ตอบ การเคล่ือนทแ่ี นวตรงเป็นการเคล่ือนท่ขี องวตั ถุโดยท่วี ตั ถเุ ปล่ียนตาแหนง่ ในการเคลือ่ นทเี่ ปน็ เส้นตรง ท
3. อธบิ ายความแตกตา่ งระหว่างอตั ราเร็วเฉล่ียและอตั ราเร็วขณะหน่ึง
ตอบ อตั ราเร็วเฉลย่ี คือ อตั ราส่วนระหวา่ งระยะทางทีว่ ัตถุเคลื่อนที่ไดก้ บั ช่วงเวลาทใี่ ชใ้ นการเคล่ือนท่ี ซงึ่ ช่วงเวลาที่ใช้ในการ เคลอ่ื นทีด่ ังกลา่ วอาจมีค่ามากหรอื นอ้ ยก็ได้ ในขณะที่อตั ราเร็วขณะหนงึ่ คือ อัตราเร็วของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง
4. เมอื่ เราพบปา้ ยจากดั ความเร็วบนถนนเปน็ 60 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง ความเร็วดงั กล่าวหมายถึงความเรว็ ขณะหนึ่ง หรือ ความเร็วเฉลีย่
ตอบ ความเร็วขณะหนึ่ง ท
5. ถ้าครอบครัวหน่ึงขับรถด้วยอัตราเรว็ เฉลี่ย 75 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง จากกรุงเทพฯไปจงั หวดั สุราษฎรธ์ านซี ง่ึ มรี ะยะทาง ประมาณ 640 กโิ ลเมตร ครอบครัวน้ีจะใช้เวลาเดินทางประมาณเทา่ ใด
วิธีทา จาก อัตราเร็วเฉล่ีย คอื อตั ราส่วนระหวา่ งระยะทางต่อเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนท่ี โดยที่ ระยะทาง เทา่ กบั 640 กิโลเมตร อัตราเร็วเฉลย่ี เทา่ กับ 75 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง จาก
จะได้
ตอบ ครอบครัวนใี้ ชเ้ วลาเดนิ ทางประมาณ 8.53 ชัว่ โมง หรือ 8 ชว่ั โมง 32 นาที
6. รถยนต์คันหน่ึงเคลื่อนท่ีในแนวตรงโดยทุก ๆ 1 วินาที รถคันน้ีจะมีอัตราเร็วเพ่ิมข้ึน 4 เมตรต่อวินาที ถ้าที่เวลา เริ่มต้นรถคนั น้มี ีอัตราเรว็ 16 เมตรต่อวินาที เม่อื เวลาผ่านไปจากเร่ิมต้น 5 วนิ าที รถจะมอี ัตราเรว็ เทา่ ใดในการ
วิธีทา โดยที่ ความเรว็ ที่เปลี่ยนไป เทา่ กับ 4 เมตรต่อวนิ าที ช่วงเวลาท่เี กดิ การเปลีย่ นแปลงความเรว็ เทา่ กับ 1 วนิ าที
จาก
จะได้
สาหรบั การเคลอื่ นทีใ่ นชว่ งเวลา 5 วินาที จะได้ ความเร็วทเ่ี ปลี่ยนไป = ความเร่ง × ช่วงเวลาท่ีเกดิ การเปลีย่ นแปลงความเร็ว
เมื่อเวลาเรมิ่ ตน้ รถคนั นมี้ ีอัตราเรว็ 16 เมตรต่อวนิ าที และเม่อื เวลาผา่ นไปจากเรมิ่ ต้น 5 วนิ าที รถมอี ัตราเรว็ เพิ่มขน้ึ จากเดิม 20 เมตรต่อวินาที
ดังน้ัน รถจะมีอัตราเร็ว = 16 + 20 = 36 m/s ตอบ รถจะมีอัตราเร็วเท่ากบั 36 เมตรต่อวนิ าที 7. โยนลูกบาสขึ้นไปตรง ๆ ในแนวด่ิง ด้วยอัตราเร็ว 29.4 เมตร/วนิ าที ขณะที่ออกจากมือลูกบาสจะใช้เวลาเท่าไหร่ จึงจะตกกลบั มาที่เดมิ เมื่อไม่คิดแรงตา้ นอากาศ วิธที า จาก ความเรง่ คือ อัตราส่วนระหว่างความเร็วท่ีเปล่ียนไปกบั ช่วงเวลาทเ่ี กิดการเปล่ียนแปลงความเรว็ โดยท่ี ความเรง่ ของลกู บาสมีค่าเท่ากบั ความเรง่ โน้มถว่ ง = -9.8 เมตรตอ่ วินาที2
ความเร็วเรมิ่ ตน้ ของลูกบาส = 29.4 เมตรตอ่ วนิ าที ความเร็วสุดท้ายของลูกบาสทจ่ี ุดสงู สุด = 0 เมตรต่อวนิ าที จาก
จะได้ ดังนัน้ เวลาทใี่ ช้ในการเคลื่อนทข่ี องลกู บาสจนตกกลบั มาท่เี ดมิ = 2 x 3 วนิ าที = 6 s ตอบ ลกู บาสจะใช้เวลาในการเคลื่อนทีต่ กกลบั มาท่ีเดิมถึงจุดสงู ท่ีสดุ เทา่ กับ 6 วนิ าที
8. ถ้าแรงทก่ี ระทากบั วตั ถกุ บั ความเร็วของวัตถมุ ีทศิ ทางตรงขา้ มกนั ความเร็วของวัตถุจะเปล่ียนแปลงอย่างไร
ตอบ ความเรว็ ของวตั ถุจะมีคา่ ลดลง ท
9. ถ้าออกแรงท่ีมีขนาดเท่ากันผลักวัตถุท่ี 1 และวัตถุที่ 2 ให้เคล่ือนที่ โดยวัตถุทั้งสองมีรูปร่างเหมือนกันทุกประการ แตม่ วลของวัตถทุ ่ี 1 มากกว่ามวลของวัตถุท่ี 2 วตั ถุใดจะเคล่อื นทีด่ ว้ ยความเร่งมากกว่ากัน
ตอบ วตั ถทุ ี่ 2 ซึ่งมีมวลนอ้ ยกว่าจะเคลื่อนท่ดี ้วยความเร่งมากกวา่ วตั ถทุ ่ี 1 ท
10. ถา้ มแี รงกระทากบั วัตถุทาให้แรงลพั ธม์ ีทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกบั การเคลอ่ื นที่ของวัตถุ เมื่อเวลาผา่ นไปวัตถจุ ะ เคล่ือนที่ไปในทิศทางเดยี วกับแรงลัพธ์หรือไม่ จงอธิบาย
ตอบ ในชว่ งแรก วตั ถุจะมีการเคลอื่ นทใ่ี นทศิ ทางเดิมซึ่งมีทิศทางตรงกนั ข้ามกบั ทิศทางของแรงลัพธ์ท่กี ระทา แตเ่ มื่อเวลา ผ่านไป วัตถุจะมีความเรว็ ลดลง จนกระท่งั ความเร็วเปน็ ศูนย์ จากน้นั วัตถจุ ะเคล่ือนที่ไปในทศิ ทางเดยี วกบั แรงลัพธ์
11. จงหาแรงลพั ธ์ ถา้ มีแรงสองแรงกระทากับวตั ถุ ดงั รูป
หาแรงลัพธ์ได้จากการรวมแบบเวกเตอร์หางต่อหวั ดังรูป
หาแรงลัพธ์ จากสูตร หา a จากสตู ร
ดังนัน้ ตอบ แรงลัพธ์มีขนาดเท่ากับ 8 นวิ ตัน โดยมที ิศทางตงั้ ฉากกับแรง 6 นิวตนั
12. นกั เล่นสเกตบอรด์ A และ B ยนื หนั หนา้ เข้าหากัน ถา้ นักเล่นสเกตบอร์ด A ผลักนักเล่นสเกตบอร์ด B ดังรปู
ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 6 | โมเมนตัมและการชน 287 30. ลูกเทนนิสมโี มเมนตมั p1 กระทบพ้นื และสะท้อนออกด้วยโมเมนตัม p2 โดยโมเมนตมั ทัง้ สอง มีทิศทางต้งั ฉากกนั ดงั รปู p2 p1 รูปประกอบปญั หาข้อ 30 ถา้ เวลาทล่ี กู เทนนสิ กระทบพน้ื นาน t แรงเฉลย่ี ทพ่ี น้ื กระท�ำ ตอ่ ลกู เทนนสิ มขี นาดเทา่ ใด ในเทอม p1 , p2 และ t วธิ ที �ำ แรงเฉลย่ี ทพ่ี น้ื กระท�ำ ตอ่ ลกู เทนนสิ เพอ่ื ท�ำ ใหล้ กู บอลเปลย่ี นแปลงโมเมนตมั จาก p1 เปน็ p2 หาไดจ้ ากอตั ราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของลูกเทนนสิ ตามสมการ Fav = (b) เนอ่ื งจากโมเมนตัมกอ่ นและหลังถกู แรงกระทำ�ไมไ่ ด้อยู่ในแนวเดมิ จึงต้องบวกเวกเตอร์ตาม หลักการรวมเวกเตอร์ โดยการเขียนรูป -p1 ∆p p2 จากสมการ p2 − p1 = p2 + (− p1) (c) p2 − p1 = โดยใชท้ ฤษฎีพที าโกรสั จะไดข้ นาดของ ดงั น้ี เขยี นรปู ไดด้ ังนี้ = p12 + p22
288 บทที่ 6 | โมเมนตมั และการชน ฟิสิกส์ เล่ม 2 = p12 + p22 จากสมการ (b) และ (c) Fav = p12 + p22 t ตอบ แรงเฉล่ยี ที่พน้ื กระท�ำ ต่อลูกเทนนิสเทา่ กับ p12 + p22 t 31. ลกู ปนื มวล m เขา้ ชนเปา้ นง่ิ มวล M ทแี่ ขวนด้วยเชือกยาว l เมตรและอย่ใู นแนวดิ่ง ลกู ปนื ฝงั เขา้ ไปในเป้าแล้วมวล M แกว่งขนึ้ ท�ำ มุม θ กับแนวด่ิง อัตราเร็วของลกู ปนื ก่อนชนเปา้ เปน็ เท่าใด วธิ ีท�ำ การชนระหว่างลูกปืนและเป้าเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม หลังจากนั้นลูกปืนและ เป้าเคลื่อนที่ไปด้วยกัน ทำ�ให้เป้าและลูกปืนเคลื่อนที่สูงขึ้นจากเดิม โดยพลังงานของเป้า และลกู ปนื ทต่ี ำ�แหนง่ เดมิ และตำ�แหน่งใหม่มคี ่าเทา่ กนั ให้ u เปน็ อัตราเรว็ ของลกู ปืนกับเป้า หลงั ชน เขยี นแผนภาพสถานการณ์ไดด้ งั นี้ θl u l - lcosθ mM ให้ v เป็นอัตราเร็วของลูกปืนกบั เป้า หลังชน (d) จากกฎการอนรุ กั ษ์โมเมนตมั pi = p f mu = (m + M )v ลกู ปืนและเปา้ แกวง่ ขึ้นไปจากแนวดิง่ เป็นระยะ l − l cosθ จากกฎการอนรุ กั ษพ์ ลงั งานกล E1 = E2 1 (m + M )v2 = 2 v =
ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทที่ 6 | โมเมนตัมและการชน 289 แทนคา่ v ในสมการ (d) ตอบ อตั ราเร็วของลูกปนื ก่อนชนเปา้ เท่ากับ 32. วัตถุ A และ B มีมวลเทา่ กนั 0.1 กโิ ลกรมั วัตถุ A เคล่อื นท่เี ขา้ ชนวัตถุ B ทอ่ี ยูน่ ่งิ ดว้ ยความเร็ว 20 เมตรตอ่ วินาที ดงั รปู 20 m/s AB รูปประกอบปัญหาข้อ 32 ถ้าการชนเปน็ แบบยดื หย่นุ หลงั จากการชนแลว้ วัตถุ B เคลือ่ นท่ีไปบนพ้นื ท่มี ีแรงเสยี ดทาน 0.2 นวิ ตนั เม่อื เวลาผ่านไป 5 วนิ าที วตั ถุ B มีโมเมนตมั ขนาดเท่าใด และมีทศิ ทางใด วธิ ที �ำ A และ B มมี วลเทา่ กนั ชนกนั แบบยดื หยนุ่ กอ่ นชน A มคี วามเรว็ 20 m/s ไปทางขวาเขา้ ชน B ท่อี ยนู่ ิ่ง หลงั ชน A จะหยดุ นิง่ B จะเคลอื่ นทไี่ ปทางขวาด้วยความเรว็ ตน้ 20 m/s ความเรว็ ของ B มขี นาดลดลงเนอ่ื งจากพน้ื มแี รงเสยี ดทาน เมอ่ื เวลาผา่ นไป 5 วนิ าที วตั ถุ B มคี วามเรว็ v เมอ่ื เขียนแผนภาพการเคลอ่ื นที่ของ B จะได้ดังนี้ กอนชน 20 m/s A B หลังชน A B 20 m/s เวลาผา นไป 5 วินาที A Bv 0.2 N หาความเรง่ a ของวตั ถุ B F = ma แทนคา่ 0.2 N = (0.1 kg)a จะได้ a = 2.0 m/s2 ไปทางซา้ ย
290 บทที่ 6 | โมเมนตัมและการชน ฟสิ ิกส์ เลม่ 2 หาความเร็ว v ของวตั ถุ B หลังการชน 5 s v = u + at (ใหท้ ศิ ทางไปทางขวาเป็นบวก) v = (20 m/s) + (−2.0 m/s2 )(5 s) = 10 m/s p = mv p = (0.1 kg)(10 m/s) = 1.0 kg m/s ตอบ หลงั การชน 5 วินาที โมเมนตมั ของวัตถุ B มีคา่ 1.0 กโิ ลกรัม เมตรต่อวนิ าที ไปทางขวา 33. ลกู ปืนมวล 5 กรมั ความเร็ว 1000 เมตรตอ่ วนิ าที เขา้ ไปฝังในแท่งไม้มวล 5 กิโลกรัม ทว่ี างนง่ิ อยู่บนโต๊ะ ถ้าสมั ประสิทธ์คิ วามเสยี ดทานจลนร์ ะหว่างผวิ แทง่ ไม้กับพื้นเทา่ กบั 0.2 หลงั จากชนแล้ว แทง่ ไมแ้ ละลูกปืนจะไถลไปตามพน้ื ไดไ้ กลเท่าใด วิธที �ำ ก�ำ หนดให้ ความเร็วทม่ี ที ิศไปทางขวามเี ครื่องหมาย บวก ไปทางซา้ ยมีเครอื่ งหมาย ลบ v u1 = 1000 m/s u2 = 0 m/s pi = p f (0.005 kg)(1000 m/s) + 0 = (5 kg + 0.005 kg)v 5 kg m/s = (5.005 kg)v v = 1.0 m/s แทง่ ไมท้ ่ีมีลูกปนื ฝังอยู่เคล่อื นที่ดว้ ยความเร็ว 1.0 m/s พิจารณาการเคลอ่ื นทีข่ องแทง่ ไมก้ ับลูกปืนที่ตดิ กันบนพ้นื ระดบั ด้วยความเรว็ v1 เท่ากับ v แลว้ เปลีย่ นเปน็ v2 เทา่ กับ 0 ไดก้ ารกระจัดเปน็ s ดังรปู
