คณ ตศาสตร ม.4 เพ มเต ม เล ม 2 3.1.5

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ตามผลการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร ์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ī เนอ้ื หาวิชา กิจกรรม ทกั ษะ ทดสอบ วัด–ประเมินผล รวมทุกกระบวนการฯ อยู่ในเล่มเดยี ว • เนอื้ หาครอบคลมุ ครบถวŒ น สมบรู ณ • ตรงตามผลการเรยี นรแูŒ ละสาระการเรยี นรูŒเพิ่มเติม (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) • เสรมิ สราŒ งสมรรถนะสำคัญของนกั เรยี นในการสอ่ื สาร การคิด การแกปŒ ญหา การใชทŒ ักษะชวี ิต และการใชŒเทคโนโลยี • เสริมสรŒางคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงคของนกั เรยี น • กิจกรรมหลากหลาย เนนŒ ผเูŒ รียนเปนสำคัญ • กิจกรรมสอดคลŒองกบั แนวคดิ Backward Design และ BBL • กิจกรรมสราŒ งเสริมพหุปญญาและความเขาŒ ใจทค่ี งทนของนกั เรียน • เนŒนฝก ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร • เนนŒ ฝกทักษะกระบวนการคิดที่หลากหลาย • แบบทดสอบวัดผลและประเมินผลตามสภาพจริง wpp

สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม่ 2 ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 ตามผลการเรยี นรู้ กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 B สงวนลขิ สิทธติ์ ามกฎหมาย ī หา้ มละเมิด ท�ำซำ้� ดดั แปลง เผยแพร่ สว่ นหน่ึงสว่ นใด เวน้ แต่จะได้รับอนญุ าต เนอื้ หาวชิ า กิจกรรม ทักษะ ทดสอบ วัด–ประเมนิ ผล รวมทกุ กระบวนการฯ อยู่ในเลม เดยี ว wppผเู้ ขียน ประทมุ พร ศรีวัฒนกูล กศ.บ., กศ.ม. บรรณาธิการ เจริญชยั เออื้ สกุลเกียรต ิ วท.บ. สภุ าพร มติ รทอง วท.บ. อนุวัชร นามเชอื้ วท.บ. พิมพ์ท่ี บรษิ ทั โรงพิมพว์ ฒั นาพานิช จำ�กดั นายเรงิ ชัย จงพิพฒั นสุข กรรมการผู้จัดการ สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ คณิตศาสตร์ ม. 1–ม. 6 ตามหลกั สูตรแกนกลางฯ 2551 ฉบับปรบั ปรงุ 2560 ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 1 เล่ม 1 ..............................................................ประทมุ พร ศรีวัฒนกูล และคณะ ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 1 เล่ม 2 ..............................................................ประทุมพร ศรีวัฒนกลู และคณะ ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 2 เลม่ 1 ..............................................................ประทมุ พร ศรีวฒั นกูล และคณะ สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 2 เล่ม 2 ..............................................................ประทมุ พร ศรีวัฒนกลู และคณะ สื่อการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 3 เลม่ 1 ..............................................................ประทุมพร ศรวี ฒั นกลู และคณะ สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 3 เลม่ 2 ..............................................................ประทมุ พร ศรีวัฒนกูล และคณะ สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 4 เล่ม 1 ..............................................................ประทมุ พร ศรีวัฒนกลู และคณะ สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 4 เล่ม 2 ..............................................................ประทมุ พร ศรวี ฒั นกลู และคณะ สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 5 .........................................................................ประทุมพร ศรวี ัฒนกูล และคณะ สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 6 .........................................................................ประทุมพร ศรีวฒั นกูล และคณะ สือ่ การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 4 เล่ม 1 ...................................... ประทมุ พร ศรวี ัฒนกลู และคณะ สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 4 เลม่ 2 ...................................... ประทมุ พร ศรวี ัฒนกลู และคณะ สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 5 เล่ม 1 ...................................... ประทมุ พร ศรวี ัฒนกลู และคณะ สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 5 เลม่ 2 ...................................... ประทุมพร ศรวี ัฒนกูล และคณะ สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 6 เล่ม 1 ...................................... ประทุมพร ศรีวัฒนกูล และคณะ สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ • แผนฯ (CD) ม. 6 เลม่ 2 ...................................... ประทมุ พร ศรวี ฒั นกูล และคณะ

ค�ำ น�ำ ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 เลม่ 2 นี้ wpp จัดทำ�ข้ึนตามผลการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตาม หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 โดยมีเป้าหมายให้นักเรียนและครู ใช้เป็นสื่อในการจัดการเรียนรู้เพ่ือพัฒนานักเรียนให้มีคุณภาพตามผลการเรียนรู้ท่ีกำ�หนดไว้ใน หลักสูตร และสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม พัฒนานักเรียนให้มีสมรรถนะสำ�คัญตามท่ีต้องการท้ังด้าน การสอ่ื สาร การคดิ การแกป้ ญั หา การใชท้ กั ษะชวี ติ และการใชเ้ ทคโนโลยี ตลอดจนพฒั นานกั เรยี น ใหม้ ีคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ ทำ�ประโยชน์ให้สงั คม เพ่อื ให้สามารถอยู่ร่วมกบั ผูอ้ นื่ ในสังคมไทย และสงั คมโลกไดอ้ ย่างมคี วามสขุ ในการจัดทำ�ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ น้ี คณะผู้จัดทำ� ซึ่งเป็นผู้เช่ียวชาญในสาขาวิชาและการพัฒนาส่ือการเรียนรู้ได้ศึกษาหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ขนั้ พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) อยา่ งลกึ ซงึ้ ทงั้ ดา้ นวสิ ยั ทศั น์ หลกั การ จุดหมาย สมรรถนะสำ�คัญของนักเรียน คุณลักษณะอันพึงประสงค์ สาระ ผลการเรียนรู้ สาระ การเรียนรู้เพ่ิมเติม แนวทางการจัดการเรียนรู้ และการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ แล้วจึงนำ� องค์ความรู้ที่ได้มาออกแบบหน่วยการเรียนรู้ แต่ละหน่วยการเรียนรู้ประกอบด้วยผลการเรียนร ู้ สาระการเรียนรู้ ประโยชน์จากการเรียนรู้ คำ�สำ�คัญ คำ�ถามนำ�สู่การเรียนรู้ เน้ือหา แหล่งสืบค้น กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ บทสรุปหน่วยการเรียนรู้ กิจกรรมเสนอแนะ โครงงาน การประยุกต์ ใช้ในชีวิตจริง แบบทดสอบหน่วยการเรียนรู้ นอกจากน้ีท้ายเล่มยังมีแบบทดสอบปลายภาคเรียน ซึ่งองค์ประกอบของสื่อการเรียนรู้เหล่านี้จะช่วยส่งเสริมให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้อย่างครบถ้วน ตามหลักสูตร การเสนอเนื้อหาและออกแบบกิจกรรมในสื่อการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ เลม่ น้ี ไดจ้ ดั ทำ�ขน้ึ โดยยดึ แนวคดิ การจดั การเรยี นรทู้ เี่ นน้ ผเู้ รยี นเปน็ สำ�คญั โดยคำ�นงึ ถึงศักยภาพของนักเรียน เน้นการเรียนรู้แบบองค์รวมบนพ้ืนฐานของการบูรณาการแนวคิดทฤษฎี ทางการเรียนรู้ต่าง ๆ อย่างหลากหลาย เช่น การเรียนรู้โดยใช้สมองเป็นฐาน พหุปัญญา การใช้ คำ�ถามแบบหมวกความคิด 6 ใบ การเรียนรู้แบบประสบการณ์และท่ีเน้นการปฏิบัติ การเรียนรู้ แบบโครงงาน เป็นต้น จัดการเรียนรู้แบบบูรณาการเน้นให้นักเรียนสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง มงุ่ พฒั นาการคดิ และพฒั นาการเรยี นรทู้ ส่ี อดคลอ้ งกบั พฒั นาการทางสมองของนกั เรยี น อนั จะชว่ ย ใหน้ กั เรียนเกดิ การเรยี นร้อู ยา่ งสมบรู ณแ์ ละสามารถนำ�ไปประยุกตใ์ ช้ในชวี ติ จริงได้ หวงั เปน็ อยา่ งยงิ่ วา่ สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษา ปที ่ี 4 เลม่ 2 นจ้ี ะชว่ ยสนบั สนนุ ใหน้ กั เรยี นไดพ้ ฒั นาความรแู้ ละทกั ษะทางคณติ ศาสตรไ์ ดเ้ ปน็ อยา่ งด ี คณะผจู ดั ทำ�

wpp คำาแนะนาำ การใชหนังสอื สอ่ื การเรยี นรู ้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 เล่ม 2 น้ ี ได้ออกแบบใหห้ น่วยการเรียนรใู้ ห้แตล่ ะหนว่ ยการเรยี นรปู้ ระกอบด้วย 1. ผลการเรยี นร ู้ เปน็ เปา้ หมายในการพฒั นานกั เรยี นในชนั้ ป ี ซงึ่ สอดคลอ้ งกบั สาระ ผลการ เรยี นร ู้ และสาระการเรียนรู้เพิม่ เตมิ 2. สาระการเรยี นร ู้ เปน็ การจดั ระเบยี บและรวบรวมเนอ้ื หาแตล่ ะหนว่ ยการเรยี นร ู้ พรอ้ มแสดง ความเชื่อมโยงของเนื้อหาในสาระนั้น ๆ ไว้ด้วย เพื่อสื่อให้เกิดความเข้าใจชัดเจนข้ึน นักเรียน เกดิ การเรยี นรอู้ ยา่ งมคี วามหมาย เปน็ ผงั มโนทศั นท์ แ่ี สดงขอบขา่ ยเนอ้ื หาในแตล่ ะหนว่ ยการเรยี นร้ ู โดยมชี อื่ หน่วยการเรยี นรู้และหัวขอ้ หลักของเน้อื หาในหนว่ ยการเรียนรนู้ น้ั ๆ 3. ประโยชน์จากบทเรียนรู้ นำ เสนอไว้เพ่ือกระตุ้นให้นักเรียนนำ ความรู้และทักษะจากการ เรยี นไปใชใ้ นชวี ิตประจำ วัน 4. คำ สำ คัญ เป็นการรวบรวมคำ ที่มคี วามสำ คญั หรือคำ หลักในหน่วยการเรียนรู้นั้น ๆ เพ่ือ อำ นวยความสะดวกให้นกั เรยี นเรยี นรไู้ ดเ้ รว็ และง่ายข้นึ โดยนำ คำ ศัพท์สำ คัญมาเรียงตามลำ ดบั คำ ที่ปรากฏในเรื่องไวใ้ นกรอบ และคำ สำ คัญในเนอื้ หาจะเน้นใหแ้ ตกต่างจากข้อความอนื่ 5. คำ ถามนำ สกู่ ารเรยี นร ู้ เปน็ คำ ถามหรอื สถานการณเ์ พอื่ กระตนุ้ ใหน้ กั เรยี นเกดิ ความสงสยั และสนใจที่จะค้นหาคำ ตอบ 6. เนอื้ หา ตรงตามสาระ ผลการเรียนรู้ และสาระการเรียนรเู้ พิม่ เตมิ โดยแบง่ เนื้อหาเปน็ ชว่ ง ๆ แลว้ แทรกกจิ กรรมพฒั นาการเรยี นรทู้ พ่ี อเหมาะกบั การเรยี น รวมทง้ั มกี ารนำ เสนอดว้ ยภาพ ตาราง แผนภมู ิ และแผนทค่ี วามคิด เพือ่ เปน็ สื่อให้นักเรียนเรียนสรา้ งความคดิ รวบยอดและเกิด ความเขา้ ใจท่คี งทน 7. กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ เป็นกิจกรรมที่กำ หนดไว้เมื่อจบเน้ือหาแต่ละตอนหรือแต่ละ หวั ขอ้ มคี ำ ถามเปน็ การตรวจสอบผลการเรยี นรขู้ องนกั เรยี น โดยไดอ้ อกแบบกจิ กรรมไวอ้ ยา่ งหลาก หลายและมีมากเพียงพอที่จะพัฒนาให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ตามเป้าหมายของหลักสูตร โดยใช้ แนวคดิ ทฤษฎตี า่ ง ๆ ทส่ี อดคลอ้ งกบั เนอ้ื หา เหมาะสมกบั วยั และพฒั นาการดา้ นตา่ ง ๆ ของนกั เรยี น สะดวกในการปฏบิ ตั ิ กระตนุ้ ใหน้ กั เรยี นไดค้ ดิ และสง่ เสรมิ ใหศ้ กึ ษาคน้ ควา้ เพม่ิ เตมิ แตล่ ะกจิ กรรม ไดร้ ะบสุ ญั ลกั ษณแ์ สดงจดุ เนน้ ของกจิ กรรมนน้ั ๆ ไว ้ เพอื่ ใหน้ กั เรยี นทราบวา่ กจิ กรรมนนั้ มงุ่ พฒั นา ทกั ษะใดอันจะชว่ ยใหจ้ ดั กิจกรรมการเรียนรคู้ รบถว้ นตามเป้าหมาย 8. บทสรปุ หน่วยการเรียนร้ ู ไดจ้ ัดทำ บทสรุปไวเ้ ปน็ ความเรยี งหรือบรรยาย สำ หรบั ทบทวน ความรู้ หรอื การเรยี นรกู้ ว้าง ๆ อยา่ งรวดเรว็ 9. กจิ กรรมเสนอแนะ เปน็ กจิ กรรมบรู ณาการทกั ษะทรี่ วมหลกั การและความคดิ รวบยอดใน เร่อื งต่าง ๆ ท่นี กั เรียนไดเ้ รียนรู้ไปแล้วมาประยุกต์ในการปฏิบตั ิกิจกรรม

10. โครงงาน เปน็ การกำ หนดใหน้ ักเรยี นปฏิบตั ิโครงงานโดยเสนอแนะหัวข้อโครงงานและ แนวทางการปฏบิ ตั โิ ครงงานทส่ี อดคลอ้ งกบั ผลการเรยี นรขู้ องหนว่ ยการเรยี นรนู้ น้ั เพอ่ื พฒั นาทกั ษะ การคิด การวางแผนและการแก้ปัญหาของนักเรยี น 11. การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง เป็นกิจกรรมท่ีเสนอแนะให้นักเรียนได้นำ ความรู้ทักษะใน การประยุกตค์ วามรู้ในหน่วยการเรยี นรนู้ ัน้ ไปใช้ในชวี ติ ประจำ วนั 12. แบบทดสอบประหนว่ ยการเรียนรู้ แบ่งเปน็ 3 ด้าน คือ ดา้ นความร้ ู เป็นแบบทดสอบ ปรนัยและอัตนยั ด้านทกั ษะ/กระบวนการ และด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม และค่านิยม เป็นแบบ ประเมนิ สำ หรับให้นักเรยี นประเมินตนเอง 13. บันทึกการเรียนรู้ เป็นการบันทึกความรู้ใหม่ท่ีได้จากบทเรียน ผลงานที่พอใจมาก กิจกรรมที่ชอบ ประโยชน์จากการเรียนเร่ืองนี้ และเร่ืองยังท่ีไม่เข้าใจ เพื่อการทบทวนและศึกษา เพ่มิ เตมิ 14. แบบทดสอบปลายภาคเรยี น นำ เสนอแนวข้อสอบไวเ้ ป็นตัวอยา่ งตามผลการเรียนรู้ wpp

wpp สญั ลกั ษณล ักษณะกิจกรรม โครงงาน เป็นกิจกรรมท่มี ุง่ พัฒนาการคดิ การวางแผน และการแกป้ ัญหา การพฒั นากระบวนการคดิ เปน็ กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นทำ เพอ่ื พฒั นากระบวนการคดิ ดา้ นตา่ ง ๆ การประยกุ ต์ใชใ้ นชีวติ จริง เป็นกจิ กรรมใหน้ กั เรียนนำ ความร ู้ ทกั ษะไปประยุกต์ใชใ้ นชีวิต ประจำ วนั ให้เกิดประโยชนส์ งู สุด การปฏบิ ตั จิ รงิ /ฝกƒ ทกั ษะ เปน็ กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นไดป้ ฏบิ ตั จิ รงิ หรอื ฝกึ ปฏบิ ตั เิ พอื่ เกดิ ทกั ษะ อนั จะชว่ ยให้การเรยี นร้เู ป็นไปตามเปา้ หมายอย่างสมบูรณ์และตดิ ตวั คงทน การศึกษาค้นคว้า/สืบค้น เป็นกิจกรรมให้นักเรียนศึกษาค้นคว้าหรือสืบค้นเพื่อสร้างองค์ ความรดู้ ้วยตนเอง จนเกิดเป็นนสิ ัย การสำ รวจ เป็นกจิ กรรมให้นักเรียนสำ รวจ รวบรวมข้อมูลเพ่ือนำ มาศึกษาวเิ คราะห ์ หาเหตุ หาผล ฝึกความเป็นผรู้ อบคอบ การสงั เกต เปน็ กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นรจู้ กั สงั เกตสง่ิ ทต่ี อ้ งการเรยี นรจู้ นสรา้ งองคค์ วามรไู้ ดอ้ ยา่ ง เป็นระบบและมีเหตุผล ทักษะการคิดคำ นวณ เป็นกิจกรรมให้นักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับกฎเกณฑ์ทางการคำ นวณ เพือ่ เปน็ พืน้ ฐานในการพฒั นาการคำ นวณต่อไป ทกั ษะการแกโ้ จทยป์ ญั หา เปน็ กจิ กรรมใหน้ กั เรยี นไดว้ เิ คราะหป์ ญั หา และตดั สนิ ใจแกป้ ญั หา ดว้ ยเหตุผลท่ีเหมาะสม การใช้สัญลักษณ์ส่ือความ เป็นกิจกรรมพัฒนาการใช้สัญลักษณ์ในการส่ือความในทุก ๆ ดา้ น เพ่ือพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้ กจิ กรรมสำ หรบั กลมุ่ พเิ ศษ เปน็ กจิ กรรมสำ หรบั ใหน้ กั เรยี นใชพ้ ฒั นาการเรยี นรเู้ พม่ิ เตมิ เพอื่ การพัฒนาให้เตม็ ตามศกั ยภาพ กจิ กรรมสำ หรับซ่อมเสริม เปน็ กิจกรรมสำ หรบั ให้นักเรียนใชเ้ รียนซ่อมเสริม เพื่อใหเ้ กดิ การ เรยี นรูต้ ามตวั ช้วี ดั กจิ กรรมสำ หรบั ความคดิ รเิ รม่ิ สรา้ งสรรค ์ เปน็ กจิ กรรมสำ หรบั ใหน้ กั เรยี นไดแ้ สดงจนิ ตนาการ

คำ�อธิบายรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ์ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 ภาคเรยี นที่ 2 เวลา 100 ช่ัวโมง จำ�นวน 2.5 หน่วยกิต ศึกษา ฝกึ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นเนอื้ หาสาระดังน้ี ความสัมพนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน ศึกษาเก่ียวกบั ความสมั พันธ์ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ ความ หมายของฟังกช์ นั การดำ�เนินการของฟังก์ชันและฟังก์ชนั ผกผัน ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ลและฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ ศกึ ษาเกย่ี วกบั เรอ่ื งฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล และฟังก์ชันลอการิทึม โดยเรียนรู้เลขยกกำ�ลังรากที่ n ในระบบจำ�นวนจริงและในรูปกรณฑ์ เลขยกกำ�ลงั เปน็ จำ�นวนตรรกยะ ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล ฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ ลอการทิ มึ สามญั และ ลอการิทึมธรรมชาติ สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม การประยุกต์ของฟังก์ชัน เอกซโ์ พเนนเชยี ลและฟงั ก์ชันลอการิทึม เรขาคณติ วเิ คราะห์ ศกึ ษาเกย่ี วกบั ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ สองจดุ จดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจดุ สองจดุ ความชันของเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ความสัมพันธ์ของกราฟของเส้นตรง ระยะห่าง ระหวา่ งจดุ กับเสน้ ตรง ระยะห่างระหวา่ งเส้นขนาน ภาคตัดกรวย ได้แก่ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา โดยให้นักเรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่ การแก้ปัญหา การส่ือสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิด สรา้ งสรรค์เพ่ือให้ไดม้ าซึ่งความรู้ และสามารถนำ�ความร้แู ละทักษะทางคณิตศาสตรไ์ ปประยุกต์ใช้ ในชีวติ จริงหรือในการเรียนรวู้ ิชาอนื่ ผลการเรยี นรู้ 1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชัน หาฟังก์ชันประกอบและ ฟังก์ชันผกผัน 2. ใช้สมบตั ขิ องฟังก์ชันในการแกป้ ญั หา 3. เข้าใจลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมและนำ�ไปใช้ ในการแกป้ ัญหา 4. เขา้ ใจและใช้ความรู้เกยี่ วกบั เรขาคณิตวเิ คราะห์ในการแกป้ ญั หา รวมท้งั หมด 4 ผลการเรียนรู้ wpp

สารบัญ หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 1 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ ัน..........1 2.5 ฟังกช์ ันลอการริทมึ ...................................... 109 เนอื้ หาใหม่...........................................................2 กิจกรรมที่ 5 ฟงั กช์ ันลอการิทึม..................... 115 1.1 ความสัมพันธ.์ ...................................................2 2.6 การหาคา่ ลอการิทมึ ....................................... 118 กจิ กรรมที่ 1 ความหมายของความสมั พันธ.์ .........7 กิจกรรมท่ี 6 การหาคา่ ลอการิทึม................... 119 กจิ กรรมที่ 2 กราฟของความสัมพนั ธ.์ ...............12 2.7 การเปล่ยี นฐานของลอการทิ ึม.......................... 121 กจิ กรรมท่ี 3 โดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ.์ .14 กจิ กรรมที่ 7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม..... 123 กจิ กรรมท่ี 4 ตวั ผกผนั ของความสัมพันธ์...........19 2.8 สมการและอสมการลอการิทึม........................ 124 1.2 ฟังก์ชนั ..........................................................21 กิจกรรมที่ 8 สมการและอสมการลอการทิ ึม.... 126 กิจกรรมที่ 5 ความหมายของฟงั ก์ชัน................30 2.9 การประยกุ ต์ของฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล กิจกรรมท่ี 6 ฟังก์ชันเพมิ่ และฟังก์ชนั ลด...........34 และฟงั ก์ชันลอการทิ ึม................................... 129 1.3 การใช้ฟงั กช์ นั ในชีวิตจรงิ .................................35 กจิ กรรมท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล กจิ กรรมที่ 7 ฟงั ก์ชันเชิงเส้น............................37 และฟงั กช์ ันลอการทิ มึ ................ 132 กิจกรรมที่ 8 ฟงั ก์ชนั กำ�ลงั สอง4�������������������������41 บทสรุปหน่วยการเรยี นรู้ที่ 2...................................134 1.4 กราฟฟังกช์ นั ..................................................43 กิจกรรมเสนอแนะ............................................... 135 กิจกรรมที่ 9 กราฟของฟงั กช์ นั .........................45 บันทึกการเรยี นร.ู้ ................................................135 1.5 การดำ�เนนิ การของฟังก์ชนั 4������������������������������46 กิจกรรมท่ี 10 พชี คณติ ของฟังก์ชัน..................48 กิจกรรมท่ี 11 ฟังกช์ ันประกอบ........................52 1.6 ฟังก์ชนั ผกผัน.................................................53 กิจกรรมที่ 12 ฟังกช์ นั ผกผัน...........................54 บทสรุปหนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1...................................56 กิจกรรมเสนอแนะ................................................57 บันทกึ การเรียนร.ู้ .................................................57 แบบทดสอบหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1.............................58 wpp แบบทดสอบหน่วยการเรียนร้ทู ี่ 2 ...........................136 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 3 เรขาคณติ วเิ คราะห.์ ..............139 ทบทวนความร้เู ดิม.............................................140 เนื้อหาใหม่....................................................... 140 3.1 ความรเู้ บอื้ งต้นเก่ยี วกับเรขาคณิตวิเคราะห์...... 140 กิจกรรมที่ 1 ระยะหา่ งระหวา่ งจุดสองจดุ ........ 144 กจิ กรรมที่ 2 จุดก่ึงกลางระหวา่ งจดุ สองจุด..... 151 กิจกรรมที่ 3 ความชนั ของเส้นตรง................. 161 กิจกรรมท่ี 4 เสน้ ขนาน................................. 168 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 ฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนเชียลและ กจิ กรรมที่ 5 เส้นตง้ั ฉาก............................... 173 ฟังกช์ นั ลอการรทิ ึม.................61 กิจกรรมท่ี 6 ความสัมพันธซ์ ่งึ มกี ราฟ ทบทวนความร้เู ดิม...............................................62 เป็นเสน้ ตรง............................. 184 เน้อื หาใหม.่ ........................................................62 2.1 เลขยกกำ�ลงั ทีม่ เี ลขชีก้ ำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็ม �����������63 กิจกรรมที่ 7 ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรงกบั จุด.. 196 3.2 ภาคตดั กรวย............................................... 200 กิจกรรมท่ี 1 เลขยกกำ�ลงั ที่มีเลขชก้ี ำ�ลัง กิจกรรมที่ 8 วงกลม..................................... 206 เป็นจำ�นวนเตม็ 6���������������������������67 2.2 รากทีส่ องในระบบจำ�นวนจรงิ รากท่ี n ในระบบ กิจกรรมท่ี 9 วงร.ี ........................................ 218 กจิ กรรมท่ี 10 พาราโบลา ............................. 227 จำ�นวนจริง และจำ�นวนจริงในรปู กรณฑ0์ �������������70 กิจกรรมท่ี 11 ไฮเพอร์โบลา ........................ 239 กิจกรรมท่ี 2 รากทีส่ องในระบบจำ�นวนจริง รากท่ี n ในระบบจำ�นวนจริงและ กจิ กรรมที่ 12 การเลือ่ นกราฟ ..................... 248 บทสรุปหน่วยการเรียนรู้ท่ี 3 ................................250 จำ�นวนจรงิ ในรูปกรณฑ7์ ����������������75 กจิ กรรมเสนอแนะ..............................................256 2.3 เลขยกกำ�ลงั ที่มเี ลขช้ีกำ�ลังเปน็ จำ�นวนตรรกยะ �����80 กิจกรรมที่ 3 เลขยกกำ�ลงั ทีม่ เี ลขช้ีกำ�ลังเป็น บันทึกการเรยี นร.ู้ ...............................................256 แบบทดสอบหน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 ..........................257 จำ�นวนตรรกยะ8��������������������������84 แบบทดสอบปลายภาคเรียน.................................. 259 2.4 ฟังก์ชันเอกซโ์ พเนเชียล....................................96 กิจกรรมท่ี 4 ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ล .......... 103 บรรณานุกรม ..................................................264

ความสมั พนั ธและฟง กชัน หนวยการเรย� นรทู ่ี ผลการเร�ยนรู 1 1. หาผลลัพธข์ องการบวก การลบ การคณู การหารฟังกช์ ัน หาฟงั ก์ชันประกอบและฟังกช์ นั ผกผัน 2. ใชส้ มบัติของฟงั กช์ นั ในการแกป้ ญั หา สาระการเร�ยนรู wpp ความสัมพันธ์ ฟงั กช์ นั ความสัมพนั ธแ ละ การใชฟ้ งั ก์ชนั ในชวี ติ จริง ฟง กช นั กราฟของฟังก์ชนั การดา� เนนิ การของฟงั กช์ นั ฟงั ก์ชนั ผกผนั ประโยชนจากการเร�ยนรู คําสาํ คญั สามารถน�าความรู้เก่ียวกับฟังก์ชัน การด�าเนิน ความสมั พนั ธ์ โดเมน เรนจ์ ตวั ผกผนั ฟังกช์ นั การของฟังก์ชัน และฟังก์ชันผกผันไปใช้แก้ ฟังกช์ นั ประกอบ ฟงั กช์ ันผกผัน ปัญหาในชีวิตจริงหรือแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ช้ัน สูงได้ ถ้า y = 2x + 1 แลว้ x = 8 และ y = 16 เปน็ ความสัมพันธ์ของ y = 2x + 1 หรอื ไม ่ เพราะเหตใุ ด

2 ส่อื การเรย� นร ู้ สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 1.1 ความสมั พันธ 1.1.1 ความหมายของความสมั พันธ นักเรยี นใช้ความรเู้ ก่ยี วกับเซตในการปฏบิ ัติกจิ กรรมต่อไปน้ี กิจกรรม: คน้ หาความสัมพันธ์ 1. นักเรยี นแบ่งกลมุ่ กลมุ่ ละ 4–5 คน 2. เขยี นเซตของชือ่ เล่นของสมาชกิ ท้งั หมดในกลมุ่ 3. สมาชิกแตล่ ะคนบอกวนั ทีเ่ กิดของตน แล้วเขยี นเซตของวนั ทเ่ี กดิ ของสมาชกิ ทัง้ หมดในกลุ่ม หากมวี นั ทีเ่ กดิ ซ้�ากันให้เขียนเพียงหนง่ึ จา� นวน 4. สมาชกิ แต่ละคนในกลุม่ สรา้ งแผนภาพแสดงความเกีย่ วข้องกันของเซตทง้ั สอง ดังตวั อยา่ ง wpp ชื่อเล่น วันที่เกดิ อน เกิดวันท่ี 14 มถิ ุนายน อน้ 3 ออมเกิดวนั ท่ี 3 พฤศจกิ ายน ออ้ ม 14 เอกเกดิ วนั ที่ 28 พฤษภาคม เอก 26 แอนเกิดวันที่ 14 เมษายน แอน 5. นกั เรยี นพจิ ารณาความเกยี่ วขอ้ งกนั ของสมาชกิ ในเซตทง้ั สองวา่ เมอื่ ระบชุ อื่ ของสมาชกิ คนหนงึ่ ในกลมุ่ แลว้ จะทราบวนั ทเี่ กดิ ของสมาชกิ คนนนั้ และเมอื่ ระบวุ นั ทเี่ กดิ ขนึ้ มาวนั หนงึ่ แลว้ จะทราบวา่ เป็นวนั ทเี่ กิดของสมาชกิ คนใด จากกจิ กรรมจะเหน็ วา่ เมอ่ื ระบชุ อ่ื ของสมาชกิ คนหนง่ึ ในกลมุ่ แลว้ จะทราบวนั ทเ่ี กดิ ของสมาชกิ คนน้นั เชน่ เมอื่ ระบชุ ือ่ “อ้อม” แล้วจะทราบว่าออ้ มเกิด “วันท่ี 3” ในทางกลบั กัน เม่ือระบุวนั ที่ เกดิ วนั หนึ่งจะทราบวา่ เป็นวันทเ่ี กดิ ของสมาชิกคนใด เช่น เมือ่ บอก “วนั ท่ี 14” แล้วจะคาดการณไ์ ด้ วา่ เป็นวันที่เกดิ ของ “อน้ ” และ “แอน” ดังแผนภาพ วันท่เี กิด ชอื่ เลน่ 3 อ้น 14 อ้อม 26 เอก แอน

wpp สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3 ในทางคณติ ศาสตร์ ความเกยี่ วขอ้ งกนั ของสองสง่ิ จะเขยี นแทนไดด้ ว้ ยคอู่ นั ดบั (ordered pair) ซึ่งประกอบด้วยสมาชกิ ตวั หน้าและสมาชกิ ตวั หลัง ถา้ ให้ a เปน็ สมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชกิ ตัวหลงั แล้วจะเขยี นแสดงความเกย่ี วขอ้ งกันของ a และ b ได้เป็นคู่อันดบั (a, b) และคู่อนั ดบั สอง คู่อันดบั จะเทา่ กนั กต็ ่อเมอื่ สมาชิกตัวหนา้ เทา่ กันและสมาชิกตัวหลังเทา่ กัน ดังน้ี (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เมือ่ a = c และ b = d เรียกเซตของคู่อนั ดับ (a, b) ทีส่ มาชิกตัวหน้า a และสมาชกิ ตัวหลัง b มคี วามเก่ียวข้องกัน อย่างใดอย่างหนึ่งว่า ความสัมพันธ์ (relation) โดยจากกิจกรรมข้างต้น ถ้าให้สมาชิกตัวหน้าเป็น ชือ่ เล่นและสมาชกิ ตัวหลงั เปน็ วนั ทเี่ กดิ แล้วจะเขียนแสดงความสัมพันธไ์ ดด้ ังน้ี {(อ้น, 3), (อ้อม, 14), (เอก, 14), (แอน, 26)} ในทางกลบั กัน ถา้ ให้สมาชิกตัวหน้าเป็นวนั ทีเ่ กดิ และสมาชิกตัวหลงั เปน็ ช่อื เล่น แลว้ จะเขยี น แสดงความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้ {(3, อน้ ), (14, อ้อม), (14, เอก), (26, แอน)} บทนยิ าม 1 ผลคูณคารท์ ีเซียน (Cartesian product) ของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อนั ดับ (a, b) ทง้ั หมด โดยที่ a เป็นสมาชกิ ของเซต A และ b เปน็ สมาชกิ ของเซต B เขียนแทน ด้วย A ĭ B น่นั คือ A ĭ B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} จากกิจกรรมข้างต้น ถ้าให้ A เป็นเซตของช่ือเล่น และ B เป็นเซตของวันท่ีเกิด จะเขียน ผลคณู คาร์ทเี ซยี นของเซตของช่ือเลน่ และเซตของวนั ที่เกดิ ได้ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี A = {อ้น, อ้อม, เอก, แอน} B = {3, 14, 26} A ĭ B = {(อน้ , 3), (อ้น, 14), (อ้น, 26), (อ้อม, 3), (ออ้ ม, 14), (ออ้ ม, 26), (เอก, 3), (เอก, 14), (เอก, 26), (แอน, 3), (แอน, 14), (แอน, 26)} B ĭ A = {(3, อ้น), (3, อ้อม), (3, เอก), (3, แอน), (14, อน้ ), (14, ออ้ ม), (14, เอก), (14, แอน), (26, อ้น), (26, ออ้ ม), (26, เอก), (26, แอน)} จะเห็นวา่ สมาชิกตัวหน้าของค่อู นั ดบั ใน A ĭ B เปน็ ชื่อเล่น แตกตา่ งจากสมาชิกตัวหน้าของ คู่อนั ดบั ใน B ĭ A เป็นวนั ท่ีเกดิ คู่อนั ดับในเซตทง้ั สองจงึ ไมเ่ ท่ากันและกล่าวได้ว่า ถ้า A และ B เปน็ เซตใด ๆ ท่ี A ≠ B และ A ∩ B ≠ ø แลว้ A ĭ B ≠ B ĭ A

4 ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตัวอยางที่ 1 ให้ A = {1, 2} และ B = {3, 4} จงหา A ĭ B และ B ĭ A วธิ ที ำ� A ĭ B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} B ĭ A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} จาก ตัวอยา่ งที่ 1 เพอื่ ปอ้ งกันความผิดพลาดในการหาผลคูณคาร์ทเี ซยี นอาจใชแ้ ผนภาพดังนี้ A B A × B หรือ B A B × A 1 3 (1, 3) 3 1 (3, 1) 4 (1, 4) 2 (3, 2) 2 3 (2, 3) 4 1 (4, 1) 4 (2, 4) 2 (4, 2) wpp หมายเหต ุ เนือ่ งจากผลคณู คารท์ ีเซียนของ A และ B เปน็ เซตของคอู่ ันดบั (a, b) โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เปน็ สมาชกิ ของเซต B นั่นคอื ถา้ เซต A มีสมาชิก p ตวั เขียนแทนด้วย n(A) = p ถา้ เซต B มีสมาชกิ q ตัว เขียนแทนด้วย n(B) = q แล้วจะไดว้ า่ A ĭ B มีสมาชกิ p ĭ q ตวั เขียนแทนด้วย n(A ĭ B) = p ĭ q และ B ĭ A มสี มาชิก q ĭ p ตัว เขยี นแทนดว้ ย n(B ĭ A) = q ĭ p ตวั อยา งที่ 2 ให้ A = {2, 4}, B = {3, 5} และ C = {1, 2, 3} จงหา A ĭ B, B ĭ A, A ĭ A, A ĭ (B ∪ C) และ (A ĭ B) ∪ (A ĭ C) วิธที �ำ A ĭ B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5)} B ĭ A = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} A ĭ A = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} A ĭ (B ∪ C) = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5)} (A ĭ B) ∪ (A ĭ C) = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5)} กิจกรรม: ค้นหาความสัมพนั ธ์ (ตอ่ ) ถ้านักเรียนเขียนผลคูณคาร์เซียนของเซตของช่ือเล่นและเซตของวันที่เกิด และความสัมพันธ์ท่ีมี สมาชิกตัวหน้าเปน็ ชือ่ เลน่ และสมาชิกตัวหลงั เปน็ วนั ทเ่ี กิด แลว้ สมาชกิ เซตทง้ั สองจะเกีย่ วข้องกัน อยา่ งไร

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 5 จากกจิ กรรม ถ้าให้ A เปน็ เซตของชือ่ เล่น และ B เปน็ เซตของวันท่เี กิด จะได้วา่ A ĭ B = {(อ้น, 3), (อ้น, 14), (อน้ , 26), (อ้อม, 3), (ออ้ ม, 14), (อ้อม, 26), (เอก, 3), (เอก, 14), (เอก, 26), (แอน, 3), (แอน, 14), (แอน, 26)} ให้ r เปน็ ความสมั พนั ธ์ นนั่ คอื เปน็ เซตของคอู่ นั ดบั ทม่ี สี มาชกิ ตวั หนา้ (จากเซต A) เปน็ ชอื่ เลน่ และสมาชกิ ตวั หลัง (จากเซต B) เป็นวนั ทีเ่ กิด จะไดว้ า่ r = {(อ้น, 3), (อ้อม, 14), (เอก, 14), (แอน, 26)} จะเห็นว่า สมาชิกทกุ ตัวของความสมั พนั ธ์ r เป็นสมาชกิ ของ A ĭ B ดังน้ัน r เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B หรือ r ⊆ A ĭ B เรียก r ว่า ความสมั พันธ์จาก A ไป B บทนยิ าม 2 r เป็นความสมั พันธจ์ าก A ไป B ก็ต่อเม่อื r เปน็ สับเซตของ A ĭ B wpp หมายเหต ุ ในกรณีที่ r ⊆ A ĭ A จะเรยี ก r ว่า ความสัมพนั ธ์บนเซต A เนอื่ งจากความสมั พนั ธเ์ ปน็ เซตทม่ี สี มาชกิ เปน็ คอู่ นั ดบั จงึ เขยี นแสดงความสมั พนั ธแ์ บบแจกแจง สมาชกิ หรอื แบบบอกเง่ือนไขไดด้ ังตวั อย่างต่อไปน้ี ตวั อยา งท่ี 3 ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {3, 4, 5} จงเขยี นความสัมพนั ธ์ “มากกวา่ ” และ “น้อยกว่า” จาก A ไป B แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงือ่ นไข วิธที �ำ A ĭ B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)} ให้ r1 เป็นความสมั พันธ์ “นอ้ ยกว่า” จาก A ไป B จะได้วา่ r1 = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} หรือ r1 = {(x, y) ∈ A ĭ B | x < y} ให้ r2 เป็นความสมั พนั ธ์ “มากกวา่ ” จาก A ไป B จะได้วา่ r2 = ∅ หรือ r2 = {(x, y) ∈ A ĭ B | x > y} ข้อสงั เกต ∅ เป็นสบั เซตของเซตใด ๆ

6 ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตัวอยางท่ี 4 ให้ A = {1, 3, 5, 7} และ B = {2, 4, 6} จงเขยี นความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ 1) r1 = {(x, y) ∈ A × B | x < y} 2) r2 = {(x, y) ∈ A × B | x = y} 3) r3 = {(x, y) ∈ A × B | x – 1 = y} 4) r4 = {(x, y) ∈ A × A | x = y} 5) r5 = {(x, y) ∈ B × B | x c y} วธิ ที �ำ จะได้ 1) r1 = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 6)} 2) r2 = ∅ 3) r3 = {(3, 2), (5, 4), (7, 6)} 4) r4 = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7)} wpp 5) r5 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} เนอ่ื งจากความสมั พนั ธเ์ ปน็ เซตของคอู่ นั ดบั จงึ สามารถใชก้ ารดำ� เนนิ การของเซตกบั ความสมั พนั ธไ์ ด ้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตวั อยา งท่ี 5 ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {4, 5} โดยที่ r1 = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)} และ r2 = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)} เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B จงหา r1 ∪ r2, r1 ∩ r2, r1 – r2, r2 – r1 และ r1' วิธที �ำ r1 ∪ r2 = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4)} r1 ∩ r2 = {(1, 4), (2, 4)} r1 – r2 = {(3, 4)} ขอ้ สังเกต r2 – r1 = {(1, 5), (2, 5)} r1' = {(1, 5), (2, 5), (3, 5)} X ของความสมั พันธ์ จาก A ไป B คอื A ĭ B หมายเหต ุ ในกรณที ี่ A และ B เป็นเซตของจำ� นวนจริง R สามารถเขียน (x, y) ∈ R ĭ R ได้เป็น (x, y) หรือเขียนเฉพาะเง่ือนไขของความสัมพันธ์ โดยเข้าใจว่า r เป็น ความสัมพันธ์บนเซตของจำ� นวนจรงิ เชน่ r = {(x, y) ∈ R ĭ R | x2 – y = 0} เขยี นไดเ้ ป็น r = {(x, y)| x2 – y = 0} หรือ x2 – y = 0

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 7 กิ จกรรมท่ี 1 ความหมายของความสัมพันธ์ 1. จงหา A ĭ B และ B ĭ A เมอื่ ก�ำหนด A และ B ดังตอ่ ไปน้ี 1) A = {1} และ B = {2, 3, 7} A ĭ B = B ĭ A = 2) A = {5, 7} และ B = {2, 3} A ĭ B = B ĭ A = 3) A = {1, 2, 4} และ B = {3, 5} A ĭ B = B ĭ A = 4) A = {–1, 0, 1} และ B = {0, 1, 2} A ĭ B = B ĭ A = 5) A = {a, b} และ B = {x, y, z} A ĭ B = B ĭ A = 2. ให้ A = {x ∈ Z | 4 c x c 7} และ B = {y ∈ Z | –2 < y < 2} จงเขยี นเซตต่อไปน้ี แบบแจกแจงสมาชกิ 1) A = 2) B = 3) A ĭ B = 4) B ĭ A = wpp 3. ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {6, 7, 8} จงหาจ�ำนวนสมาชกิ ของเซตตอ่ ไปนี้ 1) n (A ĭ B) = 3) n (A ĭ A) = 2 ) n (B ĭ A) = 4) n (B ĭ B) =

8 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4. ให้ A = {1, 4}, B = {2, 5} และ C = {4, 5} จงพิจารณาวา่ ขอ้ ความต่อไปนีเ้ ป็นจริงหรือ เปน็ เทจ็ 1) A ĭ B = B ĭ A 2) A ĭ (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A ĭ C) 5. ให้ A = {2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8} และ r = {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8), (4, 8)} จงพจิ ารณาวา่ r เป็นความสัมพันธจ์ าก A ไป B หรือไม่ wpp

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 9 6. ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4} ถ้า r เปน็ ความสัมพนั ธบ์ นเซต A โดยท่ี (x, y) ∈ r เมือ่ 2x d y จงเขยี น r แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเงือ่ นไข 7. ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} จงเขียนความสัมพนั ธ์ตอ่ ไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ wpp 2354ใ1ห))))) ้ Arrrrrrrrrr5313241542 = =========={ 0 {{{{{,(((((xxxxx1,,,,,, y) A ×B| x + y > 10} y) ∈ A ×B| x c y} y) ∈ B ×B| x = y2} y) ∈ B ×A| x – 4 = y} y) ∈ A ×B| 5x < y หรอื x = y} 2, ∈ 4, 5, 6, 7, 8, 9} จงเขียนความสมั พันธต์ ่อไปน้แี บบบอกเง่ือนไข 1), 3, 1) rrrrrrrr41233241 ======== {{{{((((0050,,,, 0), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9)} 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 2) 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)} 8. (1, 1), (2, 4), (3, 9)} 3) 8), (9, 9)} 4)

10 ส่ือการเรย� นรู้ สมบูรณแบบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 1.1.2 กราฟของความสัมพันธ พจิ ารณากราฟของคอู่ นั ดับ (–1, 2), (0, 3), (1, –4), (1, 2), (2, –3) Y 4 คอู่ นั ดบั ทงั้ หมดมสี มาชกิ ตวั หนา้ และสมาชกิ ตวั หลงั เปน็ จา� นวนจริง (0, 3) เนอ่ื งจากความสมั พันธเ์ ป็นเซตของคอู่ นั ดับ (–1, 2) 2 (1, 2) ใหค้ ู่อนั ดบั ข้างต้นเป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ r –4 –2 0 2 4X จะได้ r = {(–1, 2), (0, 3), (1, –4), (1, 2), (2, –3)} –2 (2, –3) ดงั น้ัน กราฟของค่อู นั ดับนีเ้ ปน็ กราฟของ –4 (1, –4) ความสมั พันธ์ r wpp จากการพจิ ารณาจะได้วา่ ในระบบพกิ ัดฉาก ถา้ ความสัมพนั ธ์ r เป็นเซตของคอู่ นั ดบั (x, y) ท่มี ี x เปน็ สมาชกิ ตัวหน้า และ y เป็นสมาชิกตวั หลงั โดย x ∈ R และ y ∈ R แลว้ กราฟของ ความสมั พันธจ์ ะมีลักษณะดงั บทนยิ ามต่อไปน้ี บทนยิ าม 3 ให้ r ⊆ R ĭ R กราฟของความสมั พันธ์ r คอื เซตของจดุ ในระนาบท่ีแสดงคู่อนั ดับซงึ่ เปน็ สมาชิกของความสมั พันธ์ r ตวั อยา งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของ r1 = {(x, y) ∈ Z ĭ Z | x = y} และ r2 = {(x, y) ∈ R ĭ R | x = y} วิธที �า r1 = {(x, y) ∈ Z ĭ Z | x = y} r2 = {(x, y) ∈ R ĭ R | x = y} YY 44 22 –4 –2 0 2 4 X –4 –2 0 2 4 X –2 –2 –4 –4

