เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเนื่องและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่ศึกษาในระดับมัธยมก็เป็นเพียงเรขาคณิตของยูคลิด (Euclidean Geometry) ซึ่งถือว่าเป็นพื้นฐานที่ทำให้มีวิวัฒนาการไปสู่เรขาคณิตแบบอื่นๆ จนเป็นที่ยอมรับกันว่า ยูคลิดเป็นบิดาแห่งวิชาเรขาคณิต
เรขาคณิตสมัยก่อนเป็นการศึกษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบประวัติที่สมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพื้นที่ของสี่เหลียมผืนผ้าโดยใช้กว้างคูณยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างปิรามิดได้ซึ่งถือได้ว่าเป็นความสำเร็จทางเรขาณิตจนกลายเป็นสิ่งมหัศจรรย์ของโลก
การศึกษาเรขาคณิตเริ่มชัดเจนขึ้นโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.) ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีก โดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีธากอรัส (Pythagorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์ โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ ยูคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งเขียนหนังสือ 13 เล่มในชื่อว่า Elements จนเป็นที่ยอมรับว่าเป็นตำราเรียนเล่มแรกของโลกที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตำราอื่นๆในสมัยนั้น และนิวตัน (Isaac Newton) ก็ได้เขียนหนังสือที่ยิ่งใหญ่อีกเล่มหนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements นี้
หลังจากสิ้นสุดยุคของยูคลิด โรมันเริ่มเรืองอำนาจแต่ไม่ได้พัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่าที่ควร จนกล่าวกันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages)ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่งจะมาเจริญรุ่งเรืองอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 ซึ่งเน้นไปทางดาราศาสตร์ และ ตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตามเรขาคณิตในแถบเอเชีย เช่นจีน และ อินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่มั่นคงถาวรเหมือนทางยุโรปจึงยากที่ทราบประวัติที่ชัดเจน
ในศตวรรษที่ 17-18 ได้มีการนำวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกำเนิดวิชาแคลคูลัส และ เรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่สาคัญในยุคนี้ได้แก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz
ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ได้ทำการศึกษาเรขาคณิตอย่างจริงจังอีกครั้ง จนเกิดมีเรขาคณิตที่แตกต่างจากเรขาคณิตของยูคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic Geometry และ Spherical Geometryเป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิตทุกชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ที่สมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ Riemann
อย่างไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอื่นๆ และมีความสาคัญต่อชีวิตประจำวันเป็นอย่างมาก และเนื่องจาก Elements เป็นตำราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็นธรรมดา จนทำให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ยิ่งขึ้น และนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยกย่องว่างทำให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยูคลิดมีความสมบูรณ์ขึ้นมาก็คือ David Hilbert (1862-1943)
1.2 สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยูคลิด
ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของยูคลิด ประกอบด้วย นิยาม และสัจพจน์ คำนิยามที่ได้รับการวิจารณ์มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคำว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง สิ่งที่ไม่มีความกว้าง ความยาวและความหนา จนในที่สุดในปัจจุบันก็ให้ถือเป็นคำอนิยาม ส่วนสัจพจน์ที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากที่สุด จนเกิดเป็นเรขาคณิตชนิดอื่นๆขึ้นมาก็คือ สัจพจน์ข้อที่ 5 ในสัจพจน์ต่อไปนี้