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 6 | โมเมนตมั และการชน 291 v1 = 1.0 m/s v2 = 0 m/s fk ∆x งานเนื่องจากแรงลพั ธห์ าไดจ้ ากพลงั งานจลนข์ องวตั ถุท่เี ปลี่ยนไป W = = 1 mv22 − 1 mv12 2 2 = 0− 1 mv12 2 = 1 mv12 2 = = (1.0 m / s)2 2(0.2)(9.8 m / s2 ) = 0.25 m ตอบ หลังจากชนแล้วแท่งไม้และลกู ปืนจะไถลไปตามพืน้ ได้ไกลเทา่ กับ 0.25 เมตร 34. วตั ถมุ วล 3m เคลอื่ นทใี่ นอากาศด้วยความเรว็ v ตอ่ มาแยกออกเป็น 2 สว่ นโดยส่วนแรกมีมวล m และความเรว็ 3 3mv ทิศทางตง้ั ฉากกบั ทิศทางก่อนการแยก สว่ นทีส่ องมีทศิ ทางท�ำ มุมกบั สว่ น แรกเทา่ ใด วิธที �ำ เน่อื งจากไมม่ ีแรงภายนอกกระท�ำ จงึ สามารถใชก้ ฎการอนรุ ักษ์โมเมนตมั ได ้ โมเมนตมั ของมวลกอ่ นการแยกออกจากกัน มีค่าเท่ากบั 3mv
292 บทที่ 6 | โมเมนตัมและการชน ฟิสิกส์ เลม่ 2 หลังการระเบดิ มวลสว่ นแรก มีคา่ เทา่ กับ m โมเมนตัมของมวลส่วนแรก มีคา่ เท่ากับ 3 3mv หลงั การระเบิดมวลส่วนทีส่ อง มีค่าเทา่ กบั 2m โมเมนตมั ของมวลส่วนทสี่ อง มคี ่าเท่ากบั 2mv2 สมมติใหท้ ศิ ทางการแยกออกจากกนั เปน็ ดงั รปู และก�ำ หนดให้ ความเร็วท่ีมที ศิ ไปทางขวา หรือทิศขน้ึ มเี ครอื่ งหมาย บวก ทศิ ไปทางซ้ายหรือทศิ ลงมีเครอ่ื งหมาย ลบ 3 3mv 3mv สว นแรก θ 2mv2cos θ 2mv2 สวนทส่ี อง 2mv2sin θ pi = p f แกน x ; 3mv = 3v = (e) แกน y ; 0 = (f) 3 3 v = 3 3v = สมการ (f ) 3 = (e) q = 60o ดังน้นั สว่ นทส่ี องทำ�มมุ 60 องศากับแนวการเคลื่อนทก่ี ่อนการแยกออกจากกนั หรอื ท�ำ มุม กบั สว่ นแรกเท่ากบั 150 องศา ตอบ ส่วนท่ีสองท�ำ มุม 60 องศากับแนวการเคล่อื นที่ก่อนการแยกออกจากกนั หรอื ทำ�มุมกบั ส่วน แรกเท่ากบั 150 องศา
ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 6 | โมเมนตัมและการชน 293 35. ลกู ปืนมวล 5 กรมั เคลือ่ นท่ีในแนวระดับดว้ ยความเร็ว 600 เมตรตอ่ วนิ าที ไปชนกบั แทง่ ไม้ มวล 995 กรัม ซง่ึ แขวนด้วยเชือกยาว 1.0 เมตร ถ้าลกู ปืนฝังในแท่งไม้ หลงั ชนแทง่ ไม้จะแกว่งขึ้น ไปไดส้ ูงสดุ เท่าใด วิธที ำ� ลกู ปนื มวล m เคลื่อนทใ่ี นแนวระดับดว้ ยความเรว็ u ไปชนกบั แทง่ ไมม้ วล M แล้วฝงั ใน แท่งไม้ ท�ำ ให้แทง่ ไมเ้ คลื่อนทดี่ ว้ ยความเรว็ v ดงั รปู 1.0 m (2) h u (1) m M+m v สามารถหาขนาดของ v ไดจ้ ากกฎการอนรุ กั ษโ์ มเมนตมั ก�ำ หนดให้ ความเรว็ ทม่ี ที ศิ ไปทางขวา ห รอื ทศิ ขนึ้ ม เี ค รื่อง หม าย บวก ทิศไmปpuทiา=ง=ซ(้าmยpหf+รือMทิศ)vลง มีเครอื่ งหมาย ลบ (5 g)(600 m/s) = (5 g + 995 g)v v = 3 m/s กำ�หนดให้ หลังชนแท่งไม้ที่มีลกู ปืนฝัง จะแกว่งข้ึนไปไดส้ งู สดุ h จากกฎการอนรุ ักษ์พลังงานกล จะได้ E1 = E2 1 (m + M )v2 = (m + M )gh 2 h = v2 2g แทนค่า h = (3 m/s)2 2(9.8 m/s2 ) = 0.459 m
294 บทท่ี 6 | โมเมนตมั และการชน ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 = 45.9 cm ตอบ หลงั ชนแท่งไม้จะแกว่งขน้ึ ไปไดส้ ูงเทา่ กบั 45.9 เซนติเมตร 36. วตั ถุมวล m1 มคี วามเร็ว u1 เข้าชนวัตถุมวล m2 ความเร็ว u2 หลงั ชนวตั ถุมวล m1 มคี วามเร็ว v1 และวัตถุมวล m2 มคี วามเรว็ v2 ถ้าการชนเปน็ การชนแบบยืดหยนุ่ ในหนงึ่ มิติ จงแสดงว่า u1 + v1 = u2 + v2 วิธที �ำ ถ้าการชนเปน็ การชนแบบยดื หย่นุ แสดงว่าทงั้ โมเมนตมั และพลังงานจลนข์ องระบบมกี าร อนรุ กั ษ์ ดงั นั้น จะไดว้ า่ โมเมนตมั ของระบบก่อนชนเทา่ กับโมเมนตัมของระบบหลังชน น่ันคอื m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 จัดรปู ใหม่ไดเ้ ป็น m1u1 − m1v1 = m2v2 − m2u2 m1(u1 − v1) = m2 (v2 − u2 ) (g) พลงั งานจลน์ของระบบก่อนชนเทา่ กับพลงั งานจลน์ของระบบหลังชน นัน่ คอื 1 m1u12 + 1 m2u22 = 1 m1v12 + 1 m2v22 2 2 2 2 จดั รูปใหม่ได้เปน็ 1 m1u12 − 1 m1v12 = 1 m2v22 − 1 m2u22 2 2 2 2 1 1 2 m1 (u12 − v12 ) = 2 m2 (v22 − u22 ) m1(u1 − v1)(u1 + v1) = m2 (v2 − u2 )(v2 + u2 ) (h) แทนค่า (g) ใน (h) จะได้ m2 (v2 − u2 )(u1 + v1) = m2 (v2 − u2 )(v2 + u2 ) (u1 + v1) = (u2 + v2 )
ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 6 | โมเมนตัมและการชน 295 37. วตั ถุมวล 1.0 กิโลกรมั เคลอ่ื นที่ด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที บนพนื้ ระดบั ผวิ ลื่น แลว้ ไปชน แบบยืดหยุ่นกับวตั ถุมวล 3.0 กโิ ลกรัม ท่ีวางนิง่ บนพน้ื ดังรปู 10 m/s 1.0 kg 3.0 kg รูป ประกอบปญั หาท้าทายข้อ 37 หลงั ชนวตั ถุมวล 3.0 กโิ ลกรมั เคลือ่ นทีไ่ ปชนสปรงิ ทม่ี คี า่ คงตวั 1200 นิวตนั ตอ่ เมตร สปริง จะหดตัวไดม้ ากทส่ี ดุ เทา่ ใด วธิ ีทำ� ให้ v1 และ v2 เป็นความเร็วของมวล 1.0 กโิ ลกรมั และ 3.0 กิโลกรมั ตามลำ�ดับ หา v2 ได้ จ ากก าร ใช้ก ฎก ารอ นรุ ักษm์โ ม1เuม 1น+ตmัม2pui2 = mp1vf1 + m2v2 = กำ�หนดให้ความเรว็ ท่ีมีทศิ ไปทางขวาหรอื ทศิ ข้นึ มเี ครอ่ื งหมายบวก ท ิศไปทางซา้ ยหรอื ทศิ ลง มีเคร่อื งหมาย ลบ จะได้วา่ (1.0 kg)(10 m/s) + 0 = (1.0 kg)v1 + (3.0 kg)v2 (i) v1 + 3v2 = 10 m/s จากกฎการอนุรกั ษพ์ ลงั งาน 1 m1u12 + 1 m2u22 = 1 m1v12 + 1 m2v22 2 2 2 2 1 1 (1.0 1 2 (1.0 kg)(10 m/s)2 + 0 = 2 kg)v12 + 2 (3.0 kg)v22 v12 + 3v22 = 100 m2 /s2 (j) จากสมการ (i) และ (j) จะได้ v2 = 5 m/s การหา v2 สามารถหาได้อกี วิธหี นึง่ โดยใช้ความสมั พนั ธ์ ตามสมการ u1 + v1 = u2 + v2 10 m/s + v1 = 0 + v2 v2 − v1 = 10 m/s (k)
296 บทท่ี 6 | โมเมนตมั และการชน ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 สมการ (1) + (3) v2 = 5 m/s ดังน้ัน วัตถุมวล 3.0 kg เคล่ือนทดี่ ว้ ยความเรว็ 5 m/s ทิศไปทางขวาไปชนสปรงิ ทำ�ให้สปรงิ หดตัวมากทส่ี ดุ เปน็ ระยะ x จากกฎการอนรุ ักษพ์ ลังงานกลจะได้ 1 kx2 = 1 m2v22 2 2 (1200 N/m)x2 = (3.0 kg)(5 m/s)2 x = 5 m 20 x = 0.25 m ตอบ สปริงจะหดตัวมากทสี่ ุดเทา่ กบั 0.25 เมตร 38.สปริงเสน้ หน่ึงมีค่าคงตัวสปรงิ 2500นิวตันตอ่ เมตรวางอยูบ่ นพน้ื ระดบั ผิวลนื่ โดยปลายขา้ งหน่งึ ตรึงไว้กับผนัง เมื่อนำ�วัตถุมวล 1.0 กิโลกรัม อัดสปริงเข้าไปจากตำ�แหน่งสมดุลเป็นระยะ 10 เซนติเมตร ดงั รปู ตำแหนงสมดุล 4.0 kg 1.0 kg 10 cm 30 cm รูป ประกอบปัญหาทา้ ทายข้อ 38 เมอ่ื ปล่อยมวล 1.0 กโิ ลกรัม จะเคลือ่ นทไ่ี ปชนวตั ถุมวล 4.0 กโิ ลกรัมทอ่ี ยูห่ า่ งออกไป 40 เซนติเมตร ถา้ การชนเป็นแบบยืดหยนุ่ จงหาความเร็วของมวล 4.0 กิโลกรมั หลังชน วธิ ีทำ� ถา้ E1 เป็นพลังงานกลเมื่อสปรงิ ถูกกดเปน็ ระยะ 10 เซนติเมตร E2 เปน็ พลงั งานกลของวตั ถุมวล 1.0 กิโลกรัมเมอ่ื ผา่ นต�ำ แหนง่ สมดุล u1 เป็นขนาดของความเรว็ ของวัตถมุ วล 1.0 กิโลกรมั ที่ผ่านต�ำ แหน่งสมดลุ จากกฎการอนรุ ักษพ์ ลงั งานกล จะได้
ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 บทที่ 6 | โมเมนตมั และการชน 297 E2 = E1 1 m1u12 = 1 kx2 2 2 1 1 (2500 N/m)(0.10 m)2 2 (1.0 kg)u12 = 2 u1 = (50)(0.10) m/s = 5 m/s ให้ v1 และ v2 เป็นความเร็วของมวล 1.0 kg และ 4.0 kg หลังชนกนั กำ�หนดให้ ความเร็วท่มี ที ศิ ไปทางขวาหรือทศิ ข้ึนมีเคร่ืองหมาย บวก ทศิ ไปทางซ้ายหรือทิศ ล ง ม เี ค ร ่อื งห มา ย ล บ จา กmก ฎ1uก1า+รอmน2รุpuกั i2ษโ์==มเmมp1นvfต1 มั + จะไดว้ ่า m2v2 (1.0 kg)(5 m/s) + 0 = (1.0 kg)v1 + (4.0 kg)v2 v1 + 4v2 = 5 m/s (l) จากกฎการอนุรกั ษพ์ ลงั งาน 1 m1u12 + 1 m2u22 = 1 m1v12 + 1 m2v22 2 2 2 2 1 (1.0 kg)(5 m/s)2 + 0 1 (1.0 1 2 = 2 kg)v12 + 2 (4.0 kg)v22 v12 + 4v22 = 25 m2 /s2 (m) จากสมการ (l) และ (m) จะได้ v2 = 2 m/s (n) การหา v2 สามารถหาได้อีกวิธหี นึง่ โดยใช้ความสัมพันธ์ ตามสมการ u1 + v1 = u2 + v2 5 m/s + v1 = 0 + v2 v2 − v1 = 5 m/s สมการ (l) + (n) 5v2 = 10 m/s v2 = 2 m/s ตอบ หลงั ชน มวล 4.0 กโิ ลกรัม เคลอ่ื นที่ดว้ ยความเรว็ 2 เมตรต่อวนิ าที ทศิ ขวา
298 บทท่ี 6 | โมเมนตมั และการชน ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 39. ลกู กลม A มวล m เคลื่อนทบ่ี นพ้นื ระดบั ผวิ ล่นื ด้วยความเรว็ u1 ไปตามแนวแกน x ไปชนกบั ลกู กลม B มวล m เทา่ กัน ซ่งึ หยดุ นิ่ง หลงั ชนลูกกลม A เคล่ือนท่ดี ้วยความเร็ว v1 ในทิศทางท�ำ มุม θ1 กับแกน x สว่ นลกู กลม B เคล่อื นท่ดี ้วยความเร็ว v2 ในทศิ ทางท�ำ มุม θ2 กับแกน x ดังรูป v1 u1 B A x A θ1 B θ2 B v2 กอ นชน หลังชน รปู ประกอบปญั หาทา้ ทายขอ้ 39 ถา้ การชนเปน็ แบบยดื หยนุ่ จงหาคา่ ของมุม θ1 +θ2 ว ธิ ที �ำ จ จ าากก สก มฎ ก ก าารร อ(น oรุ ) ัก สษ าโ์ มมาเ มรถนเm ตข ัม1ยี uน 1 ร+vูป1mแ+ส2puvดi22งค===วาumม1p1ส vมัf1พ+ันmธ2ร์ vะ2หว่าง v1 v2 และ u 1 ไดด้ ังรูป(o1) หรอื 2