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 11 ตัวอยา งที่ 2 y) ∈จแงZลเะขĭยี rน2Zก=ร|า{yฟ(ขx=อ, xงy2)r}1 ∈= {(x, y) ∈ ZĭZ |y = x2} | y = x2} RĭR|y = x2} ∈ RĭR วิธที �ำ r1 = {(x, {(x, y) r2 = YY 16 16 12 12 88 4 2 4 X 4 2 4 X –4 –2 0 –4 –2 0 wpp กราจฟาขกองตควั วอายมา่สงมั ทพ่ี ัน1ธแจ์ ลงึ เะปน็ตจวั ุดอไยม่าต่งอ่ทเี่ น2ื่องจกะันเหน็แตวา่ ่ rr12 เป็นความสัมพนั ธบ์ นเซตของจำ� นวนเต็ม เปน็ ความสัมพนั ธบ์ นเซตของจำ� นวนจริง Z R กราฟของความสมั พันธจ์ ึงเป็นจดุ ต่อเนอื่ งกนั ซง่ึ เขียนแสดงด้วยเส้นทบึ ตวั อยางท่ี 3 xจแงล–เะข2ยี ryน2ก>=รา3{ฟ}(ขx อ, งy)r 1| = {(x, y) | x – 2y > 3} d x < 3} y) | –2 d x < 3} | –2 วธิ ีท�ำ r1 = {(x, r2 = {(x, y) YY 44 22 –4 –2 0 2 4 X –4 –2 0 2 4 X –2 –2 –4 –4 จาก ตวั อยา่ งที่ 3แตจ่จะะเไหมน็ ่รวว่ามสก่วรานฟทขเ่ี อปงน็ เrส1้นแปลระะกราฟของ r2 เปน็ ส่วนหนึง่ ของระนาบที่แรเงา และสว่ นทเ่ี ปน็ เสน้ ทบึ

12 สอ่ื การเร�ยนร ู้ สมบูรณแบบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 กิ จกรรมท่ี 2 กราฟของความสัมพันธ์ จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ต่อไปนี้ 3) r1 = {(x, y) ∈ Z × Z | x + y = 4} 1) r(21 ,= 0 {),( –(43,, –12) )(}–1, –3), (0, 3), wpp2) rเม2 ื่อ= A{ (=x , {y1), ∈2} ,A B × = B { |1 y, 2<, x3}} 4) r4 = {(x, y) | 3x c 4 – 4y} 1.1.3 โดเมนและเรนจของความสัมพนั ธ พิจารณาความสมั พนั ธ ์ r = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a)} จากความสัมพันธ์ r ถ้าน�าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดใน r มาเขียนเป็นเซต จะได ้ {1, 2, 3} เรียกเซตของสมาชกิ ตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ท้งั หมดในความสมั พันธ ์ r ว่า โดเมน (domain) ของ r และถ้านา� สมาชิกตัวหลังของคู่อันดบั ทัง้ หมดใน r มาเขยี นเปน็ เซต จะได ้ {a, b} เรยี กเซต ของสมาชกิ ตัวหลงั ของคอู่ นั ดบั ท้ังหมดในความสมั พันธ ์ r ว่า เรนจ์ (range) ของ r

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 13 บทนิยาม 4 ให้ r เปน็ ความสมั พันธจ์ าก A ไป B จะไดว้ า่ โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตัวหน้าของคอู่ นั ดับท้งั หมดใน r เขียนแทนด้วย Dr เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชกิ ตวั หลังของคู่อนั ดบั ท้ังหมดใน r เขยี นแทนด้วย Rr จาก บทนิยาม 4 ถา้ r เปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B จะเขยี น Dr และ Rr ในรปู เซตแบบบอกเง่อื นไขได้ดงั น้ี Dr = {x ∈ A | มี y ∈ B ซึ่งท�ำให้ (x, y) ∈ r} Rr = {y ∈ B | มี x ∈ A ซ่ึงทำ� ให้ (x, y) ∈ r} ตัวอยางท่ี 1 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} wpp วิธที �ำ จากโจทย์ จะได ้ Dr = {1, 2, 3, 4} Rr = {2, 3, 4, 5} ตวั อยา งท่ี 2 ให้ A = {0, 1, 2, 3} จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r = {(x, y) ∈ A × A | y = x + 1} วธิ ที �ำ จากโจทย์ จะได้ r = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} ดงั นั้น Dr = {0, 1, 2} Rr = {1, 2, 3} ตัวอยา งที่ 3 ให้ A = {x ∈ N | x d 5} จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r = {(x, y) ∈ A × A | x + y d 7} วิธีทำ� จากโจทย์ จะได ้ A = {1, 2, 3, 4, 5} r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2)} ดังนนั้ Dr = {1, 2, 3, 4, 5} Rr = {1, 2, 3, 4, 5}

14 สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยา งท่ี 4 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r = {(x, y) | x = 3y – 4} วธิ ที ำ� จากโจทย ์ x = 3yy+–44 ๆ แลว้ จะได้ y เปน็ จำ� นวนจรงิ จะได ้ y = ดว้ ย3จำ� นวนจรงิ ใด เนอื่ งจาก เมอ่ื แทน x ดงั นนั้ Dr = r Rr = r ตัวอยางที่ 5 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ r = {(x, y) | y = x2 – 25} วธิ ที ำ� พิจารณา x2 – 25 เน่อื งจาก รากที่สองของจ�ำนวนจรงิ ไมเ่ ป็นจำ� นวนลบ จะไดว้ ่า x2 – 25 เป็นจำ� นวนจรงิ เมอ่ื x2 – 25 ไม่เปน็ จ�ำนวนลบ wpp นั่นคือ x2 – 25 c 0 (x – 5)(x + 5) c 0 จะได้ x ∈ (–∞, –5] ∪ [5, ∞) ดงั นนั้ Dr = {x | x d –5 หรอื x c 5} = (–∞, –5] ∪ [5, ∞) เนอ่ื งจาก x2 – 25 c 0 จะได้วา่ x2 – 25 c 0 และเมื่อแทน x ดว้ ย 5 หรือ –5 จะได้คา่ นอ้ ยทีส่ ดุ คือ 0 ดังนั้น Rr = {y | y c 0} = [0, ∞) กิ จกรรมที่ 3 โดเมนและเรนจ์ของความสมั พนั ธ์ 1. จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธต์ ่อไปนี้ 1) a = {(–2, 5), (3, 8), (4, 9), (6, 2), (7, 7)} DRb aa= = 3), (2, 4), (3, 6), (5, 4), (7, 1)} = 2) {(2, DcRbb= = –1), (1, 0), (1, 1), (2, –2), (2, –1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)} = 3) {(1, DRcc = =

สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 15 2. จงเขยี นความสัมพนั ธต์ ่อไปนี้แบบแจงแจงสมาชิก พร้อมหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 1) j = {(x, y) ∈ A ĭ A | x + y = 5} เมอื่ A = {x ∈ N | x d 4} j = DlRj=j = = y) ∈ C ĭ C | y = x2 + 1} เม่ือ C = {x ∈ Z | –4 d x d 10} 2) {(x, l = จงห DRาโlดl เม==น และเรนจข์ องความสมั พันธ์ต่อไปน้ี 3. 1) m = {(x, y) | y = 2x} DDDDRDDDRRRRmqosnonmspqp ============ wpp Dt = 2) n = {(x, y) | y = 2 } = 0} 3) o = {(x, y) | y = (x – 2)2} Dt = 4) p = {(x, y) | xy + y – x + 1 Du = Du = 5) q = {(x, y) | y = x2 + 1 } 6) s = {(x, y) | y = 8 – x } 7) t = {(x, y) | y = 43xx –– 14 } 8) u = {(x, y) | y = 1 x2 } 16 – 9) w = {(x, y) | y = |1 – x2| } DRww == Dz = 1 Rz = 10) z = {(x, y) | y = |x – 1| }

16 ส่ือการเร�ยนร ู้ สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 1.1.4 ตัวผกผันของความสมั พนั ธ ให้ ความสมั พันธ์ r = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a)} จะได ้ Dr = {1, 2, 3} Rr = {a, b} ถา้ สลบั ที่สมาชิกตวั หน้าและสมาชกิ ตวั หลงั ของแต่ละคูอ่ นั ดบั ใน r จะได้ว่า ความสัมพนั ธ์ t = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3)} จะได้ Dt = {a, b} Rt = {1, 2, 3} จะเห็นวา่ โดเมนของ r เทา่ กับเรนจข์ อง t และเรนจ์ของ r เทา่ กับโดเมนของ t เนอื่ งจาก t เกดิ จากการสลับทสี่ มาชิกตัวหนา้ และสมาชกิ ตวั หลงั ของแตล่ ะค่อู นั ดับใน r เรยี ก t วา่ เป็น ตวั ผกผัน (inverse) ของความสัมพนั ธ ์ r เขยี นแทนด้วย r –1 บทนยิ าม 5 ตวั ผกผนั ของความสัมพันธ ์ r คอื ความสัมพันธ์ซ่งึ เกดิ จากการสลบั ทขี่ องสมาชิกตัวหนา้ และ สมาชิกตัวหลังในแต่ละคอู่ นั ดบั ทเ่ี ปน็ สมาชิกของ r wpp จาก บทนยิ าม 5 ถา้ r เป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B แล้ว r –1 จะเป็นความสัมพนั ธจ์ าก B ไป A นั่นคอื ถา้ r ⊆ A ĭ B แล้ว r –1 ⊆ B ĭ A เขยี น r –1 ในรปู เซตแบบบอกเงอ่ื นไขไดด้ ังนี้ r –1 = {(y, x) ∈ B ĭ A | (x, y) ∈ r} และจะได้วา่ โดเมนของ r –1 เทา่ กับเรนจข์ อง r (Dr–1 = Rr) เรนจข์ อง r –1 เท่ากบั โดเมนของ r (Rr–1 = Dr) ตัวอยางที่ 1 ให้ r = {(–2, 0), (1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 3)} จงหาตวั ผกผันของความสมั พนั ธ ์ r พร้อมท้ังหาโดเมนและเรนจ์ วิธีทา� จากโจทย ์ จะได ้ r –1 = {(0, –2), (1, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4)} Dr–1 = {0, 1, 2, 3} Rr–1 = {–2, 1, 2, 3, 4}

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 17 ตัวอยา งท่ี 2 ให้ r = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 2} จงหาตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ r วิธที �ำ จากโจทย ์ r = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 2} เมือ่ กำ� หนดความสมั พันธ์ r แบบบอกเงอื่ นไขแลว้ จะสร้าง r –1 ได้ 2 วธิ ี ดังนี้ วธิ ีท่ี 1 เปลีย่ นคอู่ ันดับ (x, y) ใหเ้ ปน็ (y, x) โดยเงื่อนไขคงเดิม จะได้ r –1 = {(y, x) ∈ B × A | y = x + 2} วธิ ที ่ี 2 คู่อันดับ (x, y) คงเดิม แต่เปลีย่ นเงื่อนไขโดยแทนท่ี x ด้วย y และแทนที่ y ดว้ ย x จะได้ r –1 = {(x, y) ∈ A × B | x = y + 2} หรือ r –1 = {(x, y) ∈ A × B | y = x – 2} จาก ตัวอย่างท่ี 2 ถา้ ให้ A ∈ r และ B ∈ r จะเขยี นกราฟของ r กับกราฟของ r –1 ได้ดงั รูป Y wpp 4r 2 r–1 2 4 X –4 –2 0 –2 –4 ถา้ ลากสว่ นของเสน้ ตรงจากจดุ (a, b) บนกราฟ 4 r y=x ของ r ไปยงั จดุ (b, a) บนกราฟของ r –1 แล้วลาก 2 r–1 เสน้ ตรงผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของสว่ นของเสน้ ตรงดงั กลา่ ว จะได้เสน้ ตรง y = x ดงั รปู –4 –2 0 2 4 น่ันคือ สว่ นของเส้นตรงทล่ี ากจากจดุ (a, b) –2 ถงึ เสน้ ตรง y = x ยาวเทา่ กับกับส่วนของเส้นตรงท่ี –4 ลากจากจุด (b, a) ถงึ เสน้ ตรง y = x และทั้งสองเสน้ น้นั ต้ังฉากกบั เส้นตรง y = x ดังน้ัน กราฟของ r กบั กราฟของ r –1 เปน็ ภาพ สะทอ้ นกนั โดยมเี สน้ ตรง y = x เส้นสะท้อน

18 สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตวั อยางที่ 3 ให้ r = {(x, y) ∈ r × r | y = 3x – 2} จงเขียนกราฟของ r, r –1 และ y = x ในระบบพกิ ัดฉากเดียวกัน วิธที �ำ จากโจทย ์ r = {(x, y) ∈ r × r | y = 3x – 2} จะได้ r –1 = {(y, x) ∈ r × r | y = 3x – 2} x +3 2} หรือ r –1 = {(x, y) ∈ r × r | y = ดังน้นั จะเขยี นกราฟของ r และ r –1 ได้ดังรปู Y 4 r y=x ขอ้ สงั เกต 2 ถ้าพับรูปนี้ตามแนวเส้นตรง r–1 y = x แล้วกราฟของ r จะ –4 –2 0 2 4 X ทบั กบั กราฟของ r –1 พอดี –2 wpp –4 ตวั อยางที่ 4 ให้ r = {(x, y) ∈ r × r | y = x – 2 } จงเขียนกราฟของ r, r –1 และ y = x ในระบบพิกดั ฉากเดียวกัน วธิ ที �ำ จากโจทย ์ r = {(x, y) ∈ r × r | y = x – 2 } จะได้ r –1 = {(y, x) ∈ r × r | y = x – 2 } หรือ r –1 = {(x, y) ∈ r × r | x c 0 และ y = x2 + 2} ดังน้ัน จะเขยี นกราฟของ r และ r –1 ไดด้ ังรปู Y 10 r–1 y = x ข้อสังเกต 8 6 เรนจข์ อง r = {y | y c 0} 4 เโนดเ่อื มงนจขากองRrr –=1 =D{r –x1 จะไดว้ า่ 2 r | x c 0} 0 2 4 6 8 10 X

สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 19 กิ จกรรมท่ี 4 ตัวผกผนั ของความสมั พนั ธ์ 1. จงหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ พร้อมท้ังหาโดเมนและเรนจ์ของตัวผกผันของความสัมพันธ์ เมื่อก�ำหนดความสมั พันธด์ งั ตอ่ ไปนี้ 1) r = {(1, 3), (2, 4), (3, 7)} r –1 = DrRr=r – –11{ (==–3, –1), (0, 2), (3, 1), (4, 2)} 2) r –1 = rDRr=r – –11{ (==x, wpp y) ∈ Z × Z | y = 2x} 3) r –1 = RDr r=r – –11{ (==x, y) | y = x2 – 1} 4) r –1 = RDr r=r – –11{ (==x, y) | y = (x – 1)2} 5) r –1 = DR=rr – {–11( x==, y) | y = x} 6) r r –1 = rRDr=r – –11{ (==x , y) | x2y = 1} 7) r –1 = RDrr – –11 = =

20 สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2. จงเขียนกราฟของ r, r –1 และ y = x ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน เมื่อก�ำหนดความสัมพันธ์ ดังตอ่ ไปนี้ 1) r = {(x, y) ∈ Z × Z | y = x + 2} 2) r = {(x, y) | y = x2 + 2} 3) r = {(x, y) | y = | x | + 1} wpp

ส่ือการเร�ยนรู้ สมบูรณแ บบ รายวช� าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 21 1.2 ฟงกช นั 1.2.1 ความหมายของฟ˜งกช นั จากความสัมพันธ์ตอ่ ไปนี้ r1 = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)} r2 = {(0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2)} r3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่กันระหว่างโดเมน (สมาชิกตัวหน้า) กับเรนจ์ (สมาชิกตัวหลัง) ของความสัมพันธ ์ r1, r2 และ r3 ไดด้ งั รูป โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ wpp 0 1 0 2 1 1 2 1 3 21 2 3 2 3 r1 r2 r3 จะเห็นวา่ สมาชกิ แต่ละตวั ในโดเมนของ r1 จบั คกู่ ับสมาชกิ ในเรนจ์ของ r1 เพยี งตัวเดียว สมาชิกบางตวั ในโดเมนของ r2 จบั คูก่ ับสมาชกิ ในเรนจข์ อง r2 มากกว่าหน่งึ ตวั สมาชิกแตล่ ะตัวในโดเมนของ r3 จบั คู่กบั สมาชิกในเรนจข์ อง r3 เพียงตวั เดยี ว เรยี กความสมั พนั ธท์ ส่ี มาชกิ แตล่ ะตวั ในโดเมนจบั คกู่ บั สมาชกิ ในเรนจเ์ พยี งตวั เดยี ววา่ ฟงั กช์ นั (function) จะกล่าวได้วา่ r1 และ r3 เป็นฟงั กช์ ัน ส่วน r2 ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั บทนยิ าม 6 ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งส�าหรับคู่อันดับใด ๆ ในความสัมพันธ์ ถ้ามีสมาชิกตัวหน้า เหมือนกนั แล้ว สมาชกิ ตวั หลงั ต้องเหมือนกัน จาก บทนิยาม 6 จะได้ว่า เม่ือ f เป็นความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ส�าหรับ x, y, z ใด ๆ ถา้ (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z และในทางกลับกนั f จะไม่เป็นฟงั ก์ชัน ก็ตอ่ เม่ือ สา� หรบั x, y, z ใด ๆ ถา้ (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แล้ว y ≠ z

22 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตัวอยา งที่ 1 จากแผนภาพของความสัมพนั ธ์ r1, r2 และ r3 จงพจิ ารณาวา่ ความสมั พันธ ์ ใดเป็นฟงั ก์ชัน โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ 1a 0a 1a 2b 1b 2b 3c 2c 3c r1 r2 r3 วิธีท�ำ จากแผนภาพของความสัมพนั ธ์ r1, r2 และ r3 จะพบว่า r1 เปน็ ฟงั กช์ ัน เน่ืองจาก สมาชกิ แต่ละตัวในโดเมนของ r1 จับคู่กับสมาชกิ ในเรนจ์ของ r1 wpp เพียงตัวเดยี ว r2 ไม่เปน็ ฟังก์ชัน เนือ่ งจาก สมาชิกบางตัวในโดเมนของ r2 จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r2 มากกวา่ หน่ึงตัว r3 เป็นฟังก์ชนั เนือ่ งจาก สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของ r3 จบั คกู่ บั สมาชกิ ในเรนจ์ของ r3 เพียงตัวเดยี ว การพิจารณาความสัมพนั ธ์ r แบบบอกเงอื่ นไขว่าเป็นฟังก์ชนั หรอื ไมน่ ้ัน พจิ ารณาได้ดังน้ี วธิ ีท่ี 1 จาก (x, y) ∈ r พจิ ารณาค่า y ในแตล่ ะคา่ ของ x ถ้าแต่ละค่าของ x หาคา่ y ไดเ้ พยี งคา่ เดยี ว จะได้ว่า r เป็นฟังกช์ นั แต่ถา้ มีบางค่าของ x หาค่า y มากกว่าหนึ่งคา่ จะได้ว่า r ไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน วธิ ที ี่ 2 ให้ (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว้ พิจารณาค่า x ที่ทำ� ให้ y = z ถา้ แสดงไดว้ ่า ส�ำหรับทกุ คา่ ของ x ที่ y = z จะไดว้ ่า r เป็นฟงั กช์ นั แตถ่ า้ แสดงไดว้ ่า มบี างคา่ ของ x ที่ y ≠ z จะได้ว่า r ไม่เปน็ ฟงั กช์ ัน ตัวอยา งท่ี 2 จงพจิ ารณาความสมั พันธต์ ่อไปนี้ว่าเปน็ ฟังก์ชนั หรือไม่ 1) r1 = {(x, y) | y = 4} 2) r2 = {(x, y) | x = 2} 3) r3 = {(x, y) | y = x2 – 1} 4) r4 = {(x, y) | y2 = x}

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 23 วธิ ีท�ำ 1) r1 = {(x, y) | y = 4} วิธีท่ี 1 ส�ำหรบั แตล่ ะค่าของ x จะได้ y = 4 เพยี งคา่ เดียว ดังน้ัน r1 เป็นฟังก์ชัน วธิ ีท่ี 2 ส�ำหรับ x, y, z ใด ๆ ซงึ่ (x, y) ∈ r1 และ (x, z) ∈ r1 จะไดว้ ่า y = 4 และ z = 4 จะเห็นวา่ 4 = 4 นัน่ คือ y = z ดังน้นั r1 เป็นฟงั กช์ ัน 2) r2 = {(x, y) | x = 2} วธิ ที ่ี 1 เนือ่ งจาก (2, 1) ∈ r2 และ (2, –1) ∈ r2 จะเหน็ วา่ 1 ≠ –1 ดงั นัน้ r2 ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน วธิ ที ี่ 2 สำ� หรับ x, y, z ใด ๆ ซ่งึ (x, y) ∈ r2 และ (x, z) ∈ r2 จะได้ว่า เม่ือ y ∈ r, z ∈ r แลว้ x = 2 เสมอ นนั่ คอื มีกรณที ี่ y ≠ z ดงั น้นั r2 ไม่เป็นฟังก์ชนั 3) r3 = {(x, y) | y = x2 – 1} วิธีท่ี 1 ส�ำหรบั แต่ละค่าของ x จะได้ค่าของ x2 – 1 เพียงคา่ เดียว wpp ดังนนั้ r3 เปน็ ฟังก์ชนั วธิ ที ่ี 2 สำ� หรับ x, y, z ใด ๆ ซึ่ง (x, y) ∈ r3 และ (x, z) ∈ r3 จะไดว้ า่ y = x2 – 1 และ z = x2 – 1 นนั่ คอื y = z ดงั นั้น r3 เป็นฟังก์ชัน 4) r4 = {(x, y) | y2 = x} วิธีที่ 1 จาก y2 = x จะได ้ y = ± x สำ� หรับแต่ละคา่ ของ x จะได้ค่าของ y สองค่า เช่น (4, 2), (4, –2) แต่ 2 ≠ –2 ดงั นนั้ r4 ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน วิธที ่ี 2 ส�ำหรบั x, y, z ใด ๆ ซ่งึ (x, y) ∈ r4 และ (x, z) ∈ r4 จะไดว้ ่า y2 = x และ z2 = x นน่ั คอื y2 = z2 |y| = |z| y = ±z แสดงว่า y = z และ y = –z จงึ มีกรณีท่ี y ≠ z ดังนน้ั r4 ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชัน

24 สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 นอกจากการพิจารณาทง้ั สองวธิ ใี น ตวั อยา่ งที่ 2 แลว้ อาจพิจารณาความสัมพันธ์ r แบบบอก เงอื่ นไขวา่ เป็นฟังกช์ นั หรือไม่เป็นฟังก์ชันไดโ้ ดยใชก้ ราฟของความสมั พันธ์ แลว้ ลากเสน้ ตรงขนานกบั แกน Y ถ้าเสน้ ตรงนั้นตัดกราฟของความสัมพันธ์เพียงจุดเดียว จะไดว้ า่ ความสมั พนั ธน์ น้ั เปน็ ฟงั กช์ นั ถา้ เสน้ ตรงนน้ั ตดั กราฟของความสมั พนั ธม์ ากกวา่ หนงึ่ จดุ จะได้ว่า ความสมั พันธน์ ัน้ ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั ถ้าพจิ ารณาความสมั พันธใ์ น ตัวอยา่ งท่ี 2 โดยใชก้ ราฟจะได้ดงั นี้ r1 = {(x, y) | y = 4} r2 = {(x, y) | x = 2} 5 Y x = 1 r1 Y 5 x=2 r2 –5 0 5 X –5 0 5 X wpp –5 –5 เมื่อลากเส้นตรง x = 1 ซงึ่ ขนานกับแกน Y ถา้ ลากเส้นตรง x = 2 ซึ่งขนานกับแกน Y จะตัดกราฟ y = 4 เพยี งจุดเดยี ว จะทับจุดในกราฟ x = 2 ทกุ จุด ดงั นั้น r1 เป็นฟังก์ชัน ดังนนั้ r2 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั r3 = {(x, y) | y = x2 – 1} r4 = {(x, y) | y2 = x} Y x=3 Y x = 10 r4 25 r3 5 –5 0 5X –25 0 25 X –25 –5 ถา้ ลากเสน้ ตรง x = 3 ซึ่งขนานกบั แกน Y ถ้าลากเส้นตรง x = 10 ซึ่งขนานกับแกน Y จะตัดกราฟ y = x2 – 1 เพยี งจดุ เดียว จะตดั กราฟ y2 = x สองจดุ ดังนนั้ r3 เป็นฟงั กช์ ัน ดังนนั้ r4 ไมเ่ ป็นฟังก์ชัน

สอื่ การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 25 ในกรณที ค่ี วามสมั พนั ธ์ f เปน็ ฟงั ก์ชนั จะเขียนแทน (x, y) ∈ f ดว้ ย y = f (x) และเรยี ก f (x) ว่าเป็นคา่ ของฟงั กช์ นั f ท่ี x และอาจเขยี นโดยย่อวา่ ฟงั กช์ ัน f (x) ซ่งึ หมายถงึ ฟงั ก์ชนั f ทม่ี ี ค่าของฟังกช์ นั ที่ x เป็น f (x) ตวั อยา งที่ 3 ให้ f (x) = 2x + 3 จงหา f (–2), f (0), f (2), f (21) และ f (x + 1) วธิ ที ำ� จาก f (x) = 2x + 3 จะได้ f (–2) = 2(–2) + 3 = –1 f (0) = 2(0) + 3 = 3 f (2) = 2(2) + 3 = 7 f (12) = 2(12) + 3 = 4 f (x + 1) = 2(x + 1) + 3 = 2x + 5 wpp ว ิธีทตำ� วั จจจ อาะายกกไ าด งต้ ทัวfffffี่ อ(((((42–x64ย))2))า่ ง) ท =====่ี 4ใ หจ้ –fะ6x42 2(เ22222หx–––––)น็ 2222ว=2่า ห====าx ค21 2–า่20ข–2 อ22 4งไมฟจน่งั เงกนิยห์ชา่อืามนั งfจ (fา–กไ2ด)ท้,–บ่ี f4 า(ง2ค)ไ่า,มน่fx (ิย4าแ)มตแไ่ ดมลังน่ะนิยั้นfา(ม6fค )(า่–ข2อ)งไฟมัง่นกิย์ชานั มf ที่บางคา่ x เรยี กเซตของค่า x ซ่ึงฟังกช์ นั f หาคา่ ไดท้ ี่ x วา่ โดเมนของฟงั ก์ชัน f และเรยี กเซตของ ค่าของฟงั กช์ ัน f ท่เี ป็นไปได้ทงั้ หมดที่ x ว่า เรนจข์ องฟงั ก์ชนั f ในทางเดยี วกนั จะกลา่ วได้วา่ ถ้าความสมั พันธ์ f เปน็ ฟังก์ชนั แลว้ โดเมนและเรนจ์ของความ สัมพันธ์ f คือ โดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ ัน f 2 x– เช่น ใหค้ วามสัมพันธ์ f = {(x, y) | y = 2 } จะได้ Df = {x | x > 2} และ Rf = {y | y > 0} ดังนั้น ถ้า f เป็นฟังก์ชนั แล้ว Df = {x | x > 2} และ Rf = {y | y > 0} สอดคล้องกับ ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x ใน ตัวอย่างที่ 4

26 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตัวอยางที่ 5 จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี 1) f (x) = 4x 2) f (x) = 3x2 + 1 3) f (x) = x – 1 วิธที ำ� 1) ให้ y = f (x) = 4x จะเหน็ วา่ คา่ ของฟงั ก์ชัน f นิยามไดท้ ีท่ ุก x ∈ r ดังน้ัน Df = r เน่ืองจาก เมื่อแทนค่า x ซึง่ x ∈ r ใน y = 4x แลว้ จะได้ y ∈ r ดงั นั้น Rf = r 2) ให้ y = f (x) = 3x2 + 1 wpp จะเหน็ วา่ คา่ ของฟงั ก์ชัน f นยิ ามไดท้ ่ีทกุ x ∈ r ดงั นน้ั Df = r จะได ้ y – 1 = x2 จาก y = 3x2 + 1 จะได ้ y –3 1 c0 3 เนือ่ งจาก x2 c 0 แสดงว่า y c 1 ดังน้นั Rf = {y | y c 1} หรอื [1, ∞) ขอ้ สงั เกต 3) ให้ y = f (x) = x – 1 {y | y c 1} เปน็ การเขียน เนื่องจาก x – 1 c 0 เงอ่ื นไขโดยละ y ∈ r ไว้ จะได ้ x – 1 c 0 แสดงว่า x c 1 ดังนนั้ Df = {x | x c 1} หรอื [1, ∞) จาก y = x – 1 จะได้ y2 + 1 = x เนอื่ งจาก x c 1 จะได้ y2 + 1 c 1 แสดงวา่ y c 0 ดังนัน้ Rf = {y | y c 0} หรอื [0, ∞)

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 27 บทนยิ าม 7 f เปน็ ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B (function from A to B) กต็ ่อเมื่อ f เปน็ ฟังก์ชนั ท่ีมีโดเมน เปน็ เซต A และมีเรนจเ์ ปน็ สับเซตของเซต B เขียนแทนดว้ ย f : A B หมายเหต ุ เม่ือกล่าวถึงฟังก์ชันใด ๆ โดยไม่กล่าวว่าเป็นฟังก์ชันไปเซตใด จะหมายความว่า ฟังกช์ นั น้ันเปน็ ฟงั กช์ นั จาก r ไป r ตวั อยา งท่ี 6 ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {2, 4, 6} และกำ� หนดฟังกช์ ัน f ดงั แผนภาพ f 12 24 36 wpp จงพิจารณาวา่ f เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไป B หรอื ไม่ วธิ ที �ำ จด างั กน แ้ันผfนภเปาน็พฟจังะกไ ์ชดัน้ จDRาffก A== ไ {ป{12B,, 2, 3} = A 6} V B บทนิยาม 8 f เป็น ฟงั ก์ชันจาก A ไปท่วั ถงึ B (function from A onto B) กต็ อ่ เม่อื f เปน็ ฟังก์ชนั ท่ี มีโดเมนเป็นเซต A และมีเรนจ์เป็นเซต B เขียนแทนดว้ ย f : A onto B ตวั อยา งท่ี 7 ให้ A = {1, 3, 5, 7} และ B = {m, n, o} และก�ำหนดฟังก์ชนั g ดังแผนภาพ 1 f 3 5 m 7 n o จงพจิ ารณาวา่ g เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไปทั่วถึง B หรือไม่ วิธีท�ำ จากแผนภาพ จะได ้ Dg = {1, 3, 5, 7} = A Rg = {m, n, o} = B ดงั น้นั g เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B

28 สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 บทนิยาม 9 f เปน็ ฟงั กช์ นั หนึ่งต่อหนึง่ จาก A ไป B (one-to-one function from A into B) ก็ตอ่ เมื่อ f เป็นฟงั ก์ชนั จาก A ไป B ส�ำหรับ x1, x2 ใด ๆ ถา้ f (x1) = f (x2) แลว้ x1 = x2 เขียนแทนดว้ ย f : A 1–1 B จาก บทนยิ าม 9 จะไดว้ า่ f จะไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ กต็ อ่ เมอ่ื มี x1, x2 ใน A ท่ี x1 ≠ x2 แต่ f (x1) = f (x2) ตัวอยางที่ 8 ให้ A = {1, 2, 4} และ B = {1, 3, 5, 8} และกำ� หนดฟังกช์ ัน f ดงั แผนภาพ f 13 1 58 wpp 2 4 จงพจิ ารณาว่า f เปน็ ฟงั ก์ชันหนงึ่ ตอ่ หนึง่ จาก A ไป B หรือไม่ วิธีท�ำ จากแผนภาพ ไมม่ สี มาชกิ ใน A ที่จบั ค่กู บั สมาชิกใน B ตัวเดียวกนั นั่นคือ ถา้ x1 ≠ x2 แล้ว f (x1) ≠ f (x2) ดังนั้น f เปน็ ฟงั กช์ นั หนง่ึ ต่อหนึ่งจาก A ไป B ตวั อยางท่ี 9 ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {5, 6, 7, 8} และกำ� หนดฟงั กช์ นั g ดงั แผนภาพ f 576 8 312 4 จงพจิ ารณาว่า g เปน็ ฟังก์ชันหน่ึงต่อหนงึ่ จาก A ไป B หรอื ไม่ วธิ ที ำ� จากแผนภาพ ไมม่ ีสมาชิกใน A ที่จับคูก่ บั สมาชิกใน B ตวั เดยี วกัน นัน่ คือ gถ้าเปx็น1 ฟ≠ังกxช์2นั แหลน้วึ่งตg่อ (หx1น)่งึ ≠จากg (Ax2ไ)ป ดังน้นั B จาก ตวั อย่างท่ี 9 จะเหน็ ว่า g เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B และเปน็ ฟงั กช์ ันหนงึ่ ต่อหนง่ึ จาก A ไป B เรียกฟังก์ชันนี้วา่ เปน็ ฟังกช์ ันหนึง่ ตอ่ หนึ่งจาก A ไปท่ัวถึง B (one-to-one function from A onto B ) เขยี นแทนด้วย f : A 1–1 B onto

สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 29 ตวั อยางท่ี 10 จงตรวจสอบว่า ฟงั ก์ชันทีก่ �ำหนดให้เป็นฟงั กช์ นั หนึ่งต่อหน่งึ หรอื ไม่ 1) f (x) = 3x – 5 2) f (x) = x2 – 2x + 1 วิธที �ำ 1) f (x) = 3x – 5 จะไดว้ า่ Df = r ให้ x1 และ x2 เป็นจำ� นวนจรงิ ถ้า f (x1) = f (x2) จะได้ 3x1 – 5 = 3x2 – 5 3x1 = 3x2 นน่ั คือ x1 = x2 จดะังเนห้ันน็ วf่าเปถน็ ้าฟf งั (กxช์1)นั ห=นfง่ึ (ตxอ่ 2)หนแลง่ึ ้ว x1 = x2 wpp 2) f (x) = x2 – 2x + 1 จะไดว้ ่า Dg = r ให้ x1 และ x2 เป็นจำ� นวนจริง ถา้ g (x1) = g (x2) จะได้ x 21 – 2x1 + 1 = x 22 – 2x2 + 1 x 21 – 2x1 – x 22 – 2x2 = 0 (x 21 – x 22 ) – (2x1 – 2x2) = 0 (x1 + x2)(x1 – x2) – 2(x1 – x2) = 0 (x1 – x2)(x1 + x2 – 2) = 0 น่ันคือ x1 – x2 = 0 หรอื x1 + x2 – 2 = 0 x1 = x2 หรอื x1 = 2 – x2 จะเห็นวา่ ถ้า g (x1) = g (x2) แลว้ x1 = x2 หรือ x1 = 2 – x2 แสดงว่า มกี รณที ี่ g (x1) = g (x2) แต่ x1 ≠ x2 ดังน้ัน g ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั หน่ึงตอ่ หนึง่

wpp30 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ก ิจกรรมที่ 5 ความหมายของฟังก์ชนั 1. จงพิจารณาวา่ ความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปนีเ้ ป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด 1) {(2, 6), (3, 5), (4, 4)} 2) {(–1, –2), (–1, 2), (3, –1), (5, –1)} 3) {(–1, 0), (1, 0), (3, 0), (6, 0)} 4) {(x, y) ∈ A × A | x > y} เมอื่ A = {1, 3, 5, 7} 5) {(x, y) ∈ A × B | y = x – 1} เม่อื A = {–1, 0, 1} และ B = {–2, –1, 0, 1, 2} 6) {(x, y) ∈ A × B | y = x2 + 1} เมอ่ื A = {–1, 0, 1} และ B = {–4, –2, 0, 2, 4} 7) {(x, y) ∈ Z × Z | 2x – 3y = 1} 8) {(x, y) ∈ N × Z | x – y2 = 5} 9) {(x, y) | y = 2x2 – 1} 10) {(x, y) | y = 1 – x2 }

สื่อการเร�ยนร ู้ สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 31 2. จากกราฟของความสมั พันธ ์ จงพิจารณาว่า ความสมั พันธใ์ นขอ้ ใดเปน็ ฟงั กช์ ัน เพราะเหตใุ ด 1) Y 3) Y XX 2) Y 4) Y X X wpp 3. ถ้า f (x) = x2 – 9 และโดเมนของ f คือ {x –3 d x d 3} จงหาเรนจข์ อง f

32 สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4. ถา้ g(x) = x2 – 6x – 7 จงหา g(0) , g(–1), g(a) และ g(2a + b) 5. จงตรวจสอบว่า ฟงั ก์ชันต่อไปนเ้ี ป็นฟังกช์ ันหนึ่งต่อหน่ึงหรอื ไม่ 1) f (x) = 5x2 + 1 2) g (x) = 2x – 8 3) h (x) = 4 – x2 4) k (x) = x + 5 wpp

สื่อการเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 33 1.2.1 ฟ˜งกชันเพิม่ และฟ˜งกชนั ลด บทนยิ าม 10 ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซ่งึ มีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซตของจา� นวนจรงิ และ A เปน็ สับเซต ของโดเมน จะได้วา่ 1. f เปน็ ฟงั กช์ นั เพม่ิ (increasing function) ใน A กต็ อ่ เมอ่ื สา� หรบั x1 และ x2 ใด ๆ 2. fในเปAน็ ถฟา้ งั xก1ช์ นั<ลxด2 แ(dลeว้ crfe (axs1)in<g ff u(xn2c)tion) ใน A กต็ อ่ เมอ่ื สา� หรบั x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา้ x1 < x2 แล้ว f (x1) > f (x2) YY f(x2) f(x2) wpp f(x1) f(x1) x2 X 0 x1 x2 X 0 x1 ฟง กชันเพ่ิม ฟงกช ันลด ตัวอยาง จากกราฟแสดงความสมั พนั ธ์ของฟังกช์ นั ทกี่ า� หนด จงพิจารณาวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชนั เพม่ิ หรอื ฟังกช์ ันลดในชว่ งใด Y 0 X วธิ ีท�ำ f เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่มในช่วง [0, ∞) f เปน็ ฟังกช์ ันลดในชว่ ง (–∞, 0]

wpp34 สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ก ิจกรรมที่ 6 ฟังกช์ นั เพิ่มและฟงั ก์ชนั ลด จงพจิ ารณาว่า ฟังกช์ ันตอ่ ไปนเี้ ป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟงั ก์ชันลด 1) f (x) = 5 – 7x เม่ือ Df = (0, ∞) 2) f (x) = x2 – 3 เม่อื Df = (– ∞, 0] 3) f (x) = |x – 1| เม่อื Df = [–1, 1] 4) f (x) = 2 – 3x2 เมื่อ Df = R 5) f (x) = x เมื่อ Df = R

wpp สื่อการเรย� นร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 35 1.3 การใชฟงกชนั ในชีวิตจริง 1.3.1 ฟง˜ กช ันเชงิ เสนŒ ฟังกช์ นั เชิงเส้น (linear function) คือ ฟงั ก์ชนั ทอี่ ยู่ในรูป f(x) = ax + b เม่ือ a และ b เปน็ จ�านวนจริง ที่ a ≠ 0 โดยกราฟของฟังก์ชนั เชงิ เส้นจะเปน็ เสน้ ตรงในระบบพิกดั ฉาก ตัวอยางท่ี 1 นายรัชภูมิได้รับเงินเดือนจากท่ีท�างานเดือนละ 20,000 บาท เขาต้องการ ออมเงินไว้ใช้ในอนาคตโดยออมเดือนแรก 10,000 บาท จากน้ันออมเงิน เดอื นละ 5,000 บาท ซึ่งออมตอนปลายเดอื น 1) จงเขียนฟังก์ชันของเงินออมท้ังหมดของนายรัชภูมิกับระยะเวลาในการ ออมเงิน 2) จงหาวา่ เดอื นทเ่ี ทา่ ไรของการออม นายรชั ภมู จิ งึ จะมเี งนิ ออม 45,000 บาท 3) จงหาว่านายรัชภูมิจะต้องออมอย่างน้อยกี่เดือนจึงจะมีเงินออมเกิน 63,000 บาท วิธที �ำ 1) ให้ x แทนจ�านวนเดือนในการออมเดอื นละ 5,000 บาท f (x) แทนจ�านวนเงินออมทั้งหมด จากโจทยส์ ามารถเขยี นความสมั พนั ธ์ได้ดังนี้ f (x) = 10,000 + 5,000x 2) มเี งนิ ออมทั้งหมดเปน็ เงนิ 45,000 บาท แสดงวา่ f (x) = 45,000 บาท จาก f (x) = 10,000 + 5,000x จะได้ 45,000 = 10,000 + 5,000x x =45,0050,0–0100,000 = 7 เนอ่ื งจาก x เป็นจ�านวนเดอื นในการออมเดือนละ 5,000 บาท รวมกับอีก 1 เดอื น ในการ ออมเดือนแรก 10,000 บาท ดงั น้ัน เดอื นที่ 7 + 1 = 8 ของการออม นายรัชภมู จิ งึ จะมีเงนิ ออม 45,000 บาท 3) มเี งินออมทัง้ หมดเป็นเงิน 63,000 บาท แสดงวา่ f (x) = 63,000 บาท จาก f (x) = 10,000 + 5,000x จะได้ 63,000 = 10,000 + 5,000x x =63,0050,0–0100,000 = 10.6 ≈ 11 ดงั นัน้ จะต้องออมอยา่ งน้อย 11 + 1 = 12 เดือน จงึ จะมีเงินออมเกิน 63,000 บาท

36 สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยางที่ 2 นายศรตุ ยนื หา่ งจากตกึ สงู 24 เมตร พอสมควร จากนน้ั ยนื่ ไมบ้ รรทดั ไปขา้ งหนา้ โดยใหส้ เกล 0 เซนตเิ มตรอยใู่ นระดบั สายตา เมอ่ื มองไปทสี่ เกล 30 เซนตเิ มตร จะเหน็ ปลายตกึ ดา้ นบนพอดี โดยความสงู จากพนื้ ถงึ ระดบั สายตา คอื 1.5 เมตร และแตล่ ะชน้ั ของตึกสูง 3 เมตร 1) จงเขยี นฟังก์ชันความสงู ของตกึ กบั สเกลบนไมบ้ รรทดั 2) ถา้ นายศรุตมองไปบนตกึ ผา่ นสเกลไมบ้ รรทัดท่ี 25 เซนตเิ มตร แสดงว่า นายศรตุ ก�ำลังมองไปท่ีช้ันใดของตึก 3) ถ้านายศรุตมองไปชั้นที่ 4–6 ของตึก แสดงว่านายศรุตก�ำลังมองไปบน ไมบ้ รรทดั ชว่ งสเกลใด วธิ ที �ำ 1) ให้ R แทนสเกลบนไมบ้ รรทัด และ H แทนความสงู ของตึกวดั จากพน้ื ดนิ จะได้ ฟังก์ชนั ความสงู ของตึกกับสเกลบนไมบ้ รรทดั คอื H = aR + b wpp เมือ่ a และ b เป็นคา่ คงตวั จาก H = aR + b จะหาค่าของ a และ b ไดด้ ังนี้ ถา้ R = 0 และ H = 1.5 จะได้ 1.5 = a (0) + b b = 1.5 ถา้ R = 30 และ H = 24 จะได้ 24 = a (30) + 1.5 a = 0.75 ดงั น้ัน ฟังกช์ ันความสงู ของตกึ กบั สเกลบนไมบ้ รรทดั คือ H = 0.75R + 1.5 2) เนอ่ื งจาก สเกลบนไม้บรรทัดท่ี 25 เซนตเิ มตร จะได้ R = 25 จาก H = 0.75R + 1.5 จะได้ H = 0.75(25) + 1.5 = 20.25 เนอ่ื งจาก แต่ละช้นั ของตกึ สูง 3 เมตร ดงั น้ัน นายศรตุ กำ� ลงั มองไปทช่ี ้ัน 20.25 ÷ 3 = 6.75 น่ันคือ ช้ัน 7 ของตึก 3) ถ้านายศรตุ มองไปที่ชัน้ 4–6 ของตึก แสดงว่า นายศรตุ มองไปทช่ี ่วงระดบั ความสูงจากพ้ืนดนิ 12–18 เมตร ของตกึ นี้ จาก H = 0.75R + 1.5 ถา้ H = 12 จะได้ 12 = 0.75R + 1.5 R = 14 ถา้ H = 18 จะได้ 18 = 0.75R + 1.5 R = 22 ดงั นัน้ นายศรุตมองไปบนสเกลไม้บรรทัดทชี่ ว่ ง 14–22 เซนติเมตร

