่ ้องบอกทง้ั ขนาดและทิศทางจึงจะ

สมบรู ณ์ เช่น แรง ความเรว็ การกระจดั โมเมนตมั สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก เป็นตน้

ในการเขยี นปรมิ าณเวกเตอร์ จะมีรูปแบบการเขยี นแตกตา่ งกนั ออกไปจาก ปรมิ าณสเกลาร์ โดยการใช้สญั ลักษณท์ ่ีมหี ัวลูกศรอยูข่ า้ งบน เชน่

การเขยี นเวกเตอร์

1.2 ชนิดของเวกเตอร์

ชนิดของเวกเตอร์นยิ มจาแนกตามมติ ใิ นระบบพกิ ดั ฉากคารท์ เี ชียน

+y +z -x -x +x -y +y -y +x -z ระนาบ x - y ระนาบ x – y – z

เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉาก

ในระบบพกิ ัดฉาก เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทิศทางบวกของแกน x, y, และ z แทนดว้ ย , และ k

z

แทนเวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยในทิศ +

แทนเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทิศ + y

แทนเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยในทิศ + x

ประเภทของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 1 มิติ คอื เวกเตอรท์ ม่ี ีทิศทางอย่บู นแกนอ้างอิงเพยี งแกนเดยี ว เชน่ คือเวกเตอร์ขนาด 3 หน่วยบนแกน x

z

y

x

เวกเตอร์ 2 มิติ

z อยบู่ นระนาบ y-z x เช่น = + y

z

อยู่บนระนาบ x-z y

เชน่ = +

x

เวกเตอร์ 3 มติ ิ

จาก A = 2i + 3j + 3k จะเขียนเวกเตอร์ A ไดด้ งั รูป

z Az A

Ax y

x Ay

1.3 การหาขนาดของเวกเตอร์

ใชส้ ัญลกั ษณ์ | | แทนคาว่า “ขนาด” ฉะนนั้ “ขนาดของเวกเตอร์ A” จะเขยี นดว้ ยสญั ลักษณ์ A

สามารถคานวณโดยการหารากท่ีสองของผลบวกกาลงั สองแตล่ ะดา้ นของเวกเตอร์ เช่น

A = 2i + 3j A = 22 + 32 \= 4+9

\= 13

\= 3.61

เชน่ จงหาขนาดของเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี

A = 3i B = 4i − 3k C = 2i + 3j + 3k A = 32 B = 42 + (−3)2 C = 22 + 32 + 32

\=9 = 16 + 9 = 4+9+9 \=3 = 25 = 22 \=5 = 4.69

แบบฝกึ หัดท่ี 1.1

การบวกเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก

ถา้ เวกเตอร์ถูกเขียนอยใู่ นรูปของเวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย , , เราสามารถหาผลบวกเวกเตอร์ โดยนาค่าในแกนเดียวกนั มาบวกกนั

\= i + j + k \= i + j + k \= i + j + k

+ + = + + + + + + + +

+ + = + + 2 + + + 2 + + + 2

ตวั อย่าง

กาหนดให้ = 3i + 2j − 4k จงหา + + และ + + \= 4i − 4j + 2k \= −5i + 3j + 6k

วธิ ที า + + = 3 + 4 + −5 i + 2 + −4 + 3 j + (−4 + 2 + 6)k

\= 3 + 4 − 5 i + 2 − 4 + 3 j + (−4 + 2 + 6)k \= 2i + 1j + 4k

+ + = 22 + 12 + 42 \= 21 \= 4.58

กาหนดให้ = 6 + 3j + 2k และ = −4i − 2j + 3k

จงหา ก. 2 − 3 ข. ขนาดของ 2 − 3

วธิ ีทา

ก. 2 = 12 + 6j + 4k

3 = −12 − 6j + 9k 2 − 3 = 12 − −12 + 6 − −6 j + [4 − 9]k

\= 24 + 12j − 5k

ข. 2 − 3 = 24 2 + 12 2 + [−5]2 \= 576 + 144 + 25 \= 745 \= 27.29

EX 1. กาหนดให้ a = −6i + 4j − 3k b = 4i − 5j + 6k c = 7i + 6j − 8k จงหาขนาดของ a + b + c

a + b + c = 5i + 5j − 5k

a + b + c = 52 + 52 + (−5)2

\= 75 \= 8.66

EX 2. กาหนดให้ a = 8i + 4j − 10k b = −7i − 5j c = 6i + 8k จงหาขนาดของ a + 2b − c

a = 8i + 4j − 10k a + 2b − c = (−12)2+(−6)2+(−18)2

2b = −14i − 10j = 504 \= 22.45 −c = − 6i − 8k

a + 2b − c = −12i − 6j − 18k

แบบฝกึ หัดท่ี 1.2

การคณู เวกเตอร์

แบง่ ออกเป็น 2 แบบ คือ 1. การคณู แบบจุด (Dot-Product Vector)

