ค่าของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิท่กี ำหนดใหมท่ ัง้ หมดสามารถหาไดจ้ ากฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซน์ ดังตวั อย่าง

ตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ ง 2.6 จงหาคา่ ของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิทุกฟงั ก์ชันของ π 3

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขนุ ทด

บทที่ 2. ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 53

ตารางแสดงคา่ ของฟังกช์ ันตรีโกณมิตขิ องจำนวนจริง θ บางจำนวน เมือ่ 0 ≤ θ ≤ π 2

θ sin θ cos θ tan θ cosecθ sec θ cot θ

0 0 1 0 ไม่นิยาม 1 ไมน่ ิยาม

π 1 √ √1 2 √2 √ 6 2 3 3 √ √3 3 π √ 2 4 2 1 2 21 √ 2 2 √ 2 √ 3 3 π 2 1 √2 2 √1 3 2 3 3

π 1 0 ไมน่ ยิ าม 1 ไมน่ ยิ าม 0 2

ตวั อย่าง 2.7 จงหาคา่ ของ tanπ และ secπ

ตัวอยา่ ง 2.8 จงหาคา่ ของ tan − 3π และ sec − 3π 2 2

ตวั อยา่ ง 2.9 จงหาค่าของ cosec 5π และ cot 5π 2 2

ตวั อยา่ ง 2.10 จงหาค่าของ cosec3π และ cot3π กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขุนทด

54 2.2. ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ อิ ่นื ๆ

ตัวอย่าง 2.11 จงหาคา่ ของ sin pi cos 5π + sin 4π cos π 3 6 3 6

แบบฝกึ หัด 2.2

1. จงหาวา่ จดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหน่งึ หน่วยทย่ี าว θ หนว่ ย จะอยู่ในจตุภาคใด เมื่อ กำหนดให้

1. secθ และ cosecθ เปน็ จำนวนจริงบวกท้งั คู่
2. tanθ เป็นจำนวนจริงบวก และ cosθ เปน็ จำนวนจรงิ ลบ
3. sinθ เปน็ จำนวนจรงิ บวก และ tanθ เป็นจำนวนจริงลบ
4. cosθ และ tanθ เปน็ จำนวนจริงลบทัง้ คู่
5. cotθ เป็นจำนวนจริงลบ และ secθ เปน็ จำนวนจริงบวก

2. จงหาคา่ ของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ ุกฟังก์ชนั ของจำนวนจรงิ ตอ่ ไปน้ี (กรณที ี่ไม่นยิ าม จงให้ เหตผุ ล)

1. 0 6) π 11) 2π 16) − 5π 2

1. π 7) 7π 12) − 3π 17) − 7π 2 4 4 6

1. π 8) 4π 13) − 5π 18) −2π 4 3 4

1. 3π 9) 7π 14) − π 4 2 3

1. 2π 10) 5π 15) −π 3 6

3. กำหนดให้ 0≤ θ ≤ π และ sin θ = 0.6 จงหาคา่ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิตอิ ่นื ๆ ของ θ 2

4. กำหนดให้ 0≤θ ≤ π และ sin θ = 4 จงหาคา่ ของ sec θ + cosecθ 2 5

5. กำหนดให้ 0≤θ ≤ π และ tan θ = 1 จงหาคา่ ของ 2 cos θ + cot θ 2 3

กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมดา่ นขุนทด

บทท่ี 2. ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 55

6. จงหาค่าของ

1. cos2 π + sin2 π + sin2 π + cos2 11π 4 4 6 6

1. sin π cos π + cos π sin π + sin 5π − tan 5π 3 6 3 6 3 3

1. sin 3π + tan π cos π − cot 5π − sin 7π 2 2 6 6

1. cos π − sin 5π + tan 9π − cos 5π + tan 7π 3 3 4 6 6

1. sin 5π + tan 7π − cos 3π sin 4π 6 6 4 3

7. จงพจิ ารณาแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนวี้ า่ เป็นจริงหรอื เท็จ

1. cos π + π = cos π + cos π 3) sin π + sin π = sin π 2 3 2 3 6 3 2

1. sin π cos π + cos π sin π = 1 4) cos π + 2 cos π = sin π 3 6 3 6 6 3 2

8. จงแสดงว่า cosec(2nπ + θ) = cosecθ เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ 9. จงแสดงวา่ sec(2nπ + θ) = secθ เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ

2.3 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของมุม

มมุ และการวัดมุม

กำหนดสว่ นของเส้นตรง AP ต้องการสรา้ ง P AˆQ ใหม้ ีขนาด 30 องศา โดยใชโ้ พรแทรกเตอรว์ ดั ขนาด ของมมุ ทำได้โดยวางโพรแทรกเตอร์ทับส่วนของเส้นตรง AP ซ่งึ สามารถวัดขนาดของมุมทต่ี ้องการ สร้างได้ 2 แบบ คือ วดั ในทางทวนเขม็ นาฬกิ า และวัดในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ า ดงั รูป

Q

A 3300◦◦ P

Q′

รปู ท่ี 2.11: มุมและการวัดมุม

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขุนทด

56 2.3. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิตขิ องมุม

เรยี กจุด A ว่า จุดยอด (vertex) ของมมุ เรียกส่วนของเส้นตรง AP วา่ ด้านเรมิ่ ต้น (initial side) ของมมุ เรียกสว่ นของเส้นตรง AQ และ AQ′ ว่า ด้านส้ินสดุ (terminal side) ของมุม ดังน้ัน การวัดขนาดของมมุ ทำไดโ้ ดยการวดั จากด้านเริ่มต้นไปยังดา้ นสิน้ สุด สำหรบั การบอกขนาด ของมุมมีข้อตกลงวา่ ถ้าวัดมุมในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ า จะแสดงขนาดของมุมด้วยจำนวนจริงบวก แตถ่ า้ วดั มมุ ในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ า จะแสดงขนาดของมุมดว้ ยจำนวนจริงลบ หน่วยในการวัดมมุ ทีร่ ูจ้ ักแลว้ คือ องศา (degree) เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ◦ โดยมุมท่ดี ้านเรมิ่ ตน้ และดา้ นสนิ้ สุดทบั กันมีขนาด 0 องศา หรอื 360 องศา และแบง่ หน่วยองศาออกเป็นหน่วยยอ่ ยคอื ลปิ ดา ( ′ ) และฟลิ ิปดา ( ” ) ดงั นี้

1◦ = 60′

1′ = 60”

หนว่ ยวดั มุมทส่ี ำคญั อีกหนว่ ยหนึ่งคอื เรเดียน (radian)

r Or

รูปที่ 2.12: มมุ ในหน่วยเรเดียน

มุมท่จี ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมซง่ึ รองรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ ของวงกลมทยี่ าวเทา่ กับรัศมขี องวงกลม