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 37 กิ จกรรมท่ี 7 ฟงั ก์ชันเชิงเส้น 1. จงเขยี นฟังก์ชันแทนสงิ่ ทกี่ ำ� หนดให้ตอ่ ไปนี้ 1) รายได้ของพนกั งานขายบรษิ ัทแหง่ หน่ึงเท่ากบั 5,500 บาท รวมกบั 30% ของยอดขายสินค้า 2) รายจา่ ยค่าน�้ำมนั ของชายคนหนง่ึ โดยนำ�้ มันลติ รละ 23.39 บาท 2. น้�ำมีจุดเยอื กแขง็ เทา่ กับ 0 Cํ หรือ 32 ํF และมีจดุ เดอื ดเท่ากับ 100 Cํ หรือ 212 Fํ 1) จงเขยี นฟังก์ชนั ของอณุ หภมู ิท่เี ปน็ องศาเซลเซียสกบั อณุ หภูมิทเี่ ปน็ องศาฟาเรนไฮต์ 2) ถา้ อุณหภูมิของนำ้� วัดได้ 19 ํC จะเทา่ กบั กอ่ี งศาฟาเรนไฮต์ wpp

38 ส่อื การเร�ยนรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 1.3.2 ฟ˜งกช ันกำลังสอง ฟังก์ชนั ก�ำลงั สอง (quadratic function) คือ ฟงั ก์ชนั ท่อี ย่ใู นรปู y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจ�านวนจรงิ ใด ๆ ท่ี a ≠ 0 โดยกราฟของฟงั กช์ ันก�าลังสองจะขึน้ อยกู่ บั a, b และ c เมอื่ a เปน็ จา� นวนบวกจะไดก้ ราฟทเี่ ปน็ เสน้ โคง้ หงาย และเมอื่ a เปน็ จา� นวนลบจะไดก้ ราฟทเ่ี ปน็ เสน้ โคง้ ควา่� ดังรูป YY a > 0 X a < 0 X wpp จากรปู จะเหน็ วา่ ถ้า a > 0 กราฟจะเปน็ เสน้ โค้งหงาย ถา้ a < 0 กราฟจะเปน็ เสน้ โค้งคว่า� กราฟของฟังก์ชันก�าลังสองซึ่งมีลักษณะดังข้างต้น เรียกว่า พำรำโบลำ (parabola) และ จดุ ต่�าสุดหรอื จุดสงู สดุ ของกราฟเป็นจดุ ยอดของพาราโบลา เรียกว่า จดุ วกกลบั (turning point) การพิจารณาจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชันก�าลังสองสามารถท�าได้โดยการจัดรูปฟังก์ชัน y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 โดยอาศยั การจดั บางสว่ นให้เป็นกา� ลงั สองสมบูรณจ์ ะได้ฟังก์ชนั ซง่ึ อยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k ทีม่ ีจุดวกกลับของกราฟอยทู่ ีจ่ ดุ (h, k) ดังนี้ จาก y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0 y b c จะได้ a = x2 + a x + a y – c = x2 + b x a a a ay ac b2 ba x b2 – + 4a2 = x2 + + 4a2 ay + b2 – 4ac = x + 2ba 2 4a2 ay = 2ba 2– b2 – 4ac x+ 4a2 y = a x – – b 2 + 4ac – b2 2a 4a2

สื่อการเรย� นร ู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 39 จะเห็นว่า สมการ y = a x – – 2ba 2 + 4ac – b2 4a2 b 4ac – b2 ให้ h = x – – 2a และ k = 4a2 จะได้ y = a (x – h)2 + k จากการพิจารณาข้างต้น จะได้ว่า กราฟของ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 มีจุดวกกลับ 2ba 4ac – b2 อยู่ท่จี ดุ – , 4a2 และถ้าให้ y = f (x) แล้วจะได้ f (h) = k จึงอาจเขียนจุดวกกลบั ของ ฟังก์ชัน f ได้ในรูป – 2ba , f – 2ba ตวั อยางที่ 1 จงเขียนกราฟของ f (x) = x2 – 6x + 7 แลว้ หา 1) โดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั f 2) จุดวกกลับของกราฟของฟงั ก์ชัน f 3) จุดท่ีกราฟตัดแกน X วธิ ีท�ำ จาก f (x) = x2 – 6x + 7 เขยี น f (x) ใหอ้ ยู่ในรูป f (x) = a(x – h)2 + k จะได้ f (x) = x2 – 6x + 7 = x2 – 6x + 7 + 9 – 9 = (x – 3)2 – 2 นน่ั คอื a = 1, h = 3 และ k = –2 เนือ่ งจาก a > 0 จะได้วา่ กราฟของ f จะหงายขน้ึ และมีจุดวกกลบั คือ จุด (3, –2) ดงั น้นั จะเขียนกราฟของ f (x) = x2 – 6x + 7 ไดด้ งั น้ี Y wpp 0 X (3, –2)

40 ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 จากกราฟจะได้ 1) โดเมนของ f คือ R และเรนจข์ อง f คือ {y | y ≥ –2} หรอื [–2, ∞) 2) กราฟมีจุดวกกลับ คือ จดุ (3, –2) 3) กราฟตดั แกน X สองจุด ซงึ่ หาจดุ ท่ีกราฟตัดแกน X ได้โดยกำ� หนดให้ y = 0 จะได ้ x2 – 6x + 7 = 0 (x – 3)2 – 2 = 0 x = ± 2 + 3 นัน่ คอื x = – 2 + 3 หรอื x = 2 + 3 ดังนนั้ กราฟตดั แกน X ท่จี ุด (– 2 + 3, 0) และจดุ ( 2 + 3, 0) ตัวอยางที่ 2 เกษตรกรรายหน่ึงต้องการล้อมร้ัวให้เป็นรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าเพ่ือทำ� การเกษตร โดยมีลวดส�ำหรับท�ำรั้วยาว 160 เมตร และด้านยาวด้านหนึ่งของพ้ืนที่ที่ wpp ต้องการล้อมรัว้ อยูต่ ิดกับคลอง ซึ่งไม่ตอ้ งการลอ้ มร้ัว 1) จงเขยี นฟังก์ชันของพืน้ ทีก่ ับความกว้างของรูปสีเ่ หล่ียมผืนผ้า 2) เกษตรกรรายน้ีจะต้องล้อมร้ัวให้มีความกว้างและความยาวเท่าใด จึงจะ ทำ� ให้มพี น้ื ท่ีมากท่สี ดุ วิธีทำ� 1) ให ้ x แทนความกว้างของรปู สี่เหลีย่ มผืนผา้ y แทนความยาวของรูปสเี่ หล่ียมผืนผา้ จะได้ y = 160 – 2x พ้ืนทข่ี องรปู สีเ่ หล่ยี มผืนผ้าน้ี เทา่ กบั xy = x(160 – 2x) = 160x – 2x2 ให้ f (x) แทนพ้นื ท่ีของรูปสีเ่ หล่ียมผืนผ้าน้ี ดงั น้ัน ฟงั กช์ ันของพน้ื ท่กี บั ความกว้างของรูปสีเ่ หล่ียมผนื ผ้า คอื f (x) = 160x – 2x2 2) กราฟของ f (x) = ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 มจี ดุ วกกลบั คอื จดุ – 2ba , f – 2ba – 2ba 160 จาก f (x) = 160x – 2x2 จะได้ จดุ วกกลบั เมอื่ x = = – 2(–2) = 40 ให้ x = 40 จะได้วา่ f (40) = 160(40) – 2(40)2 = 3,200 น่ันคือ พ้นื ท่ขี องรูปสเ่ี หลย่ี มผนื ผ้าน้มี ีคา่ สงู สุดเทา่ กับ 3,200 ตารางเมตร เม่ือมีความกวา้ ง เท่ากับ 40 เมตร หาความยาวของรูปสี่เหล่ียมผืนผา้ ไดด้ งั น้ี จาก y = 160 – 2x จะได้ y = 160 – 2(40) = 80 ดงั นนั้ เกษตรกรรายน้จี ะตอ้ งล้อมรว้ั ให้มคี วามกว้าง 40 เมตร ความยาว 80 เมตร จึงจะ ทำ� ใหม้ ีพืน้ ท่มี ากที่สุด

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 41 ตวั อยา งที่ 3 จงหาคา่ ตำ่� สุดของ 2xy2 เมอ่ื x – y2 = 8 วิธีทำ� จาก x – y2 = 8 จะได้ y2 = x – 8 เขยี น 2xy2 ในรปู ของ x ได้ดังน ี้ 2xy2 = 2x (x – 8) = 2x2 – 16x พจิ ารณา f (x) = 2x2 – 16x เนอ่ื งจาก a < 0 จะไดว้ ่า กราฟของ f จะหงายขึ้นและมีจดุ วกกลบั เปน็ จดุ ตำ�่ สุด กราฟของ f (x) = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 มจี ุดวกกลับ คอื จดุ – 2ba , f – 2ba จาก f (x) = 2x2 – 16x จะได้จุดวกกลับเมื่อ x = – 2ba = – 2–(126) = 4 ให้ x = 4 จะได้ว่า f (4) = 2(4)2 – 16(4) = –32 ดงั นั้น คา่ ต�่ำสดุ ของ 2xy2 เม่อื x – y2 = 8 คอื –32 กิ จกรรมท่ี 8 ฟังก์ชันก�ำลงั สอง 1. จงหาจุดต�่ำสดุ หรือจดุ สูงสดุ ของกราฟของฟังกช์ นั ท่ีกำ� หนดให้ต่อไปน้ี 1) f (x) = –16x2 + 12x + 6 2) f (x) = 2x2 – 2x + 9 wpp

42 สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2. จงหาค่าสูงสดุ ของ 2(y2 – x2) เมอื่ y2 – 4 = x 3. ชายคนหนึ่งโยนก้อนหินไปในอากาศตามแนวดิ่ง ถ้าระยะห่างของก้อนหินกับพ้ืนดินหาได้จาก f (t) = –2t2 + 8t เมื่อ t แทนเวลาเปน็ วินาที และ f (t) มหี น่วยเปน็ เมตร จงหา 1) กอ้ นหนิ จะอยู่สูงทส่ี ุดจากพนื้ ดินเทา่ ใด 2) เมือ่ เวลาผ่านไปนานเท่าใด ก้อนหินจึงจะตกถงึ พ้นื ดนิ wpp

สอ่ื การเร�ยนร ู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 43 1.4 กราฟของฟง กช ัน กรำฟของฟงั กช์ นั คอื กราฟของความสมั พนั ธซ์ ง่ึ กา� หนดโดยสมการ y = f (x) ซงึ่ ประกอบดว้ ย จดุ แสดงตา� แหนง่ ของคู่อนั ดับ (x, y) ท่เี ปน็ สมาชิกของฟังก์ชัน โดยแตล่ ะคอู่ นั ดับมีสมาชกิ ตวั หนา้ เปน็ สมาชกิ ในโดเมนของฟงั กช์ นั คอื x และสมาชกิ ตวั หลงั เปน็ สมาชกิ ในเรนจข์ องฟงั กช์ นั ทสี่ อดคลอ้ ง กบั x คือ y หรอื f (x) การเขยี นกราฟของฟงั กช์ นั สามารถทา� ไดโ้ ดยการหาคอู่ นั ดบั ซงึ่ อาจมี x เปน็ จา� นวนเตม็ ใหม้ าก เพยี งพอ แลว้ ลากเสน้ ตรงหรอื เสน้ โคง้ เชอ่ื มแตล่ ะจดุ บนกราฟตามลา� ดบั ของ x ซง่ึ นกั เรยี นจะไดศ้ กึ ษา การเขียนกราฟของฟงั กช์ ันจากตัวอยา่ งต่อไปน้ี ตวั อยา งที่ 1 จงเขยี นกราฟของ f (x) = x – 1, g(x) = x + 3, h(x) = 4 – 2x บนระบบพิกัดฉากเดยี วกนั วธิ ีท�ำ จากโจทย์จะได้ wpp x –3 –2 –1 0 1 2 3 y1 = f (x) = x – 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 y2 = g(x) = x + 3 0123456 y3 = h(x) = 4 – 2x 10 8 6 4 2 0 –2 จากตารางจะเขียนกราฟของ f (x) = x – 1, g(x) = x + 3, h(x) = 4 – 2x บนระบบพกิ ดั ฉากเดยี วกนั ไดด้ ังรูป Y g(x) f(x) h(x) 10 –10 0 10 X –10

44 สอื่ การเร�ยนร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 ตวั อยา งท่ี 2 จงเขียนกราฟของ f (x) = x2 – 1, g(x) = –2x2 บนระบบพิกัดฉากเดียวกนั วิธที ำ� จากโจทยจ์ ะได้ x –6 –4 –2 0 2 4 6 y1 = f (x) = x2 – 1 35 15 3 –1 3 15 35 y2 = g(x) = –2x2 –72 –32 –8 0 –8 –32 –72 จากตารางจะเขียนกราฟของ f (x) = x – 1, Y g(x) = x + 3 บนระบบพกิ ดั ฉากเดยี วกันได้ ดังรปู 100 f(x) –10 0 10 X wpp –100 g(x) ตัวอยางท่ี 3 จงเขยี นกราฟของ f (x) = |x – 2|, g(x) = –|x + 2| บนระบบพกิ ดั ฉากเดยี วกนั วิธที ำ� จากโจทยจ์ ะได้ x –6 –4 –2 0 2 4 6 y1 = f (x) = |x – 2| 864 2024 y2 = g(x) = |x + 2| –4 –2 0 –2 –4 –6 –8 จากตารางจะเขียนกราฟของ f (x) = x – 1, Y g(x) = x + 3 บนระบบพกิ ดั ฉากเดียวกนั ได้ ดงั รูป 10 f(x) –10 0 10 X –10 g(x)

สอื่ การเร�ยนร ู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 45 กิ จกรรมท่ี 9 กรำฟของฟังก์ชนั 3) f (x) = |x + 1| – 5 และ g(x) = 2 – |x| จงเขียนกราฟของฟังกช์ ันทก่ี า� หนดให้ต่อไปนี้ 1) f (x) = 4x + 1 และ g(x) = –2x – 5 wpp2)f (x) =– 12=x(2x – 1)2 + 2 4) f (x) = 2x และ g(x)

46 สอื่ การเรย� นร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 1.5 การดาํ เนินการของฟง กชนั 1.5.1 พชี คณติ ของฟ˜งกชัน บทนิยาม 11 กา� หนดให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ทม่ี โี ดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของ R จะไดว้ า่ ผลบวก (sum) ผลตา่ ง (difference) ผลคณู (product) และผลหาร (quotient) ของ f และ g เขยี นแทนดว้ ย f + g, f – g, fg และ gf ซึง่ เป็นฟังก์ชันทกี่ �าหนดโดย (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f – g)(x) = f (x) – g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) (gf )(x) = gf ((xx)) เม่อื g(x) ≠ 0 wpp จาก บทนยิ ำม 11 จะได้วา่ โดเมนของ f + g, f – g และ fg คอื เซตของจ�านวนจรงิ ท้ังหมดทีอ่ ยใู่ นโดเมนของ f และ โดเมนขโดอเงมgนขหอรงอื gfDคfือ ∩เซ ตDขgองจา� นวนจริงทง้ั หมดท่อี ยู่ในโดเมนของ f และโดเมนของ g โดย g(x) ต้องไมเ่ ท่ากบั 0 หรือ Df ∩ Dg – {x ∈ Dg | g (x) = 0} ตัวอยา งที่ 1 ให้ f = {(1, 2), (3, 4), (5, gf6)} และ g = {(1, 7), (5, 8)} จงหา f + g, f– g, fg และ วิธีท�ำ จเนะื่อไดงจ้ โาดกเมDนfข=อง{1f ,+3g, ,5f}–แลgะแDละg = {1, 5} fg คือ Df ∩ Dg = {1, 5} และโดเมนของ gf คือ Df ∩ Dg – {x ∈ Dg | g(x) ≠ 0} = {1, 5} พจิ ารณา f + g เนื่องจาก (f + g)(x) = f (x) + g(x) จะได้ (f + g)(1) = f (1) + g(1) = 2 + 7 = 9 จะได้ (1, 9) ∈ f + g (f + g)(5) = f (5) + g(5) = 6 + 8 = 14 จะได้ (5, 14) ∈ f + g ดงั นั้น f + g = {(1, 9), (5, 14)}

พิจารณา f – g สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 47 เนื่องจาก (f – g)(x) = f (x) – g(x) จะได้ (f – g)(1) = f (1) – g(1) = 2 – 7 = –5 จะได้ (1, –5) ∈ f – g (f – g)(5) = f (5) – g(5) = 6 – 8 = –2 จะได้ (5, –2) ∈ f – g ดังน้ัน f – g = {(1, –5), (5, –2)} พิจารณา fg เน่อื งจาก (fg)(x) = f (x)g(x) จะได้ (fg)(1) = f (1)g(1) = (2)(7) = 14 จะได้ (1, 14) ∈ fg (fg)(5) = f (5)g(5) = (6)(8) = 48 จะได้ (5, 48) ∈ fg ดพเนังิจ่อืนางรัน้ จณาfากg gf=(gf{)((1x,) 14), (5, 48)} = gf ((xx)) เมอื่ g(x) ≠ 0 จะได ้ (gf )(1) = gf ((11)) = 27 จะได้ (1, 27) ∈ gf จะได้ (5, 43) ∈ gf wpp =(g{f )((15,)72 )=, (5gf, ((5534)))} = 68 =34 ดังนนั้ gf ตวั อยา งท่ี 2 ให้ f (x) = x – 4 และ g(x) = 2x + 5 และ ((ggff))((x2)) 1) จงหา (f + g)(x), (f – g)(x), (fg)(x) และ 2) จงหา (f + g)(2), (f – g)(2), (fg)(2) วธิ ีท�ำ 1) เนอ่ื งจาก Df = R และ Dg = R จะได้ โดเมนของ f + g, f – g และ fg คอื Df ∩ Dg = และโดเมนของ gf คือ Df ∩ Dg – {x ∈ Dg | g(x) ≠ R = (–∞, 0) ∪ (0, ∞) 0} ดังน้นั (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (x – 4) + (2x + 5) = 3x + 1 (f – g)(x) = f (x) – g(x) = (x – 4) – (2x + 5) = –x – 9 (fg)(x) = f (x)g(x) = (x – 4)(2x + 5) = 2x2 – 3x – 20 (gf )(x) = gf ((xx)) = 2xx –+ 45 เม่ือ x ≠ – 52 2) จะได ้ (f + g)(2) = 3(2) + 1 = 7 (f – g)(2) = –(2) – 9 = –11 (fg)(2) = 2(2)2 – 3(2) – 20 = –18 (gf )(x) = 2((22))–+45 = – 92

48 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 กิ จกรรมที่ 10 พชี คณติ ของฟงั ก์ชนั 1. ให้ f = {(1, 3), (2, 4), (3, gf5), (4, 6)} และ g = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} จงหา f + g, f– g, fg และ wpp 2. จงหา (f + g)(x), (f – g)(x), (fg)(x) และ (gf )(x) เม่อื กำ� หนด f (x) และ g(x) ดังน้ี 1) f (x) = x + 2 และ g(x) = 3x – 1

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 49 2) f (x) = x2 และ g(x) = 5 3) f (x) = x +1 1 เมอื่ x ≠ 1 และ g(x) = 2(x – 1) wpp

50 สือ่ การเร�ยนรู  สมบูรณแบบ รายวช� าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 1.5.2 ฟง˜ กช ันประกอบ ฟงั กช์ นั ประกอบ (composite function) คอื ฟังกช์ นั ท่ไี ด้จากการดา� เนนิ การบนฟังกช์ นั สอง ฟงั ก์ชัน ภายใต้เงือ่ นไขวา่ ถา้ (a, b) ∈ ƒ และ (b, c) ∈ g แล้ว (a, c) จะอยู่ในฟังกช์ ันประกอบ ของ f และ g เขียนแทนด้วย g o f (อา่ นว่า จีโอเอฟ) ซ่ึงหมายความว่า เปน็ ฟังกช์ ันประกอบจาก ƒ g และจะมี g o f กต็ ่อเม่อื Rƒ U Dg ≠ ∅ แสดงดังแผนภาพ ABC x ƒ(x) g(ƒ(x)) g o f wpp บทนยิ าม 12 ดงั นนั้ g o f = g (f (x)) ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั และ Rเขƒยี นUแ Dทนg ด≠ว้ ย ∅g o f ฟงั กช์ นั ประกอบของ f และ g โดเมนของฟงั กช์ นั คโอดื ยD(gg o fo f= )({xx) ∈= gD(ff (x|)f) (สx)า� ห∈รบั ทDกุ g}x และกา� หนด g o f ใน ƒ(x) ∈ Dg o f ตัวอยา งที่ 1 ให้ f = {(a, 1), (b, 3), (c, 4)} และ g = {(1, a), (2, a), (3, c)} จงหา g o f พรอ้ มท้ังโดเมน วิธีท�า จากโจทย์จะได้ Df = {a, b, c} และ Rƒ = {1, 3, 4} Dg = {1, 2, 3} และ Rg = {a, c} เน่ืองจาก Rƒ U Dg = {1, 3} ≠ ∅ จึงมี g o f เนื่องจาก f (a) = 1 และ g(1) = a จะได้ g o f (a) = g(f (a)) = g(1) = a นน่ั คอื (a, a) ∈ g o f เนอ่ื งจาก f (b) = 3 และ g(3) = c จะได้ g o f (b) = g(f (b)) = g(3) = c น่ันคือ (b, c) ∈ g o f เนอ่ื งจาก f (c) = 4 แต่ 4 ∈ Dg จะได้ c ∉ Dg o f ดังนนั้ g o f = {(a, a), (b, c)} และ Dg o f = {a, b}

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 51 เนื่องจาก Rg U Df = {a, c} ≠ ∅ จึงมี f o g เนอ่ื งจาก g(1) = a และ f (a) = 1 จะได้ f o g(1) = f (g(1)) = f (a) = 1 นนั่ คอื (1, 1) ∈ f o g เนือ่ งจาก g(2) = a และ f (a) = 1 จะได้ f o g(2) = f (g(2)) = f (a) = 1 นน่ั คอื (2, 1) ∈ f o g เน่อื งจาก g(3) = c และ f(c) = 4 จะได้ f o g(3) = f(g(3)) = f(c) = 4 นน่ั คอื (3, 4) ∈ f o g ดงั นนั้ g o f = {(1, 1), (2, 1), (3, 4)} และ Df o g = {1, 2, 3} ตวั อยางที่ 2 ให้ f (x) = 4x และ g(x) = 3x + 1 จงหา g o f และ f o g พร้อมท้ังโดเมน วธิ ที ำ� จาก f (x) = 4x จะได ้ Df = R และ Rf = R wpp จาก g(x) = 3x + 1 จะได ้ Dg = R และ Rg = R เน่ืองจาก Rƒ U Dg = R ≠ ∅ จึงมี g o f โดยท่ี Dg o f = {x ∈ Df | f (x) ∈ Dg} = {x ∈ R | 4x ∈ R} =R สำ� หรับ x ∈ Dg o f จะได ้ g o f (x) = g(f (x)) = g(4x) = 3(4x) + 1 = 12x + 1 ดังนั้น g o f (x) = 12x + 1 โดยท่ี Dg o f = R เน่ืองจาก Rƒ U Dg = R ≠ ∅ จงึ มี f o g โดยท ี่ Df o g = {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df} = {x ∈ R | 3x + 1 ∈ R} = R ส�ำหรบั x ∈ Df o g จะได้ f o g(x) = f (g(x)) = f (3x + 1) = 4(3x + 1) = 12x + 4 ดังนนั้ f o g(x) = 12x + 4 โดยท่ี Dg o f = R จาก ตัวอยา่ งท่ี 1 และ ตวั อยา่ งท่ี 2 จะเห็นวา่ g o f ≠ f o g

52 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ก ิจกรรมท่ี 11 ฟังกช์ ันประกอบ 1. ให้ f = {(1, a), (2, b), (3, c)} และ g = {(a, x), (b, y), (c, z)} จงหา g o f 2. ให้ f (x) = 2x + 1 และ g(x) = x2 + 3 จงหา g o f และ f o g พรอ้ มท้ังโดเมนของแต่ละฟังกช์ นั wpp

ส่อื การเรย� นร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 53 1.6 ฟง กช ันผกผัน จากท่ีกลา่ วมาแลว้ เมอ่ื กา� หนดความสัมพันธ์ใด ๆ จะหาตวั ผกผันของความสัมพันธ์ไดโ้ ดยการ สลับต�าแหน่งสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังของแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์น้ัน เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์จึงมีตัวผกผันของฟังก์ชันซึ่งเป็นความสัมพันธ์ เรียกว่า ฟังก์ชัน ผกผัน (inverse function) และเขยี นแทนฟังกช์ นั ผกผันของ f ด้วย f –1 อยา่ งไรกต็ าม ฟงั กช์ นั ผกผันอาจไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั เสมอไป ตัวอย่าง ให้ f = {(2, 4), (4, 6), (6, 8)} เป็นฟังก์ชัน จะได้ f –1 = {(4, 2), (6, 4), (8, 6)} เป็นฟังก์ชัน ให้ g = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)} เป็นฟงั ก์ชัน จะได้ g–1 = {(3, 1), (3, 2), (3, 3)} ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั จากตัวอยา่ ง จะเห็นวา่ ฟงั กช์ ันทจ่ี ะมีฟังก์ชนั ผกผนั ต้องเป็นฟังกช์ ันหนง่ึ ตอ่ หนึง่ ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟงั กช์ นั f มีฟังก์ชนั ผกผัน ก็ต่อเมอื่ f เป็นฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนงึ่ wpp ตัวอยางท่ี 1 ฟงั ก์ชนั f ซึง่ กา� หนดโดย f (x) = 4x + 5 มีฟงั กช์ ันผกผนั หรือไม่ ถา้ มจี งหา ฟังกช์ นั ผกผนั วธิ ีทำ� จาก บทนิยำม 5 เขียน f ให้อยูใ่ นรปู เซต นน่ั คือ f = {(x, y) | y = x4 x–4 +55}} จะได้ f –1 = {(x, y) | y = ในการพิสูจนว์ ่า f (x) = 4x + 5 มฟี ังก์ชันผกผนั หรอื ไมส่ ามารถท�าได้ 2 วธิ ี ดังนี้ วิธีท่ี 1 ใช้ บทนิยำม 6 แสดงว่า f –1 เป็นฟังกช์ ัน ให้ x, y =แf ล–x1ะ –4เzป 5น็ เปฟแน็ ังลกจะ�า์ชนันzวน=จxร งิ –4ซ ่งึ 5(xซ,งึ่ สyา)ม=ารfถ ส–1รแุปลไดะว้ (า่ xy, z) = f –1 จะได้ y = z แสดงว่า วิธที ี่ 2 ใช้ บทนยิ ำม 9 แสดงว่า f เป็นฟังกช์ นั หนึง่ ต่อหนึง่ ให้ x1 และ x2 เป็นจ�านวนจรงิ ใด ๆ ซ่งึ f (x1) = f (x2) นั่นคอื 4x1 + 5 = 4x2 + 5 จะได้ x1 = x2 แสดงว่า f เ+ป็น5ฟมังีฟกังช์ กัน์ชหันนผงึ่ กตผอ่ ันหนแึง่ ลแะลfะ –โ1ด(ยx)ท=ฤษxฎ –4บี ท5 1 จะได้ f –1 เปน็ ฟงั ก์ชัน ดังนน้ั f (x) = 4x

54 ส่ือการเร�ยนรู  สมบูรณแบบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 ตัวอยางท่ี 2 ให้ f (x) = 2x + 3 จงหา f –1 แลว้ เขียนกราฟของ f และ f –1 บนระบบพกิ ัดฉากเดยี วกัน วิธที �ำ จาก f = {(x, y) | y = 2x x–2+ 33}} จะได้ f –1 = {(x, y) | y = จะเขียนกราฟของ f และ f –1 ซึ่งสะทอ้ นขา้ มเส้นตรง y = x บนระบบพิกดั ฉากเดยี วกันได้ ดังรูป Y 5f y = x f –1 5X wpp –5 0 –5 กิ จกรรมท่ี 12 ฟงั กช์ นั ผกผนั 1. จงพจิ ารณาว่า ฟงั ก์ชัน f มีฟงั กช์ ันผกผันหรอื ไม่ ถ้ามจี งหาฟังกช์ ันผกผัน 1) f (x) = 2x – 5

2. f (x) = x2 + 1 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 55 3) f (x) = 2xx–+31 wpp 2. ให้ f (x) = x + 2 จงหา f –1 แลว้ เขยี นกราฟของ f และ f –1 ซง่ึ สะท้อนขา้ มเส้นตรง y = x บนระบบพกิ ัดฉากเดยี วกนั

wpp56 สอ่ื การเร�ยนรู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 บทสรุปหน‹วยการเร�ยนรทูŒ ่ี 1 ควำมสัมพนั ธ์ บทนิยำม 1 ผลคูณคาร์ทีเซียน ของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ท้ังหมด โดยท่ี a เปน็ สมาชกิ ของเซต A และ b เปน็ สมาชกิ ของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A × B น่ันคอื A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B} บทนยิ ำม 2 r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เปน็ สบั เซตของ A × B บทนิยำม 3 ให้ r ⊆ R × R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจดุ ในระนาบทแ่ี สดงคู่อนั ดับ ซง่ึ เปน็ สมาชกิ ของความสมั พนั ธ์ r บทนิยำม 4 ให้ r เปน็ ความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B จะไดว้ า่ โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หนา้ ของค่อู ันดบั ท้ังหมดใน r เขยี นแทนด้วย Dr และเรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิก ตัวหลังของคู่อนั ดบั ทัง้ หมดใน r เขียนแทนด้วย Rr บทนิยำม 5 ตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ r คอื ความสมั พนั ธซ์ ง่ึ เกดิ จากการสลบั ทข่ี องสมาชกิ ตวั หนา้ และสมาชกิ ตวั หลังในแตล่ ะคอู่ ันดับทเี่ ป็นสมาชกิ ของ r ฟงั ก์ชนั บทนยิ ำม 6 ฟงั กช์ นั คอื ความสมั พนั ธ์ ซง่ึ สา� หรบั คอู่ นั ดบั ใด ๆ ในความสมั พนั ธ์ ถา้ มสี มาชกิ ตวั หนา้ เหมอื นกันแลว้ สมาชกิ ตัวหลงั ตอ้ งเหมอื นกนั บทนิยำม 7 f เปน็ ฟงั กช์ ันจาก A ไป B ก็ตอ่ เม่อื f เปน็ ฟงั กช์ นั ท่ีมีโดเมนเปน็ เซต A และมเี รนจ์ เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนดว้ ย f :A B บทนิยำม 8 f เป็นฟงั กช์ นั จาก A ไปท่วั ถึง B กต็ ่อเม่ือ f เปน็ ฟงั กช์ ันทมี่ โี ดเมนเปน็ เซต A และ มีเรนจเ์ ปน็ เซต B เขยี นแทนด้วย f :A onto B บทนยิ ำม 9 f เปน็ ฟงั ก์ชันหนงึ่ ตอ่ หนึ่งจาก A ไป B กต็ ่อเม่อื f เป็นฟังก์ชนั จาก A ไป B ส�าหรับ x1, x2 ใด ๆ ถ้า f (x1) = f (x2) แล้ว x1 = x2 เขียนแทนดว้ ย f :A 1–1 B บทนยิ ำม 10 ให้ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ�านวนจริง และ A เปน็ สบั เซตของโดเมน 1. f เป็น ฟังกช์ ันเพมิ่ (increasing function) ใน A ก็ตอ่ เม่อื ส�าหรบั x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา้ x1 < x2 แลว้ ƒ(x1) < ƒ(x2) 2. f เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด (decreasing function) ใน A ก็ต่อเม่ือ ส�าหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา้ x1 < x2 แลว้ ƒ(x1) > ƒ(x2)

สือ่ การเร�ยนร ู สมบูรณแบบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 57 กำรดำ� เนนิ กำรของฟังก์ชัน บทนยิ ำม 11 กา� หนดให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ทม่ี โี ดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของ R จะไดว้ า่ ผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของ f และ g เขียนแทนด้วย f + g, f – g, fg และ gf ซึ่งกา� หนดโดย (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f – g)(x) = f (x) – g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) ( gf )(x) = gf ((xx)) เมื่อ g(x) ≠ 0 บทนิยำม 12 ให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั และ Rƒ U Dg ≠ ∅ ฟงั กช์ นั ประกอบของ f และ g เขยี นแทนด้วย g o ƒ โดเมนของฟงั ก์ชนั คอื Dg o ƒ = {x ∈ Df ƒ(x) ∈ Dg} และกา� หนด (g o ƒ)(x) = g(ƒ(x)) ส�าหรบั ทกุ x ใน f (x) ∈ Dgo ƒ ฟงั ก์ชนั ผกผัน ทฤษฎีบท ให้ f เปน็ ฟงั กช์ ัน f มีฟงั กช์ ันผกผนั กต็ อ่ เม่อื f เปน็ ฟังกช์ นั หนงึ่ ตอ่ หน่งึ wpp กจิ กรรมเสนอแนะ แบ่งกลุ่มนักเรียนให้แต่ละกลุ่มคิดโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชัน จากน้ันให้ แตล่ ะกลุ่มสลบั กนั ถาม–ตอบโจทยป์ ญั หาเหลา่ นน้ั กล่มุ ใดไดค้ ะแนนมากทีส่ ดุ เปน็ ฝา ยชนะ โครงงาน นกั เรยี นเลอื กทา� โครงงานทเี่ กย่ี วขอ้ งกบั เรอ่ื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั กช์ นั โดยคน้ ควา้ จากเวบ็ ไซต์ ตา่ ง ๆ ในอินเทอรเ์ น็ต หรอื เลอื กท�าโครงงานอ่ืนตามความสนใจทเี่ กีย่ วข้องกับเนื้อหาในบทเรียน การประยุกตใชในชว� �ตจร�ง ให้นักเรียนน�าความรู้เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ไปใช้ค�านวณในสถานการณ์ต่าง ๆ ใน ชวี ติ จรงิ

58 ส่ือการเร�ยนรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 1แบบทดสอบหนวยการเรย� นรูท่ี ความสมั พันธและฟง กชัน ดา นความรู ก r⊆B×A ข r = {(x, y) ∈ A × B | x2 = y} คำช แี้ จง จงเลือกคำตอบทถ่ี ูกตอ ง ค r = {(x, y) ∈ A × B | 2y = x} 1. ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} แล้ว ค r = {(x, y) ∈ A × B | 2y = x} ความสัมพันธ์ r = {(x, y) ∈ A × A | ∩ {(x, y) ∈ A × B | y = x} x = y} มสี มาชกิ ทัง้ หมดก่ตี ัว 4. ให้ r = {(x, y) ∈ z × z | x2 + y2 = 1} จะเขยี นความสัมพนั ธ์ r ก3 ค5 ข4 ง6 แบบแจกแจงสมาชิกได้ดงั ขอ้ ใด wpp ก r = {(0, 1), (1, 0)} 2. ให้ r = {(–1, –3), (0, –1), (1, 1), ข r = {(1, 0), (0, 1)} (2, 3), (3, 5), (4, 7)} จะเขยี น r ค r = {(0, 1),(1, 0),(–1, 0),(1, –1)} แบบบอกเงื่อนไขไดด้ งั ข้อใด ง r = {(1, 0),(–1, 0),(0, 1),(0, –1)} ก {(x, y) ∈ z × z | –1 d x d 4, 5. ให้ r = {(x, y) | y = ax + b y = 3x – 1} เมื่อ b ≠ 0} โดเมนและเรนจ์ของ r ข {(x, y) ∈ z × z | –1 d x d 4, คอื ขอ้ ใด y = 2x – 1} ก Dr = {x | x ≠ –b} ค {(x, y) ∈ z × z | –1 d x d 4, y= 3yx)2∈–1 } Rr = {y | y ≠ a} ง {(x, × z | –1 d x d 4, ข Dr = {x | x ≠ –b} z y = 2x2–1 } Rr = {y | y ≠ 0} ค Dr = {x | x ≠ –b} 3. ให้ A = {2, 4, 8, 10} B = {1, 2, 3, ..., 20} Rr = {y | y ≠ –a} ถา้ r = {(2, 1), (4, 2), (8, 4), ง Dr = {x | x ≠ 0} (10, 5), (4, 4), (8, 8), (10, 10)} ข้อใดถูกต้อง Rr = {y | y ≠ a}

สือ่ การเรย� นร ู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 59 6. ให้ r = {(x, y) | y2 = x – 3} 9. วัตถุชิ้นหนึ่งถูกยิงขึ้นไปในอากาศ วัตถุนี้ ข้อใดสรุปไดถ้ ูกตอ้ ง จะสูงจากพื้นดิน h เมตร ในเวลา t วินาที ก Dr = {x | x ≠ 3}, Rr = R ในรูปสมการ h (t) = 8 + 2t – t2 วตั ถุน้ี ข Dr = {x | x d 3}, Rr = R ลอยขึน้ ไปไดส้ ูงสุดจากพ้นื กี่เมตร ค Dr = [3, ∞), Rr = R ก 7.5 ง Dr = (3, ∞), Rr = R ข 8.5 ค 9.0 7. ความสัมพนั ธ์ใด ไมเปน ฟงั ก์ชนั ง 10.5 ก r = {(x, y) | y = 1 ถา้ x c 0 และ y = x ถา้ x < 0} 10. จา� นวนสองจา� นวนบวกกนั ได้ 50 ถา้ ผลคณู ข r = {(x, y) | y = 2 ถา้ x c 0 และ ของสองจ�านวนนี้มีค่ามากทส่ี ุดแลว้ y = –2 ถ้า x d 0} สองจา� นวนน้ีคือจ�านวนในข้อใด ค r = {(x, y) | y = x2 ถ้า x c 0 และ ก 10 และ 40 y = 4 ถ้า x d 0} ข 15 และ 35 ง r = {(x, y) | y = x ถ้า x c 0 และ ค 20 และ 30 y = –x ถ้า x < 0} ง 25 และ 25 wpp 8. โรงงานแหง่ หนงึ่ ผลติ เสอื้ สา� เรจ็ รปู ไดว้ นั ละ 11. ให้ f (x) = x2 + 1 และ g(x) = |x| 400 ถึง 500 ตัว ค่าใช้จ่ายประจ�าวัน แลว้ Dg o f และ Rg o f ตรงกับขอ้ ใด 50,000 บาท และต้นทุนโดยตรงในการ ก Dg o f = R, Rg o f = R ผลติ เสอื้ 1 ตัว เทา่ กับ 89 บาท ฟงั ก์ชัน ข Dg o f = R, Rg o f = (0, ∞) แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจ�านวนเส้ือ ค Dg o f = R, Rg o f = [1, ∞) ทีผ่ ลิตได้ในวันหนึ่ง x กับต้นทุนรวมของ ง Dg o f = R – {0}, Rg o f = [1, ∞) เสอื้ ท่ีผลิตได้ f (x) คอื ข้อใด ก f (x) = 50,000x + 89 12. ฟังก์ชันในขอ้ ใดไมม่ ฟี ังกช์ นั ผกผัน ข f (x) = 50,000x – 89 ก f (x) = x2 – 2 ค f (x) = 50,000 + 89x ข f (x) = 2x3 + 5 ง f (x) = 50,000 – 89x ค f (x) = |2x + 3| ง f (x) = 3x1+ 2

60 สือ่ การเร�ยนรู สมบูรณแบบ รายวช� าเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 ดา นทกั ษะ/กระบวนการ สําหรบั ครู สังเกตพฤติกรรม/ผลการท�างานตามใบกิจกรรมประกอบการพิจารณา รำยกำรประเมนิ พฤติกรรมกำรแสดงออก คะแนน 321 เลือกใชว้ ธิ กี ารที่เหมาะสมในการแกป้ ญั หา ค�านวณค�าตอบ และอธบิ ายเหตผุ ล 1. กำร แก ้ปญั หำ ได้ 2. ก ำร ใหเ ้ หต ุผล สรปุ ผลและบอกเหตุผลประกอบได้ 3. กำร ส่ือ ควำม หมำย ใช้ภาษา สญั ลักษณท์ างคณิตศาสตร์แสดงความหมายและน�าเสนอขอ้ มูลตาม และก ำรนำ� เสนอ ลา� ดับขัน้ ตอน โดยใชก้ ราฟ แผนภมู ิ หรือตารางประกอบ นา� หลักการ วิธกี ารทางคณติ ศาสตร์ไปใชใ้ นการเรยี นสาระอ่ืนและประยกุ ต์ใชใ้ น 4. การ เชอื่ ม โยง ชีวติ ประจา� วนั 5. ค วามคดิ รเิ ริ่ม เสนอแนวคิด/วิธกี ารใหม่ ๆ ในการท�ากิจกรรมคณิตศาสตร์ใหส้ �าเร็จและถูกตอ้ ง ส ราŒ งสรรค wpp ระดบั คณุ ภำพ 3 = ดีมาก, ดี 2 = พอใช้ 1 = ควรปรับปรงุ คะแนนท ่ีได้ คะแนน เฉลย่ี ดา นคุณธรรม จร�ยธรรม และคานยิ ม สาํ หรับครู สังเกตพฤติกรรม/ผลการท�างานตามใบกิจกรรมประกอบการพิจารณา รำยกำรประเมนิ พฤติกรรมกำรแสดงออก คะแนน 321 1. กำร ทำ� งำนเ ปน ระบบ รอบคอบ วางแผนการท�างานตามขั้นตอน เรียงตามลา� ดับความส�าคัญ 2. ม ีระเบยี บวินัย ทา� งานสะอาดเรียบร้อยเป็นไปตามข้อตกลงทกี่ ล่มุ ก�าหนด 3. ม ี ควำมรับผดิ ชอบ สง่ งานก่อนก�าหนด หรอื ตรงเวลา และแนะน�าผ้อู นื่ ให้ปฏบิ ตั งิ าน 4. ม ว ี จิ ารณญาณ มกี ารประมาณค�าตอบ ตรวจสอบ ซกั ถามในสงิ่ ที่สงสัย ร้จู กั เลอื กท�ากจิ กรรม คณติ ศาสตรจ์ ากหนังสอื เล่มอน่ื และคอมพิวเตอร์ 5. มคี วำมเช่ือมั่น ในต น เอง ท�ากิจกรรมคณติ ศาสตร์ได้รวดเรว็ ร่วมอภปิ รายแสดงความคิดเห็นเสมอ 6. ตระหนกั ในค ุณ คำ่ และม เี จตคติ ทีด่ ี สนใจใฝหาความรทู้ างคณิตศาสตร์ เต็มใจทา� งาน และเรยี นอยา่ งมคี วามสุข ตอ่ คณิตศำสตร์ ระดบั คณุ ภำพ 3 = ดีมาก, ดี 2 = พอใช้ 1 = ควรปรบั ปรงุ ค ะแนนท ไ่ี ด้ คะแนน เฉลยี่

ฟง กช นั เอกซโพเนนเช�ยล หนวยการเรย� นรทู ี่ และฟงกชันลอการท� ึม 2 ผลการเรย� นรู้ 1. เขา ใจลกั ษณะกราฟของฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ลและฟง กช นั ลอการทิ มึ และนาำ ไปใชใ นการแกป ญ หา 2. แกส มการเอกซโ พเนนเชียลและสมการลอการทิ ึม และนำาไปใชใ นการแกปญหา สาระการเร�ยนรู้ เลขยกกาำ ลังทมี่ ีเลขช้ีกาำ ลังเปนจำานวนเต็ม รากท่สี องในระบบจาำ นวนจริง รากท ่ี n ในระบบจาำ นวนจรงิ และจาำ นวนจรงิ ในรปู กรณฑ wpp เลขยกกำาลงั ทม่ี เี ลขชีก้ ำาลังเปนจำานวนตรรกยะ ฟงกช นั เอกซโพเนนเช�ยล ฟงกชันเอกซโ พเนนเชียล และฟง กช นั ลอการท� มึ ฟงกช ันลอการทิ มึ การหาคาลอการทิ มึ การเปล่ียนฐานของลอการทิ ึม สมการและอสมการลอการทิ มึ การประยกุ ตข องฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ล และฟง กช นั ลอการทิ มึ ประโยชนจากการเร�ยนรู้ คาํ สําคญั สามารถนำาความรูเรื่องฟงกชันเอกซโพเนน • ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ล • ลอการทิ มึ สามญั เชยี ลและฟงกชนั ลอการิทมึ ไปใชแ กป ญหาได • ฟงกช ันลอการิทมึ • แอนติลอการทิ ึม ในเวลา 1 ปแสง แสงเคล่ือนทีเ่ ปน ระยะทางประมาณ 9,460,000,000,000 กิโลเมตร เขยี นแสดง ระยะทางของการเคลอ่ื นทขี่ องแสงในรปู เลขยกกาำ ลงั ไดอ ยา งไร