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 6 | โมเมนตมั และการชน 299 v1 θ1 u1 v1 v2 θ2 θ1 θ 2 v2 u1 รปู 1 รูป 2 จากรปู 2 ถา้ การชนเปน็ แบบยดื หยนุ่ พลงั งานจลนข์ องระบบกอ่ นชน มคี า่ เทา่ กบั พลงั งานจลน์ ของระบบหลังชน ดงั น้นั 1 mu12 = 1 mv12 + 1 mv22 2 2 2 u12 = v12 + v22 (p) จากสมการ (o) และ (p) และทฤษฏพี ที าโกรสั จะได้ว่าหลังชนลกู กลม A และ B เคล่อื นที่ ตงั้ ฉากกัน ดังนัน้ θ1 + θ2 = 90 ตอบ มมุ θ1 +θ2 มคี า่ เทา่ กับ 90 องศา 40. ลกู เหล็กทรงกลมมวล 1 กิโลกรัม ผกู ติดกับปลายเชอื กเส้นหนง่ึ ซ่ึงยาว 80 เซนตเิ มตร ส่วน อีกปลายหน่ึงของเชือกถูกตรงึ ไวท้ ่ีจดุ A ดงั รปู 1 kg 80 cm A 4 kg รปู ประกอบปญั หาท้าทายขอ้ 40 เมอื่ ปล่อยลูกเหล็กทรงกลมใหต้ กลงมา ขณะทีเ่ ชือกอยู่ในแนวระดับ ลกู เหลก็ ทรงกลมจะ กระทบกบั แท่งเหล็กสเี่ หลยี่ มมวล 4 กิโลกรมั ซึง่ วางอยนู่ ่งิ บนพืน้ ทีไ่ ม่มีแรงเสยี ดทาน ถา้ การชน เปน็ แบบยดื หยุ่น ความเร็วหลงั การชนของลูกเหล็กทรงกลมและแทง่ เหล็กสี่เหลยี่ มจะเป็นเท่าใด
300 บทที่ 6 | โมเมนตมั และการชน ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 วธิ ที ำ� จากกฎการอนรุ กั ษพ์ ลังงาน E p = Ek mgh = 1 mv2 2 นำ� m หารตลอดสมการ จะได้วา่ gh = 1 v2 2 (9.8 m/s2 )(0.8 m) = 1 v2 แทนค่า 2 v2 = 15.68 m2 /s2 vv ==33.9.966 mm/s/s (q) กำ�หนดให ้ m1 = มวลของลูกเหลก็ m2 = มวลของแท่งเหล็ก v1 = ความเร็วของลูกเหลก็ หลงั ชน v2 = ความเร็วของแท่งเหลก็ หลังชน pi = p f m1u = m1 + m2v2 (1 kg)(3.96 m/s) = (1 kg)(v1) + (4 kg)(v2) v1 = 3.96 − 4v2 เน่ืองจากเปน็ การชนแบบยืดหยุน่ Ek i = Ek f 1 m1u 2 = 1 m1v12 + 1 m2v22 2 2 2 1 (1 kg)(3.96 m/s)2 1 1 2 = 2 (1 kg)v12 + 2 (4 kg)v22 (3.96 m/s)2 = v12 + (4 kg)v22
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 6 | โมเมนตัมและการชน 301 15.68 m2 /s2 = v12 + (4 kg)v22 (r) แทนคา่ (q) ใน (r) จะได้ 15.68 = (3.96 − 4v2 )2 + 4v22 15.68 = 15.68 − (2)(4v2 )(3.96) +16v22 + 4v22 0 = − 31.68v2 + 20v22 v2 (20v 2 −31.68) = 0 20v2 = 31.68 v2 = 1.584 m/s แทนค่า v 2 ใน (1) จะไดว้ ่า v1 = 3.96 − 4(1.584 m/s) v1 = − 2.38 m/s ตอบ ความเรว็ หลงั การชนของลกู เหลก็ ทรงกลมและแทง่ เหลก็ สเ่ี หลย่ี มจะเปน็ 1.58 เมตรตอ่ วนิ าที และ 2.38 เมตรตอ่ วนิ าที ตามลำ�ดบั
302 บทที่ 6 | โมเมนตมั และการชน ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2
ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทที่ 7 | การเคล่อื นที่แนวโค้ง 303 บทท่ี 7 การเคลอ่ื นทแ่ี นวโคง้ goo.gl/27g4K5 ผลการเรียนรู:้ 1. อธิบาย วเิ คราะห์ และค�ำ นวณปริมาณต่าง ๆ ทีเ่ กยี่ วขอ้ งกบั การเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทล์ และ ทดลองการเคลื่อนทแี่ บบโพรเจกไทล์ 2. ทดลองและอธบิ ายความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงสศู่ นู ยก์ ลาง รศั มขี องการเคลอ่ื นที่ อตั ราเรว็ เชงิ เสน้ อตั ราเรว็ เชงิ มมุ และมวลของวตั ถใุ นการเคลอ่ื นทแี่ บบวงกลมในระนาบระดบั รวมทง้ั ค�ำ นวณปรมิ าณ ต่าง ๆ ที่เก่ียวข้อง และประยุกต์ใช้ความรู้การเคลื่อนที่แบบวงกลมในการอธิบายการโคจรของ ดาวเทียม การวิเคราะห์ผลการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ กบั ทักษะกระบวนการทางวทิ ยาศาสตร์ และทกั ษะ แหง่ ศตวรรษท่ี 21 ผลการเรยี นรู้ 1. อธิบาย วเิ คราะห์ และค�ำ นวณปรมิ าณต่าง ๆ ทเี่ ก่ยี วข้องกบั การเคลือ่ นท่แี บบโพรเจกไทล์ และ ทดลองการเคลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1. ทดลองการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์เพ่ือหาความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัดในแนวระดับกับ การกระจดั ในแนวดง่ิ 2. อธิบายหลกั การของการเคล่ือนท่แี บบโพรเจกไทล์ 3. น�ำ หลกั การของการเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทลไ์ ปค�ำ นวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ทเี่ กย่ี วขอ้ งกบั การเคลอ่ื นที่ แบบโพรเจกไทล์
304 บทท่ี 7 | การเคล่ือนท่แี นวโค้ง ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 ทักษะกระบวนการทาง ทกั ษะแหง่ ศตวรรษท่ี 21 จติ วทิ ยาศาสตร์ วิทยาศาสตร์ 1. การแกป้ ญั หา (สถานการณ์ 1. ด้านความรอบคอบและ 1. การสังเกต การวัด และ ที่เก่ียวกับการเคล่ือนท่ีแบบ ความรบั ผดิ ชอบ และความรว่ ม ก า ร ล ง ค ว า ม เ ห็ น จ า ก ข้ อ มู ล โพรเจกไทล)์ มือช่วยเหลอื (การท�ำ กจิ กรรม) (จากการทำ�กิจกรรม) 2. ความร่วมมือ การทำ�งาน 2. การใชจ้ ำ�นวน (การคำ�นวณ เป็นทีม และภาวะผู้นำ� (การ ปริมาณต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง และ ทำ�กจิ กรรม) การเขียนรายงานผลการทำ� 3. การส่ือสาร (การอภิปราย กิจกรรม) รว่ มกันและนำ�เสนอผล) ผลการเรยี นรู้ 2. ทดลองและอธบิ ายความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงสศู่ นู ยก์ ลาง รศั มขี องการเคลอื่ นที่ อตั ราเรว็ เชงิ เสน้ อตั ราเรว็ เชงิ มมุ และมวลของวตั ถใุ นการเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมในระนาบระดบั รวมทงั้ ค�ำ นวณปรมิ าณ ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้อง และประยุกต์ใช้ความรู้การเคล่ือนท่ีแบบวงกลมในการอธิบายการโคจรของ ดาวเทยี ม จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 4. ทดลองการเคลื่อนทีแ่ บบวงกลมเพื่อศึกษาความสัมพันธเ์ ก่ียวกบั คาบ แรงสู่ศูนยก์ ลาง รัศมขี อง การเคล่ือนที่แบบวงกลม 5. อธบิ ายหลกั การของการเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมทเี่ กยี่ วขอ้ งกบั แรงสศู่ นู ยก์ ลาง ความเรง่ สศู่ นู ยก์ ลาง และความสมั พันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชงิ เส้นกับอัตราเรว็ เชงิ มุม 6. หาแรงลพั ธ์ท่ีทำ�หนา้ ทเ่ี ป็นแรงสู่ศนู ยก์ ลางซ่ึงทำ�ใหเ้ กิดการเคล่อื นทแี่ บบวงกลม 7. นำ�หลักการของการเคลื่อนที่แบบวงกลมไปคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ท่ีเก่ียวข้องกับการเคลื่อนที่ แบบวงกลม 8. นำ�หลักของการเคลื่อนที่แบบวงกลมไปคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคล่ือนท่ีของ รถยนตห์ รอื รถจกั รยานยนตบ์ นถนนโค้ง 9. ประยุกต์ใช้ความรู้การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมในการอธิบายและคำ�นวณการโคจรของดาวเทียม
ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 บทที่ 7 | การเคลื่อนท่ีแนวโค้ง 305 ทกั ษะกระบวนการทาง ทกั ษะแหง่ ศตวรรษท่ี 21 จิตวทิ ยาศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ 1. การสังเกต การวัด และ 1. การแกป้ ญั หา (สถานการณ์ 1. ด้านความรอบคอบและ ก า ร ล ง ค ว า ม เ ห็ น จ า ก ข้ อ มู ล ที่เก่ียวกับการเคล่ือนท่ีแบบ ความรบั ผดิ ชอบ และความรว่ ม (การท�ำ กิจกรรม) วงกลม) มอื ช่วยเหลือ (การท�ำ กิจกรรม) 2. การใชจ้ ำ�นวน (การคำ�นวณ 2. ความร่วมมือ การทำ�งาน ปริมาณต่างๆ ท่ีเกี่ยวข้อง และ เป็นทีม และภาวะผู้นำ� (การ การเขียนรายงานผลการทำ� ท�ำ กจิ กรรม) กิจกรรม) 3. การสื่อสาร (การอภิปราย ร่วมกนั และน�ำ เสนอผล)
306 บทท่ี 7 | การเคลือ่ นท่แี นวโค้ง ฟิสิกส์ เลม่ 2 ผังมโนทศั น์ การเคล่อื นทแี่ นวโคง้ พิจารณาเฉพาะ การเคล่อื นทีแ่ บบโพรเจกไทล์ การเคล่ือนท่ีแบบวงกลม น�ำ ไปพิจารณา อัตราเร็วคงตัว ประกอบด้วย การเคล่ือนท่ีแบบวงกลมสมำ�่ เสมอ การเคลอ่ื นที่ในแนวระดับ การเคลื่อนทใ่ี นแนวดงิ่ ด้วยความเร็วคงตวั ด้วยความเรง่ คงตัว ประกอบด้วย อธิบายไดด้ ว้ ย ความเร่งในแนวสมั ผัส ความเรง่ ในแนวสู่ศูนย์กลาง เท่ากับศูนย์ มขี นาดคงตัว สมการการเคลีอ่ นท่ีแนวตรง ได้ น�ำ ไปค�ำ นวณ แรงลพั ธ์เปน็ แรงสูศ่ ูนย์กลาง ปรมิ าณต่างๆ ทเี่ กยี่ วขอ้ งกับการ น�ำ ไปอธบิ ายและคำ�นวณ เคลอ่ื นท่แี บบโพรเจกไทล์ ปรมิ าณตา่ งๆ เกยี่ วกบั แรงโนม้ ถว่ ง การเคล่อื นที่แบบวงกลมสมำ่�เสมอ น�ำ ไปอธิบาย แรงเสยี ดทาน การโคจรของดาวเทยี ม น�ำ ไปอธิบายและคำ�นวณ การเคล่อื นที่ของรถยนตแ์ ละจกั รยานยนตบ์ นทางโคง้ ราบ
ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคลือ่ นทแี่ นวโคง้ 307 สรุปแนวความคดิ สำ�คัญ การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (projectile motion) เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุในสองมิติท่ีมี แนวการเคลอ่ื นทเ่ี ปน็ แนวโคง้ พาราโบลา การเคลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทลป์ ระกอบดว้ ยการเคลอ่ื นทใ่ี นสองแนว ท่ีต้ังฉากกันและเป็นอิสระต่อกัน โดยแนวหน่ึงเคลื่อนท่ีด้วยความเร่งคงตัว และอีกแนวหนึ่งเคลื่อนท่ีด้วย ความเรว็ คงตวั ทง้ั นโี้ ดยมีปริมาณทใ่ี ช้ร่วมกนั คอื เวลา เน่ืองจากเปน็ วตั ถุก้อนเดียวกนั กรณีวัตถุเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ท่ีมีความเร่งในแนวแกน y คงตัว และมีความเร็วในแนวแกน x คงตัว สามารถอธิบายได้ดว้ ยสมการ ในแนวแกน y ∆y = uyt + 1 a yt 2 2 vy = uy + ayt v 2 = u 2 + 2a y ∆y y y และ ∆y = uy + vy t 2 ในแนวแกน x ∆x = uxt สำ�หรับกรณีวัตถุเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ภายใต้สนามโน้มถ่วงของโลกโดยไม่คิดแรงต้านอากาศ วัตถุจะมีความเร่งในแนวดิ่งคงตัวซึ่งเท่ากับความเร่งโน้มถ่วงของโลก ( ay = −g ) และการเคล่ือนที่ใน แนวระดบั จะมีความเร็วคงตวั การเคล่ือนที่แบบวงกลม (circular motion) เป็นลักษณะการเคล่ือนที่ของวัตถุในสองมิติที่มี