นัน้ เป็นมุมท่มี ีขนาด 1 เรเดยี น

เนอ่ื งจากวงกลมทม่ี ีรัศมยี าว r หน่วย จะมเี ส้นรอบวงยาว 2πr หน่วย ดงั นั้น มมุ ที่จุดศนู ยก์ ลาง

ของวงกลมซงึ่ รองรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ ของวงกลมทย่ี าว 2πr หน่วย จึงมีขนาด 2πr เรเดียน หรือ 2π r

เรเดยี น และมมุ ทจี่ ุดศูนย์กลางของวงกลมซ่ึงรองรบั ด้วยสว่ นโค้งครงึ่ วงกลมทีย่ าว πr หนว่ ย จะมี

ขนาด πr เรเดยี น หรอื π เรเดียน r

สำหรบั มมุ ที่จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมท่ีมรี ศั มียาว r หนว่ ย ซึง่ รองรบั ด้วยสว่ นโค้งของวงกลมทีย่ าว

a หน่วย จะมีขนาด a เรเดียน และถ้าใหข้ นาดของมมุ ดงั กล่าวเปน็ θ เรเดยี น จะได้ θ = a r r

เนือ่ งจากมุมทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมทีม่ ีรศั มยี าว r หนว่ ย มขี นาด 2π เรเดียน หรอื 360 องศา

ดังนนั้

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมดา่ นขนุ ทด

บทท่ี 2. ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ 57

360 องศา เทา่ กบั 2π เรเดยี น

หรือ 180 องศา เท่ากบั π เรเดยี น

ดงั นั้น 1 องศา = π เรเดียน ≈ 0.01745 เรเดยี น 180

และ 1 เรเดยี น = 180 องศา ≈ 57.3◦ หรอื 57◦18′ π

โดยท่ัวไปการเขยี นขนาดของมุมทีม่ ีหนว่ ยเปน็ เรเดียนมักจะไมเ่ ขยี นหนว่ ยกำกับไว้ ดงั นน้ั ถ้า

กลา่ วถึงขนาดของมุมโดยไมม่ ีหนว่ ยกำกบั ใหถ้ ือว่ามุมนั้นมีหน่วยเปน็ เรเดียน

จากความสัมพนั ธ์ระหว่างขนาดของมมุ ในหนว่ ยองศาและหน่วยเรเดียนท่ีกลา่ วมาข้างต้น จะได้

ว่าเมือ่ ทราบขนาดของมุมในหน่วยใดหนว่ ยหนง่ึ แลว้ จะสามารถหาขนาดของมุมนัน้ ในอีกหน่วยได้ ดัง

ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ ง 2.12 มมุ ทีม่ ขี นาด 1 เรเดยี น มขี นาดก่ีองศา 2

ตัวอย่าง 2.13 มมุ ที่มีขนาด 75 องศา มขี นาดก่เี รเดยี น

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของมุม

ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิที่กลา่ วมาแลว้ น้ัน เป็นฟังกช์ นั ของจำนวนจรงิ ตอ่ ไปน้จี ะพจิ ารณาถงึ ฟงั ก์ชัน ตรโี กณมติ ขิ องมุม

เม่อื จุดยอดของมุมอย่ทู ่จี ุด (0,0) และดา้ นเรม่ิ ต้นของมมุ นนั้ ทาบไปตามแกน X ทางบวก จะกลา่ ว ว่า มุมนัน้ อยู่ใน ตำแหน่งมาตรฐาน (standard position)

สมมติวา่ มมุ หน่ึงมีขนาด θ เรเดยี น อย่ใู นตำแหน่งมาตรฐาน ดงั รปู

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมด่านขุนทด

58 2.3. ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องมุม Y Y

θ (1, 0) X Oθ (1, 0) X O

θ>0 θ<0

รูปที่ 2.13: มมุ ขนาด θ ในตำแหน่งมาตรฐาน

เน่อื งจากสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึง่ หนว่ ยทรี่ องรบั มุมทีจ่ ุดศูนยก์ ลางขนาด 1 เรเดียนน้นั ยาว 1 หน่วย ดงั นนั้ ส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หนว่ ยทีร่ องรับมมุ ทีจ่ ดุ ศูนยก์ ลางขนาด θ เรเดียน จงึ ยาว θ หน่วย

จะเหน็ ว่า จดุ ทด่ี า้ นสน้ิ สุดขงิ มมุ ขนาด θ เรเดยี น ตัดกับวงกลมหนง่ึ หนว่ ยน้ันเพียงจุดเดยี วและ

เป็นจุดเดียวกันกับจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจดุ (1,0) ยาว | θ | หน่วย ในทศิ ทางที่สอดคลอ้ งกับ θ √√ เชน่ จดุ ท่ดี า้ นส้ินสุดของมมุ π เรเดียน ตัดกับวงกลมหนงึ่ หนว่ ย คอื จดุ 2 2 ซง่ึ เป็นจุดเดยี ว − 4 2 , − 2

กบั จุดปลายสว่ นโคง้ ที่วดั จากจดุ (1, 0) ในทิศทางตามเข็มนาฬกิ า ยาว π หน่วย 4

ดงั น้ัน เมอื่ กำหนดมุมขนาด θ เรเดยี นใหห้ น่งึ มุม จะหาจุดที่ด้านสิน้ สดุ ของมุมนั้นตดั กบั วงกลม หนงึ่ หน่วยได้เพียงจดุ เดยี ว และจดุ นนั้ จะเปน็ จุดปลายสว่ นโคง้ ทย่ี าว | θ | หน่วยด้วย หรอื ส่วน โค้งของวงกลมหน่งึ หนว่ ยท่รี องรับมมุ θ เรเดียน จะยาว | θ | หนว่ ย จะเห็นได้ว่าไมว่ ่าจะใช้วิธี วดั มุมหรอื วดั ความยาวส่วนโค้งของวงกลม จดุ ทด่ี า้ นส้นิ สดุ ของมุมตัดกับวงกลมหน่ึงหน่วยจะเป็นจุด เดียวกับจดุ ปลายสว่ นโค้ง

จงึ สรุปไดว้ า่ ไม่วา่ จะนิยามฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ใิ นแงม่ มุ หรอื ในแงข่ องความยาวสว่ นโคง้ ของวงกลม หนง่ึ หน่วยท่ีรองรบั มมุ คา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ขิ องจำนวนเหล่านน้ั จะเท่ากัน เช่น cosθ อาจหมาย ถึง cos ของมมุ ทม่ี ีขนาด θ เรเดียน หรอื cos ของจำนวนจรงิ θ กไ็ ด้

ในการหาค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมิตขิ องมมุ ทมี่ หี น่วยองศาน้ันอาจหาไดโ้ ดยเปล่ยี นหน่วยวดั ขนาด ของมมุ จากหนว่ ยองศาให้เปน็ หน่วยเรเดียนกอ่ น แล้วจึงหาคา่ ของฟังก์ชนั น้นั เช่นเดยี วกับการหาค่า ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องจำนวนจรงิ ทวั่ ๆ ไป