62 สือ่ การเรย� นรู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 ทบทวนความรเŒู ดิม ฟง กชนั y 1 = yff2 เเปปนน ฟฟงงกกชชนัันหกน็ตงึ่อ ตเมอื่อห นf่ึง เจปานกค Aวา มไปส ัมBพ กัน็ตธ อ ซเม่งึ ถอื่ า f (เxป,น yฟ1ง)ก ∈ช นั จfา กแ ลAะ ไ(ปx ,B y2) ∈ f แลว รซา่งึ กถทา ่ ี (nx 1ข อ, งyจ)ำา น∈วน fจ แรงิละ (x2 , y) ∈ f แลว x1 = x2 ให a และ b เปนจำานวนจริง n เปน จาำ นวนเตม็ บวกท่ีมากกวา 1 b เปนรากท่ี n ของ a กต็ อ เมือ่ bn = a เลขยกกาำ ลังท่ีมีเลขชี้กาำ ลังเปน จำานวนตรรกยะ เมือ่ a เปน จำานวนจริง n เปนจาำ นวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มรี ากที่ n a 1n = n a wpp การเลือ่ นกราฟของสมการ กำาหนดให  h และ k เปนจาำ นวนเตม็ บวก แทนคา x ดวย x – h หรือ x + h และแทนคา y ดว ย y – k หรือ y + k จะไดล ักษณะ กราฟของสมการดังน้ี แทนคา x ดวย x – h ทำาใหกราฟเลือ่ นไปทางขวา h หนวยของกราฟเดิม แทนคา x ดว ย x + h ทำาใหกราฟเลื่อนไปทางซาย h หนว ยของกราฟเดมิ แทนคา y ดวย y – k ทำาใหก ราฟเลือ่ นขึ้น k หนวยของกราฟเดมิ แทนคา y ดวย y + k ทาำ ใหก ราฟเล่อื นลง k หนวยของกราฟเดิม เนอื้ หาใหม ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนฟงกชันท่ีมีความสำาคัญในวิทยาการดานตาง ๆ โดยสามารถนำา ความรเู รือ่ งฟงกชนั ดงั กลาวไปประยุกตในเร่อื งทเ่ี ก่ียวกบั การเพิ่มหรอื การลดของสิง่ ตา ง ๆ เชน การ เพมิ่ ขนึ้ หรอื ลดลงของจาำ นวนประชากร การเพมิ่ ขึ้นหรือลดลงของอณุ หภูมิของสารเคมบี างชนิด หรือ เรอื่ งทเ่ี ก่ยี วขอ งกบั ชีวติ ประจำาวนั เชน การคิดหาจาำ นวนเงนิ ฝาก เปน ตน ตัวผกผนั ของฟง กชนั เอกซ โพเนนเชยี ล เรยี กวา ฟง กช นั ลอการทิ มึ มคี วามสาำ คญั ในการศกึ ษาวทิ ยาการทางดา นวทิ ยาศาสตรด ว ย เชนกัน

สอ่ื การเร�ยนร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 63 ในการศกึ ษาฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ลและฟง กช นั ลอการทิ มึ จะใชส มบตั ขิ องเลขยกกาำ ลงั ดงั น้ี 2.1 เลขยกกําลังทีม่ ีเลขชี้กาํ ลังเปนจํานวนเต็ม บทนยิ าม 1 ถา a เปนจาำ นวนจริง และ n เปน จำานวนเตม็ บวก แ ลว an = a • a • a • ... • a n ตวั a0 = 1 เมือ่ a ≠ 0 a–n = a1 n เมื่อ a ≠ 0 เรยี ก an วา เลขยกกำาลัง เรียก a วา ฐาน ของ เลขยกกำาลัง เรยี ก n วา เลขช้กี ำาลัง และ an อานว า a ยกกำาลงั n เลขยกกาำ ลงั ทมี่ ีเลขชี้กำาลังเป็นจาำ นวนเตม็ มีสมบตั ิตามทฤษฎบี ทดงั นี้ wpp ทฤษฎบี ท 1 ถา a, b เปนจาำ นวนจริงท ีไ่ มเปน 0 และ m , n เปน จำานวนเต็มจ ะ ได 1. am • an = a m + n 2. (am)n = a mn 3. (ab)n = an • bn 4. (ab ) n = a b nn 5. aa mn 1 เม่ือ b ≠ 0 = a m – n b n 1–m เมอื่ m = n เม่ือ m > n เมอ่ื m < n พสิ ูจน 1. จาก am = a • a • a • ... • a m ตวั an = a • a • a • ... • a n ตัว am • an = a • a • a • ... • a • a • a • a • ... • a m ตว ั n ตัว

64 ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 am • an = a • a •​ a ​• ... •​ a m+n ตัว = a m + n เชน 35 • 37 = 35 + 7 = 312 46 • 4 = 46 + 1 = 47 2. จาก (am)n = am • am ​• am • ... • am n ตวั จาก​ทฤษฎบี ท​ 1 ขอ​ท่ี 1 จะ​ได n ตัว (am)n = am + m + m + ... + m = amn เชน (73)2 = 73 × 2 = 76 wpp (54)3 = 54 × 3 = 512 3. จาก (ab)n = (ab) • (ab) • (ab) • ... • (ab) n ตัว = (a • a • a • ... • a) • (b • b • b • ... • b) n ตัว n ตัว = an • bn เชน (2 × 5)4 = 24 • 54 (4 × 3)7 = 47 • 37 4. จาก ( ab )n = ba • ba ​• ba •​ ... •​ ab n ตวั n ตัว = a • a • a • ... • a b • b • b • ... • b ba 2nn2 n ตัว = 37 5332 เชน ( 25 )2 = 33 ( 37 )3 = 73 =

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 65 5. กรณที ่ี 1 ถา m = n aa​ mn = ​aa mm = 1 กรณที ่ี 2 ถา m > n จะไ​ด m – n ∈ I + และ m = (m – n) + n aa mn = ​a (ma– nn) + n = ​a (m – n) • a n an = a m – n กรณีที่ 3 ถา m < n จะ​ได n – m ∈ I + และ n = (n – m) + m wpp aa nm = ​ a​ m + m a (n – m) = ​a m a (n a m – m) • = 1​ m a n – เชน a​ 5 = 1 a 5 ​a 5 = a 5 – 3 = a 2 a 3 ​a 3 = a 5​1– 3 = ​1 a 5 a 2 ตวั อยา งที่ 1 จงเขียน (x3y–2z)–3 ให​อยู​ใน​รูป​อยาง​งาย และ​เลขยกกำ�ลัง​ทุก​จำ�นวน​ มเ​ี ลขชีก้ ำ�ลงั ​เปน จ​�ำ นวนเตม็ ​บวก วธิ ีท�ำ (x3y–2z)–3 = (x3)–3(y–2)–3(z1)–3 = x y z(3)(–3) (–2)(–3) (1)(–3) = x–9 y6 z–3 = ​y 6 x 9 z 3

66 สื่อการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยางท่ี 2 จง​เขยี น ​22x2y 2 ใหอ​ ย​ใู นรูป​อยางง​า ยแ​ ละเ​ลขยกก�ำ ลังท​ ุกจ​�ำ นวน​ 2 3x –1 มเี ลขชี้ก�ำ ลงั ​เปน ​จ�ำ นวนเตม็ ​บวก วิธที �ำ ​22x2y 2 = ​(2(22)23()x2(2)x2–(1y)21)2 = ​2(22)(2(3)x)(2 ()2x)((2–)1y)( 2(1))(2) 2 3x –1 = 2​ 4x 4y 2 26x–2 = 24 – 6x 4 – y(–2) 2 = 2–2x 6y 2 = ​x 6y 2 4 ตวั อยางที่ 3wpp จงเขยี น ​4x–22x––2 4x–1 + 1 ให​อย​ใู นรปู อ​ ยา ง​งายแ​ ละเ​ลขยกก�ำ ลัง​ทุกจ​ำ�นวน​ – x–1 มเี ลขช้กี �ำ ลัง​เปน ​จ�ำ นวนเตม็ บ​ วก ​x4​ 2 x ​22– – ​4x ​1x+ 1 วิธที �ำ 4​ x–2 – 4x–1 + 1 = 2x–2 – x–1 ​4 – 4x + x 2 ​ ​2 x–2 = x2 x = 4 – 4x + x 2 • 2 x 2 x 2 –x = 4 – 4x + x 2 • x 2 – 2 2– x = 4 – 4x + x 2 2– x = (2 – x)2 2 – x = (2 – x)2 – 1 = 2 – x

ส่อื การเรย� นรู  สมบูรณแบบ รายว�ชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 67 กิ จกรรมที่ 1 เลขยกกำ�ลงั ท่ีมีเลขช้ีกำ�ลงั เปน็ จำ�นวนเตม็ 1. จงเขียนเลขยกกำาลังตอไปน้ีใหอยูในรูปอยางงาย และเลขยกกำาลังทุกจำานวนมีเลขชี้กำาลังเปน จาำ นวนเตม็ บวก x 2 1) x7 • x –5 4) x –2 wpp 2) (y–4 • y6)4 5) x –2 y 3 2 x 4 y –1 3) (52)–6 6) x 5 x –1 x –2

68 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 7) x –2 x 4 2. ก�ำหนดให้ a > 0, a ≠ 1, m และ n เปน็ จ�ำนวนเตม็ บวก จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้วี า่ เปน็ จรงิ หรอื เท็จ 1) a m • a n = a mn wpp2) ​1 = a n a –n

ส่อื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 69 3) a m – a n = a m – n 4) a n + a m = a n + m wpp 5) a –m • ​1 = ​1 a n a n + m

wpp70 ส่อื การเรย� นรู สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 2.2 รากทีส่ องในระบบจํานวนจริง รากที่ n ในระบบจาํ นวนจริง และจํานวนจริงในรูปกรณฑ บทนิยาม 2 ให x, y เปนจำานวนจรงิ y เปนราก ทีส่ องข อง x กต็ อ เ ม่อื y 2 = x เนื่องจา กกำาลังส องของจำานวนจริงตองม ากกวาหรือเทากับศูนย จะเปนจำานวนจริงลบไมได  ดงั นน้ั จะมรี ากทสี่ องของจำานวนจริงบวกหรอื ศนู ยเ ทา นัน้ ถา x c 0 แลว x มรี ากท่สี องทม่ี ากกว าหรือเทากับศนู ยเ สมอ เรียกวา รากท่ีสองของ x เขียนสัญลักษณแทนดวย x เม่อื y เปน จำานวนจรงิ ใด ๆ (–y)2 = y2 ดังนน้ั ถา มจี าำ นวนจรงิ y ยกกำาลงั สองแลว เทา กบั x จะมีจำานวนจริง –y ท่ยี กกำาลังสองแลว เทากบั x ดวย ถา x > 0 จะมีรากที่สองของ x คอื x และ – x โดยท่ี x เปนจำานวนจรงิ บวก และ – x เปนจำานวนจรงิ ลบ ถา x = 0 แลว จะมจี ำานวนจริงจำานวนเดยี ว คอื 0 เปนรากทีส่ องของ x หรือ 0 = 0 ถา x < 0 จะไดวา ไมมีรากที่สองของ x ที่เปน จาำ นวนจริง สรปุ ไดวา x = y หมายความวา y2 = x และ y c 0 ตวั อยา งท่ี 1 6 เปน ราก ทีส่ อง ของ 36 เพราะ 62 = 36 21 เปนราก ทีส่ อง ของ 41 เพราะ ( 21 )2 = 41 – 15 เปนราก ที่สองข อง 215 เพราะ (– 15 )2 = 215 ตัวอยางท่ี 2 รากทสี่ อง ของ 4 ไดแก 2 และ –2 ราก ทสี่ องข อง 811 ไดแก  91 และ – 91 รา กทส่ี อง ของ 64 ไดแ ก 8 และ –8 ราก ทส่ี องข อง 100 ไดแ ก  10 และ –10 ตวั อยางท่ี 1 16 = 4 เพราะวา 42 = 16 และ 16 > 0 81 = 9 เพราะวา 92 = 81 และ 81 > 0 121 = 11 เพราะวา 112 = 121 และ 121 > 0 144 = 12 เพราะวา 122 = 144 และ 144 > 0

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 71 สมบัตขิ องรากทส่ี องท่ีไม่เป็นจ�ำนวนจรงิ ลบ ทฤษฎบี ท 2 ถา x c 0 แล​ ะ y c 0 แลว ​x • y​ = ​xy ทฤษฎีบท 3 ถา x c 0 แล​ ะ y > 0 แลว y​x​ = yx ตัวอยางที่ 4 ​3 • ​7 = 3​ × 7 =21 1​​55 = 155 = ​3 5​7​ ​5 • ​7 5​ • 7​ =​7​35 = 7​ • ​7 = ​7 ในกรณที ัว่ ไป รากที่ n ของจำ�นวนจรงิ มีบทนยิ าม ดังนี้ wppบทนิยาม 3 ให x และ y เปน​จ�ำนวนจริง และ n เปน็ จ�ำนวนเต็มท่มี ากกว่า 1 y เปน ​รากท​ ี่ n ของ x กต็ อ่ เม่อื y n = x ตวั อยางท่ี 5 4 เปน็ รากที่ 3 ของ 64 เพราะ 43 = 64 –2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ (–2)4 = 16 –3 เป็นรากที่ 3 ของ –27 เพราะ (–3)3 = –27 2 เป็นรากท่ี 5 ของ 32 เพราะ 25 = 32 –2 ไมเ่ ป็นรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ (–2)3 ≠ 8 คา่ หลักของรากที่ n บทนิยาม 4 ให้ x และ y เป็นจ�ำนวนจรงิ และ n เป็นจ�ำนวนเต็มทมี่ ากกวา่ 1 y เปน็ คา่ หลักของรากท่ี n ของ x กต็ อ่ เมอ่ื 1. y เปน​รากท​ ี่ n ของ x 2. xy c 0 คา หลักข​ อง​รากท​ ่ี n ของ x เขียน​แทนดวย n x หมายเหตุ 1) เคร่อื งหมาย n เรยี กวา เครื่องหมายก​ รณฑ 2) เรยี ก n วา อนั ดบั ​ทีห่​ รือด​ ัชนข​ี อง​กรณฑ 3) ถา n = 2 เขียน แทน 2 4) n x อานว​ า กรณฑ​ที่ n ของ x หรอื ค​ าห​ ลัก​ของ​ราก​ที่ n ของ x

72 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตัวอยางท่ี 6 คาห​ ลกั ข​ องร​าก​ท่ี 4 ของ 81 คือ 3 คา​หลักข​ อง​รากท​ ่ี 3 ของ 125 คอื 5 คา ห​ ลัก​ของ​รากท​ ี่ 5 ของ –32 คอื –2 ขอส​ังเกต เมือ่ x เปน ​จำ�นวนจริง​ทีม​่ ร​ี าก​ที่ n ถา x เปน จ​ำ�นวนจร​งิ บวก แลวค​ า ห​ ลัก​ของร​าก​ท่ี n ของ x เปน จ​�ำ นวนจรง​ิ บวก ถา x เปน​จ�ำ นวนจร​งิ ลบ แลว ค​ าห​ ลักข​ อง​ราก​ท่ี n ของ x เปน ​จ�ำ นวนจรง​ิ ลบ ถา x เปนศ​ ูนย แลว​คา​หลัก​ของ​ราก​ที่ n ของ x เปน ​ศนู ย ก�ำ หนดใ​ห x เปนจ�ำ นวนจรงิ ​ทมี่ ​รี าก​ที่ n 1) (n x )n = x 2) n x n = x เมือ่ n เปนจำ�นวนค​ ี่ 3) n x n = x เมอ่ื ​n เปนจ�ำ นวนค​ ู wpp พิสจู น 1) เน่ืองจาก n x เปน ร​าก​ท่ี n ของ x ดงั นัน้ (n x )n = x 2) n x n เปน ​ราก​ที่ n ของ x n และ x เปน ​รากท​ ี่ n ของ x n แต n เปน​จ�ำ นวน​ค่ี ราก​ท่ี n ของ x จะ​มี​เพยี งจ​�ำ นวนเ​ดียว ดงั น้นั n x n = x 3) ถา x = 0 จะ​ได x n = 0n = 0 ดงั นน้ั n x n = n 0 = 0 ถา x ≠ 0 จะไ​ด |x | > 0 และ – |x | < 0 จะไ​ด |x |n = x n ∴ n เปน​จ�ำ นวนค​ ู = x n ฉะน้นั |x | และ – |x | เปน ​ราก​ที่ n ของ x n แต n x n หา​คาไ​ด เมือ่ x n > 0 ดังนน้ั n x n = |x | ตวั อยา งที่ 7 ( 3 –125)3 = (–5)3 = –125 ( 4​ )2 = 22 = 4 3 (–3)3 = 3 –27 = ​ –3 4 (–2)4 = 4 16 = 2 และ –2

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 73 สมบัตขิ​ อง​รากท​ ่ี n ทฤษฎบี ท 4 ถา x และ y มี​รากท​ ี่ n แลว n x n y = n xy ทฤษฎบี ท 5 ถา x และ y มีร​ากท​ ี่ n และ y​ ≠ 0 แลว n ​x ​y = n xy n พิสจู นท ฤษฎีบท 4 จาก (n x )n = x และ (n y )n = y จะ​ได (n x )n (n y )n = xy (n x n y )n = xy แสดงวา n x n y เปน​รากท​ ี่ n ของ xy กรณีที่ 1 ถา n เปนจ​�ำ นวน​คี่ ราก​ท่ี n ของ xy ที่เ​ปนจ​ำ�นวนจริง ม​ ี​เพยี งจ​�ำ นวนเ​ดยี ว ค​ อื n xy ดังนน้ั n x n y = n xy กรณที ่ี 2 ถา n เปน จ​�ำ นวนค​ ู รากท​ ี่ n ของ xy ท่ีเ​ปนจ​ำ�นวนจรงิ คือ n xy และ – n xy ​โดยที่ n x c 0 และ n y c 0 wpp เพราะฉะน้นั n x n y c 0 ดังนนั้ n x n y =​ n xy พสิ ูจน​ท ฤษฎีบท​ 5 จาก (n x )n = x และ (n y )n = y ( n x )n จะ​ได ( n y )n = xy เม่ือ y ≠ 0 nx n = yx ny n x เปน ร​ากท​ ่ี n ของ yx แสดงวา n y กรณที ี่ 1 ถา n เปน​จำ�นวน​ค่ี รากท​ ี่ n ของ xy ท​เี่ ปน ​จำ�นวนจรงิ จ​ะ​มเี​พยี ง​จำ�นวน​เดียว คอื = n yx n xy n x y ดงั นั้น n กรณที ่ี 2 ถา n เปนจ​�ำ นวน​คู ราก​ที่ n ของ yx ท​เี่ ปนจ​�ำ นวนจริง​มี 2 จำ�นวน ​คอื n yx เพราะฉะนัน้ nn x และ – n xy โดยท ี่ n x c 0 และ n y c 0 y c0

74 สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ดังนั้น n x = n yx n y ขอ​สงั เกต ถา x < 0 และ y < 0 ทฤษฎบี ท​ 4 และ 5 จะเ​ปน จรงิ ​ก็ตอ เมื่อ n ​เปนจ​�ำ นวนค​ ​ี่ ​ เทา นนั้ ตัวอยางท่ี 8 4 5 • 4 9 = 4 5 × 9 = 4 45 3 3 • 3 5 = 3 3 × 5 = 3 15 5 7 • 5 6 = 5 7 × 6 = 5 42 3 4 3 24 3 2 = = 3 2 8 25 = 8 255 = 8 5 85 การหาผลบวกและผลตา่ งของกรณฑ์ wpp กรณฑท์ ม่ี อี นั ดบั เดยี วกนั และมจี �ำนวนภายใตเ้ ครอ่ื งหมายกรณฑเ์ ปน็ จ�ำนวนเดยี วกนั จะบวกหรอื ลบกนั ได้ โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงของระบบจ�ำนวนจริง ตวั อยา งท่ี 9 จงเขยี นจ�ำนวนต่อไปนใี้ ห้อย่ใู นรูปอย่างง่าย 1) 5 3​ + 3 ​3 วธิ ีท�ำ 5 3​ + 3 ​3 = (5 + 3) ​3 =8 ​3 2) 2 5 + 4 5 – 5 วิธีท�ำ 2 5 + 4 5 – 5 = (2 + 4 – 1) 5 = 5 5 3) 75 + 2 27 – 27 วธิ ีท�ำ 75 + 2 27 – 27 = 25 × 3 + 2 9 × 3 – 16 × 3 =( 25 ​3 ) + (2 9 3​ ) – ( 16 ​3) =5 ​3 + (2 × 3 3​ ) – 4 ​3 = (5 + 6 – 4) ​3 =7 3​ 4) 3 147 – 131 31 + 7 217 วิธที �ำ 3 147 – 131 13 + 7 217 = (3 49 × 3) – 131 13 + (7 13 × 31 ×13 ) =(3 49 ​3) – 131 13 + (7 13 × 31 31 ) )

สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 75 = (3 × 7 ​3 ) – 131 13 + (7 × 31 13 ) =21 3​ – ( 131 – 37 ) 13 =21 3​ – ( 43 13 × 33 ) –––94()344943 3 =21 3​ 9 3 ) =21 3​ × 9 =21 ​3 3​ = (21 – 3​ =1895 ​3 wpp ก ิ 2จกรรมท่ี รากที่สองในระบบจ�ำนวนจรงิ รากที่ n ในระบบจ�ำนวนจริงและจ�ำนวนจริงในรปู กรณฑ์ 1. จงหาค่าของโจทย์ต่อไปน้ี 1) 8​ – 32 + 40 2) 20 + 90 + 40 3) 3 4 • 4 2

76 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4) 5 • 3 9 5) 3 3 (1 + 3 ) 6) 5 + 1 ÷ 2 + – 3 3 – 2 5 1 wpp 7) (2 7​ + 4 5)(7 – 2 5) 8) 12 – 39 – 48 9) 63 + 5 28 – 8 7

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 77 10) 2 3 4​ 5 3 11) 4 5 32 12 wpp 12) ( 3 + 1) (3 3 – 1) 13) 2 2 2 ÷ 2 + 3 2 – 5

78 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 14) (12 + 5 )2 2. จงเขยี นจ�ำนวนตอ่ ไปนใ้ี ห้อยใู่ นรูปที่ตัวส่วนไม่ตดิ กรณฑ์ 1) 7 37 wpp 2) ​5 7 1​ 1 3​ 3) 21 25

สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 79 4) ​4 3 2​ 1 5) 52 6) 53 160wpp 7) 2​ 5 1​ 1 8) 3​ 5 5 2

80 ส่อื การเรย� นรู  สมบูรณแบบ รายว�ชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 2.3 เลขยกกาํ ลังทีม่ ีเลขชี้กําลงั เปนจํานวนตรรกยะ พจิ ารณา an1 เมอ่ื n เป็นจาำ นวนเต็มบวกทมี่ ากกวา 2 ถา (am)n = amn เปนจรงิ จะไ ด ว า (an 1 )n = an1 × n = a1 = a แสดงว าถ า an1 เปนจำานวนจริงแ ลว an 1 เปน รากท ่ี n ของ a บทนิยาม 5 ให  a เปนจำานวนจริงและ n เปนจาำ นวนเตม็ ท ี่มา กก วา 1 ถา a ม ีรากท ี่ n แลว a n1 = n a เลขยกกาำ ลังทีม่ ีเลขช้ีกาำ ลงั เปน็ จาำ นวนตรรกยะ มีบทนิยามดงั นี้ บทนิยาม 6 ให  a เปนจาำ นวนจริง โดยที่ a ≠ 0 และ r เปน จำานวนตรรกยะ เขยี น r = mn โดยท่ ี m, n เปนจาำ นวนเตม็ ซึง่ n > 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ n เปน 1 ถา amn เปน จำานวนจรงิ แลว ar = am n = (n a)m เลขยกกำาลังทีม่ เี ลขชกี้ ำาลังเป็นจาำ นวนตรรกยะ มีทฤษฎบี ทดงั น้ี wpp ทฤษฎีบท 6 ให  m และ n เปน จาำ นวนตรรกยะ a และ b เปน จำานวนจรงิ ทไี่ มเ ปน 0 โดยท ่ี am, an, bn เปน จาำ นวนจรงิ จะไ ด 1. am an = am + n 2. (am)n = amn 3. (ab)n = an bn 4. ba n = ab nn 5. aa nm = am – n หม�ยเหตุ am • an = am an

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 81 ตวั อยา งท่ี 1 จง​เขียน (8x 3) ​1 เปน รปู ​อยา ง​งา ย เ​ม่ือ x > 0 6 วธิ ที �ำ (8x 3)​61 = (816​ ) (x 3)16​ = (23)1​6 (x 3)61​ = 212​ x21​ = (2x)1​2 ตวั อยา งท่ี 2 จงเ​ขียน (27xy 3)31​ 1​ เปน รปู ​อยาง​งาย เ​ม่อื x > 0 และ y > 0 4 (81x 2y 2) (27xy 3)​13 = (34()3 4​1 3()x ​31 2x) 41​​31 ((yy 32))3​1​14 = 33xx 21​ y13​ y​21 วิธที ำ� (81x 2y 2) 4​1 = (x 1​ – ​1 ) (y1 – ​1 ) = (x – ​16 ) y 1​ wpp 3 2 2 2 = y 21​ 1​ x 6 การบวก ลบ คณู และหารเลขยกก�ำลังท่มี เี ลขชก้ี �ำลังเป็นจ�ำนวนตรรกยะ ในการบวก ลบ คูณ และหารเลขยกก�ำลงั ทมี่ เี ลขช้กี �ำลังเปน็ จ�ำนวนตรรกยะ ถา้ ฐานของเลขยก ก�ำลังไมเ่ ท่ากนั และเลขชก้ี �ำลงั ไม่เทา่ กนั จะต้องท�ำใหฐ้ านและเลขช้ีก�ำลังของเลขยกก�ำลงั เทา่ กนั ก่อน แล้วจงึ น�ำมาบวก ลบ คูณ หรอื หารเลขยกก�ำลังกัน ตัวอยา งท่ี 3 จงเขียนเลขยกก�ำลังต่อไปนี้ให้อย่ใู นรปู อย่างง่าย 1) (24)21​ + (54)21​​1 ​1 1​ ​1 2 2 2 2 วิธีท�ำ (24) + (54) = (6 × 4) + (6 × 9) = 2 (6)2​1 + 3 (6)1​2 1​ 2 = 5 (6) 2) (16)31​ + (128)13​ – (54)13​ 1​ ​1 1​ ((283××22))31​ ​13 22))31​1​3 22))​3131​ วธิ ีท�ำ (16) 3 + (128) 3 – (54) 3 = + (64 × – (27 × = + (43 × – (33 × ​1 ​1 1​ 3 3 3 = 2 (2) + 4 (2) – 3 (2) = 3 (2)3​1

82 สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) (80) ​1 – (8000) ​1 + (2025) 1​ 2 6 4 วิธีท�ำ (80) ​1 – (8,000) ​1 + (2,025) 1​ = (16 × 5) 1​ – (64 × 125) ​1 + (81 × 25) ​1 2 6 4 2 6 4 = (42 × 5) ​1 – (43 × 53) 1​ + (92 × 52) 1​ 2 6 4 = 4 (51​2) – (4 × 5)2​1 + (9 × 5)​21 ​1 ​1 1​ = 4 (5 2 ) – 2 (5 2 ) + 3(5 2 ) = 5 (5 1​2 ) 4) (5)1​3 (2)31​ (15)​13 ​1 1​ 1​ 1​ วธิ ีท�ำ (5) 3 (2) 3 (15) 3 = ((510××21×5)1​315) 3 = 1​ 3 = (150) wpp ​1 1​ 5) 16 (3) 3 (12) 2 = 4 (3) 1​3 4 (12) 12​ วธิ ที �ำ 16 (3) 13​ (12) ​21 = (43 × (42 × 3) 1​ 12) ​1 3 2 = (192) 1​ (192) 1​ = (192) 3 2 65​ 6) 4 ​14 2 1​ 5 ​5 4 4​1 4 20 วธิ ที ำ� 2 1​ = (24254​0) 210 5 = (24) 2​10 = 210 210 24 = (26)210 = 2130 ในการคดิ ค�ำนวณเกย่ี วกบั เลขยกก�ำลงั นยิ มเขยี นผลลพั ธใ์ หอ้ ยใู่ นรปู ทต่ี วั สว่ นไมต่ ดิ กรณฑ์ เชน่ 1 55 5 นยิ มเขยี นเป็น

ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 83 ตัวอยางที่ 4 จง​เขียน​ 2 1 5 ให​ตัวสว น​อยูใ​นร​ูปไ​ม​ติดกรณฑ – 1 1 2 + 5 วิธีท​ ำ� 2 – 5 =2 – 5 × 2 + 5 = 2 22–+( 55 )2 = 24 + 5 – 5 = – 2 – 5 ตัวอยา งท่ี 5 จงเขียน 3 + 1 ให้ตัวสว่ นอยใู่ นรูปไม่ติดกรณฑ์ 3 – 1 3 + 11 3 + 1 3 + 11 วธิ ที �ำ 3 – = 3 – 1 × 3 + wpp = (( 33 ) +2 1)2 – 12 = 3 + 2 3 + 1 2 = 4 + 2 3 2 = 2 + 3 ตัวอยางท่ี 6 จงหาคา่ ประมาณของ 6 + 3 เมื่อก�ำหนดให้ 2 ≈ 1.414 6 – 3 6 + 3 = 66 –+ 3 6 + 3 = (( 6 6 ) 2+– ( 3 3 ) 2 )2 วิธที �ำ 6 – 3 3 × 6 + 3 = 6 + 2 1 8 + 3 = 9 + 6 2 6–3 3 = 3 + 2 2 ก�ำหนดให้ 2 ≈ 1.414 จะได้ 3 + 2 2 ≈ 3 + 2(1.414) ≈ 3 + 2.828 ≈ 5.828 ดงั นน้ั 66 –+ 33 ≈ 5.828

84 ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 การแก้สมการที่มเี คร่อื งหมายกรณฑอ์ นั ดบั สอง การ แก้สมการท่ีมีเครื่องหมายกรณฑ์อันดับสองจะต้องท�ำให้สมการอยู่ในรูปท่ีตัวแปรไม่ติด กรณฑโ์ ดยอาจใชว้ ธิ ยี กก�ำลงั สองทงั้ สองขา้ งของสมการ ซงึ่ สมการทไ่ี ดใ้ หมน่ น้ั อาจไมส่ มมลู กบั สมการ เดิม ดังนั้นเมอ่ื ได้ค�ำตอบจากการแก้สมการแล้วควรตรวจสอบค�ำตอบเสมอ ตัวอยา งท่ี 7 จงหาเซตค�ำตอบของสมการ 2x + 3 = 2 วิธที �ำ 2x + 3 = 2 ( 2x + 3)2 = 22 2x + 3 = 4 x = 21 ตรวจสอบคา่ x ทไี่ ดว้ ่าสอดคลอ้ งกบั สมการทกี่ �ำหนดใหห้ รือไม่ จแ ะท ไ นด ค ้ ่า x = 21 ล ง ใ น 2 (2 12 x ) + + 3 32 == =222 เปน็ จรงิ แสดงว่า x = 21 สอดคลอ้ งกบั สมการทีก่ �ำหนดให้ ดงั น้ัน เซตค�ำตอบของสมการคือ 21 กิ จกรรมท่ี 3 เลขยกก�ำลงั ทม่ี เี ลขชก้ี �ำลังเป็นจ�ำนวนตรรกยะ wpp 1. 1 จ)ง เข8ีย23นเลขยกก�ำลังต่อไปนใ้ี ห้อยูใ่ นรปู อย่างงา่ ย 2) (14)23

3. (–216)23 ส่อื การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 85 4) (0.125)24 5) (4396)21 wpp 6) 16– 14 7) 81– 21 8) (614)31

86 ส่อื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 9) (18211 )23 10) (– 52172 )32 wpp 2. ก �ำ ห น ดให้ a และ b เป็นจ�ำนวนจริงบวก จงเขียนเลขยกก�ำลังให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และ เลขยกก�ำลงั ทุกจ�ำนวนมีเลขชีก้ �ำลังเปน็ จ�ำนวนจริงบวก 343 a 2 b –5 13 1) 125 a –4b

สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 87 2) a –3 b –5 3 a 6 2 3) a 31 b 14 2 b – 1 2 wpp4) b – 32 2 a 21 b 25 3. จงเขียนเลขยกก�ำลงั ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 1) (24)12 + (54)21 – (96)21

88 สือ่ การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 1 1 81112 2) 3000 3 – 256 4 – 3) 8 (6)13 (3)12 wpp4) 2 (4) 3 (8) 3 2 4 5) 5 (9)13 (3)12

11 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 89 6) (25) 4 (45) 2 (100) 41 7) 36 31 225 1 6 wpp 8) (4) 13 1 (32) 31 (12) 2

90 ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 4. จงเขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนใี้ หต้ ัวส่วนไมต่ ิดกรณฑ์ 1) 1 2 – 3 2) 6+ 5 6 – 5 wpp3) 1 2 2 3 – 4) 3 3 +2 2 3 – 2

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 91 5) 10 6 – 2 7 3 6 + 2 7 6) 24 3 5 5 4 + wpp 7) 8 2 +5 3 6 2 – 3 8) 3 + 4 2 3 – 5 4 5. จ งหาค่าประมาณของจ�ำนวนต่อไปน้ี เมือ่ ก�ำหนดให้ 2 ≈ 1.414, 3 ≈ 1.732 และ 5 ≈ 2.236​ 1) 5 2 + 4 3 2 – 2

92 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2) 2 + 3 6+ 7 3 3) 2 – 5 5wpp 4) 2 3 + 5 3 3 + 1

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 93 5) 4 5 – 3 7 5 + 2 6) 4 2 + 5 8 2 – 1 6. จ งหาเซตค�ำตอบของสมการต่อไปน้ีwpp 1) 5x + 1 = 6 2) x + 7 + 5 = x

94 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) x – 4 = x – 4 4) x + 2 + x = 4 5) 3x – 1 + 8 = 10 wpp

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 95 6) 3x2 – 32 = x wpp 7) x – 3 = 2x + 2 8) x + 1 – 2x – 1 = 1

96 ส่ือการเรย� นรู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 2.4 ฟง กชันเอกซโพเนนเชียล จากก ารศ กึ ษาเ รอ่ื งเ ลขยกกาำ ลงั ท ม่ี เี ลขชก้ี าำ ลงั เ ปน จาำ นวนตรรกยะ เมอื่ พ จิ ารณาก ราฟข องฟ ง กช นั y = 2x จะ พบว า กราฟข าดตอน เม่ือ x เปนจำานวนตรรกยะ ถ าต อ งการ ใหกราฟ ไมข  าดตอน จะ ตอง พิจารณา y = 2x เมอื่ x เปน จำานวนอตรรกยะ เชน 2 2 มค ี าเทา กบั เทาใด เนือ่ งจ าก 2 ≈ 1.4142135... พิจารณา 2r เม่อื r เปนจำานวนตรรกยะท ม่ี ค ี า ใกล 2 ดัง ตาราง rwpp 2r 1 2 1.4 2.639015... 1.41 2.657371... 1.414 2.664749... 1.4142 2.665119... 1.41421 2.665137... 1.414213 2.665143... 1.4142135 2.665144... ... ... จะเห็นวา เมอ่ื r เปน จำานวนตรรกยะมคี าใกล 2 ≈ 1.4142135... คา ของ 2r จะเขาใกล จาำ นวนจำานวนหนง่ึ คือ 2 2 เมอ่ื r เปน จาำ นวนอตรรกยะ สามารถใหความหมายของ 2x เมอ่ื x เปน จาำ นวนอตรรกยะใด ๆ ได ดงั น้ัน กราฟ y = 2x เม่อื x เปนจำานวนจริงใด ๆ จะมีลักษณะเปนกราฟ ไมขาดตอนดังรปู 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1 –2

สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 97 บทนยิ าม 7 ฟงกช นั เ​อกซโ พเ​นน​เชยี ล​ คือ ฟังกช์ ันทอ่ี ย่ใู นรูป {(x, y) ∈ R × R | y = ax} โดยที่ a เปน็ จ�ำนวนจรงิ ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 ขอ้ สงั เกต 1. ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล y = ax a ตอ้ งเปน็ จ�ำนวนจรงิ ทมี่ ากกวา่ 0 และไมเ่ ทา่ กบั 1 เนือ่ งจาก y = ax เมอ่ื x เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a = 1 จะได้ y = 1x = 1 ซ่งึ เปน็ ฟังก์ชันคงที่ 2. โดเมนของฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ลเป็นเซตของจ�ำนวนจรงิ (R) ตวั อยา งที่ 1 จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน y = 3x วิธีท�ำ จากตารางเขยี นกราฟไดด้ งั นี้ xwpp y –2 3191 y = 3x –1 1 0 13 29 (0, 1) 0 จากกราฟพบวา่ โดเมนของฟังกช์ ัน y = 3x เป็นเซตของจ�ำนวนจริง เรนจ์ของฟังกช์ นั y = 3x เปน็ เซตของจ�ำนวนจริงบวก y = 3x เม่อื x มีค่าเพม่ิ ขึ้น จะได้ y มคี ่าเพิม่ ขึ้นด้วย เรยี กฟงั ก์ชนั ทมี่ ีลักษณะเช่นน้ีวา่ ฟังก์ชนั เพม่ิ ในโดเมนของฟงั ก์ชันเปน็ เซตของจ�ำนวนจรงิ จะเห็นว่าค่าของ y จะเพม่ิ ขึ้นอยา่ งรวดเร็วเมื่อ x เปน็ จ�ำนวนจริงบวกท่มี คี า่ เพิ่มขึน้ และ y จะมีค่าลดลงจนมีค่าเข้าใกลศ้ นู ย์ เม่อื x มคี า่ ลดลง

98 สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนกราฟของฟงั กช์ ัน y = 1x 3 วธิ ีท�ำ จากตารางเขยี นกราฟได้ดังน้ี xy 1x –2 9 y= 3 –1 3 01 (0, 1) 13 0 29 wpp ในโจเyดราน=เกมจกนข์ รข31อาฟองฟงพxฟงั บกงัเวกม์ชา่ ช์นัอื่ โันดxyเเปมม=็นคีนเา่ขซเอพต13งขม่ิ ฟอขxงังนึ้ กจเ์ชจ�ปำนะนั ็นวไดเyนซ้จ yต=รขจงิ อะจงม31ะจคี เ�ำหา่นxล็นวดวนเลปา่จคง็นรา่งิเเขรบซยีอตวกงกขฟอyงังกจจะช์�ำนเนั พวทม่ินม่ี ขจลี น้ึรกั ิงอษยณา่ งะรเวชดน่ เนรว็ว้ี เา่ มฟ่ืองั กxช์ นัมี ลด ค่าลดลง และ y มคี า่ ลดลงจนมีคา่ เขา้ ใกลศ้ ูนย์ เมอ่ื x มคี ่าเพม่ิ ขนึ้ จากตวั อย่างที่ 1 และ 2 พบว่ากราฟตัดแกน Y ทีจ่ ดุ (0, 1) เสมอ ลกั ษณะกราฟของฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลมี 2 แบบ คอื กรณที ี่ 1 a > 1 จะไดว้ ่า y = ax เป็นฟังก์ชันเพ่มิ ถแส้า ดxงวมา่ ีคา่xน1อ้ >ยมx2ากแลๆ้วแaลxว้ 1 > ax2 ax จะมีค่าใกลศ้ นู ย์ ดังนัน้ กราฟของ y = ax, a > 1 จากขวาไปซา้ ยจะลดลงเรอื่ ย ๆ และเข้าใกลแ้ กน X เขียนกราฟแสดงดงั นี้ (0, 1) 0

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 99 กรณที ่ี 2 0 < a < 1 จะไดว้ ่า y = ax เป็นฟังก์ชันลด แถส้า ดxงวมา่ คี า่xม1า>กขx้ึน2 แลว้ ax1 < ax2 แล้ว ax จะมคี ่าใกล้ศนู ย์ ดังนน้ั กราฟของ y = ax, 0 < a < 1 จากซ้ายไปขวาจะลดลงเรอ่ื ย ๆ และเข้าใกล้แกน X เขียนกราฟแสดงดงั นี้ (0, 1) 0 wpp ตัวอยางที่ 3 จงเขียนกราฟของฟงั กช์ ัน y1 = 2x และ y2 = 4x บนระบบพิกัดฉากเดียวกนั วธิ ีท�ำ y2 = 4x y1 = 2x 0 จากตวั อย่างที่ 3 พบว่า ถา้ x > 0 จะได้ 4x > 2x ดังนั้น กราฟ y = 4x จะอยทู่ างดา้ นซ้ายของกราฟ y = 2x ถ้า x < 0 จะได้ 4x < 2x ดงั นน้ั กราฟ y = 4x จะอย่ใู ต้กราฟของ y = 2x

100 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยา งที่ 4 จงเขยี นกราฟของฟงั กช์ นั y1 = ( 21 )x และ y2 = ( 14 )x บนระบบพกิ ดั ฉากเดยี วกนั วธิ ที �ำ y2 = ( 41 )x y1 = ( 21 )x wpp 0 จากตวั อยา่ งที่ 4 พบว่าx> x ดังนนั้ กราฟ y = x x 1 x< 1 x ดงั นัน้ กราฟ y = 1 x 1 ถ้า x > 0 จะได้ 12 14 21 จะอยูเ่ หนอื กราฟ y = 4 2 4 2 y= ถ้า x < 0 จะได้ จะอยูท่ างดา้ นซ้ายของกราฟ 1x 2 ตัวอยา งท่ี 5 จงเขยี นกราฟของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปน้ี 1) y = 3x – 1 2) y = 3x – 1 วธิ ีท�ำ 1) จาก y = 3x – 1 y + 1 = 3x พิจารณา y + 1 = 3x กับ y = 3x ถา้ แทน y ด้วย y – k กราฟจะเลือ่ นลงขา้ งลา่ ง k หนว่ ยของกราฟเดิม ดงั น้ัน จาก y + 1 = 3x และ y = 3x จะได้ k = –1 แสดงว่า กราฟของฟังกช์ นั y + 1 = 3x หรือ y = 3x – 1 จะเล่ือนจุดทุกจุดลงขา้ งล่าง 1 หน่วยของกราฟของฟังก์ชนั y = 3x ดังรปู

wpp สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 101 y = 3x y = 3x – 1 0 2) จาก y = 3x – 1 พจิ ารณา y = 3x – 1 กับ y = 3x ถ้าแทน x ด้วย x – h กราฟจะเล่ือนไปทางขวา h หน่วยของกราฟเดมิ ดงั น้ัน จาก y = 3x – 1 และ y = 3x จะได้ h = 1 แสดงว่า กราฟของฟงั ก์ชนั y = 3x – 1 จะเลอ่ื นจดุ ทกุ จดุ ไปทางขวามอื 1 หนว่ ยของ กราฟของฟงั ก์ชนั y = 3x ดงั รูป y = 3x y = 3x – 1 0 สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล สมการทมี่ ตี วั แปรเปน็ เลขชกี้ �ำลงั เรยี กวา่ สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล (exponential equation) และอสมการทมี่ ตี วั แปรเปน็ เลขชกี้ �ำลงั เรยี กวา่ อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล (exponential inequality) ในการแกส้ มการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล จะใชส้ มบตั คิ วามเปน็ ฟงั กช์ นั 1–1 ฟงั กช์ นั เพมิ่ และ ฟงั ก์ชนั ลดของฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล

102 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตวั อยางท่ี 6 จงหาเซตค�ำตอบของสมการ 1 x = 2,048 วธิ ีท�ำ จาก 1 x 2 12 x = 2,048 1 ) 21 x a–n 12 x = 211 x2 === – 21–121111 (an = จะได้ –11 ดังนน้ั เซตค�ำตอบของสมการคอื {–11} วธิ ท​ี ต�ำ ัว อยา งทพใี่ห7จิ  า รณ า​ฟจง กง​หชานั14เซyตx​ค= �ำตอ41บ​ข<xอ งเอปสน ม6ฟก4งากรช ันต​14อ เ​xนอ่ื <งแ6ล4ะเปนฟง กช นั ​ลด wpp (4–1)x < 43 4–x < 43 จะได  –x < 3 x > –3 1 x 1 x ดงั นน้ั ฟ​ ง กช นั y = 4 เปน ฟง กช นั ล​ ดท​ ผ​ี่ า นจ​ดุ (–3, 64) ซง่ึ ฟ​ ง กช นั y = 4 เขียน​กราฟแ​ สดงด​ ังน้ี (–3, 64) 0

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 103 จดะังนพ​ น้ับ​วเาซ ต ​ค�ำ14ตอxบข​<อง6​อ4สมเมก่ือา รx​ ​ค>ือ –3 | x > –3} {x ก ิจกรรมท่ี 4 ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชยี ล 1. จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้ เปน็ ฟังกช์ นั เพิม่ หรือฟังก์ชันลด พร้อมทงั้ เขยี นกราฟ 1) y = 4x wpp2) y = 2x 3

104 สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) y = 22x wpp 4) y = 3 –x 4

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 105 2. จ งหาเซตค�ำตอบของสมการและอสมการตอ่ ไปน้ี 1) 2x = 16 2) 1 x = 614 4 wpp3) 3x = 1 81

106 สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 4) 1 2x = 16 2 wpp 5) 32x = 81 6) 5–2x > 625

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 107 3. จงเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้ 1) y = 3–x + 1 wpp 2) y + 2 = 1 x+1 2

108 สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4. ก �ำหนดให้ f (x) = 3–x และ g (x) = 5x จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ต่อไปนี้ 1) f (4) 2) f (1) + g (2) 3) gf ((53)) 4) (fog) (2) wpp