1. A straight line can be drawn from any point to any point
2. A finite straight line can be produced continuously in a straight line
3. A circle may be described with any point as center and any distance as radius
4. All right angles are equal to one another
5. If a transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the angles are less than two right angles.
โดยใช้สัจพจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่นๆในเรขาคณิตของยูคลิต ที่ไม่ได้นำมากล่าวไว้ในที่นี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหลียมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการเปลี่ยนแปลงสัจพจน์ข้อที่ 5 เป็นอย่างอื่น เช่น Spherical Geometry กำหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะทำให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่างมากในการคำนวณระยะทางเกี่ยวกับการเดินเรือรอบโลก โดยที่เรขาคณิตของยูคลิดสามารถคำนวณได้แม่นยาในระยะทางใกล้ๆเท่านั้นเอง
1.3 ลักษณะการศึกษาวิชาเรขาคณิต
การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเรื่องการพิสูจน์ มากว่าการคิดคำนวณ ดังนั้นจึงนับว่าเป็นวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ทีสำคัญ โดยทั่วไปแล้วข้อความที่จะพิสูจน์ในทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด ให้อยู่ในรูป “ ถ้า ……..แล้ว………..” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น “ p-->q ” และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ทั้งในทางตรงและโดยทางอ้อม แต่ในทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือ สิ่งกำหนดให้ และ q เป็นผล หรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ สิ่งที่นำมาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท ที่ทราบมาก่อน โดยนำมาวิเคราะห์ร่วมกับสิ่งที่กำหนดให้เพื่อนำไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ นั้นเป็นจริง ซึ่งถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สำคัญ และ แน่นอนที่สุด ทักษะดังกล่าวจะได้รับการส่งเสริม และ พัฒนาได้ต้องอาศัยการฝึกฝนอยู่เป็นประจำ ด้วยใจรัก
เชื่อหรือไม่ว่า ในตอนเป็นเด็ก ของเล่นที่ ไอน์สไตน์ ประทับใจที่สุด สิ่งแรก คือ ......
......เข็มทิศ ............และ ลำดับต่อมา ก็คือ ............. เรขาคณิต......... นี่เอง
1.4 ความรู้พื้นฐาน
ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตที่เรียนในระดับมัธยมศึกษา สรุปไว้เป็นหมวดหมู่ ในลักษณะของนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท โดยนักเรียนควรฝึกพิสูจน์ด้วยตัวเองให้ได้ทุกทฤษฎีบท
1.4.1 มุม
นิยาม มุมขนาด 1 องศา หมายถึงมุมที่เกิดจากการแบ่งมุมรอบจุดออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 1 มุมตรงทุกมุมมีขนาด 180 องศา
…………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 2 มุมฉากทุกมุมมีขนาด 90 องศา
………………………………………………………………………………………………………
1.4.2 เส้นขนาน
นิยาม เส้นตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงสองเส้นอยู่บนระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกันไม่ว่าจะต่อออกไปให้ยาวเท่าไรกตาม
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 3 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วขนาดของมุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
สัจพจน์ (สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยูคลิด) เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของขนาดของมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 4 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง แล้วมุมแย้งที่เกิดขึ้นย่อมมีขนาดเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 5 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง และมุมแย้งที่เกิดขึ้นมีขนาดเท่ากัน แล้ว เส้นตรงคู่นั้นย่อมขนานกัน
………………………………………………………………………………………………………
1.4.3 ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับด้าน และ มุม ของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 6 ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 7 ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามกับมุมภายนอก
………………………………………………………………………………………………………
นิยาม การเคลื่อนที่ของรูปเรขาคณิต คือ การเปลี่ยนตาแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่ระยะห่างระหว่าจุดสองจุดใดๆของรูปนั้นไม่เปลี่ยนแปลง
………………………………………………………………………………………………………
สัจพจน์ รูปเรขาคณิตสามารถเคลื่อนที่ได้
สัจพจน์ เส้นตรงที่ไม่ขนานกันย่อมตัดกัน และตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น
สัจพจน์ ระหว่างจุดสองจุด จะมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้น
นิยาม รูปเรขาคณิตเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อเคลื่อนที่รูปหนึ่งให้ทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 8 ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่เท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ด.ม.ด.)
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 9 ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่เป็นแขนร่วมระหว่างมุมคู่ที่เท่ากันมีขนาดเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ม.ด.ม.)
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 10 ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมคู่เท่ากันมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่ แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ม.ม.ด.)
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 11 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันทั้งสามด้าน แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ด.ด.ด.)