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขุนทด

บทท่ี 2. ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 59 ตวั อย่าง 2.14 จงหาค่าของ sin60◦

ตวั อยา่ ง 2.15 จงหาคา่ ของ sec(−405◦)

ฟังก์ชันตรีโกณมิตขิ องมมุ ของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก

ประโยชน์ทีส่ ำคัญประการหนงึ่ ของฟังกช์ ันตรีโกณมิติ คอื การนำไปใช้ในการหาส่วนตา่ ง ๆ ของรูป สามเหลยี่ ม ต่อไปนจ้ี ะพิจารณาฟังก์ชันตรโี กณมติ ิของมุมของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

กำหนดรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ทม่ี ี ACˆB เปน็ มุมฉาก ดงั น้ัน BAˆC < 90◦ ให้ a, b และ c เป็นความย่วของดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลำดับ ให้ BAˆC อยใู่ นตำแหน่งมาตรฐาน และส่วนโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยท่รี องรบั มมุ A คอื สว่ นโคง้ FD ดังรูป

YB

D

(−1, 0) A E FC X O

รูปที่ 2.14: ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของมมุ ของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก

ดังนัน้ sinA = sin(ความยาวสว่ นโคง้ FD) = DE cosA = cos(ความยาวสว่ นโคง้ FD) = AE

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมด่านขุนทด

60 2.3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

เนอ่ื งจากรูปสามเหล่ยี ม ADE คลา้ ยกับรปู สามเหล่ยี ม ABC

จะได้ DE = BC และ AE = AC AD AB AD AB แต่ AD = 1

ดังน้นั DE = BC = a และ AE = AC = b AB c AB c a b sin A a a นั่นคอื sin A = c , cos A = c และ tan A = cos A = c = b b c สรปุ ไดว้ า่

ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A sinA = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

ความยาวของด้านประชิดมมุ A cosA = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A tanA = ความยาวของด้านประชดิ มมุ A

ส่วนคา่ ของฟังกช์ นั โคเซแคนต์ ฟังก์ชันเซแคนต์ และฟงั ก์ชันโคแทนเจนต์ของมมุ A จะเปน็ ส่วนกลับของค่าของฟังกช์ ันไซน์ ฟงั กช์ ันโคไซน์ และฟังกช์ ันแทนเจนต์ ตามลำดบั สมการข้างต้นมี ประโยชน์ในการหาส่วนต่าง ๆ ของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

ตัวอยา่ ง 2.16 รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC มี ACˆB เปน็ มมุ ฉาก ดา้ น AC ยาว 4 หนว่ ย และ มุม A มขี นาด 30◦ จงหาความยาวของด้าน AB และ BC

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขนุ ทด

บทท่ี 2. ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ 61

ตวั อยา่ ง 2.17 ให้มมุ A เปน็ มมุ แหลม และ sin A = 3 จงหาคา่ ของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติอน่ื ๆ 7

ของมมุ A

ตัวอยา่ ง 2.18 ให้มุม A เป็นมมุ แหลม และ tanA = x โดยท่ี x 0 จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติอ่นื ๆ ของมมุ A

แบบฝึกหดั 2.3

1. ขนาดของมมุ ทีม่ หี นว่ ยเป็นเรเดยี นตอ่ ไปน้ี มีขนาดก่อี งศา

1. 4π 4) − 5π 6

1. − 7π 5) 11π 4 5

1. − 2π 6) 3 3

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขุนทด

62 2.3. ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ขิ องมมุ

2. ขนาดของมมุ ท่มี ีหนว่ ยเป็นองศาต่อไปน้ี มขี นาดก่เี รเดยี น

1. 300◦ 4) 880◦
2. −112◦ 5) −500◦
3. −315◦ 6) 740◦

3. รูปสามเหล่ียมรปู หนงึ่ มมี ุมสองมุมท่ีมีขนาด 36◦ และ 2π เรเดยี น จงหาขนาดของมุมที่ 3

เหลือใรหนว่ ยเรเดยี น

4. จงหาค่าของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติทุกฟงั ก์ชันของมุมตอ่ ไปน้ี

1. 150◦ 4) −315◦
2. 120◦ 5) 930◦
3. 315◦

5. ถา้ มมุ อยใู่ นตำแหนง่ มาตรฐาน จงหาว่าด้านสนิ้ สุดของมมุ ขนาด θ ในแตล่ ะข้ออยู่ในจตุ ภาคใด

1. sin θ = 5 4) tan θ = 7 13 24

4 √ 5 5

1. cos θ = − 5) sin θ = 3

1. tan θ = −2

6. จงหาคา่ ของ

1. 3 tan2 135◦ − sec2 300◦ 2 sin 330◦

1. tan(−480◦) − sin(−840◦) cos(−390◦)

7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี มี ุม C เป็นมมุ ฉาก มมุ A มขี นาด 20 องศา และมี ด้านตรงขา้ มมุมฉากยาว 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AC และ BC

8. ให้มุม A เป็นมุมแหลม และ cos A = 4 จงหาคา่ ของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุม A 7

9. รูปสามเหลี่ยม ABC มมี มุ C เปม็ มมุ ฉาก ลากสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด C มาตง้ั ฉากกบั ดา้ น AB ทีจ่ ดุ D ถา้ ดา้ น AC และ BC ยาว 10 และ 12 หนว่ ย ตามลำดับ จงหาค่าของ sinA, cosA, tanA, sinB, cosB, tanB และ ความยาวของดา้ น CD และ DB

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขุนทด

บทที่ 2. ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ 63

10. กำหนดให้ sin θ = 1 และ sec θ <0 จงหาคา่ ของ tan θ 3

11. กำหนดให้ cotθ = 5 และ sin < 0 จงหาค่าของ cosθ

12. แม่น้ำสายหนึง่ กว้าง 50 เมตร นักวา่ ยนำ้ วา่ ยจากจดุ A ของฝ่งั หนง่ึ ไปยังจดุ B ของอีกฝั่ง หนงึ่ ตามเสน้ ทางดังรปู จงหาระยะทางที่นักวา่ ยน้ำว่ายขา้ มฝงั่

B

50

60◦

A

13. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC มีมมุ A มขี นาด 70 องศา มมุ C มขี นาด 50 องศา และดา้ น AB ยาว 5 เซนติเมตร ถ้าลากสว่ นของเส้นตรงจากจดุ B มาตง้ั ฉากกบั ดา้ น AC ท่จี ุด P จงหาความยาวของดา้ น BP , BC, AP , P C และ AC