สอ่ื การเรย� นรู  สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 109 5) (g o f) (3) 2.5 ฟงกช นั ลอการิทึม เนอื่ งจาก นยิ าม ของ ฟงกช ันเ อกซโพเ นน เชียลเขียนอย ู ใน รปู f = {(x, y) ∈ R × R | y = ax, a > 0, a ≠ 1, a ∈ R} จะไดฟ งกช นั ผกผันของฟง กช นั เอกซโ พ เนน เชยี ล เขียนอ ยใู นร ปู f – 1 = {(x, y) ∈ R + × R | x = ay, a > 0, a ≠ 1, a ∈ R} เรยี ก ฟงกช ัน ผกผันดงั ก ลาว วา ฟงกชนั ล อการทิ ึม เขียน y = logax แทน x = a y และ logax อาน วา ลอการทิ มึ เอกซฐ าน เอ หรอื ล็อกเอกซฐ าน เอ wpp บทนิยาม 8 โดยฟทง ี่ กaช เนั ปลน อจกำาานรวทิ นมึ จ รคิงอื ซ ฟ่ึง งaก ช>ัน ท0 ่อี แยลใู ะน รaูป ≠{ (1x, y) ∈ R + × R | y = logax} เ ชน เ ดยี เนวกื่อนังจ ดากงั นคน้ัวสา มมส กมั ารพท ันแี่ ธสร  ดะหงก วาารงเ ทxา กกนับั ข yอ งทจ ่ีเาำ ขนียวนน ใจนร รงิ ปู ก บั xจ =าำ น aวนy ท แเล ี่ ขะยี นy ใ =น ร lปู oเ gลaขxย กมกี คาำวลางัมจ หงึ มอ าายจ เขียนใ น รูปลอการิทมึ ได  เชน 8 = 23 เขยี นในรปู ลอกา รทิ ึม ไดเ ปน 3 = lloogg256825 625 = 54 เขยี นในรูปลอก าริทึม ไดเปน 4 = 9 = 8112 เขยี นในรูปลอกา รทิ ึมไ ดเปน 12 64 = 41 –3 เขียนในรปู ลอกา ริทึม ไดเปน = log819 –3 = log164 4

110 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตัวอยา งที่ 1 จงหาคา่ ลอการทิ มึ จากโจทยต์ อ่ ไปนี้ 1) log216 วิธที �ำ ให้ log216 = x 16 = 2x 24 = 2x 4 = x นัน่ คอื log216 = 4 2) log39 วธิ ที �ำ ให้ log39 = x 9 = 3x wpp 32 = 3x 2 = x นั่นคอื log39 = 2 3 ) lว o ิธ gีท 13�ำ 8ใ1 1ห ้ lo g 31 881111 1 4 = x x 3 = 1 x = 13 3 4 = x นนั่ คือ log31 811 = 4 4) log10 10 วิธที �ำ ให้ log10 10 = x 101021 = 10x 12 = 10x นั่นคือ log10 = x 10 = 12

สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 111 5) log163 36 วิธที �ำ ให้ log13 36 = x 6 1x 3 36 = 16 x 1 61 x (62 ) 3 = 6 1x 6 23 = 6 6–132 = – 23 1x 1 = 6 6 32 wpp – 36 = x 23 น่นั คือ log 16 3 = – 6) log13 93 วิธที �ำ ให้ log133 9 = x 1x 13 x 3 9 = 13 x 9 31 = 31 x 3 (32 ) 1 = 1x 3 3 3 32 = 3–123 = – 23 1x 1 = 3 3 – 23 = x นน่ั คอื log313 9 = – 23

112 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยา งท่ี 2 จงหาคา่ x จากสมการตอ่ ไปน้ี 1 ) lว o ธิ gีท 2 �6ำ 4จ า ก= xl o g 2 6644 = x = 2x 26 = 2x 6 = x น่นั คอื x = 6 จ6า4ก l=o g 23x3 2) logx3 64 = 32x 32 วธิ ที �ำ 36644641331 = x 2 23 = 3 = wpp (x2) 64 = x2 x2 – 64 = 0 x2 – 82 = 0 (x – 8)(x + 8) = 0 x = –8 หรือ 8 แต่ x > 0 นนั่ คอื x = 8 3 ) lว o ธิ gีท 3 �xำ จ า =ก 4 l o g 3xx = 4 = 34 x = 81 นั่นคือ x = 81 1 32 4) logx 5 = วิธีท�ำ จาก logx 1 = 23 5 511521 3 = x 2 = x 32 5– 21 = x23

สือ่ การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 113 (5– 12)23 = (x32)32 5– 13 = x นั่นคือ x = 5– 13 กราฟของฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม เนอื่ งจากฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ เปน็ ฟงั กช์ นั ผกผนั ของฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ล แสดงวา่ กราฟของ ฟังก์ชันลอการิทึมจะสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เม่ือแกนสมมาตรคือเส้นตรง y=x เมอ่ื a > 1 Y y=x y = ax (0, 1) wpp (1, 0) X y = logax เจนมาน่ั ก่อื คก อื ร0าถฟ<า จ​ะxa​ไ1ด<>​ว1า x2เม อ่ืแล​aว > 1loฟgaงกxช 1ัน>ylo=glaoxg2a x เปนฟงกช ันเ​พิม่ y = ax y=x (0, 1) (1, 0) y = logax

114 สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 จขน าอนั่ กส​ค กงัือรเกา ถฟตา จ​ ะxกจ​ไ1ะรดาผ>ว​ฟา า xนข​2เอจม ุดง ่ือแ​ฟ (ลง​01กว, ช< 0นัl)ao gเy<สaม=1xอ1 l o<ฟเพgง lรaกoxาชะg,นัวaa า x y>​l2o=0galแ1oลg=ะa x เปน ฟงกช นั ล​ ด a ≠1 0 สมบตั ทิ ่สี �ำคัญของลอการิทมึ ทฤษฎีบท 7 ให้ a, M, N เป็นจ�ำนวนจรงิ บวกที่ a ≠ 1 และ k เปน็ จ�ำนวนจริง จะไดว้ า่ 1. llooggaa MM​NN==lologgaMaM–+lologgaNaN 2. 3. lllllooooogggggaaaaa1MakMb==k===01lko1​kgll1oboggaaaMM, aเม≠่อื k ≠0 wpp 4. 1 และ a > 0 5. 6. 7. ตวั อยางท่ี 3 จงหาคา่ logax เมอ่ื ก�ำหนด a และ x ใหด้ งั น้ี 1) x = 25, a = 5 วิธีทำ� แทนค​ า x = 25, a==== 5 ล22loงlg​ใoน5g 5 5l2o5gax จะ​ได l og5 25 a==== 2 ––lลo66งgใ​นl2o 2 gl–2o6 g2ax จะ​ได 2 ) ว x ิธ=ีท �ำ 6 1แ4 ท, นal ค​o=าg 2 2 x 614= 614, 3) x = 5 5 , a = 5 วธิ ีท�ำ แทน​คา x = 5 5 ,a= 3232l5o gl oล5gง5ใ​5น325 logax จะ​ได log5 5 5 = = =

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 115 ตัวอยางที่ 4 จง​หาคา ของ log10 25 += logl1o0g210–(l 2o5g51×0 5 วิธี​ท�ำ log10 25 + log10 2 – log10 5 2 ) = l1og10 10 = ตัวอยา งที่ 5 จง​หาคาของ log10 295 + log10 185 – log10 4207 295 × 185 วิธท​ี ำ� log10 295 + log10 185 – log10 2470 = log10 4270 = log10 (295 × 185 × 4270) = log10 1 = 0 wpp ก ิจกรรมที่ 5 ฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ 1. จงเขยี นสมการตอ่ ไปน้ีใหอ้ ย่ใู นรปู ลอการทิ ึม 1) 24 = 16 2) 34 = 81 3) 51 = 5 4) 2–4 = 116 5) 4–3 = 614 2. จ งเขียนสมการตอ่ ไปนใี้ หเ้ ป็นสมการในรปู เลขยกก�ำลัง 1) log10 10 = 1 2) log 21 32 = –5

wpp116 สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) log2 16 = 4 4) log2 8 = 3 5) log3 27 = 3 3. จ งหาคา่ ลอการิทึมจากโจทยต์ ่อไปน้ี 1) log23 2 + log 9 + log10 100 2) log10 0.0001 3) 27 log3 5 4) 21 + log3 22 + log23 5) log 13 81

สือ่ การเร�ยนรู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 117 4. จ งหาคาของ x จากสมการตอ ไปนี้ 1) logx 5 = 2 4) log6 x = 3 2) logx 9 = 12 5) logx x 2 = x 3) logx 27 = 3 6) log3 x = 8 5. จงเขียนกราฟของฟง กชันตอ ไปนี้wpp 1) y = log4 x 2) y = log2 (x – 1) + 1

118 สือ่ การเร�ยนรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 2.6 การหาคา ลอการิทึม ลอการทิ มึ ทใ่ี ชม ากในการคาำ นวณ คอื ลอการทิ มึ สามญั ( common logarithm) เปน ลอการทิ มึ lทlooมี่ ggีฐ าN2น เใปแนนลกสะาิบ รคl oกำาgนาร1ว0เณขNียค นา เลขลอยีอกนกาแารรททิ ิทนมึ มึ ดขสวอายงม จัญlาำ oนนgวิย นมNจเขร ิงยีใบนนาปโงดจจยจาำ ไนุบมวนั มนสีฐอาามานจากหราำถากไใดชับจเ คเาชรกื่อนคง าคlลoาำอนgกว1า0ณร2ทิใ นเมึ ขกทียาที่นรรหแาาทบคนาดขวอยง พจิ ารณาคาลอการทิ ึมของจำานวนจริงบวก สามารถเขียนอยใู นรปู 10n เมื่อ n เปนจาำ นวนเตม็ โดยอาศัยสมบัตขิ องลอการทิ ึมดงั นี้ log 1000 = log 103 = 3 log 10 = 3 log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2 log 10 = 1 log 1 = 0 log 0.1 = log 10–1 = (–1) log 10 = –1 wpp log 0.01 = log 10–2 = (–2) log 10 = –2 log 0.001 = log 10–3 = (–3) log 10 = –3 log 10n = n log 10 = n เม่อื n เปน จาำ นวนเต็ม เ ปน จำานเนวือ่นงเตจาม็ ก จเชาำ นน วนจริงบวก N ใด ๆ สามารถเขยี นในรปู N0 × 10n เม่อื 1 d N0 < 10 และ n 2,400 = 2.4 × 103 0.0018 = 1.8 × 10–3 0.0256 = 2.56 × 10–2 ในการห กาาคราเ ขลียอนก าNรทิ ใึมนข รอปู ง จ Nำา0น ×วน 1จ0รnงิ บ เมาง่อื จ าำ 1น dวน Nไ ด0จ <าก 1ค 0า ล แอลกะา รnิท มึเป ทน่ีทจราำานบว ไดนด เตัง็มน ี้ สามารถ นำาม า ชว ย ตัวอยา งท่ี 1 จง หาคาขอ ง log 4820 และ log 0.482 เมื่อ log 4.82 = 0.6830 วธิ ที ำ� เน่ืองจาก 4820 = 4.82 × 103 จะได  log 4820 = log (4.82 × 103) = log 4.82 + log 103 = 0.6830 + 3 = 3.6830 ดงั น้ัน log 4820 = 3.6830 เน่ืองจาก 0.482 = 4.82 × 10–1

สอื่ การเร�ยนรู  สมบูรณแ บบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 119 จะได  log 0.482 = log (4.82 × 10–1) = log 4.82 + log 10–1 = 0.6830 + (–1) = –0.3170 ดงั นนั้ log 0.482 = –0.3170 จาก ตัวอยา งข างต น เมื่อกำาหนด คาของ N สามารถ หาคา ของ log N ได และถ า ก ำาหนดค าของ log N สามารถห าคา ของ N ได  และเรยี ก N วา แอนตลิ อการทิ มึ (antilogarithm) ของ log N บทนยิ าม 9 A เปน แอนตลิ อการทิ ึมของ B กต็ อเมือ่ B = log A ตวั อยา งที่ 2 กาำ หนดใ ห log 3.68 = 0.5658 และ log N = 2.5658 จงหาคา N วิธีท�ำ จาก log N = 2.5658 wpp = 0.5658 + 2 และ log 3.68 = 0.5658 จะได  log N = log 3.68 + 2 log 10 = log 3.68 + log 102 = log (3.68 × 102) ดังน้นั N = 3.68 × 102 = 368 จะไดวา 368 เปน แอนตลิ อการิทมึ ของ 2.5658 ก ิจกรรมที่ 6 ก�รห�ค�ลอก�ริทึม 1. จงหาคาลอการทิ มึ ของจำานวนทกี่ ำาหนดใหต อไปนเี้ มื่อกาำ หนด log 2.74 = 0.4378, log 5.62 = 0.7497, log 7.85 = 0.8949 และ log 8.79 = 0.9440 1) 2,740 2) 0.0000785

120 ส่อื การเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 3) 56,200 4) 0.000879 2. จงหาคา N จากคา log N ตอไปนีเ้ ม่อื กาำ หนด log 3.21 = 0.5065, log 4.48 = 0.6513, log 7.69 = 0.8859 และ log 9.77 = 0.9899 1) 2.5065 3) 8.8859 wpp 2) 5.6513 4) –4.0101

ส่ือการเรย� นรู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 121 2.7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม ในรปู lใจกoหะาgร ไ aดเปxว ลา ท ย่ี ำานไ ดฐาดนyxงั ขน อ้ี งล==อ การlbทิo ygมึ bจ าxก ฐานหนง่ึ ไปยเงั มอ่อื กี ฐ bาน >ห น0ง่ึ แเชลน ะ ตb อ ง≠ก า1รเปลยี่ น logbx ใหอ ยู ดังนนั้ l og a x === lyll ooo lgggoaaag xbba yb เมือ่ a > 0 และ a ≠ 1 y จะได  นนั่ คอื logb x = l looggaa bx wpp ตัวอยางที่ 1 กำาหน ด l og 3.28 ≈ 0.5159 และ log 2 ≈ 0.3010 จงหาคาของ log2 3.28 วิธีท�ำ log2 3.28 = l og 3.28 0.l5o1g5 92 = 0.3010 ≈ 1.7140 ดงั น้ัน log2 3.28 ประมา ณ 1.7140 ตัวอยางท่ี 2 กำาหนด log2 3 ≈ 1.5850 จงหาคา log4 3 = lloogg2234 วธิ ีท�ำ log4 3 = ll oogg22232 = 2l ologg2322 = 1.5850 2 = 0.7925 ดังนนั้ log4 3 เทา กบั 0.7925

122 ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ลอการิทึม​อีก​ฐาน​หนึ่ง​ท่ี​ใชกัน​มาก คือ ลอการิทึม​ฐาน ​e เม่ือ ​e เปน​สัญลักษณ​แทน​ จำ�นวนอตรรกยะจ​�ำ นวนห​ น่ึง ม​คี าประมาณ 2.7182818 เรียกล​ อการทิ ึมฐ​าน e วา ​ลอการทิ ึม​แบบ​ เนเปยร (Napierian logarithm) หรือลอการิทึมธ​รรมชาติ​ (natural logarithm) ในการ เขียนล​ อการทิ มึ ข​ อง x ฐาน ​e นยิ มเ​ขยี น ln x แทน loge x และอ​ าจหาคา ลอการทิ ึม​ฐาน e โดย อาศัย​ลอการทิ ึมฐ​านสิบไ​ด​ด งั น้ี l​og x loge x = log e หรอื ln x = l​loogg x e แต log e ≈ log 2.7182 (e ≈ 2.7182) ≈ 0.4343 ​log x ดงั น้ัน ln x ≈ 0.4343 wpp หรือ ln x ≈ (2.3026) log x ขอสังเกต ln e = 1 ตัวอยางท่ี 3 ก�ำหนด log e = 0.4343, log 4.8 = 0.6812 และ log 6.95 = 0.8420 จงหาคา ของ ln 48 และ l​n 0.695 วธิ ที ำ� ln 48 = l​loogg4e8 = l​og (4.8 × 10) = ​log 4.8 + log 10 = l​og 4.8 + 1 log e log e log e ≈ 1.6812 0.4343 ≈ 3.8711 ln 0.695 = ​loglo0g.6e95 = l​og (6.95 × 10–1) = ​log 6.95 + log 10–1 log e log e =l​ogl6o.g95e – 1 ≈ 0.8420 – 1 0.4343 ≈ –0.3638

สอื่ การเร�ยนร ู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 123 กิ จกรรมที่ 7 ก�รเปลี่ยนฐ�นของลอก�รทิ ึม 1. จงหาคา จากโจทยตอ ไปนี้ 3) กาำ หนด log 8.12 ≈ 0.9096 และ 1) กาำ หนด log 6 ≈ 0.7785 และ log e ≈ 0.4343 จงหาของ ln 812 log 3 ≈ 0.4771 จงหาคาของ log36 2) กาำ หนด log 5 ≈ 0.6990 และ log 4 4) กาำ หนด log 6.88 ≈ 0.8376 และ wpp ≈ 0.6021 จงหาคาของ log4625 log e ≈ 0.4343 จงหาของ ln 6.88 2. จ งหาคาจากโจทยตอ ไปนี้ 1) กคาาำ ขหอนงด lloogg421122 ≈ 3.5854 จงหา 2) กคาาำ ขหอนงด lloogg25588 ≈ 1.2920 จงหา

124 สอื่ การเรย� นรู  สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 2.8 สมการและอสมการลอการิทึม สมการลอการทิ ึม สมการลอการทิ มึ คอื สมการทม่ี ลี อการทิ มึ ของตวั แปร การแกส มการเพอื่ หาคาำ ตอบของสมการ ลอการทิ ึมทำาไดโ ดยใชสมบตั ติ าง ๆ ของลอการิทมึ ตวั อยา งที่ 1 จงหาคา ของ x จ ากส มการ log x = 4 log 2 + log 25 วธิ ีทาำ log x = 4 log 2 + log 25 = log 24 + log 25 = log (24 × 25) = log 29 = log 512 น่ันคอื = log 512 ดังนน้ั log x = 512 x wpp ตัวอยางที่ 2 จงหาเซตคาำ ตอบของสมการ log (5x + 4) = log (x – 2) + 1 วิธที าำ log (5x + 4) = log (x – 2) + 1 log (5x + 4) – log (x – 2) = 1 log 5xx –+ 24 = log 10 5xx –+ 24 = 10 5x + 4 = 10 x – 20 5x = 24 = 254 x ดงั น้ัน เซตคาำ ตอบของสมกา คือ {254} อสมการลอการทิ ึม อสมการลอการิทึม คือ อสมการท่ีมีลอการิทึมของตัวแปร การแกสมการเพื่อหาคำาตอบของ อสมการลอการิทึมทำาไดโดยใชส มบตั ิตาง ๆ ของลอการิทึม ตวั อยางท่ี 3 จงหาเซตคำาตอบของอสมการ log (x – 2) < 3log 2 + log 5 วธิ ที าำ log (x – 2) < 3log 2 + log 5 จะได log (x – 2) < log 23 + log 5 log (x – 2) < log (23 × 5) log (x – 2) < log 40

ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 125 เนอื่ งจากฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ ฐาน 10 เปน็ ฟงั กช์ นั เพม่ิ และโดเมนของฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ เปน็ เซต ของจ�ำนวนจรงิ บวกจะได้วา่ 0 < x – 2 < 40 2 < x < 42 ดังน้นั เซตค�ำตอบของอสมการคือ (2, 42) ในการหาค�ำตอบของสมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล อาจท�ำได้โดยใช้ลอการิทมึ แสดง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอยา งที่ 4 จงหาคาของ x จาก 2x+1 = 3x–4 ก�ำหนด​ให log 2 ≈ 0.3010 และ log 3 ≈ 0.4771 วธิ ที �ำ 2x+1 = 3x–4 log 2x+1 = log 3x–4 (x + 1) log 2 = (x – 4) log 3 wpp x log 2 + log 2 = x log 3 – 4 log 3 x log 2 – x log 3 = – log 2 – 4 log 3 x log 3 – x log 2 = log 2 + 4 log 3 x (log 3 – log 2) = log 2 + 4 log 3 x = l​ologg23+–4lologg23 ≈ 0.3010 + (4) (0.4771) 0.4771 – 0.3010 ≈ 12.5463 ดังนน้ั x ≈ 12.5463 ตวั อยา งที่ 5 จงหาเซตค�ำตอบของอสมการ 5x > 729 วธิ ที �ำ 5x > 729 5x > 36 เน่อื งจากฟังก์ชนั ลอการิทึมฐาน 5 เป็นฟังกช์ ันเพ่ิมจะไดว้ า่ log5 5x > log5 36 x log5 5 > 6 log5 3 x > 6 log5 3 ดังน้ัน เซตค�ำตอบของอสมการคอื (6 log5 3, ∞)

126 สื่อการเร�ยนร ู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 กิ จกรรมที่ 8 สมก�รและอสมก�รลอก�รทิ มึ 1. จ งหาคา ของ x จากสมการตอไปนี้ 3) log (2x + 1) = log 8 1) log 3x = log 3 + 5 2) log 5x = 2 + log 5 4) log x = 8 log 3 + log 12 wpp 2. จ งหาเซตคาำ ตอบของสมการตอไปนี้ 2) log (2x + 1) = log (x + 1) – 1 1) 3log (x – 2) = log 64

ส่อื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 127 3) log2(log2(log2 x4)) = 2 4) log (x – 2) + log (x + 2) = log (5x + 2) 2. จ งหาค่าของ x จาก 3x–2 = 42 × 4x–5 ก�ำหนดให้ log 3 = 0.4771 และ log 4 = 0.6021 และ log 4.2 = 0.6232 wpp

128 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3. จงหาเซตค�ำตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ 1) log 6 + log (x + 1) > log 8 + log (x – 3) 2) log (5x + 7) < 3log 6 3) 42x d 64 wpp

สื่อการเรย� นร ู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 129 4) 25x – 5x + 9 > 0 2.9 การประยกุ ตข องฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ลและฟง กช นั ลอการทิ มึ การเรยี นเรอ่ื งฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ลและฟง กช นั ลอการทิ มึ สามารถนาำ ไปประยกุ ตใ ชใ นสาขา wppวิชาอ่ืน ๆ เชน ความดงั หรือระดบั ความเขมของเสียง เม่ือเสียงมีความเขมมากจะมีพลังงานมาก ยอมทำาใหเกิดเสียงดังมาก ความเขมของเสียงสูง ที่สุดท่ีหขู องคนปกตทิ นได มีคา 1 วตั ตตอ ตารางเมตร ความเขม ของเสียงต่าำ ทสี่ ุดทีห่ ขู องคนปกติเร่มิ ไดย นิ มคี า 10–12 วัตตต อ ตารางเมตร ความเขมของเสียงดังกลาวจะเห็นไดวามีชวงกวางถึง 1012 วัตตตอตารางเมตร ถาความเขม ของเสยี งมีคา 10–9 วตั ตตอ ตารางเมตร เมือ่ เพิม่ ความเขม ของเสียงอีก 1,000 เทา ซ่งึ นาจะเสยี งดัง เพม่ิ ขึน้ มาก แตร ะดับความเขม ของเสยี งเทากบั 10–9 × 1000 = 10–6 วัตตต อ ตารางเมตร เปน ระดับ เสียงทคี่ นพดู คุยกัน เราจะเห็นไดวาขณะท่ีความเขมของเสียงเพิ่มขึ้น ความดังของเสียงจะเพิ่มขึ้นเพียงเล็กนอย เทา นนั้ ลกั ษณะการเปลย่ี นแปลงเชน นม้ี ลี กั ษณะคลา ยกบั การเปลยี่ นแปลงของคา ลอการทิ มึ ถา กาำ หนด ใหความเขมของเสยี งต่าำ ท่ีสดุ ทห่ี ูของคนทัว่ ไปเรมิ่ ไดยนิ คือ 10–12 วัตตตอตารางเมตร เปนหน่งึ หนวย ของระดับความเขมของเสียง เขียนสมการของความดังหรือระดับความเขมของเสียงสัมพันธกับ ความเขมของเสียงทหี่ ขู องคนปกติเร่มิ ไดยินไดดงั น้ี β = 10 log I I0 เมื่อ β แทน ระดับค วามเขมของเสียง มหี นว ย เปน เดซเิ บล I แทน ความเขม ของเสียงท่ ตี อ งการไ ดยนิ I 0 แทน ความเขมของเสียงท่ีหู ของคน ปกติ เร่ิม ไดยิน ซ่ึง เทากับ 10–12 วัตต ตอ ตา รางเ มตร

130 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตวั อยา งที่ 1 ชายคน​หนงึ่ ​ไดย นิ ​เสยี ง​จาก​แหลง ก�ำเนดิ ​เสยี ง​ม​ีความเขม ของเสยี งเทา กบั 10–5 วตั ตต​ อ ตา​ราง​เมตร ​ชายคนนไ​ี้ ดยิน​เสียงกี่เดซเิ บล 10–5 วิธีท�ำ จาก β = 10 log 10–12 = 10 log 107 = (10) (7) = 70 เดซเิ​บล ดังนน้ั ชายคนนี้ไ​ดย นิ ​เสยี ง​เทา กบั 70 เดซิเบล ระดับค​ วามเปนกรด–​ ดา งของส​ ารละลาย pH (power of Hydrogenion) เปนคาที่​ใชบอก​ความเขมขน​ของสารละลาย​โดย​ใช ​ ความ​สมั พนั ธ​ดงั นี้ pH = – log [H +] เม่ือ pH แทน ระดับค​ วามเปน กรด–​ ดา งของสารละลาย [H +] แทน ค​ วามเขม ขน ข​ องป​ ระจุไฮโดรเจน​ในส​ ารละลาย 1 ลิตร มีหนวย​เปนโมล ชว ง​ของ pH จะ​ม​คี าอ​ ยร​ู ะหวา ง 0–14 โดย​กำ�หนด​ดงั นี้ wpp pH < 7 แสดงว​ า ​สารละลายม​ ี​ความเปนกรด ห​ รือ [H +] > 10–7 โมล pH =​ 7 แสดงว​ า ส​ ารละลายม​ ี​ความเปนกลาง ​หรอื [H +] ​= 10–7 โมล pH > 7 แสดงว​ าส​ ารละลาย​มี​ความเปน ดาง ​หรือ [H +] < 10–7 โมล ตัวอยางที่ 2 ใในนส​​สาารรลละะลลาายย​ก​กรรดด​ไน​ไนททร​กิริ​ก(H1NลOติ 3ร) 1 ลติ ร มค​ี วามเขม ขน ​ของ​ประจไุ ฮโดรเจน​ เทา กับ 0.004 โมล จง​หาคา pH ของ สารละลายก​ รดไ​นทรก​ิ (ก�ำหนดให้ log 4 = 0.6020) วิธที �ำ จาก pH = – log [H +] = – log 0.004 = – log (4 × 10–3) = – (log 4 + log 10–3) = – log 4​ – log 10–3 = – log 4 + 3 = – 0.6020 + 3 = 2.398 ดังนนั้ สารละลาย​กรดไ​นทร​กิ มคี​ า pH เทากบั 2.398 ตวั อยา งที่ 3 ถา คา pH ของสารละลาย​ชนิด​หน่งึ ​เทากับ 8.4 จง​หาความ​เขม ขน ​ของ​ประจุ ไฮโดรเจนใ​น​สารละลาย 1 ลิตร (ก�ำหนดให้ log 3.98 ≈ 0.6) วิธีทำ� จาก pH = – log [H +]​ 8.4 = – log [H +] –8.4 = log [H +]

สื่อการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 131 10–8.4 = [H +] ท�ำ 10–8.4 ให้เปน็ 10–9 จะได้ [H +] ≈ 3.98 × 10–9 โมล ดังนัน้ ​ความเขม ข้นของ​ประจุไฮโดรเจน​ใน​สารละลาย 1 ลติ ร​เทากับ 3.98 × 10–9 โมล เรอ่ื งน่ารู้... ในร​า งกาย​ของสงิ่ ม​ ชี วี ิตพบว​ า​สารละลาย​มคี​ า pH ไดห ลาย​คา ขึ้นอ​ ยกู ับ​หนาท​ขี่ องอ​ วยั วะข​ องรางกาย​ น้ัน ๆ เชน นำ้�ยอ ย​ในกระเพาะ​อาหารใ​ช​ย อ ยเ​ฉพาะ​โปรตนี มี pH ≈ 1–2, น�้ำ ลายมี pH ≈ 6.5–7.4 จะเห็น​ ได​วา​ใน​รางกาย​จะ​มี​สารละลาย​ท่ี​เปน​ท้ัง​กรด​และ​ดาง นอกจาก​น้ี​ส่ิงแวดลอม​รอบ​ตัวเรายัง​เก่ียวของ​กับ​ความ เปนกรด​และด​ าง ​เชน ​สบู ผงซกั ฟอก เครอื่ งล​ างสขุ ภัณฑ​ตาง ๆ มค​ี วามเปน​ดาง การสลายตวั ของสารกัมมันตภาพรังสี การสลายตวั ของสารกมั มนั ตภาพรงั สี ถา้ ตอ้ งการบอกวา่ สารกมั มนั ตภาพรงั สสี ลายตวั เมอ่ื ไรนนั้ ไมส่ ามารถบอกได้ แต่บอกได้เพียงความน่าจะเปน็ ทส่ี ารกัมมันตภาพรังสีจะสลายตัวในชว่ งเวลาหน่ึง wppเท่านัน้ N =N2n0 เม่อื N คอื ปรมิ าณ​ของสารก​ มั มันตภาพรังส​ที เ​ี่ หลืออยู Nn 0 คอื ปริมาณ​ของสาร​กัมมนั ตภาพรงั ส​เี ดิม​เมือ่ แ​ รก​เร่ิม t คอื ตวั เลขแ​ สดง​จ�ำ นวน​ชวงค​ รึง่ ช​ ีวิต​ของสาร​กมั มนั ตภาพรังสี โดย n = Tt คือ เวลาก​ ารส​ ลายต​ วั ข​ องสารก​ ัมมันตภาพรังสี T คือ ครึ่งช​ ีวติ ​ของสารก​ ัมมันตภาพรงั สี ตัวอยา งที่ 4 ครงึ่ ชวี ติ ​ของธ​าต​ทุ องค�ำเทา กบั 2.7 วนั จงห​ า​ปรมิ าณข​ อง​ธาต​ทุ องค�ำท​ สี่ ลายต​ วั ไปวา ​เปนก​เี่ ทา ​ของป​ รมิ าณ​ของ​ธาตท​ุ องค�ำเดมิ ​เมือ่ ​เวลาผ่าน​ไป 5.4 วัน วธิ ที �ำ n คอื ตัวเลขแ​ สดงจ​�ำ นวน​คร่งึ ​ชวี ิต​ของสารก​ มั มนั ตภาพรงั สี n = Tt = 52..74 จาก N = 2 == N22Nn200 แปสริมดางณ​วาข องขป​ธอารติมงป​​ทุาณร อมิ งข​คาอ=ณ�ำ ง ​ท ​ข​ธN่สีาอ4ตลง0ท​ุธ​ายาอตต​ง​ทุ​คัวอำ�ไป​ทงค​เสี่ ท�ำลาเาดกยมิับต​ วัNไป0 ​เ–ปน N4043 = 43N0 เทา​

132 สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 เร่ืองน่าร.ู้ .. การ​หาอ​ายขุ อง​ฟอสซิล ซากฟอสซลิ ถกู คน้ พบมากมายในปจั จบุ นั ทง้ั ฟอสซลิ ของพชื และสตั ว์ มกี ารพบหลายบรเิ วณและชนั้ ดนิ ระดับตา่ ง ๆ ต�ำแหนง่ และระดับของชัน้ หินที่พบฟอสซิลสามารถท�ำให้เราบอกอายุครา่ ว ๆ ของฟอสซลิ นน้ั ได้ แตถ่ า้ เราตอ้ งการทราบอายฟุ อสซลิ ทล่ี ะเอยี ดและคอ่ นขา้ งถกู ตอ้ งแนน่ อนเราสามารถหาไดโ้ ดยใชเ้ ทคนคิ ทเี่ รยี ก วา่ “การหาอายุโดยคาร์บอนรังส”ี วิธกี าร คือ น�ำตัวอยา่ งเพยี งเล็กน้อยของฟอสซิลมาท�ำการหาไอโซโทป กัมมันตภาพรังสีของธาตุคาร์บอน –14 จากอากาศระหว่างท่ีสงั เคราะหแ์ สง เมื่อสัตว์กนิ พืช สัตว์จะได้รบั สาร น้ันด้วย ดงั นนั้ ทง้ั สัตวแ์ ละพืชจะมีคาร์บอน –14 อยู่ เมอื่ พืชและสัตว์ตายส่วนทเ่ี กบ็ คารบ์ อน –14 จะลดลง โดยจะลดลงครึง่ หนึง่ ของมวลในเวลา 5,730 ปี ชว่ งเวลาน้ีเรยี กวา่ “ครึง่ ชวี ิต” ครงึ่ ชวี ิต (half life) เวลาครงึ่ ชวี ติ คอื เวลาทส่ี ารนน้ั ใชใ้ นการสลายตวั ไปจนเหลอื ครงึ่ หนงึ่ ของปรมิ าณเดมิ ครง่ึ ชวี ติ สามารถ ใชห้ าอายขุ องวตั ถโุ บราณทม่ี ธี าตคุ ารบ์ อนเปน็ องคป์ ระกอบ เรยี กวา่ วธิ ี radiocarbon datingหรอื จะใชค้ �ำยอ่ วา่ dating คือ การหาอายุของวตั ถโุ บราณท่ีมีคณุ ค่าทางประวัติศาสตร์ wppก ิ 9จกรรมที่ การประยุกตข์ องฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟงั กช์ ันลอการทิ มึ จงแสดงวิธีท�ำ 1) เด็กคนหน่ึงได้ยินเสียงกร่ิงมีความเข้มของเสียงเท่ากับ 10–9 วัตต์ต่อตารางเมตร เด็กคนน ี้ ได้ยนิ เสียงกรงิ่ กีเ่ ดซิเบล 2) สา ธิตยืนอ ยู่ในพ้ืนท่ีหน่ึงและได้ยินเสียงท่ีกระจายมาจากล�ำโพงตัวหน่ึง มีความเข้มของเสียง 10–8 วตั ตต์ อ่ ตารางเมตร สาธติ ได้ยนิ เสียงล�ำโพงก่เี ดซิเบล

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 133 3) ถ้าคา่ pH ของน�้ำลายเทา่ กบั 7.2 จงหาความเขม้ ข้นของประจุไฮโดรเจนในน้ำ� ลาย (ก�ำหนดให้ log 6.31 ≈ 0.8) 4) ในสารละลายกรดไฮโดรคลอริก 1 ลติ ร มคี วามเขม้ ขน้ ของประจุไฮโดรเจนเทา่ กับ 0.0625 โมล จงหาค่า pH ของสารละลายกรดไฮโดรคลอรกิ (ก�ำหนดให้ log 6.25 ≈ 0.7959) 5) ถ้าสารกัมมนั ตภาพรังสีชนดิ หนึ่งมปี รมิ าตร 1,000 มิลลกิ รัม สลายตัวเหลอื อยู่ 850 มิลลกิ รมั ในเวลา 72 ชวั่ โมง จงหาครง่ึ ชวี ติ ของสารกมั มนั ตภาพรงั สชี นดิ นี้ (ก�ำหนดให้ log 1.7 ≈ 0.2304, log 2 ≈ 0.3010) wpp

134 ส่อื การเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 บทสรุปหนว‹ ยการเรย� นรทูŒ ี่ 2 สมบตั ข ิ องเลขยกกำ�ลงั ท่มี ีเลขชี้กำ�ลงั เ ป็นจ�ำ นวนตรรกยะ ให a, b เปน จำานวนจรงิ ท่ไี มเ ปน 0 และ m , n เปนจาำ นวนเตม็ จ ะ ได 1. am • an = a m + n 2. (am)n = a mn 345 ... aa(( baa nmb) n) n == aba1 nnn • bn = a a mn1 –– nm เมอ่ื b ≠ 0 เมือ่ m = n เมือ่ m > n เมื่อ m < n ค�หลักข องร�ก ท่ี n ของ x ให  x และ y เปน จาำ นวนจรงิ และ n เปน จาำ นวนเตม็ ทมี่ ากกวา 1 y เปน คา หลกั ของรากท ่ี n ของ x กต็ อ เมอื่ 1. y เปนร าก ที่ n ของ xwpp 2คา. หyลxัก cข อ 0งร ากท ี่ n ของ x เขยี น แทนดวย n x ฟังก์ชันเ อกซโ์ พเ นน เชียล ฟง กชันเ อกซโ พเ นน เชียล คอื ฟ ง กช นั ท่ีอยใู นรปู {(x, y) ∈ R × R | y = ax} โดยท ่ี a เปน จาำ นวนจริง ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 เรยี ก a วา ฐาน มี 2 กรณ ี คอื 0 < a < 1 และ a > 1 ลกั ษDณf ะ ข=อ งRก ร าแฟล ขะอ ง Rฟ งf ก =ช นั เ Rอ ก+ ซโพเ นนเ ชยี ลมี 2 แบบ คอื ถา a > 1 แลว f เปน ฟงกชันเ พมิ่ ถา 0 < a < 1 แลว f เปนฟงกช ันล ด แสดงว า m > n แลว am > an แสดง วา m > n แลว am < an (0, 1) (0, 1) จะเหน็ วา กราฟของฟงกชันเอกซโ พเนนเชียลผานจุด (0, 1) เสมอ ฟงกชนั เอกซโพเนนเชียลเปนฟง กช ัน 1–1 จาก R ไปทว่ั ถงึ R+ จะไดว า am = an กต็ อเมอ่ื m = n ฟังก์ชันลอก� ร ทิ มึ ฟง กชันลอการิทมึ คือ ฟงกชันทอ่ี ยใู นรปู {x, y) ∈ R + × R | y = logax} โดยท่ ี a เปนจำานวนจริง ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1

สอ่ื การเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 135 เปนฟง กชันผ กผนั ของฟ ง กช นั เ อกซโ พ เนนเ ชีย ล lเกขoรยีgาDนฟ a ขfx yอ= อง = ฟRา นlง +oก ว g าชแ aันล ลล xอะอ ก แก าทRรานริทf ทิ ึม=x มึ เ อR ม=ก ี 2ซa ฐ แyา บน แบเ อล ค ะหอื รือ ลอ็ กเอกซฐาน เอ เถปาน aฟ ง>ก ช1นั แเ พลวิ่ม ฟแงสกดช งนัว า y = loga x เถปาน 0ฟ ง<ก ชaนั <ล ด1 แแสลดวง วฟา งกช ัน y = loga x ถา m > n แลว loga m > loga n ถา m > n แลว loga m < loga n O (1, 0) (1, 0) O wpp จะเหน็ วา กราฟข อง ฟงกชันลอการิทึมผา น จดุ (1, 0) เสมอ ฟง กช นั ลอการิทึม เปน ฟง กชนั 1–1 จาก R + ไปท ่วั ถงึ R loga m = loga n ก็ตอ เ ม่อื m = n กิจกรรมเสนอแนะ ใหนกั เรยี นบันทกึ อัตราดอกเบ้ยี เงนิ ฝากประจาำ 3 เดอื น 6 เดือน และ 1 ปจ ากธนาคารตา ง ๆ แลวคำานวณหาดอกเบ้ยี เงนิ ฝากแตล ะประเภทเมือ่ ฝากเงนิ ครบเปนเวลา 1 ป วา นักเรียนควรตดั สินใจ ฝากเงนิ ประจาำ ประเภทใดจึงจะไดด อกเบีย้ มากท่ีสุด พรอ มทัง้ ใหเ หตผุ ล บนั ทกึ การเร�ยนรู้ เขียนสรปุ คว�มรู คว�มคดิ และผลก�รปฏบิ ัติกจิ กรรมลงในชองว� ง ความรŒูใหมท‹ ี่ไดจŒ ากบทเรย� น ผลงานที่พอใจ กจิ กรรมท่ชี อบ เรอ่� งท่ีไมเ‹ ขาŒ ใจ ประโยชนจ ากการเร�ยนเร่อ� งน้ี ฟงั กช์ นั เอกซ์ โพเนนเชยี ลและ ฟงั กช์ นั ลอก�รทิ มึ

136 ส่อื การเรย� นร ู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 2แบบทดสอบหนว ยการเร�ยนรทู ่ี ฟงกช ันเอกซโพเนนเชียลและฟงกช นั ลอการิทึม ดา้ นความรู้ คำช แ้ี จง จงเขียนเครอ่ื งหมาย 5 ทบั ตวั อกั ษรหนา คำตอบทีถ่ ูกตอ ง 1. 3 72 + 7 3 9 – 3 1,125 เขยี นในรูปอยา งงายไดตรงกบั ขอใด ก 33 3 ค 93 3 ข 43 9 ง 113 9 (81) 61 (648) 31 2. (512) 61 เขียนในรูปอยางงา ยไดตรงกับขอใด wpp ก 53 2 ค 73 3 4 4 กข ำาห9น2ด2ให  log 3.36 ≈ 0.5263 และ loงg N1 1=2 32. 5 2 63 แลว N มีคา ประมาณเทาไร 3. ค 33,600 ก 336 ข 3,360 ง 336,000 4. กาำ หนด ให l og 4.25 ≈ 0.6284 และ log 6 ≈ 0.7782 แลว log6 42.5 มีคา ประมาณ เทาไร ก 2.0688 ค 3.0688 ข 2.0925 ง 3.0925 5. กกำา ห1น.0ด5ให6 6l og2 9 ≈ 3.1699 แลว log8ค 9 2ม.0คี า5ป6ร6ะ ม า ณ เ ท า ไ ร ง 2.0878 ข 1.0878 6. ขอใดไมถูกตอ ง ก lloogg92 32 +2 l o+g l9o 2g48 34 == 31 63 ค lloogg26 211962 –– lloogg26 6 6= =5 31 ข ง 7. เซตคาำ ตอบของ x – 5 = 3x + 11 เทา กับขอใด ก {6} ค {–8} ข {18} ง {–12}

สอ่ื การเรย� นร ู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 137 27 x = 4 5 8 . เซขกต ค{{าำ 7398ตอ}}บ ของ 64 3 2 เทากับขอ คงใ ด{{–– 3645 } } 9. เซตคำาตอบของ 52x – 12 = 4 • 5x เทากบั ขอใด ก {{lloogg45 36}} ค {{lloogg35 57}} ข ง 10. เซตคาำ ตอบของ 49x + 2 • 7x < 15 เทา กบั ขอใด ก ((–– ∞∞,, lloogg77 53)) ค ((–– ∞∞,, lloogg33 75)) ข ง 11. เอกเปด เครอื่ งดดู ฝนุ มคี วามเขม ของเสยี ง 10–5 วตั ตต อ ตารางเมตร เอกจะไดย นิ เสยี งจากเครอ่ื ง ดดู ฝุนกี่เดซเิ บล ก 60 เดซิเบล wpp ค 80 เดซิเบล ข 70 เดซเิ บล ง 90 เดซิเบล 12. ความเขมขนของประจุไฮโดรเจนในสารละลายกรดอะซิติก 1 ลิตร เทากับ 0.0055 โมล คา pH ของสารละลายกรดอะซติ ิกเทากับขอ ใด (กาำ หนดให  log 5.5 ≈ 0.7404) ก 1.2788 ค 2.2596 ข 1.5344 ง 2.5462 13. ในสารละลายกรดไนทริก 0.5 ลิตร มีความเขมขนของประจุไฮโดรเจนเทากับ 0.0142 โมล คา pH ของสารละลายกรดไนทรกิ เทากับขอ ใด (กำาหนดให log 2.84 ≈ 0.4533) ก 1.2782 ค 2.2786 ข 1.5467 ง 2.5464 14. คร่ึงชีวิตของธาตุฟอสฟอรัส–32 เทากับ 14.3 วัน จงหาปริมาณของธาตุฟอสฟอรัส–32 ท่ี ขสก ลา3458ย ตเเวัททไาาป เปน ก่เี ทาของปริมาณของธาตุฟองคส ฟ1784อ รเเสั ทท–าา 3 2 เ ม อ่ื เ ว ล า ผ า น ไ ป 4 2 . 9 วนั 15. ธาตชุ นดิ หนึ่งมมี วล 50 กรมั สลายตัวเหลืออย ู 40 กรมั ในเวลา 4 วัน ถา ตอ งการใหธาตนุ ้ ี สลายตัวเหลอื เพยี ง 32 กรมั จะตองใชเวลากี่วนั ก 5 วนั ค 7 วัน ข 6 วนั ง 8 วนั