จะได้ผลลพั ธ์เปน็ ปรมิ าณสเกลา่ (เปน็ ตัวเลข)

2. การคูณแบบกากบาท (Cross-Product Vector) ได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ (มที ้งั ตัวเลขและทศิ ทาง)

การคณู แบบจุด (Dot - Product)

กรณีท่ี a กบั b ทามมุ ต่อกนั สามารถคานวณไดโ้ ดยใชส้ ูตร

a ∙ b = ab cos θ

เช่น กาหนดให้ a และ b มขี นาด 20 เมตร และ 30 เมตร ทามมุ กนั 60° จงหา a ∙ b

จากสูตร a ∙ b = ab cos θ

\= (20)(30) cos 60

\= 300 เมตร

คณู แบบจุด (Dot - Product)

กรณีท่ี กบั เขียนอยู่ในรปู ของเวกเตอร์หนง่ึ หน่วย , ,

\= i + j + k = i + j + k

เนื่องจาก cos 0° = 1 และ cos 90° = 0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่

∙ = ∙ + ∙ + ( ∙ )

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k เอาตวั เลขในตาแหน่งเดียวกนั \= 2 + 3j − 4k และ ∙ = 8 –6 –20 มาคูณกนั คูณ , j คูณ j , k คูณ k แลว้ เอาผลคูณที่ได้ \= –18 มาบวก ลบ กนั เป็นคาตอบ

ตวั อยา่ ง

กาหนดให้ = 2i − 3k

และ = 3j + 4k จงหา ∙

วิธีทา = 2i + 0j − 3k

\= 0i + 3j + 4k เอาตวั เลขในตาแหน่งเดียวกนั ∙ = 0 0 –12 มาคูณกนั คูณ , j คูณ j , \= –12 k คูณ k แลว้ เอาผลคูณที่ได้ มาบวก ลบ กนั เป็นคาตอบ

การคูณแบบกากบาท (Cross - Product)

ให้ผลลัพธอ์ อกมาเป็นปริมาณเวกเตอร์ กรณีท่ี กบั ทามุม  ต่อกัน สามารถคานวณได้โดยใชส้ ูตร

× = ab sin

เน่อื งจาก sin 0° = 0 และ sin 90° = 1 จะได้ทิศทางของเวกเตอร์ดังน้ี

× = 0 × = × = − × = 0 × = × = − − − × = 0 × = × = −

−

ตวั อยา่ ง

ก) 2 × 3 = (6)( ) − − \= 6

ข) −5 × −2 = (10)(− ) \= −10 − ค) − × 4 = (−4)(− ) \= 4 × = × = − × = × = − ง) −2 × 2 = (−4)( ) × = × = − \= −4

กรณีท่ี กบั เขียนอยู่ในรปู ของเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย , ,

\= i + j + k = i + j + k 0 −

× = i × i + i × + i × +

− 0 j × i + j × + j × +

− 0 k × i + k × + k ×

ดังน้นั จะได้วา่

× = − + − + ( − )

ตัวอยา่ ง

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k และ = 2i + 3j − 4k

จงหา × และ × จะได้ 0 12 −16 × = 4i × 2i + 4i × 3 + 4i × (−4) +

−4 0 8

(−2)j × 2i + (−2)j × 3 + (−2)j × (−4) +

10 −15 0

5k × 2i + 5k × 3 + 5k × (−4)

× = 8 − 15 + 10 + 16 + (12 + 4) \= −7 + 26 + 16

× = 72 + 262 + 162 = 31.32

หรือใช้วิธขี องเมตริก

\= − − − คูณทแยงข้ึนให้ \= กลบั เครื่องหมาย

ผลคูณ

ดังน้นั จะไดว้ า่

× = − + − + ( − )

ตัวอยา่ ง

กาหนดให้ = 4 − 2j + 5k และ = 2i + 3j − 4k

จงหา × และ × 4 −15 16 คูณทแยงข้ึนให้ กลบั เคร่ืองหมาย

ผลคูณ \= 4 −2 5 4 −2

\= 2 3 −4 2 3

ดังนน้ั จะได้ 8 10 12

× = 8 − 15 + 10 + 16 + (12 + 4) \= −7 + 26 + 16

× = 72 + 262 + 162 = 31.32

แบบฝกึ หัดท่ี 1.3