14. ตกึ สองหลังตั้งอยู่หา่ งกนั 60 ฟุต โดยตึกท่เี ตยี้ กวา่ สงู 40 ฟตุ และมมุ ABC มขี นาด 40 องศา ดังรูป จงหาความสูงของตกึ ทีส่ งู กวา่

A

B 40◦ C 60

40

2.4 กราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

กราฟของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ โดยเฉพาะกราฟของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซนเ์ ป็นกราฟที่มคี วามสำคญั มากทงั้ ในวชิ าคณิตศาสตร์และวชิ าอ่นื ๆ เชน่ ในวชิ าฟิสกิ สเ์ รอื่ งกลศาสตร์ คลืน่ แสง คลน่ื เสียง คล่ืนแม่เหล็กไฟฟา้ ดงั นน้ั จึงควรศึกษาลกั ษณะและการเขยี นกราฟของฟังก์ชนั ทัง้ สองและฟงั ก์ชนั อ่ืน ๆ ทีเ่ ก่ียวขอ้ งดงั นี้

การเขยี นกราฟของ y = sinx เขยี นไดด้ งั น้ี กำหนดคา่ x และหาคา่ y จาก y = sinx เมือ่ 0 ≤ x ≤ π ได้ดงั ตาราง กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขนุ ทด

64 2.4. กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

x0 ππππ 2π 3π 5π π sin x 0 6432 3 4 6 √√ √√ 1 2 3 3 21 2 2 2 1 222 0

จะได้ กราฟของ y = sinx เมอ่ื 0 ≤ x ≤ π เป็นดังน้ี

Y

1.000 0.866 0.707

0.500

π π π π 2π 3π 5π X 6 43 2 346 π

รูปท่ี 2.15: กราฟ y = sinx เมือ่ 0 ≤ x ≤ π

เน่อื งจากเรนจ์ของฟงั ก์ชนั ไซน์ คือ เซตของจำนวนจริงตงั้ แต่ −1 ถงึ 1 ดังน้นั คา่ ของฟงั ก์ชันไซนจ์ งึ มีคา่ ตง้ั แต่ −1 ถึง 1 ซ่งึ ค่าของ sinx เมอื่ x เป็นจำนวนจรงิ ตั้งแต่ 0 ถงึ 2π จะมคี ่าเพ่ิมข้ึนหรอื ลดลงดัง แสดงในตารางต่อไปน้ี

x sin x

0 ≤ x ≤ π เพม่ิ ขึ้นจาก 0 ไปถงึ 1 2 ลดลงจาก 0 ไปถึง 0 ลดลงจาก 0 ไปถงึ −1 π ≤ x ≤π เพ่ิมข้ึนจาก −1 ไปถงึ 0 2

π ≤ x ≤ 3π 2

3π ≤ x ≤ 2π 2

กำหนดค่า x และหาค่า y จาก y = sinx เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π ได้ดงั ตาราง

x 0 π π 5π π 6 26 0

sin x 0 1 1 1 2 2

x 7π 3π 11π 2π sin x 6 2 6 0

− 1 −1 − 1 2 2

จะได้ กราฟของ y = sinx เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π เปน็ ดังน้ี

กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมดา่ นขุนทด

บทท่ี 2. ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ 65

Y π , 1 2 1

π 1 5π , 1 6 2 6 2 ,

π π 5π π 7π 3π 11π 2π X 6 2 6 6 2 6

−1 7π , − 1 11π , − 1 6 2 6 2

3π , −1 2

รูปท่ี 2.16: กราฟ y = sinx เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π

จากทที่ ราบมาแลว้ วา่ sin(2nπ + x) = sinx เมอ่ื n เป็นจำนวนเต็ม สมบัตนิ เี้ ปน็ สมบัติทสี่ ำคัญ อย่างหนงึ่ ของฟงั ก์ชนั ไซน์ ทำให้กราฟของฟงั ก์ชนั ไซนม์ ลี กั ษณะซ้ำกนั เปน็ ชว่ ง ๆ ซงึ่ ชว่ ยให้การเขียน กราฟง่ายข้นึ

จะได้ กราฟของ y = sinx เป็นดงั น้ี

Y

1

−2π − 3π −π − π Oπ π 3π X 2 2 2 2π 2

−1

รปู ที่ 2.17: กราฟ y = sinx

จากกราฟ จะเห็นว่า โดเมนของฟงั กช์ นั ไซน์ คอื เซตของจำนวนจริง เรนจข์ องฟังกช์ นั ไซน์ คอื [−1,1] กราฟของฟังกช์ ันไซนต์ ดั แกน X ท่ีจุด (x,0) เมื่อ x คือ ...,−2π,−π,0,π,2π,... กราฟของฟงั ก์ชนั ไซนต์ ัดแกน Y ท่ีจุด (0,0) ในทำนองเดยี วกนั กบั การเขยี นกราฟของ y = sinx จะเขียนกราฟของ y = cosx ได้ดงั นี้ กำหนดค่า x และหาคา่ y จาก y = cosx ได้ดังตาราง

x −2π − 3π −π − π 0 π π 3π 2π 2 2 1 2 2

cos x 1 0 −1 0 0 −1 0 1

จะได้ กราฟของ y = cosx เป็นดงั น้ี กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขนุ ทด

66 2.4. กราฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

Y

1

−2π − 3π −π − π Oπ π 3π X 2 2 2 2π 2

−1

รปู ที่ 2.18: กราฟ y = cosx

จะเหน็ วา่ โดเมนของฟังกช์ ันโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง และเรนจ์ของฟังก์ชันโคไซน์ คอื [−1,1]

กราฟของฟงั กช์ นั โคไซนต์ ดั แกน X ที่จุด (x, 0) เมื่อ x คือ . . . , − 3π , − π . π , 3π , . . . 2 2 2 2

กราฟของฟังกช์ นั โคไซน์ตัดแกน Y ที่จดุ (0,1)

ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติเป็น ฟงั ก์ชันทีเ่ ป็นคาบ (periodic function) กลา่ วคือ สามารถแบง่ แกน X

ออกเปน็ ชว่ งยอ่ ย (subinterval) โดยทีค่ วามยาวของแตล่ ะช่วงเท่ากันและกราฟในแต่ละช่วงมี

ลกั ษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงทสี่ ัน้ ท่ีสดุ ทมี่ ีสมบตั ดิ งั กล่าวเรยี กวา่ คาบ (period) ของฟังกช์ นั

เช่น กราฟของ y = sinx และ y = cosx ในชว่ ง ...,[−4π,−2π],[−2π,0],[0,2π],[2π,4π],...