138 สือ่ การเร�ยนร ู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ สาํ หรบั ครู สังเกตพฤติกรรม/ผลการทาำ งานตามใบกจิ กรรมประกอบการพจิ ารณา ร�ยก�รประเมิน คว�มส�ม�รถของนกั เรียน คะแนน 321 เลอื กใชวธิ ีการทีเ่ หมาะสมในการแกปญหา คาำ นวณคาำ ตอบ และอธบิ ายเหตผุ ล 1. ก�ร แก ปญั ห� ได 2. ก �ร ให เหตุ ผล สรุปผลและบอกเหตุผลประกอบได 3. ก�ร สอ่ื ค ว�ม หม�ย ใชภ าษา สัญลกั ษณทางคณิตศาสตรแ สดงความหมายและนำาเสนอขอ มูลตาม และก �รน�ำ เสนอ ลำาดบั ขนั้ ตอน โดยใชกราฟ แผนภูมิ หรือตารางประกอบ นาำ หลักการ วิธีการทางคณติ ศาสตรไ ปใชในการเรยี นสาระอนื่ และประยุกตใ ชใ น 4. การ เชอ่ื มโ ยง ชวี ติ ประจาำ วัน 5. ความคิด ริเริ่ม เสนอแนวคิด/วิธกี ารใหม  ๆ ในการทาำ กจิ กรรมคณติ ศาสตรใหสำาเรจ็ และถูกตอ ง สราŒ งสรรค wpp ระดับคุณภ�พ 3 = ดีมาก, ดี 2 = พอใช  1 = ควรปรับปรุง ค ะแนน ทไ่ี ด คะแนน เฉล่ย ี ดา้ นคณุ ธรรม จร�ยธรรม และค่านิยม สําหรับครู สงั เกตพฤติกรรม/ผลการทำางาน/อุปนสิ ยั ร�ยก�รประเมนิ คว�มส�ม�รถของนกั เรยี น คะแนน 321 1. ก�ร ทำ� ง�น เปน็ ระบบ รอบคอบ วางแผนการทาำ งานตามขัน้ ตอน เรียงตามลาำ ดบั ความสำาคัญ 2. ม ีระเบยี บวนิ ยั ทาำ งานสะอาดเรยี บรอยเปนไปตามขอตกลงทีก่ ลมุ กำาหนด 3. มคี ว�มรับผิดชอบ สง งานกอ นกาำ หนด หรือตรงเวลา และแนะนำาผูอ ืน่ ใหป ฏบิ ตั ิงาน 4. ม ี วจิ ารณญาณ มีการประมาณคาำ ตอบ ตรวจสอบ ซักถามในสิง่ ทส่ี งสัย รูจกั เลือกทาำ กิจกรรม คณิตศาสตรจากหนงั สอื เลม อน่ื และคอมพวิ เตอร 5. มีคว�มเชอ่ื มน่ั ในต น เอง รว มทำากจิ กรรมคณติ ศาสตรไดรวดเร็ว รวมอภปิ รายแสดงความคิดเหน็ เสมอ 6. ตระหนัก ในค ณุ ค� สนใจใฝห าความรูทางคณิตศาสตร  เตม็ ใจรวมทาำ กจิ กรรม และเรยี นอยางมี และม ีเจตคติ ท่ดี ี ความสขุ ตอ คณติ ศ�สตร์ ระดับคุณภ�พ 3 = ดมี าก, ด ี 2 = พอใช 1 = ควรปรบั ปรุง ค ะแนนท ีไ่ ด คะแนน เฉล่ี ย สรุป ด�นคว�มรู ด�นทักษะ/กระบวนก�ร คณุ ธรรม จรยิ ธรรม และค�นยิ ม คะแนนรวม คะแนน

เรขาคณิตวเ� คราะห หนวยการเร�ยนรทู ี่ ผลการเรย� นรู้ 3 1. เขา ใจและใชค วามรเู ก่ียวกับเรขาคณิตวิเคราะหใ์ นการแกป ญ หา สาระการเรย� นรู้ wpp ความรูเบือ้ งตน เกยี่ วกบั เรขาคณิตวเิ คราะห์ เรขาคณิตวเ� คราะห ภาคตดั กรวย ประโยชนจ ากการเรย� นรู้ คาํ สาํ คัญ ใชเ ปนพนื้ ฐานการเรยี นคณติ ศาสตรช์ ้นั สงู • ภาคตดั กรวย • พาราโบลา • วงกลม • ไฮเพอร์โบลา • วงรี เรขาคณิตและเรขาคณติ วิเคราะหแ์ ตกตางกันอยา งไร

2 สอ่ื การเร�ยนร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิ่มเติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 ทบทวนความรเŒู ดมิ ระบบพิกัดฉ�ก เปนระบบที่ก�าหนดข้ึนใน Y ระนาบ โดยใชเ สน จา� นวนในแนวนอนเรยี กวา แกน 4 X และในแนวต้ัง เรียกวา แกน Y ซ่งึ แกน X และ ควอดรนั ตท์ ี่ 2 3 ควอดรนั ต์ที่ 1 Y ดงั กลา วตดั กนั เปนมุมฉากที่จุด O เรียกวา จดุ (–, +) (+, +) กา� เนดิ คาบนแกน X จากจุดกา� เนดิ ไปทางขวามีคา 2 (จตภุ าคที่ 1) เปนบวก ไปทางซายมคี า เปน ลบคา บนแกน Y จาก (จตภุ าคท่ี 2) 1X จุดก�าเนิดข้ึนไปทางดานบนของแกน X มีคาเปน บวก ลงไปทางดา นลา งของแกน X มคี า เปน ลบแกน –4 –3 –2 –1 0 –1 1 2 34 X และ Y จะแบง ระนาบออกเปน 4 สว น เรยี กวา ควอดรันตท์ ่ี 3 –2 ควอดรนั ตท์ ่ี 4 4 ควอดรันต์ (Quadrant) หรือ 4จตุภาค แตใ นที่ (–, –) –3 น้จี ะใชค�าวา ควอดรนั ต์แทนจตุภาค ดงั รูป (จตภุ าคท่ี 3) (+, –) –4 (จตภุ าคท่ี 4) เนอื้ หาใหมwpp 3.1 ความรูเบือ้ งตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห 3.1.1 ระยะห‹างระหวา‹ งจดุ สองจดุ Y B (x2, y1) สBหถคือาญัรือ(Aลคxัก|B2าx,สษ2yัมอณ–1บยท์)ูใูรxีใ่ นรณช1ะร|ค์ขยะืออะนงหา|ผAบาลงจBรตา� ะนา|หงวหรวนะราทหอืงี่วAAAา งBแ(xxล=11ะ,แ|yBxล11ะ)–แxxล22ะ| A (x1, y1) X O ก�รห�ระยะห�่ งระหว่�งจดุ สองจดุ ในระน�บ ม ี 3 ลักษณะ ลักษณะที่ 1 AB ขนานกับแกน Y Y y1 A (x1, y1) แลรหะตกัรยอืคษะาณ|หขyะอา2นงงร–ี้คะyาyห1ข1วอแ|างลงะxA1yBแ2 ลต=ะาง|xyก21ันไ–มyต 2า |งกัน OX y2 B (x1, y2)

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3 ลกั ษณะที่ 2 AB ขนานกับแกน Y Y B (x2, y2) ลแรหะตกัรยือคษะาณ|หขyะอา2นงงร–ี้คะyา yห1ข1วอแ|างลงะxA1yBแ2 ลต=ะา ง|xyก21นั ไ–มyต่ 2า|งกนั A (x1, y1O) C (x2, y1) X ลกั ษณะท่ี 3 AB ไมขนานกบั แกน X และแกน Y Y B (x2, y2) ใคลหักาใษชyณท1ะฤนแษ้ีคลฎา ะีขบอทyงป2xท1ตาโาแกงลกระัสันxด2เวนตยื่อา งงกกจานัารกหาAระBยCะ wppA (x1, y1O) AB C (x2, y1) เปน X สามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น จึงสามารถใชทฤษฎี บทปทาโกรัสหาระยะ AB ได จากทฤษฎีบทปทาโกรสั จะได AB2 = AC 2 + BC 2 แต AC = (x1 – x2)2 = |x1 – x2| และ BC = (y1 – y2)2 = |y1 – y2| ดงั น้ัน AB = |x – x2|2 + |y – y2|2 = (x – x2)2 + (y – y2)2 สำ� หรบั การหาระยะหางระหวา งจดุ สองจุด ในระนาบลกั ษณะที่ 3 น้ี สามารถใชไ ดทุกลกั ษณะ ไมว า จะเปนลักษณะที่ 1 (ขนานกับแกน X) หรือลกั ษณะท่ี 2 (ขนานกับแกน Y) ดังนี้ ลกั ษณะที่ 1 (ขนานแกน X) AB = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = |x1 – x2| เนือ่ งจาก y1 = y2 จะได y1 – y2 = 0 ลักษณะท่ี 2 (ขนานแกน Y) AB = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = |y1 – y2| เนอื่ งจาก x1 = x2 จะได x1 – x2 = 0

4 ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ทฤษฎีบท 1 ไถดา ดAงั น(้ี x1, y1) และ B (x2, y2) เปน จดุ สองจดุ หาระยะหา งระหวาง A และ B AB = (x – x2)2 + (y – y2)2 ตัวอยา งท่ี 1 ให A (3, 3) และ B (–4, 3) เปน จดุ สองจดุ บนระนาบ จงหาระยะหา งระหวา ง จุด A และ B วธิ ีทำ� จาก A (3, 3) และ B (–4, 3) สรา งกราฟ Y B (–4, 3) 4 A (3, 3) 3 2 1 B′(–4, 0) O A′(3, 0X) –4 –3 –2 –1 1 3 4 wpp 2 ลากเสน AA′ และ BB′ ตั้งฉากกบั แกน X ที่จุด A′ และ B′ ตามลำ� ดบั น่ันคือ จุด A′ (3, 0) และจดุ B′ (–4, 0) ตามลำ� ดบั AA′B′B เปนรปู สีเ่ หลย่ี มดานขนาน ดงั นน้ั AB = A′B′ และ A′ และ B′ อยู่บนแกน X A′B′ = |3 – (–4)| = |–7| = 7 ดังน้นั AB = 7 ตัวอยา งที่ 2 ให A (2, 5) และ B (2, –3) เปน จดุ สองจดุ บนระนาบ จงหาระยะหา งระหวา ง จุด A และ B วิธีท�ำ จาก A (2, 5) และ B (2, –3) สรา งกราฟ Y –3 –2 5 A′(0, 5) A (2, 5) ลากเสน AA′ และ BB′ ตัง้ ฉากกับแกน Y ที่ 4 จดุ A′ และ B′ ตามลำ� ดับ 3 นั่นคือ จุด A′ (0, 5) และจดุ B′ (0, –3) 2 ตามลำ� ดับ 1 AA′B′B เปน รูปสี่เหลย่ี มดานขนาน –1 –O1 1 2 3 4 X ดังน้ัน AB = A′B′ และ A′ และ B′ อยู่บน แกน Y –2 A′B′ = | 5 – (–3) | = 8 –3 B′(0, –3)B (2, –3) ดังนัน้ AB = 8

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 5 ตัวอยางท่ี 3 จงหาระยะหา งระหวา งจดุ A (2, –1) กับ B (5, –5) วธิ ที �ำ จากสูตร AB = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 Y X แทนคา AB = (2 – 5)2 + (–1 – (–5))2 O 2 A(2, –15) AB = (–3)2 + (4)2 AB = 9 + 6 = 25 –5 C(2, –5) B(5, –5) ดงั นัน้ AB = 5 ตัวอยางที่ 4 ให A (–4, 3), B (–1, 2) และ C (2, 11) เปน จดุ ยอดมมุ ของสามเหลย่ี ม ABC จงแสดงวา ∆ ABC เปน็ ∆ มมุ ฉาก วธิ ที �ำ ABC เปน็ รปู ∆ ท่ีมีจุดยอดอยูท่ ี่ A (–4, 3), B (–1, 2) และ C (2, 11) ตามล�ำดับ เพราะว่าระยะห่างระหว่างจุดสองจุด = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 AB = (–4 –(–1)2 + (3 – 2)2 wpp = (–3)2 + 12 = 9 + 1 = 10 BC = (–1 – 2)2 + (2 – 11)2 = (–3)2 + (–9)2 = 9 + 81 = 90 CA = (2 – (–4))2 + (11 – 3)2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 รปู ∆ ABC มี AB = 10, BC = 90, CA = 100 และ CA2 = AB 2 + BC 2 ดังนั้น ∆ ABC เปน็ ∆ มุมฉาก จะได้ A (–4, 3), B (–1, 2) และ C (2, 11) เปน็ จุดยอดมมุ ของ ∆ มมุ ฉาก

6 สื่อการเรย� นร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 ก ิจกรรมที่ 1 ระยะห�่ งระหว�่ งจดุ สองจดุ 1. จงหาระยะหางระหวางจดุ ตอ ไปน้ีกบั จดุ ก�าเนิด (0,0) 1) (5,6) 3) (1,5) 2) (2,4)wpp4) (2, –3)

สื่อการเรย� นรู  สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 7 2. จงหาระยะหางระหวา งจุดสองจดุ ตอ ไปน้ี 4) (–1, –3) กับ (2, –4) 1) (1, 5) กบั (2, 4) 2) (1, 1) กับ (5, 6) 5) (–6, 4) กบั (–6, 15) wpp 3) (2, 13) กบั (8, –5) 6) (–2, 6) กบั (–1, –3)

8 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 3. จงหาจดุ บนแกน Y ซง่ึ อยหู่ ่างจากจดุ (1, 2) และ (2, –3) เปน็ ระยะหา่ งเทา่ กัน 4. จงหารัศมขี องวงกลม เมื่อ A(–3, 5), B(2, –3) เป็นจดุ ปลายของเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง wpp

ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 9 5. กำ� หนดให้ A(1, 1), B(4, 4) และ C(9, –1) จงแสดงว่า ∆ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 6. A(6, 8), B(4, 6) และ C(–2, –2) เปน็ จุดยอดของสามเหลีย่ มหน้าจั่วหรือไม่ wpp

10 ส่อื การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 7. วงกลม C มจี ดุ ศนู ย์กลางมี C(1, –2) และมแี กน Y เป็นเส้นสัมผัส จงหาจดุ สัมผสั 8. จุด A(0, 0), B(8, 18) และ C(12, 27) อยบู่ นเส้นทางเดียวกนั หรือไม่ wpp

ส่อื การเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 11 3.1.2 จดุ กึ่งกลางระหวา‹ งจดุ สองจดุ พิจารณาการหาจดุ กึง่ กลางระหวา งจุดสองจดุ ลักษณะท ี่ 1 จดุ สองจุดอยบู นแกน X หรอื ขนานกบั แกน X Y จุด P และ Q หางกนั | 9 – 1 | = 8 หนว ย ดครงั ง่ึนห้ันนจ่ึงขุดอกงึง่ กPลQางร=ะห21วา Pง QP =4 หนวย และ Q คือ จดุ ที่นบั จาก P ไปหา Q 4 หนว ย หรือ จดุ ทีน่ บั จาก Q ไปหา P 4 หนวย P(1, 0) R Q(9, 0) นน่ั คอื จดุ R มพี ิกดั (5, 0) O 1 23 4567 89 X ซึ่งพกิ ดั (5, 0) ไดม าจาก 1 2+ 9 , 0 wpp ลกั ษณะท ี่ 2 จดุ สองจุดอยบู นแกน Y หรอื ขนานกบั แกน Y Y จดุ A และ B หา งกัน | 8 – 2 | = 6 หนวย ดครังงึ่นหัน้ นจึง่ ขดุ อกงึง่ กAลBางร=ะห12วาAงBA=แล3ะหBนวย 8 A (0, 8) คือ จดุ ทีน่ บั จาก A ไปหา B 3 หนว ย 7 หรือ จุดท่นี ับจาก B ไปหา A 3 หนวย 6 น่ันคือ จดุ C มีพกิ ดั (0, 5) C 5 ซึง่ พกิ ดั (0, 5) ไดม าจาก 0, 2 2+ 8 4 32 B (0, 2) 1 X O 123456 ลกั ษณะที ่ 3 จดุ สองจดุ อยบู นเสนตรงท่ีไมขนานกับแกน X และแกน Y Y M (10, 8) RP O (0, 0) Q N (10, 0) X

12 ส่อื การเร�ยนรู สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 O (0, 0) และ M (10, 8) เปนจดุ บนสวนของเสนตรงทไ่ี มข นานกับแกน X และ Y ซง่ึ มี P เปน จุดกึ่งกลาง ลากเสน PQ และ MN ใหต ัง้ ฉากกบั แกน X ท�าใหจ ุด N มพี ิกัดเปน (10, 0) เพราะวาจดุ บนสวนของเสนตรง MN จะอยูหางจากแกน Y เทากนั ∆ POQ และ ∆ MON เปน สามเหลี่ยมคลา ย จะได OOMP = OOQN แต OM = 2OP ดังน้นั 2OOPP = OOQN ON = 2OQ นนั่ คอื จดุ Q ก็เปนจุดกึ่งกลางของ ON จดุ Q มีพกิ ดั เปน 102+ 0 , 0 = (5, 0) wpp ใหจุด P มพี ิกดั เปน P (5, y) ในท�านองเดียวกนั เราอาจหาพกิ ดั ของจดุ R ไดเปน R 0, 8 2+ 0 ดังน้ัน จุด P มพี ิกัดเปน P (5, 4) จะเหน็ ไดว า P (5, 4) ไดม าจาก P 102+ 0 , 8 +2 0 นัน่ เอง ทฤษฎีบท 2 ถา R (x, y) เปนจุดกึ่งกลางระหวางจดุ P (x1, y1) กับ จุด Q (x2, y2) แลว x1 + x2 y1 + y2 จุดกึ่งกลางระหวางจุดทงั้ สองจุด มีพิกัดเปน R (x, y) = 2 , 2 ขอสงั เกต เม่อื ทราบพกิ ดั ระหวางจุดสองจดุ เราสามารถหาจดุ แบงระยะหา งระหวางจดุ สองจุดไดต าม ถอาตั(ใxรห1า,PสRyว1น()ทx(,ีต่xR,อyง)yก)เาปรนเจชดุ น แ(บPxง 2,(QPxyQ12,)yโ1ด)ยแมลอี ะตั รQาส(วxxน2=ก, าyxร21แ1)บ+เ+งปrนrxRPจ2QRดุ ปลy=า=ยrทแyาล1ง1ขว++องrryP2Q

ส่ือการเรย� นรู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 13 ตัวอยา งท่ี 1 1) จงหาจดุ กงึ่ กลางระหวาง (–3, 4) และ (5, –2) –x31 2+2+ x2 y1 + y2 วิธที ำ� จาก x = 5 ; y = 2 x = = 22 = 1 y = 4 +2(–2) = 22 = 1 จุดกึ่งกลาง คอื (1, 1) 2) จงหาจดุ แบงของเสนตรงระหวางจุด A (3, 5) และ B (7, –2) ดว ยอัตราสวน 2:3 ให C (x, y) เปน จดุ แบง ของเสน ตรงระหวา งจดุ A (3, 5) และ B (7, –2) ดวยอัตราสวน 2:3 วิธที �ำ r = 23 (x1, y1) = (3, 5) และ (x2, y2) = (8, –2) 3 + 23 (7) 3 + 12334 = 25333 wpp x = x21 + rrx2 = 1+ 23 = 1 + = 253 + y = y11 + rry2 = 5 + 23 (–2) = 15353– 4 = 151 + 1 + 32 จดุ แบง เสน ตรงระหวางจดุ A (3, 5) และ B (7, –2) ดว ยอัตราสวน 2:3 คอื 253 , 151 กิ จกรรมท่ี 2 จดุ ก่งึ กล�งระหว่�งจดุ สองจุด 1. จงหาจุดกง่ึ กลางระหวา งจดุ แตล ะคูตอ ไปนี้ 2) P(–2, 1), Q(6, –3) 1) A(3, 5), B(5, 3)

14 สอื่ การเร�ยนรู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 3) C(6, –3), D(–2, 5) 5) E(2, –3), F(–4, –5) 4) R(–3, –6), S(–6, –10) 6) M( 21 , 2), N(–3, 9) wpp 2. วงกลม C มีจุดศูนย์กลางที่ (4, 7) จุดปลายของเสนผานศูนย์กลางจุดหน่ึงอยูท่ี (7, 11) จงหาจดุ ปลายอกี จุดหน่งึ ของวงกลม C

สื่อการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 15 3. จุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหน่ึงอยู่ที่ A(–2, –4) และ B(6, 2) จงหา จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม 4. M(5, 6) เปน็ จุดก่ึงกลางของ AB ถ้า A มีพกิ ัดจดุ (15, –4) จงหาพิกดั จุด B 5. ถ้า A(3, 1) เป็นจดุ กงึ่ กลางของ PQ โดยท่ี P(2, 3) และ Q(k, –3) จงหาค่า k wpp

16 ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 6. จงแสดงว่าจุดกง่ึ กลางของเส้นทแยงมุมรปู สเ่ี หลย่ี ม ABCD ที่ A(2, 1), B(7, 1), C(9, 3) และ D(4, 3) เป็นจุดเดียวกนั 7. ก�ำหนดให้ A(2, 1) และ B(6, 5) ถา้ C เป็นจุดกึ่งกลางของ AB จงหาความยาว CD เม่ือ D มพี ิกดั จุด (8, 2) wpp

สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 17 8. จงหาจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหล่ียม PQR โดยที่ P(5, 3), Q(1, 1) และ R(–3, 7) wpp

18 ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 9. ส่เี หลี่ยม ABCD มพี กิ ัดจดุ A(–4, 3), B(4, 5), C(8, 11) และ (–8, 7) ถา้ P, Q, R และ S เป็นจดุ ก่ึงกลางของด้าน AB, BC, CD และ DA ตามลำ� ดับ จงหาความยาวรอบรปู ของสีเ่ หล่ยี ม PQRS wpp

สื่อการเร�ยนร ู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 19 10. สี่เหลยี่ ม ABCD มพี ิกดั จดุ A(–4, 3), B(4, 5), C(8, 11) และ (–8, 7) ถา P, Q, R และ S เปนจดุ ก่ึงกลางของดาน AB, BC, CD และ DA ตามลา� ดับ จงหาความยาวรอบรูป ของสเ่ี หล่ยี ม PQRS wpp 3.1.3 ความชนั ของเสŒนตรง นาฬิกาความชนั ของเสนตรง คือ ปรมิ าณท่บี งบอกความเอยี งของเสนตรงกบั แกน X ในทิศทวนเขม็ บทนิยาม =(x1xy, 11y––1)yx22และ B (x2, y2) โดยท่ี x1 ≠ x2 m ให L เปนเสนตรงท่ีลากผานจุด A เปน ความชนั ของเสน L ก็ตอ เมื่อ m พิจารณาจากกราฟ L แถคลาวะาLมจุดชเปันBน ขเอส(งxน เ2ตส,รนyงท2ต)ล่ีรางโกดผยLาทนี่ซจxึ่งดุ 1แ≠Aทน(xไxด21,ดแyวล1ยว) Y B (x2, y2) (y2 – y1) y2 P x1 X สญั ลักษณ์ m สามารถหาได ดังน้ี y1 xy11 – yx22 O A (x1, y(x1)2 – x1) m= – x1

20 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 เสน้ ตรงเส้นเดียวกันมคี า่ ความชันเพียงค่าเดยี วเทา่ น้นั ซ่ึงพสิ ูจนไ์ ดด้ งั นี้ yY4 A (x4, y4) y y23 D (x2, y2) B (xx43–, xy33) y4 – y3 C (x4, y3) y1 E (xx1,2–y1x)1 y2 – y1 F (x2, y1) O x1 x2 x3 x4 X wpp A, B, D, E เปน จดุ บนเสน ตรง AE ∆ ABC ∼ ∆ DEF ดงั นน้ั DACF = BECF เแDAนลอ่ืCFะงจ าDE=ก FFBEAB CFCC= xy=จ22ะ––yxไ44ดxy้ ––11 yx33 เปน็ ความชนั ของเสน้ ตรง BA เปน็ ความชนั ของเสน้ ตรง ED yx22 – yx11 xy44 – xy33 – ABCC = DEFF จะได้ – = ดงั นนั้ เสน้ ตรง BA และ ED มคี วามชนั เทา่ กนั นน่ั คอื เสน้ ตรงเสน้ เดยี วกนั ยอ่ มมคี า่ ความชนั เพยี งคา่ เดยี ว เพราะ BA และ ED เปน็ สว่ นของเสน้ ตรงทอ่ี ยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั ลักษณะการเอยี งของเสนตรงมีอยู่ 4 ลักษณะทตี่ างกนั ลักษณะที่ 1 เสน ตรงท่ขี นานกบั แกน X Y Q(x2, y1) ความชัน (m) = yx11 – yx12 = x2 0– x1 =0 P(x1, y1) – นน่ั คอื คาความชันเทา กับ 0 OX

สอื่ การเร�ยนร ู สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 21 ลักษณะท่ ี 2 เสน ตรงทเี่ อียงทา� มมุ แหลมกับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า Y Q(x2, y2) ความชัน (m) = xy11 – xy22 = xy22 – xy11 > 0 P(x1, yO1) X – – เนื่องจากตวั เศษและตวั สวนจะเปน จ�านวนบวก เหมือนกัน หรอื ลบเหมือนกัน ดงั นน้ั คา ความชันจงึ เปนบวก ลกั ษณะท ี่ 3 เสน ตรงท่ขี นานกับแกน Y ความชนั (m) = xy11 – xy–21 Y P(x1, y1) ความชนั ในลักษณะ – 0 y1 wpp y2 O Q(x1, y2) X ไมน ิยาม ไมสามารถหาคาความชนั ได เนือ่ งจากตัวสว นเปน 0 ขอ สงั เกต Y Q(x2, y1) P(x1, y1) θ X OR ถา QR^X = θ ถา ตอ PQ ใหต ดั กบั แกน X โดยทา� มมุ θ ในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ ากบั แกน X แลว ความชนั ของ เสนตรง PQ คอื คา ของ tan θ น่นั เอง

22 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ลักษณะท่ี 4 เสน ตรงท่ีทำ� มมุ ปานกับแกน X ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกา Y ความชัน (m) = yx11 – yx22 = xy22 – xy11 < 0 P(x1, y1) – – O เน่ืองจากตัวเศษกับตัวสวนจะตรงขามกันถาตัวเศษ เปนจำ� นวนบวก ตัวสวนจะเปน จำ� นวนลบ ถาตวั เศษ Q(x2, y2) เปนจ�ำนวนลบ ตวั สวนจะเปน จำ� นวนบวก X ดังนั้น คาความชันจงึ เป็นลบ ตัวอยา งท่ี 1 จงหาความชันของเสน ตรงที่ผา นจดุ (1, 3) และ (4, 2) วิธที �ำ ให (x1, y1) = (1, 3) wpp และ (x2, y2) = (4, 2) –13xy 1311––––24yx22= จาก m = = แทนคา m = – 13 ความชันมีคา ตัวอยา งท่ี 2 จงหาความชันของเสนตรงที่ผา นจุดตอไปนี้ 1) A (1, 3) และ B (0, 0) 2) C (3, 7) และ D (4, 4) 3) E (3, 0) และ F (–1, –5) วิธที �ำ จาก m = (yxx111,––y1yx)22 ภาพ 1) ให A (1, 3) = B (0, 0) = (x2, y2) แทนคา mAB = 31 –– 00 =3 ความชันของเสน ตรง AB = 3

ส่ือการเร�ยนร ู สมบูรณแ บบ รายวช� าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 23 2) ให C (3, 7) = ((73xx21––,, yy4412)) = –3 ภ�พ D (4, 4) = ภ�พ = แทนคา mCD ความชนั ของเสน ตรง CD = –3 ล3ัก) ษแใคหณทวานะมขคชFอาันงข(เEส–อ1นง(เ,3ตสm,ร–น ง50EกตF))บัรงควE===าFมช=ัน((03xx5412––,, yy((––12))15)) = 54 1. เสนตรงขนานกับแกน หาคาความชันไมไ ด 2. เสน ตรงขนานกับแกน X จะได m = 0 3. เสน ตรงท�ามุมแหลมกบั แกน X จะได m > 0wpp 4. เสน ตรงท�ามมุ ปานกบั แกน X จะได m < 0 กิ จกรรมที่ 3 คว�มชนั ของเสน ตรง 1. จงหาความชนั ของเสน ตรงที่ผา นจดุ สองจดุ ตอไปนี้ 1) (0, 0) และ (4, 8) 3) (3, 5) และ (7, 12) 2) (0, 0) และ (3, –6) 4) (–1, –1) และ (5, 5)

24 สอื่ การเร�ยนร ู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 2. จงหาความชนั ของเสนตรงท่ีทา� มมุ θ กบั แกน X ในทศิ ทวนเข็มนาฬกิ า เม่ือกา� หนด θ 1) 30 องศา 3) 120 � 2) 45 องศา 4) 135 � wpp 3. จงหาคา x ท่ที า� ใหเสนตรงผานจุด P และ Q มคี วามชัน m 1) P(x, 6) และ Q(5, 2) เมอื่ m = 4 2) P(3, x) และ Q(–3, 2) เม่อื m = 21

ส่อื การเรย� นรู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 25 3) P(6, –3) และ Q(9, x) เม่อื m = 2 4) P(4, 3) และ Q(x, 12) เม่อื m = 34 wpp 4. จงหาคาความชนั ของเสน ตรงผา นจดุ (x, xy ) และ (x, yx ) เม่อื x ≠ 0, y ≠ 0 และ x ≠ y 5. เสน ตรงผานจดุ (–3, k) และ (5, 1) มีความชัน = 43 จงหาคา k

26 ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 6. จงหาความชัน และความยาวของดา้ นของรปู สามเหลี่ยม ABC เมื่อ A(2, 4), B(5, 7) และ C(2, 10) wpp

สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 27 7. ก�ำหนดให้ A(–8, –1), B(–1, –1), C(1, 4) และ D(– 6, 4) เป็นจดุ ยอดของรปู สเ่ี หลย่ี ม จงหาความชันของด้านทกุ ด้าน และหาพื้นท่ขี องรูปส่ีเหล่ยี ม ABCD wpp

28 สื่อการเร�ยนรู สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 3.1.4 เสŒนขนาน L1 Y B(x3, y1) L2 A(x1, 0) C(x2, 0) D(x3, y2) x1 x2 E(x3, 0) O x3 X กา� หนดให L1 // L2 A(x1, 0), B(x3, y1) อยูบน L1 และ C(x2, 0), D(x3, y2) อยูบน L2 ลาก BD ใหตั้งฉากกับแกน X ท่ี E wpp ∆ ABE ∼ ∆ CDE จะได x3 y–DBBA1EEEEx1 === xDCCA3EEEEy–2 x2 - แต mAB = xy31–– 0 = x3 y–1 x1 และ mCD = xy31 – 0 = x3 y–2 x2 x1 – x2 ดหงัรนอื ้นัใหจ าBกA^E=จDะไEด^C m=AB = mCD = tan θ และ mCD = tan θ θ , mAB ดงั นน้ั mAB = mCD ขอสงั เกต เสน ตรงทขี่ นานกนั จะมคี วามชนั เทา กนั หรอื เสน ตรงทไ่ี มใ ชเ สน ตรงเดยี วกนั แตม คี วามชนั เทา กนั จะขนานกนั

สือ่ การเร�ยนรู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 29 ทฤษฎีบท 3 เสนตรงสองเสนที่ไมขนานกับแกน Y จะขนานกันก็ตอเมื่อความชันของเสนตรง ท้งั สองเทากนั ตัวอยา งที่ 1 จงแสดงวา เสน ตรงทผี่ า นจดุ A(1, 2) และ B(4, 5) ขนานกบั เสน ตรงทผ่ี า นจดุ C(–2, 4) และ D(2, 8) วิธที ำ� ความชันของเสน ตรง AB = 12 –– 54 = ––33 =1 ความชนั ของเสน ตรง CD = –42––82 = ––44 =1 ดังนน้ั เสน ตรง AB // CD เพราะมคี วามชนั เทากัน ขอสังเกต wpp ถา เสน ตรงทมี่ คี วามชนั เทา กนั และมจี ดุ รว มกนั อยหู นงึ่ จดุ แลว เสน ตรงเหลา นนั้ จะเปน เสน ตรงเสน ตัวอยางท่ี 2 ถา L1 เปน เสนตรงทผี่ า นจดุ A(1, –1) และ B(3, –5) L2 เปน เสนตรงทีผ่ า นจดุ C(4, 2) และ D(x, 6) จงหาคา x ท่ที า� ให L1 และ L2 ขนานกนั วิธีท�ำ ความชนั ของ L1 = –53––(1–1) = –24 = –2 ความชนั ของ L2 = 6x –– 42 =x –4 4 จากโจทย์ L1 // L2 –2 = x –4 4 x – 4 = –42 x =2 นนั่ คือ x มคี า เทา กับ 2 ทท่ี �าให L1 // L2

30 สื่อการเร�ยนร ู สมบรู ณแ บบ รายวช� าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 ก ิจกรรมที่ 4 เสนขน�น 1. จงแสดงวา เสนตรงทีผ่ านจดุ A(3, 3) และ B(–2, –4) ขนานกบั เสน ตรงทผ่ี านจุด C(6, 5) และ D(1, –2) 2. จงแสดงวา เสนตรงท่ีผา นจุด A(–1, –4) และ B(–3, 4) ขนานกบั เสนตรงทีผ่ านจดุ C(0, 5) และ D(2, –3) wpp 3. จงแสดงคา จุด A, B, C และ D เปนจดุ ยอดของสี่เหลี่ยมดานขนาน 1) A(4, 3), B(1, 0), C(–2, –1) และ 2) A(5, 2), B(10, 4), C(6, 5) และ D(1, 2) D(1, 3)

สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 31 4. จงหาความชนั ของเสน้ ตรง ซงึ่ ขนานกับเส้นตรงท่ีผา่ นจุด A(x1 – y1) และ B(x2 – y2) เม่อื x1 ≠ x2 5. เสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (1, –4) และ (3, 2) ขนานกับเสน้ ตรงผา่ นจดุ (–3, –2) และ (k, 7) จงหา คา่ k wpp 6. จงหาค่า x ที่ทำ� ให้ (x, 6), (–1, 4) และ (–4, 2) อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน

32 ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 7. a, b, c เป็นจำ� นวนจรงิ จงแสดงว่าจุด (a, b + c), (b, c + a) และ (c, a + b) อย่บู น เสน้ ตรงเดียวกัน 8. จงแสดงว่า P(6, –6), Q(–6, 6), R(6, 6) และ S(12, 0) เป็นจุดยอดของสเ่ี หลย่ี มคางหมู wpp

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 33 9. จงแสดงวา่ จดุ กึ่งกลางของรปู สเี่ หลีย่ มใด ๆ เป็นจดุ ยอดของรปู สเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน wpp

34 สอื่ การเร�ยนรู สมบูรณแบบ รายวช� าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 3.1.5 เสนŒ ตง้ั ฉาก เสน ตรงสองเสนทไ่ี มข นานกบั แกน Y จะต้งั ฉากกันกต็ อ เมอ่ื ผลคูณของความชนั ของเสน ตรง ท้ังสองมคี า เทา กบั –1 ให mL11 และ Lm22เปเปน น เสคนวาตมรชงทนั ไ่ีขมอข งนLาน1 กแับลแะกLน2 Y และ ตามล�าดบั Y L2 L1 L4 L3 A (1, y1) wpp O (1, 0) X B (1, y2) ลากเสนตรง L3 ใหผ า นจดุ กา� เนดิ และขนานกบั L1 ลากเสนตรง L4 ใหผ า นจุดกา� เนิดและขนานกบั L2 แต L1 มคี วามชนั m1 L2 มคี วามชนั m2 ลากเสน ตรงผา นจดุ (1, 0) และตงั้ ฉากกบั แกน X ใหต ดั L3 และ L4 ทจ่ี ดุ A และ B ตามลา� ดบั ดนังน่ั นค้ันือเสLน 3ตมรีคงวLาม3 ชผนั า เนทจาุดกับ(0,1y01–)– และ A (1, y1) 0 y1 0 = ในทา� นองเดียวกัน พกิ ดั ของจุด B คือ (1, y2) และ L4 มคี วามชันเทากับ y2 ∆ AOB เปน ∆ มมุ ฉาก ∴ AB2 = AO2 + BO2 แทนคา (y1–y2)2 = 1 + y21 + 1 + y22 y21 – 2y1 y2 + y22 = 2 + y 2 + y22 (y2 อยใู ตแกน X มีคา เปนลบ) 1 y1y2 = –1 แทนคา y1 และ y2 จะได m1. m2 = –1 นน่ั คอื ผลคณู ของความชนั ของเสน ตรง 2 เสน ทไ่ี มข นานกบั แกน Y และตง้ั ฉากกนั มคี า เทา กบั –1

ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 35 ทฤษฎีบท 4 เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน Y จะตั้งฉากกันก็ต่อเม่ือผลคูณของความชัน ของเสน้ ตรงทง้ั สองเทา่ กับ –1 ตวั อยา งที่ 1 จงแสดงวา P (2, 11), Q (–4, 3), R (–1, 2) เปน จดุ ยอดมมุ ของสามเหลย่ี ม มมุ ฉาก วิธที �ำ ความชันของ PQ = 21–1 (––43) ––6821431 3–1–=–(–(–2–43211)) = ความชันของ QR = = ความชันของ RP = wpp = 39 = 3 – 13 × 3 = –1 ผลคูณของความชนั ของ QR กับความชันของ RP = แสดงวา QR ต้ังฉากกับ RP ดงั นนั้ PQR เปน สามเหลย่ี มมมุ ฉาก แสดงวา่ จุด P, Q และ R เปน จดุ ยอดของสามเหล่ียมมมุ ฉาก ก ิจกรรมที่ 5 เสน้ ต้งั ฉาก 1. ความชันของเสน ตรง L เทา กบั 12 เสน ตรงซง่ึ ตั้งฉากกับเสนตรง L จะมีความชันเทาไร

36 ส่ือการเรย� นร ู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 2. จงพิจารณาวา AB ขนานหรือตงั้ ฉากกบั CD เมอื่ ก�าหนดให 1) A (0, –1), B (1, 1), C (1, 5) และ 3) A (3, 3), B (–3, 1), C (1, –7) และ D (–1, 1) D (–1, –1) wpp 4) A (–1, –9), B (2, 6), C (2, 11) 2) A (3, 2), B (1, 1), C (0, 1) และ และ D (0, 1) D (–1, 1)

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 37 3. ถา้ A (x, y) และ B (–y, x) โดยท่ี x2 + y2 ≠ 0 จงแสดงวา่ OA ตงั้ ฉากกบั OB เมอ่ื O เปน็ จดุ กำ� เนดิ 4. จดุ (1, 6), (–7, 2) และ (8, 8) เปน็ จุดยอดของสามเหลย่ี มมมุ ฉากหรือไม่ 5. จงแสดงวา่ สามเหลย่ี ม ABC เปน็ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เมอ่ื A (6, –1), B (–4, –3) และ (2, 3) wpp

38 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 6. จงหาค่าของ a, b ซึ่งทำ� ให้ (1, –3), (a, b), (4, 8) และ (5, 7) เป็นจดุ ยอดของส่ีเหล่ยี ม ผนื ผ้า wpp

ส่อื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 39 7. จงแสดงวา่ เส้นทแยงมุมของสี่เหลยี่ ม ABCD ตัง้ ฉากซง่ึ กันและกัน เมอื่ A (2, 5), B (6, 5), C (6, 9) และ D (2, 9) 8. ก�ำหนดให้ A (0, –5), B (9, 0), C (4, 9) และ D (–5, 4) จงพิจารณาว่า ABCD เป็นสเ่ี หลยี่ มจัตรุ สั หรือไม่ wpp

40 สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 9. กำ� หนดให้ P (5, 4), Q (3, 6), R (4, 10) และ S (6, 8) จงพจิ ารณาว่า 1) PQRS เปน็ สี่เหลี่ยมดา้ นขนานหรอื ไม่ 1) PQRS เป็นส่เี หลีย่ มมมุ ฉากหรือไม่ 10. จงแสดงว่า เส้นทแยงมุมของรปู สเี่ หล่ียมจัตรุ ัสต้งั ฉากซง่ึ กันและกัน wpp

wpp สอื่ การเรย� นรู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 41 3.1.6 ความสัมพนั ธซ ึ่งมกี ราฟเปน เสŒนตรง ตามทไ่ี ดกลาวมาแลว เก่ยี วกบั กราฟของความสัมพันธ์ ถาให r เปน ความสมั พนั ธบ์ นเซตของ จ�านวนจริงกราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบโดยท่ีแตละจุดเปนสมาชิกของความ สัมพนั ธ์ r และความสัมพนั ธ์ ซึง่ มีกราฟเปนเสนตรงมีดงั น้ี 1) คว�มสมั พนั ธซ ึง่ มีกร�ฟเปนเสน ตรงท่ขี น�นแกน X ให L เปนเสนตรงท่ีขนานแกน X ดงั นั้น L จะต้ังฉากกับแกน Y และให L ตดั แกน Y ทจี่ ดุ (0, a) ถา a ∈ R+, L จะอยเู หนอื แกน X และหา งจากแกน X = | a | หนว ย ถา a ∈ R–, L จะอยใู ตแกน X และหา งจากแกน X = | a | หนวย ถา a = 0, L จะอยูบ นแกน X และหา งจากแกน X = 0 หนวย ดังน้ัน ความสมั พนั ธ์ของเสนตรงทข่ี นานแกน X คือ r = {(x, y) ∈ R × R | y = a}

42 สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2) ความสัมพนั ธซ งึ่ มีกราฟเปน เสนตรงทขี่ นานแกน Y ให L เปนเสน ตรงท่ีขนานแกน Y ดังน้ัน L จะต้ังฉากกบั แกน X และให L ตดั แกน X ท่ีจุด (b, 0) ถา b ∈ R+, L จะอยูท่ างขวาแกน Y และหา งจากแกน Y = | b | หนวย ถา b ∈ R–, L จะอยูท่ างซา ยแกน Y และหางจากแกน Y = | b | หนวย ถา b = 0, L จะอยู่บนแกน Y และหางจากแกน Y = 0 หนว ย ดงั นน้ั ความสัมพนั ธของเสนตรงที่ขนานแกน Y คอื r = {(x, y) ∈ R × R | x = b} ตัวอยางที่ 1 จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธต อไปนี้ 1) r = {(x, y) ∈ R × R | y = 2} 2) r = {(x, y) ∈ R × R | y = –2} 3) r = {(x, y) ∈ R × R | y = 0} 4) r = {(x, y) ∈ R × R | x = 3} 5) r = {(x, y) ∈ R × R | x = –3} 6) r = {(x, y) ∈ R × R | x = 0} วธิ ที �ำ 1) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | y = 2} 4) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | x = 3} wpp Y (0, 2) y = 2 Y x=3 OX (3, 0) OX 2) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | y = –2} 5) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | x = –3} Y x = –3 Y (–3, 0 ) O O y X= –2 X (0, –2)

สือ่ การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 43 3) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | y = 0} 6) จาก r = {(x, y) ∈ R × R | x = 0} Y X Y X y=0 x=0 O O 3) ความสมั พนั ธซ ง่ึ เปน กราฟของเสน ตรงทไ่ี มข นานกบั แกน X และไมข นานกบั แกน Y ให L เปนเสนตรงที่ไมข่ นานแกน X และไมขนานแกน Y มคี วามชนั m และผานจดุ (x1, y1) Y wpp (x1, y1) X (x, y) O ถา ให (x, y) เปน จดุ ใด ๆ บนเสนตรง L จะไดว า m = y –­ yx11 ดังนัน้ m (x – x2) = y1 – y2 x – นน่ั คอื ความสัมพนั ธซ ึง่ มกี ราฟเปน เสนตรงทม่ี ีความชัน m ผานจุด (x1, y1) คือ r = {(x, y) ∈ R × R | y – y1 = m (x – x1)} ตัวอยางท่ี 2 จงเขียนความสัมพันธของเสนตรงที่มีความชัน 12 และตัดแกน Y ที่จุด (0, 4) m12 วิธที �ำ จาก m = x12 ผานจดุ (0, 4) y – y1 = (x – x1) แทนคา y–4 = (x – 0) 2y – 8 = 2y = x + 8 ดังนนั้ r = {(x, y) ∈ R × R | 2y = x + 8}

44 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4) สมการเสนตรง ความสัมพันธซึ่งมีกราฟเปนเสนตรงอาจเขียนส้ัน ๆ เฉพาะสมการท่ีเปนเง่ือนไข ซึ่งแสดงถงึ ความสัมพันธของ x และ y เราเรียกสมการนวี้ า สมการเสนตรง เชน r = {(x, y) ∈ R × R | y – y1 = m (x – x1)} เขียนเปน สมการเสนตรงไดดังนี้ y – y1 = m (x – x1) จาก y – y1 = m (x – x1) จดั ใหอยู่ในรปู ใหมไ ดวา y – y1 = m (x – x1) y – y1 = mx – mx1 y = mx – mx1 + y1 แต x1, m และ y1 เปนคาคงตัว ถา ให b = –mx1 + y1 จะได y = mx + b เมอ่ื b เปน คาคงตัว ถา x = 0 จะไดว า y = b แสดงวา เสนตรงท่ีผา นจุด (0, b) ซงึ่ เปน จุดตดั บนแกน Y นั่นคอื y = mx + b เปนกราฟเสนตรงที่มีความชนั เทา กบั m และมีระยะตดั บนแกน Y เทากบั b ทจ่ี ุด (0, b) wpp ทฤษฎบี ท 5 สมการทีอ่ ยใู่ นรูป Ax + By + C = 0 เปนสมการเสนตรงโดยที่ A, B และ C เปนคา คงตวั ที่ A ≠ 0 หรือ B ≠ 0 พิสจู น  จากสมการ Ax + By + C = 0 กรณีที่ 1 ถา A ≠ 0 และ B ≠ 0 แลว By = –Ax – C CB และ y = –– BAAB x – – CB ดังนนั้ m = b = (จาก y = mx + b) กรณที ี่ 2 ถา A ≠ และ B =0 0 แลว Ax = –C x = – CA นนั่ คอื สมการของเสน ตรงท่ขี นานแกน Y หาความชันไมไ ด

wpp สื่อการเร�ยนร ู สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 45 กรณที ่ี 3 ถา A = 0 และ B ≠ 0 แลว By = –C y = – CB นน่ั คอื สมการของเสน ตรงทข่ี นานแกน X จากทงั้ 3 กรณี สรปุ ไดวา Ax + By + c = 0 เปนสมการเสนตรง เมอื่ A หรอื B ไมเทา กบั 0 ขอ สงั เกต 1. สมการ Ax + By + C = 0 เลขชกี้ า� ลงั ของ x และ y จะเทา กบั 1 2. ถา B ≠ 0 จะไดว า y = – BA x – CB ความชนั = – AB จดุ ตดั แกน Y = 0, – CB ตวั อยา งที่ 3 r = {(x, y) ∈ R × R | 3x – 4y – 12 = 0} จงหา 1) จดุ ตัดแกน X 2) จดุ ตดั แกน Y วิธที �ำ จาก 3x – 4y – 12 = 0 1) จดุ ตดั แกน X คา ของ y = 0 3x – 12 = 0 3x = 12 x =4 น่ันคือ จุดตัดแกน X คอื (4, 0) 2) จดุ ตดั แกน Y คาของ x = 0 –4y –12 = 0 –4y = 12 y = –3 นน่ั คอื จดุ ตดั แกน Y คือ (0, –3)

