ระบบสมการเชิงเส้น คือ สมการเชิงเส้นมากกว่า 1 สมการขึ้นไป แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว ถ้าตัวแปร 2 ตัวจะเรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งในระบบนี้จะมีสมการอย่างน้อย 2 สมการ จึงจะหาค่าคำตอบของตัวแปรทั้งสองได้ เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร ก็ต้องมีสมการอย่างน้อย 3 สมการ จึงจะหาคำตอบของตัวแปรได้ โดยตัวแปรทุกตัวในสมการ จะต้องอยู่ในรูปกำลังหนึ่ง และอยู่ในรูปผลบวก หรือผลต่างระหว่างตัวแปรเหล่านั้น
1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
รูปแบบระบบสมการสองตัวแปร คือ
a 1 x + b 1 y = c 1 เมื่อ a 1 และ b 1 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
a 2 x + b2 y = c 2 เมื่อ a 2 และ b 2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ส่วนระบบสมการเชิงเส้นมากกว่าสองตัวแปร จะกล่าวถึงเล็กน้อยเท่านั้น
ในชั้นนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการหาค่าตัวแปร 2 ตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งถ้านำสมการทั้งสองมาเขียนกราฟเส้นตรง และจุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน จะเป็นคำตอบของสมการนี้
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีเขียนกราฟ จะไม่สะดวก เนื่องจากเสียเวลามาก บางครั้งคำตอบที่ได้จากกราฟ อาจพิจารณาหาคำตอบได้ยาก เพราะคำตอบอาจไม่ใช้จำนวนเต็ม บางครั้งเป็นเศษส่วน (จำนวนตรรกะ) จึงยากที่จะระบุจำนวนใดเป็นคำตอบของระบบสมการนี้
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ยังคงใช้สมบัติการเท่าเทียมกันกับการบวกและการคูณเช่นเดียวกับ การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นั่นคือ สมบัติเกี่ยวกับการบวก และการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันย่อมเท่ากัน
หลักการสำคัญที่ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
1. โดยวิธีแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
2. โดยการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้งสองสมการ แล้วนำมาเท่ากัน เข้าสมการใหม่
3. โดยการทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งทั้งสองสมการให้เท่ากัน เท่ากับ ค.ร.น. ของสัมประสิทธิ์เดิม ของตัวแปรนี้ทั้งสองสมการ แล้วนำมาบวกหรือลบกัน
ข้อสังเกต ถึงแม้ว่าโจทย์ข้อนี้จะทำสัมประสิทธิ์ของ x ให้เท่ากัน แล้วนำมาลบกันก็ได้ แต่ไม่นิยมนำสมการมาลบกัน เนื่องจากอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
35x + 42y = 497
35x – 25y = 95
67y = 402
ต้องระวัง 42y – (-25y) บางครั้งอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย จึงนิยมทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรเดิม ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน แล้วนำมาบวกกัน จะได้ไม่ต้องกังวลเรื่องเครื่องหมาย