เปน็ ชว่ งท่สี น้ั ทีส่ ุดทีแ่ บ่งแล้วทำให้กราฟในแต่ละช่วงเหลา่ นัน้ มลี ักษณะเหมอื นกนั คาบของฟังกช์ นั

y = sinx และ y = cosx จงึ เท่ากับ 2π ดังรปู

Y

y = sin x y = cos x 1

−2π − 3π −π − π Oπ π 3π X 2 2 2 2π 2

−1

รปู ท่ี 2.19: กราฟ y = sinx และ y = cosx

สำหรับฟงั ก์ชันทเี่ ป็นคาบซง่ึ มคี ่าสูงสดุ และต่ำสุด จะเรยี กคา่ ทเ่ี ท่ากับครึง่ หน่งึ ของผลต่างระหวา่ ง

ค่าสูงสดุ และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลจิ ูด (amplitude)

น่นั คอื ถ้า a เป็นค่าสูงสดุ และ b เป็นค่าต่ำสดุ ของฟงั กช์ นั ท่ีเป็นคาบ แลว้ จะได้ว่าแอมพลจิ ดู ของ

ฟังกช์ นั น้ี คือ 1 (a − b) 2

ดังนน้ั ฟังก์ชนั y = sinx และ y = cosx มีแอมพลิจดู เป็น 1 เทา่ กัน

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขุนทด

บทที่ 2. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ 67

ตวั อย่าง 2.19 จงเขยี นกราฟของ y = sinx และ y = 2sinx ในระบบพิกัดฉากเดยี วกัน พร้อม ท้ังหาจุดตดั แกน X โดเมน เรจน์ คาบ และแอมพลิจดู ของฟงั กช์ ัน y = 2sinx

ตวั อย่าง 2.20 จงเขยี นกราฟของ y = sinx และ y = sin2x ในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกนั พรอ้ ม ทั้งหาจุดตัดแกน X โดเมน เรนจ์ คาบ และแอมพลิจดู ของฟงั ก์ชนั y = sin2x

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมดา่ นขนุ ทด

68 2.4. กราฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

ตัวอย่าง 2.21 จงเขียนกราฟของ y = sin x และ y = sin x ในระบบพิกดั ฉากเดียวกนั พร้อม 2

ทงั้ หาจุดตัดแกน X โดเมน เรนจ์ คาบ และแอมพลิจดู ของฟงั ก์ชัน y = sin x 2

ในกรณที ั่วไป จะไดว้ า่ โดเมน คาบ แอมพลิจดู เรนจ์ ฟังก์ชัน R 2π 1 [−1, 1] y = sin(nx) , n > 0 R n y = cos(nx) , n > 0 R y = a sin(nx) , n > 0 R 2π 1 [−1, 1] y = a cos(nx) , n > 0 n

2π | a | [− | a |, | a |] n

2π | a | [− | a |, | a |] n

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขุนทด

บทที่ 2. ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 69

ตัวอยา่ ง 2.22 จงหาคาบ แอมพลจิ ดู และเรนจข์ องฟงั กช์ ัน y = 3cosx พรอ้ มทัง้ เขียนกราฟ ของ y = cosx และ y = 3cosx ในระบบพิกดั ฉากเดยี วกัน

ขอ้ สังเกต จากตัวอย่างข้างต้นกราฟของ y = cosx และ y = 3cosx ตดั แกน X ท่ีจุดเดยี วกนั

ตวั อย่าง 2.23 จงหาคาบ แอมพลิจูด และเรนจข์ องฟงั กช์ ัน y = 3sin2x พรอ้ มท้งั เขียนกราฟ

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขุนทด

70 2.4. กราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ

ก่อนจะเขียนกราฟของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิอนื่ ๆ ให้พจิ ารณาโดเมนของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิตอ่ ไปนี้

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คอื R

โดเมนของฟังกช์ นั แทนเจนต์ คือ x | x nπ + π , n∈Z 2

โดเมนของฟงั ก์ชนั เซแคนต์ คือ x | x nπ + π , n∈Z 2

โดเมนของฟงั ก์ชันโคแทนเจนต์ คอื {x | x nπ , n ∈ Z}

โดเมนของฟังก์ชนั โคเซแคนต์ คือ {x | x nπ , n ∈ Z}

การเขยี นกราฟของ y = tanx เขยี นได้ดังนี้

กำหนดค่า x และหาคา่ y จาก y = tan x เม่อื − π < x < π ไดด้ ังตาราง 2 2

x − π − π − π 0 π ππ 3 4 6 6 43 √ √ √ −3 3 3 √ tan x −1 − 3 0 3 13

จะได้ กราฟของ y = tan x เมื่อ − π < x < π เป็นดังน้ี 2 2

Y π , √ 3 3 √ 3

1 π , 1 4

√ √ 3 π 3 3 6 , 3

− π − π − π − π O πππ X 2 3 4 6 643 π 2

√ √ π 3 − 6 , − 3 − 3 3

− π , −1 −1 4

− π , √ √ 3 −3 −3

รปู ท่ี 2.20: กราฟ y = tan x เมื่อ − π < x < π 2 2

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมด่านขนุ ทด

บทท่ี 2. ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ 71 พจิ ารณากราฟของ y = tanx เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 2π

Y

1.73

1.00 0.57

O πππ π π 3π X 643 2 2 −0.57 2π −1.00

−1.73

รูปที่ 2.21: กราฟ y = tanx เมือ่ 0 ≤ x ≤ 2π

จากรปู จะเห็นว่าเมอ่ื x มีค่าเพ่ิมข้ึนจาก 0 และเข้าใกล้ π คา่ ของ tan x จะเป็นจำนวนจริงบวก 2

และเมิ่ ขน้ึ เรอื่ ย ๆ โดยเสน้ กราฟจะโคง้ เขา้ หาเสน้ ตรง x = π แต่ tan x ไมน่ ยิ ามท่ี x = π 2 2

เมอ่ื x มคี ่าลดลงจาก π และเขา้ ใกล้ π ค่าของ tan x จะเป็นจำนวนจรงิ ลบและลดลงเรือ่ ย ๆ โดย 2

เสน้ กราฟจะโคง้ เข้าหาเส้นตรง x = π 2

ในทำนองเดยี วกนั เมือ่ x มคี ่าเพมิ่ ขน้ึ จาก π และเข้าใกล้ 3π คา่ ของ tan x จะเปน็ จำนวนจรงิ บวก 2

และเพิ่มข้ึนเรื่อย ๆ โดยเสน้ กราฟจะโคง้ เข้าหาเส้นตรง x = 3π แต่ tan x ไมน่ ิยามท่ี x = 3π 2 2

เม่อื x มคี า่ ลดลงจาก 2π และเข้าใกล้ 3π คา่ ของ tan x จะเปน็ จำนวนจริงลบและลดลงเร่ือย ๆ 2

โดยเสน้ กราฟจะโค้งเข้าหาเส้นตรง x = 3π 2

ดงั น้นั ในการเขียนกราฟดังกลา่ ว ถา้ ลากเสน้ ประ x = π และ x = 3π กอ่ น จะชว่ ยใหเ้ ขยี นกราฟ 2 2