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 12 ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอีกด้านหนึ่งยาวเท่ากัน แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ฉ.ด.ด.)
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 13 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
สัจพจน์ ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ผลบวกของด้านสองด้าน ย่อมยาวกว่าด้านที่สาม
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 14 ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดเล็กกว่า
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 15 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากย่อมยาวที่สุด
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 16 ในบรรดาส่วนของเส้นตรงทั้งหลายที่ลากจากจุดภายนอกของเส้นตรงเส้นหนึ่งไปยังเส้นตรงเส้นนั้น จะมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่เป็นเส้นตั้งฉาก และเส้นตรงนี้จะเป็นเส้นที่สั้นที่สุด
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 17 ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนสูงของสามเหลี่ยมทั้งสามย่อมพบกันที่จุดๆหนึ่ง
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 18 ในรูปสามเหลี่ยมมุมใดๆ เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ทั้งสามย่อมพบกันที่จุดๆและจุดนั้นจะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 19 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นมัธยฐานที่ลากจากจุดยอด ย่อมตั้งฉากกับฐาน
………………………………………………………………………………………………………
1.4.4 สามเหลี่ยมคล้าย
นิยาม รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน หมายถึงรูปที่มุมเท่ากันทุกคู่ และ อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน มีค่าเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 20 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันมีค่าเท่ากัน แล้วสามเหลี่ยมสองรูปย่อมคล้ายกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 21 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันทั้งสามคู่ แล้วสามเหลี่ยมสองรูปย่อมคล้ายกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 22 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากัน 1 คู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านประกอบมุมนั้นเท่ากัน แล้วสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 23 เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆย่อมขนาน และ ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สามของสามเหลี่ยมนั้น
………………………………………………………………………………………………………
1.4.5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน
นิยาม รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 24 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมยาวเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 25 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันทั้งสองคู่ แล้ว สี่เหลี่ยมรูปนั้นย่อมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 26 ผลบวกของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมใดๆย่อมเท่ากับ 360 องศา
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 27 มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมมีขนาดเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 28 เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 29 เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าย่อมตั้งฉากกัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 30 เส้นขนานตั้งแต่สามเส้นขึ้นไป ตัดเส้นขวางสองเส้น อัตราส่วนของส่วนตัดย่อมเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
นิยาม พื้นที่ 1 หน่วย หมายถึงพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ 1 หน่วย
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 31 พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า เท่ากับ กว้าง คูณ ยาว
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 32 พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ สูง คูณ ฐาน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 33 พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ ครึ่งหนึ่งของ ผลคูณของสูง กับ ฐาน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 34 (Pythagoras Theorem) ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ย่อมเท่ากับ ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก
………………………………………………………………………………………………………
1.4.6 วงกลม
นิยาม วงกลมหมายถึงทางเดินของจุด (Locus) ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 35 ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และมุมที่เส้นรอบวงของวงกลม รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางย่อมมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 36 มุมในครึ่งวงกลมย่อมเป็นมุมฉาก
………………………………………………………………………………………………………
นิยาม รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมทั้งสี่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 37 ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมเท่ากับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากัน หรือวงกลมเดียวกัน มุมที่เส้นรอบวงของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน หรือ ส่วนโค้งเดียวกัน ย่อมมีขนาดเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 39 ถ้าส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และตั้งฉากกับคอร์ดใดๆ แล้ว ส่วนของเส้นตรงนั้นย่อมแบ่งครึ่งคอร์ด
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 40 ถ้าส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และแบ่งครึ่งคอร์ดใดๆ แล้ว ส่วนของเส้นตรงนั้นย่อมตั้งฉากกับคอร์ด
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 41 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดที่ยาวเท่ากันย่อมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 42 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ย่อมยาวเท่ากับ
………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 43 ในวงกลมที่เท่ากัน หรือวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน ย่อมมีขนาดเท่ากับ