46 สือ่ การเรย� นรู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 ตัวอยางท่ี 4 จงหาความชันของเสน ตรง x + 2y – 1 = 0 และหาจุดตัดบนแกน Y วธิ ีท�ำ x + 2y – 1 = 0 2y = –x + 1 == m– 21x 21 จาก y x + y ––121221 + b m= b= ดงั น้นั ความชนั ของเสน ตรงคอื จุดตัดแกน Y คอื (0, 21 ) กิ จกรรมท่ี 6 คว�มสมั พันธซ่งึ มีกร�ฟเปน เสนตรง wpp 1. ให r = {(x, y) | x – 2y – 4 = 0} สมาชิกตอ ไปนี้เปนสมาชิกของ r หรือไม 1) (1, 0) 4) (2, –1) 2) (3, 2) 5) (0, –2) 3) (–8, 6) 6) (6 2 , 2 )

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 47 2. จงเขียนความสัมพันธต์ ามเงื่อนไขต่อไปน้ี 1) ขนานแกน X และอยู่ใต้แกน X เปน็ ระยะ 3 หน่วย 2) ขนานแกน X และอยู่ใต้แกน X เป็นระยะ 2 หนว่ ย 3) ขนานแกน Y และอยู่ใต้แกน Y เปน็ ระยะ 1 หนว่ ย 4) ขนานแกน Y และอยู่ใต้แกน Y เปน็ ระยะ 3 หน่วย 3. ก�ำหนดให้ A (3, 4) และ B (–2, 3) จงหา 1) ความชนั ของ AB 2) ความยาวของ AB wpp

48 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) จดุ กง่ึ กลางของ AB 4. จงหาความชัน จุดตัดแกน Y และจดุ ตัดแกน X จากสมการเส้นตรงต่อไปน้ี 1) 5x + y – 2 = 0 2) 3x – y + 11 = 0 wpp

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 49 5. จงหาความชนั จุดตัดแกน Y และจุดตัดแกน X จากสมการเสน้ ตรงตอ่ ไปน้ี 1) 3y + 6 = 24 และ y = 32 x + 1 2) 3x – y = 4 และ y – 3x = 2 wpp

50 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 6. จงแสดงว่าเสน้ ตรงตอ่ ไปน้ีตงั้ ฉากกัน 1) 3x + y – 8 = 0 และ – 12 x + y – 5 = 0 2) 5y – 3 = x และ y + 5x + 8 = 0 7. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผา่ นจดุ (6, 4) และขนานกบั เส้นตรง x + 2y + 12 = 0 wpp

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 51 8. จงหาสมการของเส้นตรงทผี่ า่ นจุด (3, 2) และตง้ั ฉากกับเส้นตรง 3x – 2y = –12 wpp

52 สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 9. จงหาสมการของเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ (1, 1) และ (–3, 2) 10. จงหาสมการของเสน้ ตรงทตี่ งั้ ฉากและแบง่ ครงึ่ สว่ นของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (a, b) และ (2a, –3b) wpp

สื่อการเรย� นร ู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 53 3.1.7 ระยะห‹างระหว‹างเสŒนตรงกับจุด ระยะหางระหวา งเสน ตรงกับจุด คอื เสนตัง้ ฉากจากจุดน้ันมายงั เสนตรง ตวั อยางท่ี 1 ให L เปน สมการเสนตรงของ x – y + 1 = 0 และให A(2, 1) เปน จดุ อยู ภายนอกเสน ตรง L จงหาระยะหางระหวางเสนตรง L กบั จุด A วิธีท�ำ สรางกราฟจากสมการ x – y + 1 = 0 และจดุ A(2, 1) Y L x–y+1=0 B (0, 1) C A(2, 1) (–1, 0) 2X –2 –1D O wpp 1 ลากเสน AB ตง้ั ฉากกับเสนตรง x – y + 1 = 0 ที่จดุ B AB คือ ระยะหา งระหวางเสนตรง L กับจุด A (2, 1) = d L มีสมการเปน x – y + 1 = 0 y = x+1 ดงั น้นั AmmmBmAAABBBLดงั น====้ี 1 m1L . –1 × –1 –1 หาสมการของเสน ตรง y–1 จะได –1 = 0x – 2 x+y–3 = หาจดุ ตัดระหวาง x – y + 1 = 0 กับ x + y – 3 = 0 จะได x = 1 และ y = 2 จดุ B มพี กิ ัด (1, 2) d = (2 – 1)2 + (1 – 2)2 หาระยะ AB = 1+1 =2 ดงั น้ัน ระยะหา งระหวา งเสนตรง L กบั จดุ A = 2 หนว ย

54 สื่อการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ในรูปทว่ั ไป Ax + By + C = 0 เปน เสน ตรง L dถา เใปหน รPะ(ยxะ1ห, าyง1ร)ะเหปวนา จงจดุ ุดทอ่ี Pย่ภูกาบั ยเนสอน กตเรสงน Lตรง P′ เปน จุดตัง้ ฉากของ L กับ L′ h เปน ความยาวบนแกน X ระหวา ง P P′ k เปนความยาวบนแกน Y ระหวา ง P P′ ดงั นน้ั P′ มีพิกัด (x1 + h, y1 + k) YL L′ O P(x1,dy1)h P′ (x1 + h, y1 + k) k X wpp Pจา′ก(xA1x++hB, yy1++Ck)=เป0น ขจอดุ งตเสดั นขอตงรเงสLนตรง L และ L′ จะมีความชัน = – AB ความชนั ของ L′ ซง่ึ ผา นจุด P(x1, y1) กบั P′ (x1 + h, y1 + k) xy11 – ((xy11 + k) yx11 – yx11 – k) คือ – + h) = – – h = –hk = hk และ L ⊥ L′ ดังน้นั mL × m–BAL′ = –1 ดังน้ัน hk = –1 –BAhk = –1 Ak = Bh -- จากสมการ Ax + By + C = 0 แจ าทกนคา x Aด( วxย1 +x1h+) h และแทนคา y ดวย =y 1 +0 k + B(y1 + k) + C -- Bh = Ak Bh – Ak = 0

สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 55 ยกก�ำลังสอง (Bh)2 – 2Bh . Ak + (Ak)2 = 0 -- จาก  จะได Ax1 + Ah + By1 + Bk + C = 0 Bk + Ah = –(Ax1 + By1 + C) -- ยกกำ� ลงั สอง (Bk)2 + 2Bk . Ah + (Ah)2 = (Ax1 + By1 + C)2 --  +  (Bh)2 + (Bk)2 + (Ah)2 + (Ak)2 = (Ax1 + By1 + C)2 (A2 + B2) h2 + (A2 + B2) k2 = (((AAAxxx111 + BBByyy111 + C)2 (A2 + B2) (h2 + k2) = + + C)2 = + + C)2 (h2 + k2) (A2 + B2) h2 + k2 = |Ax1 + By1 + C | A2 + B2 จากทฤษฎีบทปท าโกรัส จะได d = |PP′| = h2 + k2 d = |Ax1 + By1 + C | A2 + B2 wpp ทฤษฎบี ท 6 ระยะหางระหวา งเสน ตรง Ax + By + C = 0 กบั จดุ (x1, y1) คอื |Ax1 + By1 + C | d = A2 + B2 ตัวอยา งท่ี 2 จงหาระยะหางระหวางเสนตรงกับจุดที่กำ� หนดให 1) 6x – 8y + 4 = 0; (2, –3) 2) 4x + 3y – 8 = 0; (1, 0) วิธที �ำ 1) จาก d = |Ax1 + By1 + C | A2 + B2 จาก 6x – 8y + 4 = 0 กบั จุด (2, –3) A = 6, B = –8, C = 4, x1 = 2, y1 = –3 d = |(6 × 2) + (–8) (–3) + 4| แทนคา 62 + (–8)2 d = |12 + 24 + 4| = 14000 100 ∴ ระยะหาง = 10 หนวย

56 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2) จาก 4x + 3y – 8 = 0 กบั จุด (1, 0) A = 4, B = 3, C = –8, x1 = 1, y1 = 0 d = |(4 × 1) + (3 × 0) – 8| แทนคา 42 + 32 d = |4 – 8| = |– 4| = 54 16 + 9 25 ∴ ระยะหาง = 45 หนว ย ตวั อยา งท่ี 3 จงหาระยะหา งระหวา งเสนค่ขู นานของสมการเสนตรง x – 2y – 5 = 0 กบั x – 2y + 5 = 0 วธิ ที �ำ เขียนกราฟตามสมการ Y x – 2y + 5 = 0 (0,5) d x – 2y – 5 = 0 wpp O (5, 0) X จุด (5, 0) อย่บู นเสน ตรง x – 2y – 5 = 0 หาระยะหางระหวา งจดุ (5, 0) กับเสน ตรง x – 2y + 5 = 0 d = |Ax1 + By1 + C | จาก A2 + B2 A = 1, B = –2, C = 5, x1 = 5, y1 = 0 แทนคา d = |1 × 5 + (–2) (0) + 5| 51| 2 + (–|120)2| d = |5 + = × 5 1+4 5 5 d = 2 5

ส่อื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 57 ดังนัน้ ระยะหา งระหวางเสน x – 2y – 5 = 0 กบั x – 2y + 5 = 0 คือ 2 5 หนว ย จากสมการเสน ตรง Ax + By A+xC+1 = 0 และขนานกบั Ax + By + C2 = 0 เลือกจดุ (x1, y1) หาเสน ตรง By + C2 = 0 จะไดวา A x1 + By1 + C2 = 0 Ax1 + By1 = –C2 ให d เปน ระยะหางระหวางจุด (x1, y1) กับเสนตรง Ax + By + C1 = 0 จะไดว า d = |Ax1 + By1 + C | A2 + B2 แต Ax1 + By1 = –C2 |C2 – C1| แทนคา d = A2 + B2 wpp ดงั น้ัน d = |C1 – C2| A2 + B2 ทฤษฎบี ท 7 ระยะหางระหวา งเสน ตรง Ax + By + CC12|= 0 ท่ีขนานกับเสน ตรง Ax + By + C2 = 0 เทา กบั |C1 – A2 + B2 ตวั อยางที่ 4 จงหาระยะหา งระหวา งเสน ตรง 2x + 5y + 4 = 0 และเสน ตรง 2x + 5x + 6 = 0 วธิ ีท�ำ จาก 2x + 5y + 4 = 0 และ 2x + 5x + 6 = 0 มคี วามชันเทา กนั แสดงว่าเสน้ ทั้ง 2 เสนนขี้ นานกัน ดังนน้ั d = |C1 – C2| A2 + B2 C1 = 4, C2 = 6, A = 2, B = 5 แทนคา d = |4 – 6| |–2| = 12 + 52 4 + 25 = 2 หนว ย 29

58 ส่ือการเร�ยนรู สมบูรณแบบ รายว�ชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 ก ิจกรรมที่ 7 ระยะห�่ งระหว�่ งเสนตรงกบั จดุ 1. จงหาระยะหา งระหวา งเสน ตรงกบั จุดทีก่ �าหนดให 1) x + y – 6 = 0, (4, 2) 3) 3y – 4x = –1, (–1, –2) wpp2) 2x – y = 0, (3, 4) 4) ax + by + c = 0, (0, 0) 2. จงหาระยะหา งระหวา งคขู นานตอไปนี้ 1) 3x + 4y + 3 = 0 และ 3x + 4y – 7 = 0

ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 59 2) y = 3x และ 3x – y + 5 = 0 3) 4x – 2y + 2 = 0 และ 2x – y + 5 = 0 3. จงหาสมการของเสน้ ตรงทข่ี นานกับเส้นตรง 3x – 2y – 1 = 0 และอยหู่ ่างจากเสน้ ตรง 2 หนว่ ย wpp

60 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 4. จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ตี ั้งฉากกบั เสน้ ตรง 5x – 12y – 7 = 0 และอยูห่ ่างจากจดุ (–1, 2) เป็นระยะ 3 หน่วย wpp

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 61 5. จงหาสมการของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (3, 5) และผา่ นจดุ ตดั ของเสน้ ตรง 2x + y = 5 และ x – 2y = 1 wpp

62 สอ่ื การเร�ยนรู สมบูรณแบบ รายวช� าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 3.2 ภาคตดั กรวย กรวยเปนรูปเรขาคณิตท่ีมีวิธีการสรางในเชิง คณติ ศาสตร์เสน ตรง a และ b ตดั กันท่ีจุด O เปน มุม แหลมขนาด ใหเสนตรง a และจุด O ตรึงอยูกับท่ี ผวิ ทเี่ กิดจากการหมนุ เสนตรง b รอบเสน ตรง a เรียก วา กรวยกลมตรง (right circular cone) เรยี กส้นั ๆ ภ�พ วา กรวยเรยี กเสน ตรง a วา แกน (axis) ของกรวย เรียกจุด O วา จุดยอด (vertex) เรียกเสนตรง b ทีผ่ านจดุ O วา ตัวกอ่ กำ�เนดิ (generator) ของกรวย “ภาคตัดกรวย” คือรปู ทีอ่ ยใู นระนาบทีเ่ กดจากกการตดั กันของระนาบกบั กรวย wpp วงกลม เกิดข้ึนจากการตัดกรวยกลมตรงดวย พ�ร�โบล� เกิดข้ึนจากการตัดกรวยกลมตรง ระนาบที่ตงั้ ฉากกับแกนของกรวย ดว ยระนาบท่ขี นานกับเสน ประกอบรูปกรวย วงร ี เกดิ ขน้ึ จากการตดั กรวยกลมตรงดว ยระนาบ ไฮเพอรโบล� เกิดขึ้นจากการตัดกรวยกลม ทีไ่ มขนานกับฐาน ตรงดว ยระนาบทตี่ ดั ทง้ั สองสว นของกรวยและตงั้ ฉากกับฐาน

สื่อการเรย� นรู  สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 63 3.2.1 วงกลม (Circle) บทนยิ าม วงกลม คอื เซตของจดุ ทุก ๆ จดุ บนระนาบอยหู างจากจดุ คงทจี่ ดุ หนงึ่ เปนระยะทางเทากัน จดุ คงท่ี คือ จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม รศั มี คือ ความยาวของเสนตรงท่ีลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังเสนรอบวงของ วงกลม Y P(x, y) wppC (0, 0) X จากกราฟ C (0, 0) เปน จดุ ศูนย์กลางของวงกลม P (x, y) เปนจุดที่อยูบนวงกลม CP คอื ความยาวของรัศมีวงกลม จาก CP = r (r คือรัศมี) CP = (x – 0)2 + (y – 0)2 CP = x2 + y2 ดงั นนั้ r = x2 + y2 r2 = x2 + y2 หรือ x2 + y2 = r2 เปนสมการรปู ทั่วไปของวงกลม

64 ส่อื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยา งที่ 1 จงเขยี นความสมั พนั ธซ ง่ึ มกี ราฟเปน วงกลม มจี ดุ ศนู ยก ลางทจี่ ดุ (0, 0) และ รศั มี 4 หนว ย วิธที �ำ ความสมั พนั ธซง่ึ มกี ราฟเปน วงกลม มจี ดุ ศูนยก ลางท่ีจุด (0, 0) และรัศมี 4 หนวย คอื {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16} การเลอื่ นแกนในแนวขนาน Y P(x, y) C(h, k) OX wpp ให C (h, k) เปนจุดศนู ยกลางของวงกลม P (x, y) เปน จดุ อยบู่ นวงกลม สมการแกนเดิมที่จดุ C (0, 0) และ P (x, y) คือ x2 + y2 = r2 สมการเมอ่ื เทยี บกับแกนใหมจะได x′ + y′ = r2 ซ่ึง x′ = x – h และ y′ = y – k ∴ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 หรอื จากรูป CP = r นั่นคอื CP = (x – h)2 + (y – k)2 r = (x – h)2 + (y – k)2 ดงั นน้ั r2 = (x – h)2 + (y – k)2 ความสมั พันธท มี่ กี ราฟเปนวงกลม มจี ดุ ศูนยกลางอยทู่ ่ี (h, k) และรศั มี r หนวย คอื {(x, y) ∈ R × R | (x – h)2 + (y – k)2 = r2} สมการนีเ้ รียกวา่ รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม

สอ่ื การเรย� นร ู สมบูรณแบบ รายวช� าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 65 จาก (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 – r2 = 0 จะไดส มการรปู ทว่ั ไป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ขอ สงั เกต 1. A, B และ C เปน จา� นวนจริง 2. สมั ประสทิ ธข์ิ อง x2 และ y2 ตองเทา กนั เสมอ และไมเทากบั 0 ตวั อยางท่ี 2 จงหาจดุ ศนู ยก์ ลางและความยาวรศั มขี องวงกลมทเี่ ปน กราฟของความสมั พนั ธ์ ตอไปน้ี 1) {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0} 2) {(x, y) ∈ R × R | 4x2 + 4 (y + 2)2 = 25} 3) {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 + 4x = 0} 4) {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 – 6y = 0} 5) {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0} 6) {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 – 4x – 6y + 20 = 0} wpp วธิ ที ำ� 1) จาก x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 + 9 + 3 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 42 ดงั นน้ั จุดศนู ย์กลางคือ (2, –3) รศั มี 4 หนวย 2) จาก 4x2 + 4 (y + 2)2 = 25 24255 (x – x2 + (y + 2)2 = 2 จุดศนู ยก์ ลางคือ (0, 0)2 + (y + 2)2 = ดงั นัน้ –2) รศั มี 52 หนวย

66 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 3) จาก x2 + y2 + 4x = 0 (x2 + 4x + 4) + y2 = 4 (x + 2)2 + (y – 0)2 = 22 ดงั นน้ั จดุ ศนู ยก ลางคอื (–2, 0) รศั มี 2 หนว ย 4) จาก x2 + y2 – 6y = 0 (x – 0)2 + (y2 – 6y + 9) = 9 (x – 0)2 + (y – 3)2 = 32 ดงั นัน้ จุดศูนยก ลางคือ (0, 3) รศั มี 3 หนว ย 5) จาก x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 (x2 – 6x + 9) + (y2 + 4y + 4) = 9 + 4 + 3 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 = 42 wpp ดังนั้น จดุ ศนู ยกลางคอื (3, –2) รศั มี 4 หนวย 6) จาก x2 + y2 – 4x – 6y + 20 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 – 6y + 9) = 4 + 9 – 20 (x – 2)2 + (y – 3)2 = –7 และ (x – 2)2 + (y – 3)2 < 0 ดังน้นั x2 + y2 – 4x – 6y + 20 = 0 วงกลมนีม้ จี ุดศูนยก ลางอยทู่ ่ี (2, 3) แตร ศั มไี มใชจ ำ� นวนจริง คณติ น่ารู้ ถา X 2 + Y 2 + Dx + Ey + F = 0 เปนสมการวงกลมแลว จดุ ศนู ยก ลาง คอื (– D2 , – E2 ) คือ – D2 2 + – E2 2–F รศั มี

สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 67 ตวั อยางท่ี 3 จงเขียนกราฟของความสมั พันธตอ ไปน้ี 1) (x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 3 2) (x, y) ∈ R × R | x2 + y2 – 8x + 10y – 8 = 0 วิธีท�ำ 1) จาก x2 + y2 = 3 = ( 3 )2 Y (0, 3) (– 3 , 0) ( 3 , 0) X wpp (0, – 3 ) ดังนน้ั จุดศูนยกลางคอื (0, 0) รศั มี 3 4) จาก x2 + y2 – 8x + 10y – 8 = 0 (x2 – 8x + 16) + (y2 + 10y + 25) = 16 + 25 +8 (x – 4)2 + (y + 5)2 = 49 = 72 Y Y′ (4, 2) OX (–3, –5) (4, –5) X′ (4, –12) ดังน้นั จดุ ศนู ยก ลางคือ (4, –5) รศั มี 7 หนวย

68 ส่ือการเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 กิ จกรรมที่ 8 วงกลม 1. จงหาสมการของวงกลม เมอื่ ก�ำหนดเงอ่ื นไขต่อไปนี้ 1) จดุ ศนู ย์กลาง (4, 2) รศั มียาว 3 หนว่ ย 2) จดุ ศนู ยก์ ลาง (2, 3) และสมั ผัสแกน X 3) จดุ ปลายของเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง (–1, 3) และ (7, –5) wpp

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 69 4) จุดศูนย์กลาง (1, 2) ผา่ นจดุ (–3, 2) 2. จงหาจดุ ศนู ย์กลางและความยาวของรัศมขี องวงกลมที่มสี มการตอ่ ไปนี้ 1) x2 + y2 – 4y – 12 = 0 wpp

70 สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2) x2 + y2 + 8x – 10y + 8 = 0 3) 2x2 + 2y2 + 6x – 8y – 4 = 0 3. จงเขียนกราฟของวงกลมตอ่ ไปน้ี 1) {(x, y) 4x 2 + 4 (y + 2)2 – 25 = 0} wpp

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 71 2) {(x, y) 2x 2 + 2y 2 – 3x + 4y + 3 = 0} wpp

72 สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 4. จงหาสมการของวงกลม ซ่ึงมจี ดุ ศนู ย์กลาง (3, –2) และสัมผสั กบั เส้นตรง x + y – 2 = 0 5. จงหาสมการของวงกลม ซ่ึงมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรง x + y = 0 และตัดแกน X ท่ีจุด (–1, 0) และ (3, 0) wpp

สื่อการเรย� นรู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 73 wpp3.2.2 วงรี (Ellipse) Y B P(x, y) V ′ F′(–c, 0) O F(c, 0) V X B′ จากกราฟ จดุ F และ F′ คือจุดโฟกัสของวงรี จดุ P (x, y) เปน จดุ ใด ๆ บนวงรี บทนยิ าม วงรี คือเซตของจดุ ทุก ๆ จดุ ที่อยบู นระนาบ ซ่งึ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ ไปยังจุด คงที่ 2 จดุ มีคาคงตัวเสมอ โดยท่ีคา คงตวั มากกวา ระยะหา งระหวา งจดุ คงที่

74 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 จดุ คงท่ที ้งั สองจดุ เรียกวา จดุ โฟกัส ของวงรี จากรูป F (c, 0) และ F′ (–c, 0) PF + PF′ = k เมอื่ k เปน คาคงตัว และ k > FF′ จุดก่ึงกลางของโฟกัสทัง้ สอง คือ จุดศูนยก ลางของวงรี จุดท่ีเสน ตรงลากผานจุดโฟกสั ท้งั สองตัดวงรี เรยี กวา จดุ ยอดของวงรี สวนของเสนตรงทเี่ ชือ่ มระหวา งจุดยอดของวงรี เรียกวา แกนเอก (VV′) สวนของเสน ตรงทต่ี งั้ ฉากกับแกนเอกที่จดุ ศูนยก ลางตดั วงรี เรยี กวา แกนโท (BB′) ตัวอยา งท่ี 1 จงหาสมการของวงรี ซึ่งผลบวกของระยะหา งจากจุด P (x, y) ใด ๆ บนวงรี ไปยงั จุด (–3, 0) และ (3, 0) ซ่งึ เปน จดุ โฟกสั ของวงรีเทา กับ 10 หนวย Y P(x, y) wpp F′(–3, 0) O F(3, 0) X วิธที �ำ ให P (x, y) เปน จดุ ใด ๆ บนวงรซี ง่ึ มี F (3, 0) และ F′ (–3, 0) เปน จดุ โฟกสั ของวงร ี จากนิยามวงร ี PF + PF′ = 10 (x + 3)2 + y2 + (x – 3)2 + y2 = 10 (x + 3)2 + y2 = 10 – (x – 3)2 + y2 ยกก�ำลังสองทงั้ สองขา ง x2 + 6x + 9 + y2 = 100–20 (x – 3)2 + y2 +x2 – 6x + 9 + y2 20 (x – 3)2 + y2 = 100 – 12x 5 (x – 3)2 + y2 = 25 – 3x

สอ่ื การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 75 ยกกำ� ลงั สองทั้งสองขาง 25(x2 – 6x + 9 + y2) = 625 – 150x + 9x2 25x2 – 150x + 225 + 25y2 = 625 – 150x + 9x2 16x2 + 25y2 = 400 2x52 + 1y62 = 1 ∴ สมการของวงรี คือ 2x52 + 1y62 = 1 จากสมการ 2x52 + 1y62 = 1 เขยี นกราฟไดด งั นี้ wpp Y x05 1 2 B (0, 4) y ±4 0 ±85 6 ±4521 V′ OF V 0) X (–5, 0) F′ B′ (0, –4) (5, จากกราฟจะไดว า 1. แกน X และแกน Y เปน แกนสมมาตร 2. กราฟจะตดั แกน X ทจ่ี ดุ (5, 0) และ (–5, 0) 3. กราฟจะตดั แกน Y ท่ีจดุ (0, 4) และ (0, –4) สำ� หรบั สมการของวงรที ี่มจี ุดโฟกสั อย่บู นแกน X ท่ี F (c, 0) และ F′ (–c, 0) หาไดดงั น้ี Y P(x, y) F′(–c, 0) F(c, 0) X

76 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ถา P (x, y) เปน จุดใด ๆ บนวงรี ระยะหา งระหวา งจุดโฟกสั เทากับ 2c หนว ย จากนยิ าม จะไดวา PF + PF ′ = k โดยท่ี k > 2c ให 2a = k เปน คาคงตัว ดังนน้ั PF + PF ′ = 2a โดยท่ี 2a > 2c จาก PF + PF ′ = 2a (x – c)2 + (y – 0)2 + (x + c)2 + (y – 0)2 = 2a (x – c)2 + y2 = 2a – (x + c)2 + y2 ยกกำ� ลังสอง x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a (x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + y2 + c2 –4a2 – 4cx = –4a (x + c)2 + y2 wpp หารดว ย –4a a +(cxca)x2 = (x + c)2 + y2 + a2 ยกกำ� ลังสอง a2 + 2cx = x2 + 2cx + c2 + y2 a–(2cacxy22)2x22++yy2 2 a2 – c2 = x2 – a2– c2 หารดว ย a2 – c2 a2 – c2 = a2x2 1 = x2 + a2 แต a > c > 0 ∴ a2 – c2 > 0 ให a2 – c2 = b2 โดยท่ี b > 0 จะไดวา x2 + y2 = 1 โดยที่ a > b a2 b2 สามารถเขียนกราฟไดดงั นี้ Y B (0, b) V′ (–a, 0) F′ (–c,0O) F (c,0) V (a, X0) B′ (0, –b)

ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 77 ซึ่งเขียนเปน ความสมั พันธไดด ังน้ี {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 =1 ; a > b} ในทำ� นองเดยี วกัน a2 b2 ถาวงรมี จี ดุ โฟกสั อยู่บนแกน Y ที่จุด F (0, c), F′(0, –c) x2 จะไดสมการ y2 + b2 =1 โดยที่ a > b a2 จะไดกราฟ Y B′ (–b, 0) V (0, a) F (0,c) O B (b, 0)X F′ (0, –c) wpp V′ (0, –a) จากรูป O เปน จุดศนู ยกลางของวงรี เปน จุดยอดของวงรี V และ V ′ คือแกนเอก มคี าเทากบั 2a คอื แกนโท มีคา เทา กบั 2b VV ′ เปน จดุ โฟกสั ของวงรี มคี าเทา กับ 2c BB′ F และ F′ FF′ ซง่ึ เขียนเปน ความสมั พนั ธไ ดด งั น้ี {(x, y) ∈ R× R| y2 + x2 =1; a > b} a2 b2

78 สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 วงรที ่มี จี ดุ ศูนยก์ ลางและแกนเอกอยูบ่ นแกนพกิ ดั รายละเอยี ดสำ� คัญ สรุปได้ดังนี้ แกน X แกน Y สมการรูปแบบมาตรฐาน x2 + y2 = 1;a>b y2 + x2 =1 ;a>b a2 b2 a2 b2 จดุ ยอด (a, 0), (–a, 0) (0, a), (0, –a) จดุ โฟกสั (–c, 0), (c, 0); c2 = a2 – b2 (0, c), (0, –c); c2 = a2 – b2 แกนเอก อยบู่ นแกน X ยาว 2a หนว่ ย อย่บู นแกน Y ยาว 2a หน่วย แกนโท อยู่บนแกน Y ยาว 2b หนว่ ย อยบู่ นแกน X ยาว 2b หนว่ ย กราฟ Y Y B′ (–b, 0) V (0, a) B (0, b) F (0,c) F′ (–c,0O) F (c,0) V (a, X0) O B (b, 0)X B′ (0, –b) F′ (0, –c) wpp V′ (–a, 0) V′ (0, –a) ตัวอยา งที่ 2 {(x, y) ∈ R × R |16x2 + 9y2 = 144} ซงึ่ เปนกราฟวงรี จงหาจดุ โฟกสั จดุ ยอด และเขยี นกราฟวงรี วิธที �ำ 16x2 + 9y2 = 144 x92 + 1y62 = 1 y2 x2 a2 + b2 = 1 จาก ดงั น้ัน b2 = 9 ; a2 = 16 b = 3; a =4 ถาวงรีมี (0, c) และ (0, –c) เปน จดุ โฟกัสแลว a2 – c2 = b2 16 – c2 = 9 c2 = 7 c = ± 7 จากสมการ วงรีมแี กนเอกอย่บู นแกน Y และมจี ุดศูนยกลางท่ี (0, 0) จดุ โฟกัสอยู่ท่ี F (0, 7 ) และ F′ (0, – 7 ) จุดยอดอย่ทู ่ี V (0, 4) และ V′ (0, –4)

ส่ือการเร�ยนรู สมบรู ณแบบ รายว�ชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 79 เขยี นกราฟไดดงั นี้ Y V (0, 4) B′ (–3, 0) F (0, 7 ) B (3, 0) X O F′ (0, – 7 ) V′ (0, –4) wpp ขอ สังเกต ถา 2a มากกวา 2c เพียงเล็กนอ ย วงรจี ะมีรปู รา งเรียวยาว แตถา 2a มากกวา 2c วงรี จะมีรูปรางเกือบกลม โดยท่ัวไปจะใชอตั ราสวนของ c ตอ a วดั ความรีของวงรี อตั ราสว นน้ี เรยี กวา คว�มเยอ้ื งศนู ยกล�ง ความเย้ืองศนู ย์กลางของวงรีมีคาระหวา ง 0 และ 1 นั่นคอื 0 < e < 1 ถา e มีคา ใกล 1 หรือ c มีคา เกือบเทา กบั a แลว วงรีมคี วามรมี าก แตถา e มีคา ใกล 0 แลวจะมคี วามรนี อย บทนยิ าม ความเยอื้ งศูนยก์ ลางของวงรี แทนดวย e คือ อัตราสวนของ c ตอ a เมื่อ c = a2 + b2 c ดังน้นั e = a

80 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ก ิจกรรมท่ี 9 วงรี 1. จงหาสมการวงรีเมื่อก�ำหนดจุดโฟกัส และผลบวกของระยะจากจุดบนวงรีไปยังจุดโฟกัสทั้งสอง ต่อไปนี้ 1) จุดโฟกัสอยูท่ ี่ (–6, 0) และ (6, 0) และผลบวกคงตัวเท่ากับ 20 หน่วย wpp

สื่อการเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 81 2) จุดโฟกัสอยู่ท่ี (0, –5) และ (0, 5) และผลบวกคงตวั เทา่ กับ 14 หนว่ ย wpp

82 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 2. จากสมการของวงรี จงหาจุดโฟกัส จุดยอด และเขยี นกราฟ x2 y2 1) 100 + 64 = 1 wpp 2) 9x2 + 4y2 – 36 = 0

สอื่ การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 83 3. จงหาสมการวงรีที่มีจดุ ยอดอยู่ที่ (–4, 0) และ (4, 0) และมจี ดุ โฟกสั จุดหนง่ึ เป็น (2, 0) wpp

84 สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 4. จงหาผลบวกของระยะจากจดุ ใด ๆ เปน็ วงรีไปยังจดุ โฟกัสท้งั สองจากสมการตอ่ ไปน้ี 1) 4x2 + 9y2 – 36 = 0 wpp 2) y2 + x2 – 16 = 0 5

ส่อื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 85 5. วงโคจรของดาวพลูโตรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรีที่มีความเยื้องศูนย์กลางมากท่ีสุด คือ 0.25 ความยาวของแกนโทของวงโคจรเทา่ กับ 1010 กโิ ลเมตร จงหาระยะทางทใ่ี กลท้ ่สี ดุ และไกลทสี่ ดุ ระหวา่ งดวงอาทติ ย์กบั ดาวพลโู ต wpp

86 สอ่ื การเรย� นรู สมบรู ณแ บบ รายว�ชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 3.2.3 พาราโบลา (Parabola) บทนยิ าม พาราโบลา คือ เซตของจุดทกุ จดุ บนระนาบซึ่งอยูหา งจากเสน ตรงคงที่เสนหนึ่งบนระนาบ และจุดคงท่จี ดุ หนง่ึ บนระนาบนอกเสนตรงคงทีน่ นั้ เปนระยะทางเทากนั เสมอ จากบทนิยามเสนตรงคงท่ีและจุดคงที่ดังกลาว เรียกวา เสนบังคับหรือไดเรกตริกซ์ และ จดุ โฟกสั ของพาราโบลาตามล�าดบั เสนตรงซ่งึ ผานจุดโฟกัสและตัง้ ฉากกบั ไดเรกตรกิ ซ์ เรยี กวา แกนของพาราโบลา จุดท่ีพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกวา จุดยอดของพาราโบลา ถาแบงพาราโบลา ตามรูปของกราฟจะมี 4 แบบ คือ พาราโบลาเปิดดานบน (หงาย) พาราโบลาเปิดดานลาง (คว�่า) พาราโบลาเปิดดา นขวา (ตะแคงขวา) พาราโบลาเปดิ ดานซา ย (ตะแคงซาย) แบง ตามรูปของสมการจะมี 2 กรณี คอื กรณีท ี่ 1 คอื 4c (y – k) = a (x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 ถา c > 0 เปน พาราโบลาเปดิ ดานบน และ c < 0 เปน พาราโบลาเปิดดา นลา ง กรณีที ่ 2 คือ 4c (x – h) = a (y – k)2 เมอ่ื a ≠ 0 ถา c > 0 เปน พาราโบลาเปดิ ดา นขวา และ c < 0 เปนพาราโบลาเปดิ ดา นซา ย ทั้งสองกรณี ถา h = 0 และ k = 0 แสดงวาพาราโบลามีจุดยอดอยทู ี่จดุ กา� เนิด (0, 0) กรณที ่ี 1 เขยี นเปน กราฟจะไดว า wpp จุดโฟกัส F Y 4cy = x2 h=k=0 Y จดุ ยอด จดุ ยอด (0, c) เม่ือ c > 0 ไดเรกตริกซ์ (0, c) X (0, 0) X (F0, 0) 4cy = x2 (0, –c) ไดเรกตริกซ์ (0, –c) เม่อื c < 0 h = k = 0 จดุ โฟกัส

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 87 กรณที ี่ 2 เขียนเปน กราฟจะได ไดเรกตรกิ ซ์ Y Y ไดเรกตริกซ์ จดุ ยอด จุดยอด X (–c, 0) F (0, c) X F (–c, 0) (0, c) (0, 0) จุดโฟกสั (0, 0) 4cy = x2 เมอ่ื c > 0 h = k = 0 จดุ โฟกสั 4cy = x2 เม่อื c < 0 h = k = 0 Y P (x, y) (–c, 0) (0, 0) (c, 0)X wpp เลตัสเรกตมั จากบทนยิ ามจะได EP = PF ดงั นน้ั | x + c | = (x + c)2 + y2 ยกก�ำลงั สอง (x + c)2 = (x – c)2 + y2 x2 + 2cx + c2 = x2 – 2cx + c2 + y2 4cx = y2 น่นั คือ ความสมั พนั ธซง่ึ มกี ราฟพาราโบลาทมี่ ีจดุ โฟกสั อย่ทู ่ี (c, 0) และมีเสนตรง x = –c เปน ไดเรกตรกิ ซค อื {(x, y) ∈ R × R | y2 = 4cx} ในทำ� นองเดยี วกนั พาราโบลาทม่ี จี ดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (0, c) และมเี สน ตรง y = –c เปน ไดเรกตรกิ ซ คือ{(x, y) ∈ R × R | x2 = 4cy} เลตสั เรกตมั เปน็ เสน้ ตง้ั ฉากกบั แกนของพาราโบลา ผา่ นจดุ โฟกสั แสดงความกวา้ งของพาราโบลา

88 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ตวั อยา งที่ 1 จงหาสมการของพาราโบลา ซง่ึ มีเสนตรง y = –2 เปนไดเรกตริกซ และจดุ (0, 2) เปนจดุ โฟกสั วิธที �ำ จากโจทย เสนตรง y = –2 เปนไดเรกตรกิ ซ จดุ โฟกสั อยู่ที่ (0, 2) c = 2 จาก x2 = 4cy แทนคา x2 = 4 × 2 × y x2 = 8y สมการพาราโบลาคือ x2 = 8y wpp ตัวอยางท่ี 2 ก�ำหนดให {(x, y) ∈ R × R | x2 = –12y} จงหา 1) พกิ ดั ของจดุ โฟกสั 2) แกนของพาราโบลา 3) สมการของไดเรกตริกซ วิธที �ำ 1) จาก x2 = –12y x2 = 4(–3)y เปนกราฟพาราโบลา จะไดวา c = –3 ดังนน้ั จดุ โฟกัสอยทู่ ี่ (0, –3) วธิ ที �ำ 2) จาก x2 = –12y แกนของพาราโบลาคือแกน Y วธิ ที �ำ 3) จาก x2 = 4cy สมการไดเรกตรกิ ซค ือ y = –c y = –(–3) y = 3 หรอื y – 3 = 0

สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 89 ตัวอยา งท่ี 3 ก�ำหนดให {(x, y) ∈ R × R | y2 = –16x} จงหา 1) พิกัดของจุดโฟกสั 2) แกนของพาราโบลา 3) สมการของไดเรกตรกิ ซ วธิ ที �ำ 1) จาก y2 = –16x y2 = 4(–4)x จะไดว า c = –4 ดังน้ันจดุ โฟกสั อยทู่ ี่ (–4, 0) วธิ ที �ำ 2) จาก y2 = –16x แกนของพาราโบลาคอื แกน X วิธีท�ำ 3) จาก y2 = 4cx สมการไดเรกตรกิ ซค ือ x = –c x = –(–4) wpp x = 4 x – 4 = 0 กิ จกรรมที่ 10 พาราโบลา 1. จงหาโฟกัส ไดเรกตริกซ์ และความยาวของเลตสั เรกตมั ของพาราโบลาแล้วเขยี นกราฟ 1) x2 = 10y

90 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2) y2 = 5x wpp

สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 91 3) x2 + 8y2 = 0 wpp

92 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 2. จงหาสมการของพาราโบลาทีม่ ีจุดยอดอย่ทู ่ีจุดกำ� เนิดและสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปน้ี 1) ไดเรกตรกิ ซ์ x + 5 = 0 จุดโฟกัส (5, 0) 2) ไดเรกตริกซ์ x = 3 จดุ โฟกัส (–3, 0) wpp

สื่อการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 93 3) พาราโบลาเป็นโคง้ เปดิ ด้านบน โฟกสั ห่างจากจดุ ยอด 8 หนว่ ย 4) ไดเรกตรกิ ซม์ ีระยะตดั แกน Y เท่ากบั 6 หน่วย 5) เลตสั เรกตมั ยาว 8 หนว่ ย และโฟกสั อย่บู นแกน Y wpp

94 สือ่ การเร�ยนรู  สมบรู ณแบบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 3.2.4 ไฮเพอรโบลา (Hyperbola) YY F′ O P (x, y) F P (x, y) OX FX F′ wpp จากกราฟจุด P เคลอื่ นทไ่ี ด จุด F และ F′ เปนจุดคงที่ เปน จุดโฟกัส เม่อื จดุ P เคล่ือนที่ จะทา� ให | | F′P | – | FP | | มีคา คงตวั จดุ P เคลอ่ื นทเ่ี ปน กราฟเสน โคง เรียกวา ไฮเพอรโ์ บลา บทนยิ าม ไฮเพอรโ์ บลา คือ เซตของจดุ ทุกจดุ ในระนาบ ซ่ึงผลตางของระยะหา งจากจดุ ใด ๆ ในเซตน้ี ไปยงั จดุ คงทสี่ องจดุ มคี า คงตวั ซง่ึ มากกวา ศนู ย์ แตน อ ยกวา ระยะหา งระหวา งจดุ คงทที่ ง้ั สอง จากบทนยิ าม จดุ F และ F′ เปน จุดโฟกสั ให P (x, y) เปนจุดใด ๆ บนไฮเพอร์โบลา จะไดวา | | PF′ | – | PF | | = k เม่อื k เปนคา คงตวั พิจารณารปู ∆ PFF′ ; จะได | | PF′ | – |PF | | ตอ งนอ ยกวา FF′ เสมอ ดงั นั้นคาของ k ตองนอยกวาระยะหา งระหวางจุดโฟกสั น่ันคือ | | PF′ | – | PF | | = k และ k < | FF′ |

สอื่ การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 95 การหาสมการไฮเพอร์โบลาท่มี ีจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ีจ่ ุดก�ำเนิด (0, 0) ไฮเพอรโ์ บลาทมี่ ีแกนตามขวางอยบู่ นแกน X Y P (x, y) F′(–c, 0) O F(c, 0) X ใหจ ดุ โฟกสั อยทู่ ่ี F (c, 0) และ F′(–c, 0) และ P (x, y) เปน จดุ ใด ๆ บนกราฟไฮเพอรโ บลา ระยะหา งระหวางจดุ FF′ = 2c wpp ดงั นั้น | | PF′| – | PF | | = k เม่อื k < 2c ให 2a = k เม่ือ a > 0 จะไดว า | | PF′| – | PF | | = 2a เมือ่ 2a < 2c (x + c)2 + (y – 0)2 + (x – c)2 + (y – 0)2 = ±2a (x + c)2 + y2 = ±2a + (x – c)2 + y2 ยกกำ� ลงั สอง (x + c)2 + y2 = 4a2 + (x – c)2 + y2 ±4a (x – c)2 + y2 x2 + 2cx + c2 + y2 – 4a2 – x2 + 2cx – c2 – y2 = ±4a + (x – c)2 + y2 4cx – 4a2 = ±4a (x – c)2 + y2 น�ำ 4a หารตลอด cax – a = ± (x – c)2 + y2 ยกก�ำลงั สอง cca22cxx2a222x2–2––a22cxxx22 + a2 = x2 – 2cx + c2 + y2 (c2 –a2a2)x2 – y2 = c2 – a2 – y2 = c2 – a2 a2 – y2 = c2 – a2 น�ำ (c2 – a2) หารตลอด x2 y2 a2 – (c2 – a2) = 1

96 สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 x2 – y2 = 1 เม่อื b2 = c2 – a2 และ b > 0 a2 b2 และมีกราฟดงั รปู Y B(0, b) F′(–c, 0) O F(c, 0) X V′(–a, 0) V(a, 0) B′(0, –b) wpp จากรปู จะไดวา 1. ไฮเพอรโ บลามีจดุ โฟกัสอย่ทู ่ี F(c, 0) และ F′(–c, 0) 2. มีจุดศูนยก ลางอย่ทู ่ี O(0, 0) 3. มจี ุดยอดอยู่ที่ V(a, 0) และ V′(–a, 0) 4. แกนตามขวางเปน สว นของเสน ตรงทเ่ี ชือ่ มระหวา งจดุ ยอดเปน 2a หนว ย 5. แกนสงั ยคุ เปน เสน ตรงซงึ่ แบง ครงึ่ และตงั้ ฉากกบั แกนตามขวางทจี่ ดุ ศนู ยก ลาง มคี วามยาวเทากบั 2b หนว ย 6. ผลตา งคา คงตัวเทา่ กบั 2a หนวย ในท�ำนองเดยี วกนั กราฟไฮเพอรโบลาท่มี ีจุดศูนยก ลางที่ (0, 0) แกนตามขวางอย่บู นแกน Y จะมีสมการ y2 – x2 = 1 เมอื่ b2 = c2 – a2 และ b > 0 a2 b2 และมกี ราฟดังรูป Y F(0, c) B′(–b, 0) V(0, aB)(b, 0) X O V′(0, –a) F′(0, –c)