ไดง้ า่ ยข้นึ แต่เส้นประดังกลา่ วนน้ั มไิ ดเ้ ป็นสว่ นหนง่ึ ของกราฟ

เนือ่ งจาก tan(nπ + θ) = tanθ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ กราฟของฟังกช์ นั แทนเจนต์จงึ มี ลกั ษณะซ้ำกนั เปน็ ช่วง ๆ ดงั น้นั ฟังกช์ นั แทนเจนตจ์ งึ เป็นฟังกช์ ันท่ีเป็นคาบ

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขนุ ทด

72 2.4. กราฟของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ

จะได้ กราฟของ y = tanx เปน็ ดงั น้ี

Y

1

− 5π −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π 5π X 2 2 2 2 2 −1 2

รปู ท่ี 2.22: กราฟ y = tanx

จากรปู จะเห็นวา่ ฟังกช์ นั แทนเจนต์เปน็ ฟังกช์ นั ทเ่ี ปน็ คาบและมคี าบเท่ากับ π เนอื่ งจากคา่ ของฟังกช์ นั โคเซแคนต์ ฟังกช์ ันเซแคนต์ และฟังก์ชันโคแทนเจนต์ที่ x เปน็ สว่ นกลับ ของคา่ ของฟังกช์ ันไซน์ ฟังก์ชนั โคไซน์ และฟังกช์ ันแทนเจนตท์ ่ี x ตามลำดบั จงึ สามารถเขยี นกราฟ ของฟงั กช์ นั โคเซแคนต์ ฟงั ก์ชันเซแคนต์ และฟงั กช์ ันโคแทนเจนต์ ได้ดังน้ี กราฟของ y = cosecx

Y

1

− 5π −2π − 3π −π − π Oπ π 3π 2π 5π X 2 2 2 2 2 2

−1

รปู ท่ี 2.23: กราฟ y = cosecx กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขุนทด

บทที่ 2. ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ 73

จากรปู จะเห็นวา่ ฟงั กช์ ันโคเซแคนตเ์ ป็นฟงั กช์ ันท่ีเป็นคาบและมคี าบเท่ากับ 2π กราฟของ y = secx

Y

1

− 5π −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π 5π X 2 2 2 2 2 2

−1

รปู ที่ 2.24: กราฟ y = secx

จากรูป จะเหน็ วา่ ฟงั ก์ชนั เซแคนตเ์ ป็นฟงั กช์ ันท่เี ป็นคาบและมคี าบเทา่ กบั 2π กราฟของ y = cotx

Y

5π 3π π Oπ 3π 5π X 2 2 2 2 2 − −2π − −π − 2 π 2π

รูปที่ 2.25: กราฟ y = cotx

จากรูป จะเห็นวา่ ฟงั กช์ นั โคแทนเจนต์เปน็ ฟงั ก์ชันทเ่ี ป็นคาบและมคี าบเท่ากบั π กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขุนทด

74 2.4. กราฟของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ

แบบฝกึ หัด 2.4

1. จงหาคาบ แอมพลิจูด และเรนจข์ องฟังก์ชนั ต่อไปน้ี พรอ้ มทง้ั เขียนกราฟ

1. y = 1 sin θ 3) 3 sin 1 θ 5) y = − 1 sin 4θ 2 2 2

1. y = 3 sin θ 4) y = 4 cos 3θ 6) y = −2 cos 1 θ 2

2. จงจบั คูฟ่ ังก์ชันกับกราฟท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1. y = 2 sin π x 4) y = 3 cos 2x 7) y = −2 cos 1 x 2 2

1. y = 2 cos π x 5) y = −3 sin 2x 8) y = −2 cos π x 2 2

1. y = 2 cos 1 x 6) y = 2 sin 1 x 9) y = −2 sin 1 x 2 2 2

Y Y 2 2

−2π −π O π 2π 3π X −2π −π O π 2π 3π X X −2 −2

(a) (b)

Y Y

2 2

−2π −π O π 2π 3π X −2π −π O π 2π 3π −2 −2

(c) (d)

Y Y Y

2 2 2

−2 −1 X −2 −1 X −2 −1 X −2 12 34 5 1 2 34 5 12 34 5

−2 −2 (g )

(e) (f )

Y Y

3 3

− π − π π π 3π π 5π 3π X − π π π 3π X 2 4 4 2 4 42 2 2 2

−3 −3

(h) (i)

กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขนุ ทด

บทท่ี 2. ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ 75

2.5 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิของผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจรงิ หรอื มมุ

ในหัวข้อนจ้ี ะศกึ ษาฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจาํ นวนจริงหรือมุม โดยส่ิงแรกท่ีจะ พจิ ารณา คือ คา่ ของฟังก์ชันโคไซน์ของผลต่างระหว่างจำนวนจรงิ สองจำนวน หรือมมุ สองมุม น่นั คือ พิจารณาคา่ ของ cos(α − β) เมือ่ α และ β เปน็ จํานวนจรงิ หรอื มมุ ใด ๆ กำหนดให้ P ,P1 และ P2 เป็นจุดบนวงกลมหนงึ่ หนว่ ย

Y

P2(x2, y2) P3(x3, y3) P1(x1, y1)

X O P (1, 0)

รปู ท่ี 2.26: แสดงการหาค่าของ cos(α − β)

ให้สว่ นโคง้ P P1 ยาว β หนว่ ย และสว่ นโค้ง P P2 ยาว α หน่วย ดังนน้ั ส่วนโค้ง P1P2 ยาว α − β หนว่ ย ให้ P3 เป็นจดุ บนวงกลมหนง่ึ หน่วยทีท่ ำใหส้ ว่ นโค้ง P P3 เทา่ กับส่วนโคง้ P1P2 ดังน้ัน ส่วนโค้ง P P3 ยาว α − β หน่วย ใหพ้ ิกัดของจุด P1,P2 และ P3 เป็น (x1,y1),(x2,y2) และ (x3,y3) ตามลำดบั เน่อื งจากส่วนโคง้ P P3 ยาวเท่ากับส่วนโค้ง P1P2 ดงั นั้น คอร์ด P P3 ยาวเท่ากับคอร์ด P1P2 นั่นคอื

(P P3)2 = (P1P2)2 (x3 − 1)2 + (y3 − 0)2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

x32 − 2x3 + 1 + y32 = x22 − 2x2x1 + x12 + y22 − 2y2y1 + y12 −2x3 + 2 = −2x2x1 − 2y2y1 + 2

x3 = x2x1 + y2y1

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขุนทด

76 2.5. ฟังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจรงิ หรือมมุ

จึงได้ความสัมพันธ์ ดังนี้

x3 = x2x1 + y2y1 (2.1)