เสน้ ทางการเคลื่อนท่ีเปน็ วงกลมหรอื ส่วนของวงกลม ส�ำ หรบั การศึกษาในชน้ั นเี้ นน้ การศึกษาการเคล่ือนที่ แบบวงกลมสม่ำ�เสมอ (uniform circular motion) ซ่ึงเป็นการเคล่ือนที่แบบวงกลมท่ีมีอัตราเร็วคงตัว ไม่มีแรงกระทำ�ตอ่ วัตถุในแนวสัมผสั เสน้ ทางการเคลือ่ นท่ี แตม่ ีแรงกระท�ำ ตอ่ วตั ถใุ นทิศเขา้ สศู่ ูนย์กลางหรือ แรงในแนวตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ เรียกว่า แรงสู่ศูนยก์ ลาง (centripetal force) คำ�นวณไดจ้ าก สมการ Fc = mv2 r การเคลอื่ นทแ่ี บบวงกลมสามารถอธบิ ายไดด้ ว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ (angular speed) ซงึ่ คอื มมุ ระนาบ ทร่ี ศั มกี วาดไปไดต้ อ่ หนงึ่ หนว่ ยเวลา ใชส้ ญั ญลกั ษณ์ ω มหี นว่ ยเปน็ เรเดยี นตอ่ วนิ าที (rad/s) โดยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ มคี วามสัมพันธก์ ับอตั ราเร็วเชงิ เสน้ ตามสมการ v = ω r
308 บทที่ 7 | การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ ฟิสิกส์ เลม่ 2 จะได้ แรงสู่ศนู ย์กลางมีความสมั พนั ธก์ ับอัตราเรว็ เชงิ มุมตามสมการ Fc = mω2r การโคจรของดาวเทยี มรอบโลกทมี่ กี ารเคลอื่ นทแ่ี บบวงกลมจะมแี รงโนม้ ถว่ งซงึ่ เปน็ แรงดงึ ดดู ระหวา่ ง มวลของดาวเทียมกับโลกทำ�หนา้ ทเ่ี ปน็ แรงสู่ศูนยก์ ลางทำ�ใหด้ าวเทยี มยงั โคจรอยู่ได้ ซึง่ หาได้จากสมการ F = G m1m2 r2 ดาวเทยี มบางชนดิ โคจรไปทางเดยี วกนั กบั โลกดว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ เทา่ กนั กบั โลก และมคี าบการโคจร เทา่ กบั คาบการหมุนรอบตวั เองของโลก ดาวเทยี มจงึ อยตู่ รงกบั ต�ำ แหน่งทก่ี �ำ หนดไวบ้ นพืน้ โลกตลอดเวลา เวลาทใี่ ช้ บทน้ีควรใช้เวลาสอนประมาณ 20 ชัว่ โมง 7.1 การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 10 ช่วั โมง 7.2 การเคลือ่ นทแี่ บบวงกลม 10 ชั่วโมง ความรหู้ รือทักษะพนื้ ฐานทน่ี ักเรียนต้องมกี ่อนเรียน การเคลื่อนที่แนวตรง การเคลื่อนที่แบบตกเสรี กฎการเคล่ือนที่ของนิวตัน แรงดึงดูดระหว่าง มวล สมดลุ คาบ น�ำ เขา้ สู่บทท่ี 7 ครูนำ�เข้าสู่บทท่ี 7 โดยให้นักเรียนดูภาพของวัตถุท่ีมีการเคลื่อนท่ีในแนวโค้งทั้งการเคลื่อนที่แบบ โพรเจกไทล์ เชน่ การโยนรบั สง่ สงิ่ ของ การโยนลกู บาสเกตบอล และการฉดี น�้ำ ออกจากสายยาง เปน็ ตน้ และ การเคล่ือนที่แบบวงกลม เช่น การขับรถมอเตอร์ไซด์ไต่ถัง การเหวี่ยงวัตถุที่ผูกเชือกเป็นวงกลม และ การเคลอ่ื นทข่ี องดาวเทยี มรอบโลก เปน็ ตน้ โดยใหน้ กั เรยี นอภปิ รายเกย่ี วกบั ความเหมอื นและความแตกตา่ ง ระหว่างการเคล่ือนท่ีในแนวโค้งท้ังสองแบบ รวมท้ังความเหมือนและความแตกต่างระหว่างการเคลื่อนท่ี ในแนวโค้งกับการเคล่ือนที่ในแนวตรงท่ีได้เรียนผ่านมาแล้ว ทั้งน้ี ครูควรเปิดโอกาสให้นักเรียนตอบอย่าง อิสระและไม่คาดหวงั คำ�ตอบถูกตอ้ ง ครบู อกนักเรยี นวา่ ในบทที่ 7 น้ี นักเรยี นจะได้เรยี นรูเ้ กย่ี วกบั การเคล่ือนทข่ี องวัตถทุ มี่ กี ารเคลอ่ื นที่ ในแนวโคง้ หรอื มกี ารเคลอื่ นทใ่ี นสองมติ ิ จากนน้ั ครชู แ้ี จงหวั ขอ้ ทนี่ กั เรยี นจะไดเ้ รยี นรใู้ นบทที่ 7 และค�ำ ถาม ส�ำ คัญที่นักเรียนจะต้องตอบไดห้ ลงั จากการเรยี นรู้บทท่ี 7 ตามรายละเอยี ดในหนงั สือเรยี น
ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทที่ 7 | การเคลอ่ื นท่แี นวโค้ง 309 7.1 การเคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. ทดลองการเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์เพ่ือหาความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัดในแนวระดับกับ การกระจดั ในแนวด่ิง 2. อธบิ ายหลักการของการเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทล์ 3. น�ำ หลกั การของการเคลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทลไ์ ปคำ�นวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ทเี่ กย่ี วขอ้ งกบั การเคลอื่ นที่ แบบโพรเจกไทล์ ความเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นทีอ่ าจเกดิ ข้นึ แนวคดิ ที่ถกู ต้อง ความเข้าใจคลาดเคล่อื น 1. เมอ่ื ไม่คิดแรงตา้ นของอากาศ วตั ถทุ เี่ คล่อื นท่ี แบบโพรเจกไทล์จะมีความเร่งในแนวด่ิงเท่ากับ 1. เมอื่ ไมค่ ดิ แรงตา้ นของอากาศ วตั ถทุ เ่ี คลอื่ นท่ี ความเรง่ โนม้ ถว่ งของโลก หรอื g แตไ่ มม่ คี วามเรง่ แบบโพรเจกไทลเ์ ปน็ การเคลอื่ นทท่ี ม่ี คี วามเรง่ ทงั้ ในแนวระดับ เน่ืองจากมีเฉพาะแรงโน้มถ่วง ในแนวดิง่ และแนวระดับ กระท�ำ ต่อวตั ถุเทา่ นั้น 2. ความเรว็ ของวตั ถทุ จี่ ดุ สงู สดุ ของการเคลอื่ นท่ี 2. ความเรว็ ของวตั ถทุ จี่ ดุ สงู สดุ ของการเคลอ่ื นที่ แบบโพรเจกไทลม์ คี า่ เป็นศนู ย์ แบบโพรเจกไทล์มีค่าไม่เป็นศูนย์ เฉพาะ องคป์ ระกอบของความเรว็ ในแนวดงิ่ เทา่ นนั้ ทมี่ คี า่ เป็นศูนย์ ส่วนองค์ประกอบของความเร็วในแนว ระดบั มคี า่ คงตวั ตลอดการเคลอื่ นท่ี ส่ิงทคี่ รตู อ้ งเตรยี มล่วงหน้า 1. ชดุ อุปกรณ์สำ�หรบั การสาธติ เพ่อื กระตุ้นความสนใจ เช่น ลูกเทนนิส ลกู บอล 2. ชุดอุปกรณ์สำ�หรับการสาธิตการเคลื่อนท่ีของเหรียญ ประกอบด้วยเหรียญจำ�นวน 2 เหรียญ และ ไมบ้ รรทดั จำ�นวน 2 อนั