สอื่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 97 จากรปู จะไดวา 1. ไฮเพอรโ บลามจี ุดโฟกัสอย่ทู ่ี F (0, c) และ F′(0, –c) 2. มจี ุดศนู ยกลางอย่ทู ่ี O (0, 0) 3. มีจดุ ยอดอย่ทู ่ี V (0, a) และ V′(0, –a) 4. แกนตามขวางยาวเท่ากับ 2a 5. แกนสงั ยคุ เทา่ กบั 2b 6. ผลตา งคา คงตวั เท่ากับ 2a ในกรณีท่ีไฮเพอรโบลามคี วามยาวของแกนตามขวางยาวเทา กับแกนสงั ยคุ เรยี กไฮเพอรโบลา ชนดิ นีว้ า ไฮเพอรโบลามมุ ฉาก เชน สมการไฮเพอรโบลามุมฉาก x2 – y2 = 4 ตัวอยางที่ 1 ผลตางของระยะหางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอรโบลาไปยังจุด (–5, 0) และ (5, 0) เทา กับ 6 หนว ย จงหาสมการของไฮเพอรโบลา วธิ ีท�ำ Y P (x, y) wpp F′(–5, 0) O F(5, 0)X ให P (x, y) เปนจดุ ใด ๆ บนกราฟไฮเพอรโ บลา F (–5, 0) และ F′(5, 0) เปน จุดโฟกัส | | PF′| – | PF | | = 6 (x + 5)2 + y2 – (x – 5)2 + y2 = 6 (x + 5)2 + y2 = 6 + (x – 5)2 + y2 ยกกำ� ลงั สอง (x + 5)2 + y2 = 36 + 12 (x – 5)2 + y2 + (x – 5)2 + y2 x2 + 10x + 25 + y2 = 36 + 12 (x – 5)2 + y2+x2 – 10x + 25 + y2 20x – 36 = 12 (x – 5)2 + y2 5x – 9 = 3 (x – 5)2 + y2 ยกก�ำลังสอง 25x2 – 90x + 81 = 9(x2 – 10x + 25 + y2) 25x2 – 90x + 81 = 9x2 – 90x + 225 + 9y2

98 สอื่ การเรียนรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 16x2 – 9y2 = 144 x92 – 1y62 = 1 สมการไฮเพอรโ บลาคอื x92 – 1y62 = 1 ตวั อยางท่ี 2 ผลตางของระยะหางจากจุดใด ๆ บนไฮเพอรโบลาไปยังจุด (0, –5) และ (0, 5) เทา กับ 6 หนวย จงหาสมการของไฮเพอรโ บลา วิธีท�ำ Y F (0, 5) P(x, y) OX wpp F′(0, –5) ให P (x, y) เปน จดุ ใด ๆ บนกราฟไฮเพอรโบลา F′(0, –5) และ F(0, 5) เปนจดุ โฟกัส | | PF′| – | PF | | = 6 x2 + (y + 5)2 – x2 + (y – 5)2 = 6 x2 + (y + 5)2 = 6 + x2 + (y – 5)2 ยกก�ำลงั สอง x2 + y2 + 10y + 25 = 36 + 12 x2 + (y– 5)2+ x2 + y2 – 10y + 25 20y – 36 = 12 x2 + (y – 5)2 5y – 9 = 3 x2 + (y – 5)2 ยกกำ� ลงั สอง 25y2 – 90y + 81 = 9(x2 + y2 – 10y + 25) 25y2 – 90y + 81 = 9x2 + 9y2 – 90y + 225 16y2 – 9x2 = 144 y92 – 1x62 = 1 สมการไฮเพอรโ บลาคือ y92 – 1x62 = 1

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่มิ เติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 99 ไฮเพอร์โบลาที่มสี มการ xy = k YY OX OX k>0 k<0 สมการไฮเพอรโบลาทอี่ ยใู่ นรปู xy = k เม่ือ k เปน คาคงตวั เปน ไฮเพอรโบลามุมฉาก ถา k > 0 แลวกราฟจะอยใู่ นควอดรันตท ่ี 1 และ 3 ถา k < 0 แลว กราฟจะอยใู่ นควอดรนั ตท่ี 2 และ 4 ตัวอยา งที่ 3 จงเขยี นกราฟอยางครา ว ๆ ของสมการ xy = 4 วิธีท�ำ จากสมการ xy = 4 จะไดคา x, y ดังตาราง wpp x 1 –1 2 –2 4 –4 y 4 –4 2 –2 1 –1 เขียนกราฟไดดงั น้ี Y OX จาก xy = 4 กราฟอย่ใู นควอดรันตท ่ี 1 และ 3

100 สือ่ การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตวั อยา งท่ี 4 จงเขยี นกราฟอยา งครา ว ๆ ของสมการ xy = –4 วธิ ที �ำ จากสมการ xy = –4 จะไดค า x, y ดงั ตาราง x 1 –1 2 –2 4 –4 y –4 4 –2 2 –1 1 เขยี นกราฟไดด ังนี้ Y OX wpp จาก xy = –4 กราฟจงึ อย่ใู นควอดรนั ตท่ี 2 และ 4 ตัวอยางท่ี 5 จงเขียนกราฟอยางครา ว ๆ ของสมการ xy – 2y – 1 = 0 วธิ ีท�ำ จากสมการ xy – 2y – 1 = 0 y(x – 2) = 1 เปน ไฮเพอรโ บลามุมฉากท่ีมีจดุ ศูนยก ลางอย่ทู ี่ (2, 0) ดงั นน้ั เลื่อนแกนจาก (0, 0) ไปยงั (2, 0) (x, y) เมื่อเทียบกับแกนใหม จะไดรูป x′ = x – 2, y′ = y Y Y′ O (2, 0) XX′ ดังน้ัน สมการที่เทียบกับแกนใหมค ือ x′y′ = 1 กราฟของ x′y′ = 1 เหมือนกับกราฟของ xy = 1 เมอื่ เลื่อนกราฟจาก (0, 0) ไปยงั จดุ (2, 0) จึงไดก ราฟของ xy – 2y – 1 = 0

กิ จกรรมท่ี สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 101 11 ไฮเพอรโ์ บลา 1. จงหาจุดยอด โฟกสั และเส้นก�ำกบั ของไฮเพอรโ์ บลา พร้อมทั้งเขียนกราฟ 1) 4x2 – 9y2 – 36 = 0 wpp

102 สอ่ื การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 2) 9x2 – 16y2 – 144 = 0 wpp

ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 103 3) 16y2 – 20x2 – 80x +23y – 224 = 0 wpp

104 สื่อการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 2. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลา เมื่อผลตา่ งทางระยะจากจดุ ใด ๆ บนไฮเพอรโ์ บลาไปยังจดุ (–10, 0) และ (1, 0) เทา่ กับ 16 หนว่ ย 3. กราฟของไฮเพอร์โบลา 4x2 – 9y2 = k ผา่ นจดุ (1, 2) จงหาคา่ k wpp

ส่อื การเรย� นรู  สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 105 4. จงบอกช่อื กราฟของสมการตอไปน้ี 1) 5x = 6y 2) xy = 6 3) 16x – y2 = 0 4) 4x + 4y2 – 7 = 0 5) 4x – 3y + 5 = 0 6) x2 – 4y2 – 100 = 0 7) 5x2 + 10x + 5y2 – 45 = 0 8) y2 – x2 – 36 = 0 3.2.5 การเลื่อนกราฟ ในการศึกษาเรื่องวงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางท่ีจุดก�าเนิด สมการของ ภาคตัดกรวยทั้งสามชนิดมีรูปแบบมาตรฐาน ส�าหรับหัวขอน้ีจะศึกษาภาคตัดกรวยที่มีจุดยอดและ จุดศูนย์กลางท่ีจุดใด ๆ จากการท่ศี กึ ษาเรอื่ งเกยี่ วกับการเลอื่ นกราฟของฟง ก์ชันมาแลว สา� หรบั สมการใด ๆ ถา แทน x ดวย x – h หรอื x + h กราฟของสมการใหมคือกราฟของสมการเดิมท่ีเล่ือนไปตามแนวนอน ถา แทน y ดวย y – k หรอื y + k กราฟของสมการใหมคือกราฟของสมการเดิมท่เี ลือ่ นไปตามแนวตั้ง การเลอื่ นกราฟของสมการ ถา h และ k เปนจา� นวนจรงิ บวก 1. แทน x ดว ย x – h กราฟจะเลื่อนไปทางขวา h หนวย 2. แทน x ดวย x + h กราฟจะเลื่อนไปทางซา ย h หนวย 3. แทน y ดวย y – k กราฟจะเล่ือนขึ้นบน k หนวย 4. แทน y ดวย y + k กราฟจะเลื่อนลงลาง k หนวย wpp

106 สือ่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 ตวั อยางที่ สมการวงรี คือ x2 + y2 =1 a2 b2 ถ้าเลอื่ นกราฟวงรีใหจ้ ดุ ศูนย์กลางของวงรีไปอย่ทู ี่ (h, k) (x – h)2 (y – k)2 สมการของวงรี เมอ่ื เทยี บกับแกนเดิมคอื a2 + b2 = 1 เม่ือ b2 = a2 – c2 เขยี นกราฟไดด้ งั น้ี Y B(h , k + b) V ′(h – a, k) O′(h, k) V(h + a, k) F′(h – c,, k) F(h + c, k) B′(h , k – b) OX wpp ตัวอยางท่ี 1 จงหาสมการของวงรี ซง่ึ ผลบวกของระยะ P (x, y) ใด ๆ บนวงรไี ปยงั จดุ (–2, 3) และ (6, 3) เทากับ 10 Y Y′ V′ P (x, y) X′ F′ (–2, 3) V X O F (6, 3) วิธที �ำ จุดศูนยกลางของวงรีคือจุดกึง่ กลางของ FF′ O′(h, k) = 6 2–3)2 , 3 +2 3 O′(h, k) = (2, ดังน้ัน h = 2, k=3 FF′ = 2c = 6 + 2 = 8 c = 4

ส่อื การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 107 PF + PF′ = 2a = 10 a = 5 และ b2 = a2 – c2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 b = 3 ดงั น้นั แกนเอกอยู่บนเสนตรง y = 3 รูปทวั่ ไปของสมการวงรี คือ (x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2 สมการวงรคี ือ (x – 2)2 (y – 3)2 25 + 9 = 1 อาศยั หลกั การเลอ่ื นกราฟสรปุ สมการของภาคตดั กรวยแตล่ ะชนดิ ทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (h, k) wpp ได้ดงั น้ี 1. วงกลม Y′ Y X′ – สมการ (x – h)2 + (y – k)2 X – จุดศูนย์กลาง O′(h, k) (h, k) – รศั มี r หนว่ ย O′ O 2. วงรี Y Y′ เมื่อแกนเอกขนานกับแกน X – สมการ (x –a2h)2 + (y b–2k)2 = 1, a > b (h, k + b) – จุดศนู ยก์ ลางของวงรอี ยู่ท่ี O′(h, k) – แกนเอกยาว 2a หน่วย และแกนโทยาว 2b หน่วย V ′(h – a, k) b (h, k) V(h + aX,′k) – จุดโฟกสั (h + c, k) และ (h – c, k) F′(ha– c, k) F(h + X – จดุ ยอด (h + a, k) และ (h – a, k) c, k) – จดุ ปลายแกนโท (h, k + c) และ (h, k – c) โดยที่ a > b > c > 0 และ b2 = a2 – c2 (h, k – b) O

108 สอื่ การเรียนรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 เม่ือแกนเอกขนานกับแกน Y Y Y′ – สมการ (y a–2k)2 + (x –b2h)2 = 1, a > b – จดุ ศูนย์กลางของวงรอี ย่ทู ี่ O′(h, k) V(h, k + a) – แกนเอกยาว 2a หน่วย และแกนโทยาว 2b หนว่ ย F(h, k + c) – จุดโฟกสั (h, k + c) และ (h, k – c) (h – a (h, k) (h + b, k)X′ – จุดยอด (h, k + a) และ (h, k – a) b, k) – จดุ ปลายแกนโท (h + b, k) และ (h – b, k) b F′(h, k – c) โดยท่ี a > b > c > 0 และ b2 = a2 – c2 O V′(h, k – a) X 3. พาราโบลา wpp Y Y′ Y มแี กนขนานกบั แกน X Y′ – สมการ (y – k)2 = 4c(x – h) x = h – c – จุดยอด O′(h, k) X′ P(x, y) X′ P(x, y) – จุดโฟกสั F(h + c, k) O′(h, k) F(h + c, kX) F(h + c, k) O′(h, k) – ไดเรกติกซ์ y = k – c O X c > 0 กราฟจะเปดิ ทางขวา O x=h–c c < 0 กราฟจะเปิดทางซา้ ย เมือ่ c > 0 เมือ่ c < 0 มแี กนขนานกบั แกน Y – สมการ (x – h)2 = 4c(y – k) Y Y′ Y Y′ – จดุ ยอด O′(h, k) F(h, k + cP) (x, y) – จดุ โฟกสั F(h, k + c) X′ y=k–c O′(h, k) y = kX– c – ไดเรกติกซ์ x = k – c O′(hP, (kx), X′ y) X c > 0 กราฟจะเปดิ ดา้ นบน c < 0 กราฟจะเปิดดา้ นลา่ ง O O F(h, k + c) เม่อื c < 0 เมอ่ื c < 0

สื่อการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 109 4. ไฮเพอรโ์ บลา มีแกนตามขวางขนานแกน X – สมการ (x –a2h)2 – (y b–2k)2 = 1, a > 0, b > 0 – จดุ ศนู ย์กลาง (h, k) – จุดโฟกสั (h + c, k) และ (h – c, k) Y – จุดยอด (h + a, k) และ (h – a, k) – จุดปลายแกน (h, k + c) และ (h, k – c) (h, k + b) F(h + c, k) (h, k) V(h + a, k) F′(h – c, k) V(h – a, k) โดยที่ b2 = c2 – a2 และ 0 < a < c O (h, k – b) X – –L1kแ=ละ±L2abคอื (xเส–้นกh�ำ)กบั มีสมการเป็น y มแี กนตามขวางขนานแกน Ywpp (x –b2h)2 – สจดุ มศกนู ารย์ก(ลyางa–2(kh),2 – = 1, a > 0, b > 0 – k) Y F(h, k + c) – จดุ โฟกัส (h, k + c) และ (h, k – c) (h – b, k) (hV, k(h),(hk ++ ba,) k) – จุดยอด (h, k + a) และ (h, k – a) V′(h, k – a) – จุดปลายแกน (h + b, k) และ (h – b, k) โดยท่ี b2 = c2 – a2 และ 0 < a < c OX – L1 และ L2 คือเส้นก�ำกับมีสมการเปน็ F′(h, k – c) y – k = ± ba (x – h) ตวั อยางท่ี 2 จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จดุ ยอด และจุดโฟกัสของสมการของไฮเพอร์โบลา y2 – 6x2 + 2y + 36x – 59 = 0 วธิ ีท�ำ y2 + 2y – 6x2 + 36x = 59 y2 + 2y + 1 – 6(x2 – 6x + 9) = 59 + 1 – 54 (y + 1)2 – 6(x – 3)2 = 6 (y –6 1)2 – (x – 3)2 = 1 จาก (y a–2k)2 + (x –b2h)2 = 1

110 ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 จะไดว้ า่ h = 3, k = –1, a = 6 , b = 1 จุดศูนย์กลางอย่ทู ี่ O′(3, –1) แกนตามขวางอย่ทู ี่เส้นตรง x = 3 จาก b2 = c2 – a2 1 =c2 – 6 c2 = 7 ; c = ± 7 ∴ จุดโฟกัสอยู่ที่ F(h, k + c) และ F ′(h, k – c) ดงั นัน้ F (3, –1 + 7) และ F ′(3, –1 – 7) จดุ ยอดอยทู่ ่ี V(h, k + a) และ V ′(h, k – a) V(3, –1 + 6) และ V ′(3, –1 – 6) ก ิจกรรมท่ี 12 การเลอ่ื นกราฟ 1. จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมขี องวงกลมของสมการ x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0 wpp

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบรู ณ์แบบ รายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 111 2. จงหาจดุ โฟกสั จุดยอดและจดุ ศนู ยก์ ลางของสมการวงรี (x 2–51)2 + (y 1–61)2 = 1 3. จงหาจุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกซข์ องพาราโบลา (y – 2)2 = 16(x – 5) wpp

112 สือ่ การเร�ยนรู  สมบูรณแ บบ รายว�ชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ม. 4 เลม 2 4. จงหาสมการไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (2, 6) จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยูที่ (4, 6) และ มจี ุดศูนยก์ ลางอยบู นแกน Y บทสรปุ หนว‹ ยการเร�ยนรŒูที่ 3 wpp 1. ระยะหา งระหวางจดุ สองจุด (x1, y1) และ (x2, y2) ใด ๆ หาไดดังน้ี ถา d เปน ระยะหา งระหวางจดุ สองจดุ จะได d = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 และระหวาง (x1, y1) กับ (x2, y2) ใด ๆ สามารถสลบั ทกี่ ันได 2. จดุ กึง่ กลางระหวาง +2Ay(2x1, y1) และ B (x2, y2) หรือจดุ กง่ึ กลางของ AB x1 + x2 , y1 คือ 2 3. ความชนั ของเสน ตรงท่ไี มขนานกับแกน Y และตดั กับแกน X เปนมมุ θ ในทศิ ทวนเข็ม นาฬกิ าจะได 3 ลักษณะ ดงั นี้ ลักษณะที่ 1 ความชนั (m) = tan θ ถา 0 d θ < 90 จะได m > 0 ถา 90 < θ d 180 จะได m < 0 ในกรณที ่ี θ = 90 ไมน ยิ ามเพราะวา tan 90 � ไมม คี วามหมายทางคณติ ศาสตร์ ลกั ษณะท ่ี 2 เม่อื Ax + By + C = 0 เปน เสนตรง จะไดวา y = – AB x – CB เม่ือ B ≠ 0 ลักษณะท่ ี 3 ถจคะวาเไาสดมนช–ตนั รคงBAือผานเปจxyนุด22คส––วอางxyมจ11ชุดันใ,ดขหอๆงรเือคสอืน ตyx(รx11ง1––, yxy122) และ (x2, y2)

ส่ือการเรยี นรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 113 สำ� หรบั กรณที ี่ 2 และ 3 ถา m > 0 เสนตรงท�ำมุมแหลมกบั แกน X ในทศิ ทวนเขม็ นาฬิกา แตถ า m < 0 เสนตรงทำ� มุมปา นกบั แกน X ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า 4. ความสมั พนั ธซึ่งมกี ราฟเปน เสนตรง เปน เซตของคู่อนั ดบั (x, y) ใด ๆ ท่ี x, y ∈ R ท่ี ก�ำหนดดงั สมการ Ax + By + C = 0 5 . กเ ราารสห าามรา ะรยถะหหาสางมรกะาหรวเmสางน(เxตสรน–งตเxมรm1ง่ือ)ก m ับจ==ุดเ ป็นหyyxครว–ือ––าเมyสxy1ชน11นั ตรแงลกะับผเสานนจตุดรง(ทx่ีข1,นyาน1)กไันดจ ะจมากีวิธีหาโดย ใชสูตรดงั นี้ กรณีที่ 1 ระยะหา งระหวา งจุด P (x1, y1) กบั เสน ตรง Ax + By + C = 0 ถา d เปนระยะดงั กลา วจะได d = |Ax1 + By1 + C | wpp A2 + B2 d = |C1 – C2 | กรณที ่ี 2 การหาระยะหางระหวางเสน ตรง 2 เสนขนานกันจะไดว า A2 + B2 6. ภาคตดั กรวย 1) วงกลม กราฟ สมการของกราฟและข้อเท็จจริงที่ส�ำคญั สมการ x2 + y2 = r2 Y จดุ ศูนยก์ ลาง (0, 0) (0, r) รศั มี r หนว่ ย (0, 0) (r, 0) X Y′ Y สมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จุดศูนย์กลาง (h, k) (h, k) X′ รัศมี r หนว่ ย O′ OX

114 ส่อื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 2) วงรี กราฟ สมการของกราฟและข้อเท็จจริงที่ส�ำคญั Y จสุดมศกูนารย์กaxล22าง+ (by022, =1 โดยท่ี a > 6 0) (0, b) V′(–a, 0) (–c, F0)′ (0, 0) (c, 0) V(aX, 0) แกนเอกอยบู่ นแกน X F จดุ โฟกสั (c, 0) และ (–c, 0) จดุ ยอด (a, 0) และ (–a, 0) (0, –b) จดุ ปลายแกนโท (0, b) และ (0, –b) Y V(0, a) สจดุมศกนู ารย์กayล22าง+ (bx022, =1 โดยที่ a > 6 F(0, c) 0) (0, 0) (b, 0) X (–b, 0)wpp แกนเอกอย่บู นแกน Y จุดโฟกสั (0, c) และ (0, –c) จดุ ยอด (0, a) และ (0, –a) F′(0, –c) จุดปลายแกนโท (b, 0) และ (–b, 0) V′(0, –a) จสุดมศกนู ารย์ก(ลxาง–a2(hh),2 + (y b–2k)2 = 1 k) Y Y′ (h, k + b) จดุ โฟกัส (h + c, k) และ (h – c, k) V ′(h – a, k) b (h, k) V(h + aX,′k) จุดยอด (h + a, k) และ (h – a, k) F′(ha– c, k) F(h + X c, k) จุดปลายแกนโท (h, k + c) และ (h, k – c) (h, k – b) โดยท่ี a > b > c > 0 และ b2 = a2 – c2 O Y Y′ จสุดมศกูนารยก์ (yลาa-ง2k()h2, + (x b- 2h)2 = 1 k) V(h, k + a) F(h, k + c) (h – a (h, k) (h + b, k)X′ จุดโฟกัส (h, k + c) และ (h, k – c) b, k) จดุ ยอด (h, k + a) และ (h, k – a) b F′(h, k – c) จุดปลายแกนโท (h + b, k) และ (h – b, k) O V′(h, k – a) X โดยที่ a > b > c > 0 และ b2 = a2 – c2

สอ่ื การเรยี นรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 115 3) พาราโบลา กราฟ สมการของกราฟและข้อเทจ็ จริงทส่ี �ำคญั สมการ y2 = 4cx Y จุดยอด (0, 0) จดุ โฟกสั (c, 0) E P(x, y) X ไดเรกตริกซ์ x = –c แกนของพาราโบลา คือ แกน X O F(c, 0) x = –c (c > 0) Y P(x, y)wpp X E F(–c, 0) O x=c (c > 0) Y สมการ x2 = 4cy จุดยอด (0, 0) F(0, c) จุดโฟกสั (0, c) ไดเรกตรกิ ซ์ y = –c P(x, y) O X แกนของพาราโบลา คือ แกน Y E y = –c c>0 Y E y=c O X P(x, y) F(0, –c) c<0

116 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 กราฟ สมการของกราฟและข้อเท็จจรงิ ทีส่ �ำคัญ สมการ (y – k)2 = 4c (x – h) Y Y′ จุดยอด (h, k) จดุ โฟกสั (h + c, k) x = h – c ไดเรกตรกิ ซ์ x = h – c แกนของพาราโบลา y = k P(x, y) O′(h, k) F(h + c, k) X′ OX เมื่อ c > 0 Y Y′ P(x, y) F(h + c, k) O′(h, k) wpp X′ OX เมอ่ื c < 0 x = h – c Y Y′ สมการ (x – h)2 = 4c (y – k) จุดยอด (h, k) F(h, k + c) จุดโฟกัส (h, k + c) P(x, yX) ′ ไดเรกตริกซ์ y = k – c O′(h, k) แกนของพาราโบลา x = h y=k–c OX เม่อื c < 0 Y Y′ y=k–c O′(hP, k(x), y) X′ X O F(h, k + c) เมอื่ c < 0

ส่ือการเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 117 5) ไฮเพอรโ์ บลา กราฟ สมการของกราฟและข้อเท็จจรงิ ที่ส�ำคญั Y จสดุมศกนู ารย์กaxล22าง+ (by022, =1 0) (0, b) จดุ โฟกสั (c, 0) และ (–c, 0) F′(–c, 0) (0, 0) F(c, 0) จดุ ยอด (a, 0) และ (–a, 0) X V′(–a, 0) V(a, 0) (0, –b) แกนตามขวางอย่บู นแกน X จุดปลายแกน (0, b) และ (0, –b) โดยที่ b2 = c2 – a2 และ 0 > a > c Y จสุดมศกูนารยก์ ayล22าง+ (bx022, =1 โดยที่ a > 6 0) wpp F(0, c) จุดโฟกัส (0, c) และ (0, –c) (–b, 0) V(0, a) X จดุ ยอด (0, a) และ (0, –a) (0, 0V)′(0, –a)(b, 0) แกนตามขวางอยบู่ นแกน Y F′(0, –c) จุดปลายแกน (b, 0) และ (–b, 0) โดยที่ b2 = c2 – a2 และ 0 < a < c Y จสดุมศกนู ารยก์ (ลxาง–a2(hh),2 + (y b–2k)2 = 1 k) (h, k + b) จดุ โฟกสั (h + c, k) และ (h – c, k) (h, k) F(h + c, k) จุดยอด (h + a, k) และ (h – a, k) V(h + a, k) F′(h – c, k) V(h – a, k) O (h, k – b) X แกนตามขวางขนานแกน X จดุ ปลายแกน (h, k + c) และ (h, k – c) โดยท่ี b2 = c2 – a2 และ 0 < a < c Y F(h, k + c) จสดุมศกนู ารย์ก(yลาa-ง2k()h2, + (x b- 2h)2 = 1 k) (h – b, k) (hV, k(h),(hk ++ ba,) k) จุดโฟกัส (h, k + c) และ (h, k – c) V′(h, k – a) จดุ ยอด (h, k + a) และ (h, k – a) แกนตามขวางขนานแกน Y O X F′(h, k – c) จุดปลายแกน (h + b, k) และ (h – b, k) โดยท่ี b2 = c2 – a2 และ 0 < a < c

118 ส่ือการเร�ยนรู  สมบูรณแ บบ รายวช� าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร  ม. 4 เลม 2 กิจกรรมเสนอแนะ นักเรียนฝกเขียนสมการและเขียนกราฟของภาคตัดกรวยท่ีใชความรูเกี่ยวกับเร่ือง เรขาคณติ วเิ คราะห์พรอมนา� เสนอใหเพือ่ น ๆ ในชัน้ เรียนรว มกนั วิเคราะหห์ าค�าตอบ การประยุกตใช้ในชว� ต� จรง� นา� ความรูเ กี่ยวกับเร่อื งเรขาคณิตวเิ คราะห์ใชในแกปญ หาในสถานการณ์ตาง ๆ ในชวี ิตจริง หรือในการศึกษาตอ โครงงาน นักเรยี นเลือกทา� โครงงานทเ่ี กย่ี วขอ งกบั เร่อื งเรขาคณติ วิเคราะห์ โดยคน ควาจากเว็บไซตต์ า ง ๆ ในอินเตอรเ์ นต็ หรือเลอื กทา� โครงงานอ่ืนตามความสนใจทเ่ี กีย่ วขอ งกับเน้อื หาในบทเรยี น บันทกึ การเรย� นรู้ เขยี นสรปุ คว�มร ู คว�มคดิ และผลก�รปฏิบตั กิ ิจกรรมลงในชอ่ งว่�ง ความรูŒใหม‹ท่ีไดŒจากบทเร�ยน wpp ผลงานที่พอใจ กิจกรรมทชี่ อบ เร่อ� งที่ยงั ไมเ‹ ขŒาใจ ประโยชนจากการเร�ยน เซต

ส่อื การเรย� นรู สมบูรณแบบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 119 3แบบทดสอบหนว ยการเรย� นรูท ่ี เรขาคณิตวิเคราะห ด้านความรู้ คำชแ้ี จง จงเลือกขอทีถ่ ูกตองท่สี ดุwpp ค (4, 0) และ (–4, 0) 1. สมการเสน ตรงในขอใดสอดคลอ งกบั ง (0, 4) และ (0, –4) 7. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยูท่ี (4, 4) และ ความชนั คอื –5 ผา นจุด (1, 2) ไดเรกตริกซ์ คือ แกน Y สอดคลองกับ ก y = –5x + 7 ค y = –5x + 2 สมการในขอใด ข y = –4x + 7 ง y = –4x + 2 ก y2 + 16x – 8y – 80 = 0 2. สมการเสนตรงท่ีผา นจุด (–1, 4) และ ข y2 – 16x + 8y + 80 = 0 3. (กสข6ม,กyy–า2ร==ท)–่ขี76ตนx76รางxน+กกบั+2บั ข22เอ ส0ในดตงครงyy2==x––6776xyx+=+21202 ค y2 – 16x – 8y – 80 = 0 และผานจดุ (2, –1) ตรงกบั ขอใด ง y2 – 16x – 8y + 80 = 0 ก y = 2x + 3 ค y = 2x + 5 8. ไฮเพอรโ์ บลามีจุดศนู ยก์ ลาง (2, 4) โฟกัส ข y = –2x + 3 ง y = –2x + 5 (2, 1) และ (2, 7) และจดุ ยอดคอื (2, 2) 4. พาราโบลาทีม่ ีโฟกสั อยทู ีจ่ ดุ (0, 2) และ และ (2, 6) สอดคลอ งกบั สมการในขอ ใด ไดเรกตรกิ ซ์ y = –2 สอดคลอ งกบั สมการใด ก 4x2 + 5y2 – 16x – 40y + 36 = 0 ก x2 + 8y = 0 ค 8x2 + y = 0 ข 4x2 + 5y2 + 16x + 40y + 36 = 0 ข x2 – 8y = 0 ง 8x2 – y = 0 ค 4x2 – 5y2 – 16x + 40y + 36 = 0 5. วงรที ม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ี่ (0, 4) โฟกสั คอื ง 4x2 – 5y2 + 16x + 40y – 36 = 0 (0, 0) และ (0, 8) แกนเอกยาว 10 หนว ย 9. x2 + 16 = 4(2x + y2) คอื สมการของ สอดคลอ งกับสมการใด กราฟใด ก 9y2 + 25x2 + 72y + 144 = 225 ก กราฟวงกลม ข 9y2 + 25x2 + 72y – 144 = 225 ข กราฟไฮเพอรโ์ บลา ค 9y2 + 25x2 – 72y – 144 = 225 ค กราฟพาราโบลา ง 9y2 + 25x2 – 72y + 144 = 225 ง ไมใ ชสมการของกราฟภาคตัดกรวย 6. กราฟไฮเพอรโ์ บลา x2 – 4y2 + 16 = 0 10. x2 – y2 – 1 = 10(x – y) มีจดุ ยอดอยทู ่ีจดุ ใด จดุ โฟกสั ของกราฟตรงกับขอใด ก (2, 0) และ (–2, 0) ก (–5– 102,–5)และ(–5+ 102,–5) ข (0, 2) และ (0, –2) ข (–5 – 102, 5) และ (–5 + 102, 5) ค (5 – 102, –5) และ (5 + 102, –5) ง (–5 – 102, 0) และ (–5 + 102, 0)

120 ส่อื การเร�ยนรู สมบรู ณแบบ รายวช� าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร  ม. 4 เลม 2 คำชแี้ จง แสดงวิธที ำ จงหาสมการไฮเพอร์โบลาท่ีมจี ุดศูนยก์ ลางอยทู ่ี (–7, 0) จุดโฟกสั จดุ หนึ่งอยทู ่จี ดุ กา� เนดิ และแกน ตามขวางยาว 6 หนวย wpp

สอ่ื การเร�ยนรู้ สมบรู ณแบบ รายวช� าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร ม. 4 เลม 2 259 แบบทดสอบปลายภาคเร�ยน คําช ีแ้ จง จงเขียนเคร่อื งหมาย 5 ทับตัวอกั ษรหน้าค�าตอบที่ถกู ต้อง 1. ให ้ A = {1, 2, 3}, B = { } แล้ว A ĭ B เท่ากับข้อใด ก ø ค {(1, 0), (2, 0), (3, 0)} ข {1, 2, 3} ง A 2. ให ้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {0, 4} ถ้า r เป็นความสัมพนั ธ ์ “น้อยกวา่ ” จาก A ไป B แลว้ r เท่ากับขอ้ ใด ก {0} ค {(4, 1), (4, 2), (4, 3)} ข {(1, 4), (2, 4), (3, 4)} ง {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)} 4 3. ให ้ r = {(x, y) | y = 1 – x2 } โดเมนและเรนจ์ของ r คอื ข้อใด wpp ขคกงข ้อ ใDDDDดเrrrrป ====น็ โ{{{{ดxxxxเ ม|||| น–x–xแ 11ล<< ะ <<11เ ร}}xxน,, จ<<RRข์ 11rrอ }}ง==ต,, {{ัวRRผyyrr ก ||== ผyy นั{{ ≥>ขyyอ 44||ง }}คyy ว≥>าม 44ส}}ัมพนั ธ์ r = {(x, y) | x2 + y = 1} 4. งกคคข ว าDDDDมสrrrr ––––ัม 1111พ ====ัน ธRR{{์ xxf,, ใ||DD นxxขrr ้อ≤≤–– ใ11 ด 11== }}ไ ,,มR{ RRy่เป rr|็น ––y 11ฟ ≥==ง ก 0R{ช์ y}นั | y ≥ 0} 5. ก {(x, y) | y = 5} ค {(x, y) | |y| = 2x – 3} ข {(x, y) | y = x –x 1} ง {(x, y) | y = (3x + 2)2} 6. ฟง กช์ นั f ในข้อใดเขยี นได้เป็น f : A 1 – 1B กจขา กffก ((าxxร))ส า�==ร ว2xจx ค–x ว า1ม สมั พนั ธข์ องผลกา� ไรกบั ตคงน้ ทffนุ ((กxxา))ร ==ผ ล(ติ31ตx อ่– –ถ x งั 1ค2)อื 2 f (x) = 84x – 2x2 ถา้ f (x) 7. เปน็ ผลกา� ไร x เปน็ ตน้ ทนุ การผลติ ตอ่ ถงั ถา้ ตอ้ งการใหไ้ ดก้ า� ไรมากทสี่ ดุ จะตอ้ งลงทนุ ถงั ละกบ่ี าท ก 20 ค 22 ข 21 ง 24

260 ส่ือการเรียนรู้ สมบูรณแ์ บบ รายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม. 4 เลม่ 2 x – 4 และ g(x) = 2(x – 1) ถ้า r = ( xf )(x) แล้วขอ้ ใดเปน็ โดเมนและเรนจ์ 8. ให้ f (x) = ของ r R ก DDDDf (rrrrx====) {x | x แ≠≥≠≥ละ4114}}}}g,,,,(xRRRR)rrrr = ข {x | x = R y ≥ 0} ค {x | x = y ≥ 0} ง {x | x = {y | 3x2 ขงคอ้ ใด{{เxxป||็น––โดเม1133นข≤≥อง∪x fx≤°≥g13 9. ให้ = x = {y | ก 1– ข R } 1 {x| x ≥ 0} 3 } 10. ให้ f (x) = 2x + 5 แลว้ f –1(–3) เทา่ กับเทา่ ใด ก –– 423 ค –1 wpp ข ง 1 11. 5(4)31 + 2(32)13 – 10813 เขยี นในรปู อย่างงา่ ยได้ตรงกบั ขอ้ ใด ก 53 3 ค 83 2 ข 63 4 ง 123 4 3 5 +2 12. 4 5 + 2 2 เขียนในรูปอยา่ งงา่ ยได้ตรงกบั ขอ้ ใด ก 16 – 5 ค 15 – 5 25 25 28 – 10 15 – 10 ข 36 ง 36 13. ก�ำหนดให้ log 4.68 ≈ 0.6702 และ log N = 4.6702 แลว้ N มีคา่ ประมาณเท่าไร ก 468 ค 46,800 ข 4,680 ง 468,000 14. กำ� หนดให้ log e ≈ 0.4343 และ log 3.6 ≈ 0.5563 แล้ว ln 36 มีคา่ ประมาณเทา่ ไร ก 2.4572 ค 3.5835 ข 2.6482 ง 3.8645 15. กก�ำ ห0น.3ด6ให5้8lo g 3 7 ≈ 1 . 7 7 1 3 แ ล ้ว l o g81ค7 มีคา่ ประมาณเทา่ ไร 0.6274 ข 0.4428 ง 0.8456

สอื่ การเรียนรู้ สมบูรณ์แบบ รายวชิ าเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 261 16. เซตค�ำตอบของ 52x + 1 +5=26(5x) เทา่ กบั ขอ้ ใด ก {5, 9} ค {–1, 1} ข {8, 11} ง {–3, 4} 17. ขกเซ ต((ค5496ำ� ต,, อ∞∞บ))ข อ ง 4 3 x > 1 , 0 2 4 เ ท ่า ก บั ข อ้ ใคงด ( 3957 , ∞) ( , ∞) 18. เซตค�ำตอบของ log (2x +3) < 4 log 2 + log 5 เท่ากับขอ้ ใด – 23 , 77 – 74 , 31 ก 2 ค 4 ข 21 , 25 ง 45 , 29 2 4 19. คนงานเจาะพน้ิ ถนนมคี วามเขม้ ของเสยี ง 10–2 วตั ตต์ อ่ ตารางเมตร คนงานจะไดย้ นิ เสยี งจากการ เจาะพ้ืนถนนก่ีเดซเิ บล ก 80 เดซเิ บล wpp ค 100 เดซเิ บล ข 90 เดซเิ บล ง 120 เดซิเบล 20. ความเขม้ ข้นของประจุไฮโดรเจนในสารละลายกรดซัลฟิวริก 1 ลิตร เท่ากับ 0.068 โมล คา่ pH ของสารละลายกรดซลั ฟวิ รกิ เทา่ กบั ข้อใด (กำ� หนดให้ log 6.8 ≈ 0.8325) ก 1.1675 ค 2.3674 ข 1.4864 ง 2.5265 21. ถา้ A(2, –2), B(–3, 1) และ C(1, 6) เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหลีย่ มแล้ว ABC เปน็ รูป สามเหล่ียมชนดิ ใด ก สามเหล่ยี มดา้ นเท่า ค สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ข สามเหลี่ยมหนา้ จัว่ ง สามเหลี่ยมดา้ นไม่เท่า 22. สมการของวงกลมทม่ี จี กุ ศูนยก์ ลางในควอดรนั ตท์ ี่ 2 มีรัศมียาว 3 หน่วย และวงกลมสัมผัส ทัง้ แกน x และแกน Y ก x2 + y2 + 6x – 6y + 9 = 0 ค x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0 ข x2 + y2 + 9x – 6y + 9 = 0 ง x2 + y2 – 9x – 6y + 9 = 0 23. วงรีมีจุดศูนยก์ ลางทีจ่ ดุ (0, 0) แกนเอกอย่บู นแกน X ถ้ากราฟของวงรีผา่ นจุด (3, 2 ) และ ( 6 , 2) แล้วสมการวงรคี ือขอ้ ใด x2 y2 x2 y2 ก 8 + 4 = 1 ค 4 + 8 = 1 ข x2 + y2 = 1 ง x2 + y2 = 1 12 8 8 12

262 สือ่ การเรยี นรู้ สมบรู ณแ์ บบ รายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 24. สมการพาราโบลา y = x2 + 2x =––2 14ต3อ่ ไปคน ้ขี ค้อวใาดมไกมว่ถา้ ูกงตขอ้องงพาราโบลา ณ โฟกัสเท่ากับ 1 ก สมการของไดเรกทรกิ ซ์ คอื y ง จดุ ยอดอยทู่ ี่ (–1, –3) ข โฟกัสอยู่ที่ (– 34 , –3) 25. วงรีวงหน่ึงมสี มการ y2 + x2 = 1 จุดโฟกัสจดุ หนึง่ ของวงรีนค้ี ือข้อใด ก (0, 0) 169 144 ค (5, 0) ข (0, 5) ง (0, 13) 26. ก�ำหนดสมการวงรี (x – 1)2 + (x + 2)2 = 1 จุดโฟกัสของวงรนี ้คี อื ข้อใด 36 20 ก (–5, –2) และ (7, –2) ค (–3, –2) และ (5, –2) ข (–4, –4) และ (4, –2) ง (–3, 2) และ (5, 2) wpp 27. โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลาที่มสี มการ 16x2 – 92y2 – 64x – 54 – 161 = 0 คอื ข้อใด ก (–7, –3) และ (–3, –3) ค (5, –3) และ (–1, –3) ข (2, 2) และ (2, –8) ง (2, 0) และ (2, –6) 28. ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง ก สมการของวงรี 169x2 + 144y2 = 24336 มจี ุดโฟกัสจุดหนึ่งท่ี (0, 13) ข สมการ 4x2 + 3y2 + 1 = 0 เป็นสมการของวงรีซึง่ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางทจี่ ดุ (0, 0) ค สมการ 16x2 – 9y2 + 144 = 0 เป็นสมการของเส้นตรงสองเสน้ ตัดกนั ง สมการ 16x2 – 9y2 – 144 = 0 เปน็ สมการของไฮเพอรโ์ พลาซงึ่ มจี ดุ โฟกสั จดุ หนงึ่ ท่ี (0, 5) 29. กำ� หนดพาราโบลาท่ีมีเสน้ ตรง x = –2 เปน็ ไดเรกทริกซ์และจุด (2, 2) เปน็ โฟกัส สมการของ กราฟน้ีคือข้อใด ก y2 – 4y – 8x + 4 = 0 ค y2 + 4y – 8x – 4 = 0 ข y2 + 4y – 8x + 4 = 0 ง y2 – 4y + 8x + 4 = 0 30. ข้อความใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง โฟกสั ของพาราโบลาคอื (0, – ab4) เม่ือ ก ถา้ ax2 + by = 0 เปน็ สมการพาราโบลาแล้ว a > 0 และ b > 0 ข สมการ (y – k)2 = a(x – h) จะเปน็ พาราโบลาทมี่ ลี ักษณะตะแคงซา้ ยหรอื ตะแคงขวา ค ไดเรกทริกซข์ องพาราโบลา x2 + 4x + y = 0 ขนานกับแกน Y ง พาราโบลาทมี่ จี ุดยอด (1, 0) และสมการไดเรทริกซ์คือ x = 0 มีสมการเป็น y2 = 4x + 1

บรรณานุกรม กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: ม.ป.ท., 2560 ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ศึกษาธิการ, กระทรวง. (2544) หนังสือเรยี นรายวิชา เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2. ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4–6. พิมพ์ครั้งท่ี 2 กรุงเทพฯ: โรงพมิ พค์ รุ ุสภา. 2553. สมยั เหลา่ วานิชย์. เฉลยขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั ระบบใหม.่ คณติ ศาสตร์ 1. นนทบุรี: ไฮเอ็ดพับลชิ ชิ่ง, (ม.ป.ป.). ______. เฉลยขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั ระบบใหม.่ คณิตศาสตร์ 1. นนทบรุ ี: ไฮเอด็ พับลชิ ชงิ่ , (ม.ป.ป.). wpp

เนื้อหาคณิตม.4เทอม2 มีอะไรบ้าง

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะทางระหว่างจุดสองจุด จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ความชันของเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด.

ภาคตัดกรวย วงกลม วงรี พาราโบลา (Parabola) ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) การเลื่อนกราฟ.

คณิตศาสตร์ะพิ่มเตืมม 4 เทอม 2 เรียนเรื่องอะไร

ส่วนในเทอม 2 จะเรียนเนื้อหาในส่วนที่เหลือ ได้แก่เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย กับความน่าจะเป็น ซึ่งการแบ่งเนื้อหาว่าจะเรียนเรื่องไหนในเทอมไหน ขึ้นอยู่กับการสอนของแต่ละโรงเรียน บางโรงเรียนอาจจะแตกต่างไปจากนี้

คณิตศาสตร์ม.4เรื่องอะไรบ้าง

สำหรับ คณิตศาสตร์ ม.4 จะเรียน เลข เรื่อง เซต , การให้เหตุผล , จำนวนจริง , เลขยกกำลัง , ฟังก์ชัน , อัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งจะเป็นพื้นฐานสำหรับการเรียน คณิตศาสตร์ ม.5 และ เลข ม.6 ในบทเรียนต่างๆ เช่น ลำดับและอนุกรม , ความน่าจะเป็น , เวกเตอร์ในสามมิติ , สถิติ , การวิเคราะห์ข้อมูล , การแจกแจงปกติ , แคลคูลัส , กำหนดการเชิง ...

คณิตศาสตร์ ม.5 มีอะไรบ้าง

สำหรับ คณิตศาสตร์ ม.5 จะเรียน เลข เรื่อง ลำดับและอนุกรม , ความน่าจะเป็น , เวกเตอร์ , สถิติ , การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น ซึ่งเนื้อหาบ้างส่วนจะเป็นการต่อยอดความรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม.4 เช่นเรื่อง เซต , การให้เหตุผล , จำนวนจริง , เลขยกกำลัง , ฟังก์ชัน , อัตราส่วนตรีโกณมิติ และจะเป็นพื้นฐานของ เลข ม.6 ในบท การวิเคระห์ ...