เนอ่ื งจาก (x1,y1),(x2,y2) และ (x3,y3) เปน็ จุดปลายสว่ นโค้งท่ยี าว β,α และ α − β ตามลำดบั จะได้

x1 = cos β, y1 = sin β x2 = cos α, y2 = sin α x3 = cos(α − β)

จากสมการ (2.1) จะได้

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

ทก่ี ลา่ วมาขา้ งตน้ เปน็ การหา cos(α−β) หรือโคไซน์ของผลต่างระหวา่ งจำนวนจรงิ สองจำนวนหรือมุม สองมุม ท่กี ลา่ วถงึ ก่อนเพราะหาได้งา่ ยและสามารถนำไปใช้ในการหา cos(α + β), sin(α + β) และ sin(α − β) ซึง่ หาไดด้ ังนี้

ตัวอยา่ ง 2.24 จงหาสูตรของ cos(α + β)

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขุนทด

บทที่ 2. ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 77

ตวั อย่าง 2.25 จงหาคา่ ของ cos( π − α) 2

ตัวอยา่ ง 2.26 จงหาค่าของ sin( π − β ) 2

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนมธั ยมดา่ นขุนทด

78 2.5. ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื มมุ ตัวอยา่ ง 2.27 จงหาสตู รของ sin(α + β)

ตวั อยา่ ง 2.28 จงหาสูตรของ sin(α − β)

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขนุ ทด

บทที่ 2. ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 79 ตวั อย่าง 2.29 จงหาสตู รของ tan(α + β)

ตัวอยา่ ง 2.30 จงหาสูตรของ tan(α − β)

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขนุ ทด

80 2.5. ฟังกช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรือมุม

ตัวอยา่ ง 2.31 จงหาค่าของ cos 3π − π 4 3

ตัวอยา่ ง 2.32 จงหาคา่ ของ sin π cos π + cos π sin π 9 18 9 18

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมดา่ นขุนทด

บทที่ 2. ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ 81 ตัวอย่าง 2.33 จงหาค่าของ sin15◦ และ cos75◦

ตวั อย่าง 2.34 จงหาคา่ ของ tan 7π 12

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมดา่ นขุนทด

82 2.5. ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื มมุ

ตวั อยา่ ง 2.35 จงแสดงวา่ tan θ+ π = − cot θ 2

ตัวอย่าง 2.36 ให้ sin α = 4 เมือ่ π < α < π และ sin β = − √2 เมือ่ π < β < 3π 5 2 5 2 จงหาคา่ ของ

1. cos α 2) cos β

1. cos(α + β) 4) sin(α + β)

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมด่านขนุ ทด

บทที่ 2. ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ 83

จากคา่ ของ sin(α + β), sin(α − β), cos(α + β) และ cos(α − β) เมื่อนำมาบวกหรือลบกนั จะได้ ความสัมพนั ธ์ที่สำคญั ดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.1

2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) 2 cos α sin β = sin(α + β) − sin(α − β) 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β) 2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β)

ตัวอย่าง 2.37 จงหาคา่ ของ cos75◦ sin525◦

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมด่านขนุ ทด

84 2.5. ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริงหรือมุม

นอกจากนีย้ ังสามารถหาความสัมพันธ์อน่ื ๆ ได้ดังน้ี

ทฤษฎีบท 2.2

sin α + sin β = 2 sin α + β cos α − β 2 2

sin α − sin β = 2 cos α + β sin α − β 2 2

α+β α−β cos α + cos β = 2 cos 2 cos 2

cos α − cos β = −2 sin α + β sin α − β 2 2

ตวั อย่าง 2.38 จงหาคา่ ของ sin75◦ + sin115◦

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขนุ ทด

บทที่ 2. ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ 85

ตวั อยา่ ง 2.39 จงหาคา่ ของ cos 17π + cos 11π 12 12

เม่ือทราบค่าของ sinα,cosα หรอื tanα จะสามารถหาค่าของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องจำนวนซง่ึ เปน็ สองเทา่ ของ α ได้ โดยอาศัยค่าของ sin(α + β),cos(α + β) และ tan(α + β) ตามลำดบั เช่น หาค่าของ sin2α ไดด้ งั นี้

ตัวอย่าง 2.40 จงหาสูตรของ sin2α

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมด่านขุนทด

86 2.5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริงหรอื มมุ ตวั อยา่ ง 2.41 จงหาสตู รของ cos2α

ตัวอย่าง 2.42 จงหาสูตรของ tan2α

สรุปความสมั พันธ์ท่กี ลา่ วมาได้ ดงั น้ี

ทฤษฎีบท 2.3

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α − sin2 α

cos 2α = 1 − 2 sin2 α

cos 2α = 2 cos2 α − 1

tan 2α = 2 tan α เมอ่ื tan2 α 1 1 − tan2 α

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมดา่ นขุนทด

บทที่ 2. ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ 87

ตัวอยา่ ง 2.43 กำหนดให้ cos θ = 3 และ sin θ < 0 จงหาคา่ ของ 5

1. sin 2θ

1. cos 2θ

1. tan 2θ

ตัวอยา่ ง 2.44 จงแสดงว่า cotx sin2x = 1 + cos2x เมือ่ sinx 0 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นมธั ยมด่านขนุ ทด

88 2.5. ฟังก์ชนั ตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรอื มุม ตวั อยา่ ง 2.45 จงเขียน sin3α ในรปู ของ sinα

แบบฝกึ หดั 2.5

1. จงใช้ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริงหรือมุมหาคา่ ตอ่ ไปน้ี

1. cos(60◦ + 45◦) 7) cos 7π 12

1. cos( 3π − π ) 8) cosec 7π 2 3 12

1. cos 225◦ 9) sin 17π 12

1. sin 135◦ 10) tan 19π 12

1. tan 75◦ 11) sin(− π ) 12

1. tan 105◦ 12) cot(− 5π ) 12

2. จงหาค่าของ

1. sin(− 5π ) sin π + cos π cos(− 5π ) 6) sin π cos 7π − cos π sin 7π 2 2 2 2 12 12 12 12

1. sin π sin(− π ) + cos(− π ) cos π 7) sin π cos 5π − sin 5π cos π 3 4 4 3 12 12 12 12

1. sin 20◦ cos 10◦ + cos 20◦ sin 10◦ 8) tan 75◦ − tan 45◦ 1 + tan 75◦ tan 45◦

1. cos 70◦ cos 20◦ − sin 70◦ sin 20◦ 9) cos 15◦ cos 30◦ − sin 15◦ sin 30◦

1. tan 20◦ + tan 25◦ 10) sin 20◦ cos 80◦ −cos 20◦ sin 80◦ 1 − tan 20◦ tan 25◦

กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมดา่ นขนุ ทด

บทที่ 2. ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ 89

3. จงหาคา่ ของ sin(α + β) , cos(α + β), sin(α − β) และ tan(α − β) เมอ่ื กำหนดให้

และ1) 3 , π √2 , − π sin α = 5 0<α < 2 cos β = 5 2 <β <0

และ2) − 4 , π cos β 1 , < β < π tan α = 3 2 <α <π = 2 0 2

และ3) π 15 3π cosec α = −2, − 2 < α < 0 tan β = 8 , π < β < 2

4. ถ้า cos x = 3 แล้ว จงหา cos 2x 7

5. ถ้า cos64◦ = 0.44 แลว้ จงหา cos32◦

6. ถา้ cos x = − 3 และ tan y = 5 เมอื่ π <x <π และ π<y < 3π แล้ว จงหา 5 12 2 2

1. sin x

1. sec y

1. cos(x + y)

1. cosec (x + y)

7. จงแสดงวา่

1. sin( π + θ) = cos θ 2

1. cos( π + θ) = − sin θ 2

1. cos( 3π − θ) = − sin θ 2

1. tan(π − θ) = − tan θ

1. sin(90◦ − A) = cos A

1. cot(90◦ − B) = tan B

1. cosec(90◦ − B) = sec B

1. cos(270◦ − A) = − sin A

1. tan(α − β) = tan α − tan β เมอ่ื tan α tan β 1 1 + tan α tan β

1. cos(x − 30◦) − cos(x + 30◦) = sin x

1. sin(x − 30◦) + sin(x + 30◦) = √ sin x 3

1. cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นมัธยมดา่ นขนุ ทด

90 2.6. ตัวผกผนั ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

2.6 ตัวผกผันของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ

การหาตัวผกผันของฟังก์ชันทำไดโ้ ดยการสลับทรี่ ะหวา่ งสมาชิกตัวหน้าและสมาชกิ ตัวหลงั ของแต่ละ คู่อันดับทีเ่ ปน็ สมาชิกของฟงั ก์ชนั โดยฟังกช์ นั 1-1 เท่านน้ั ท่ีมตี วั ผักผันเปน็ ฟงั ก์ชัน

เนื่องจากฟังกช์ นั ตรโี กณมิตไิ มเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั 1-1 ดงั นั้น ตัวผกผนั ของฟังกช์ ันตรโี กณมิตจิ งึ ไมเ่ ป็น ฟังก์ชนั เช่น ฟงั ก์ชนั ไซนม์ คี ู่อันดับ (0,0),(π,0) และ (2π,0) เป็นสมาชกิ ดังน้นั คู่อนั ดับ (0,0),(0,π) และ (0,2π) จงึ เป็นสมาชกิ ของตัวผกผนั ของฟงั ก์ชนั ไซน์ ซ่ึงจะพบว่าตัวผกผันของฟังก์ชันไซน์ไม่ เปน็ ฟงั กช์ นั แตถ่ ้ากำหนดโดเมนของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตใิ ห้เหมาะสม จะพบว่าตวั ผกผันของฟงั กช์ ัน ตรโี กณมติ ิจะเปน็ ฟังก์ชนั

ตัวผกผันของฟังก์ชนั ไซน์

พิจารณากราฟของ y = sinx เมอ่ื −∞ < x < ∞ และ −1 ≤ y ≤ 1 และกราฟของความสมั พันธ์ {(x,y) | x = siny} ซึ่งเป็นตัวผกผันของฟงั กช์ นั ไซนต์ ่อไปนี้

Y

x = sin y 2π −2π −π y=x π

π 2π X y = sin x

−π

−2π

รูปที่ 2.27: กราฟของ y = sinx และ x = siny

จะเห็นว่า {(x, y ) | x = sin y} ไม่เป็นฟงั ก์ชัน แต่ถา้ กำหนดโดเมนของฟังก์ชันไซนเ์ ปน็ [− π , π ] จะได้ 2 2

วา่ {(x, y) | y = sin x, − π ≤ x ≤ π } เปน็ ฟงั ก์ชัน 1-1 ซ่งึ มีฟังกช์ นั ผกผนั เป็น 2 2

{(x, y) | x = sin y, − π ≤ y ≤ π } และจะเรียกฟังกช์ ันผกผันนว้ี า่ arcsine 2 2

บทนิยาม 2.2 ฟงั ก์ชนั arcsine คอื เซตของคอู่ นั ดบั (x, y) โดยที่ x = sin y และ − π ≤ y ≤ π 2 2

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนมัธยมดา่ นขนุ ทด

บทท่ี 2. ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ 91

เม่ือ (x,y) ∈ arcsine จะได้ y = arcsinex หรอื y = arcsinx ซ่ึงมีความหมายเชน่ เดียวกับ

x = sin y เมื่อ − π ≤ y ≤ π 2 2

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ ัน {(x, y) | y = sin x, − π ≤ x ≤ π } และกราฟของฟังกช์ ัน 2 2

{(x, y) | y = arcsin x, − π ≤ y ≤ π } 2 2

Y

(1, π ) y=x 2 π 2

1 ( π , 1) 2

y = arcsin x y = sin x

π −1 π X 2 2 − 1

(− π , −1) −1 2

− π 2 π (−1, − 2 )

รูปท่ี 2.28: กราฟของ y = arcsin x เมื่อ −1 ≤ x ≤ 1 และ − π ≤ y ≤ π 2 2

จะเห็นว่า โดเมนของฟงั กช์ นั arcsine คอื [−1, 1] และเรนจข์ องฟงั ก์ชัน arcsine คือ [− π , π ] การหา 2 2

ค่าของฟงั กช์ ันผกผันของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ สิ ามารถทำได้โดยอาศัยฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ นิ ั้น ๆ เช่น การ

สูตรตรีโกณมิติมีทั้งหมดกี่สูตร

น้อง ๆ รู้จักตรีโกณมิติใช่ไหม ปัญหาหนึ่งของเรื่องตรีโกณมิติ ก็คือ การจดจำเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ทั้ง 35 สูตร แต่ มัน Math มาก จะมาบอกเทคนิคการจำทั้ง 35 สูตรภายในรูปเดียว ** เอกสารรวมสูตร sin cos tan 35 สูตรภายในรูปเดียว คลิก //bit.ly/2Pi4Nyc ทุกวันพฤหัส เวลา 20.00 น. ทางช่อง We Mahidol #ตรีโกณมิติ

sincostan #มันmath ...

มุม sin 60 องศา มีค่าเท่าใด

sin 60= root3/2 cos 60= 1/2 tan 60= root3. sin 37= 3/5 cos 37=4/5 tan 37= เอาsin/cos. sin 53= 4/5 cos 53=3/5 tan 53= เอาsin/cos.

Sin 30°

2. sin 30 ํ cos 60 ํ = 1/4.

Cos 90 มีค่าเท่าไร

ตัวอย่าง cos 0 = 1 , sin 0 = 0. cos 90 = 0 , sin 90 = 1.