310 บทที่ 7 | การเคล่ือนทแ่ี นวโค้ง ฟิสิกส์ เลม่ 2 แนวการจัดการเรียนรู้ ครชู แี้ จงจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรขู้ องหวั ขอ้ 7.1 จากนนั้ ครนู �ำ เขา้ สบู่ ทเรยี นโดยใหน้ กั เรยี นสงั เกตแนวการ เคล่อื นทข่ี องวตั ถุทถ่ี ูกโยนไปในอากาศโดยใหต้ วั แทนนกั เรยี น 2 คน สาธิตการโยนรับและส่งวัตถุ เช่น ลกู เทนนสิ หรือลูกบอล แลว้ ให้นักเรยี นอภิปรายร่วมกนั ในประเด็นดงั ต่อไปน้ี - เสน้ ทางการเคลอ่ื นท่ีของวตั ถุมลี ักษณะเปน็ อยา่ งไร - ความเรว็ ของวัตถุขณะเคลอื่ นทอ่ี อกจากมอื มลี ักษณะเป็นอย่างไร - ความเร็วของวตั ถุขณะอยทู่ ่จี ุดสูงสดุ มลี กั ษณะเปน็ อย่างไร - แรงที่กระทำ�ตอ่ วัตถขุ ณะท่ีวตั ถเุ คล่ือนทม่ี อี ะไรบ้าง และมีทศิ ทางใด ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนตอบคำ�ถามอย่างอิสระ ไม่คาดหวังคำ�ตอบที่ถูกต้อง จากนั้น ครูให้ความรู้ ตามรายละเอียดในหนังสือเรียนว่า การเคลื่อนท่ีของวัตถุในอากาศที่มีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง ถ้าไม่มีแรงต้านของอากาศหรือแรงต้านทานมีผลน้อยมากจนไม่ต้องนำ�มาคิด เรียกว่า การเคลื่อนท่ีแบบ โพรเจกไทล์ (projectile motion) ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรม 7.1 ในหนงั สอื เรยี น จากนน้ั อภปิ รายรว่ มกนั จนไดข้ อ้ สรปุ เกยี่ วกบั การเคลอ่ื นท่ี แบบโพรเจกไทล์ กิจกรรม 7.1 การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ จุดประสงค์ 1. ศกึ ษาลกั ษณะของเสน้ ทางการเคลอื่ นท่แี บบโพรเจกไทล์ 2. หาความสัมพนั ธร์ ะหว่างการกระจดั ในแนวระดับและการกระจดั ในแนวดงิ่ ของการเคล่ือนท่ี แบบโพรเจกไทล์ เวลาทีใ่ ช้ 90 นาที วสั ดุและอุปกรณ์ 1. ชุดทดลองการเคลอ่ื นท่แี บบโพรเจกไทล์ 1 ชดุ 2. กระดาษกราฟ 2 แผน่ 3. กระดาษคารบ์ อน 1 แผน่ 4. กระดาษขาว 1 แผน่
ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นท่ีแนวโค้ง 311 แนะน�ำ ก่อนทำ�กจิ กรรม 1. ปรบั ปลายรางอะลูมเิ นียมตอนล่างใหอ้ ยู่ในแนวระดบั 2. ติดกระดาษกราฟกับแผ่นไม้โดยให้แกนของกราฟวางตัวอยู่ในแนวดิ่งและแนวระดับ และปรับ ตำ�แหน่งของกระดาษกราฟให้จุดที่ลูกกลมโลหะกระทบเป้าเม่ือวางเป้าชิดปลายรางตรงกับจุดตัดของ เส้นทึบในแนวด่งิ และแนวระดบั บนกระดาษกราฟ 3. ทุกครั้งที่ปล่อยลูกกลมโลหะ ต้องจับแผ่นเป้าโลหะที่ด้านหลังไว้เพื่อไม่ให้แผ่นเป้าเคล่ือนท่ีขณะ ลูกกลมโลหะชน 4. เพ่ือความสะดวก อาจบันทึกตำ�แหน่งท่ีลูกกลมโลหะชนเป้าแต่ละคร้ังลงในกระดาษกราฟอีก หนงึ่ แผน่ ทไี่ มไ่ ดต้ ดิ เขา้ กบั แปน้ ไม้ โดยใหจ้ ดุ แรกซงึ่ ตรงกบั จดุ ทล่ี กู กลมโลหะกระทบเปา้ เมอ่ื วางชดิ ปลายราง เป็นจดุ ก�ำ เนิด ตวั อย่างผลการทำ�กจิ กรรม 1. หาแนวการเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจกไทลโ์ ดยลากเสน้ ผา่ นจดุ ตา่ ง ๆ ทป่ี รากฏบนกระดาษกราฟ ∆y (cm) ∆x (cm) 0 รูป 7.1 แนวการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะบนกระดาษกราฟ
312 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นทแี่ นวโคง้ ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 2. หาความสัมพันธ์ระหว่างขนาดการกระจัดในแนวดิ่ง (∆y) กับกำ�ลังสองของขนาดการกระจัดใน ( )แนวระดบั (∆x)2 ตัวอย่างตารางบันทึกผลการทดลอง ขนาดการกระจัด ขนาดการกระจัด กำ�ลังสองของขนาดการกระจัด ( )ในแนวระดับ (∆x)2(cm) ในแนวด่ิง (∆y) (cm) ( )ในแนวระดบั (∆x)2 (cm2) 1.00 0.10 1.00 2.00 0.35 4.00 3.00 0.70 9.00 4.00 1.20 16.0 5.00 1.90 25.0 6.00 2.65 36.0 7.00 3.30 49.0 8.00 4.45 64.0 9.00 5.55 81.0 10.00 6.80 100.0 11.00 8.20 121.0 12.00 9.70 144.0
ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 7 | การเคลือ่ นทแ่ี นวโคง้ 313 ∆y (cm) 10 8 6 4 2 (∆x)2 (cm2) 0 25 50 75 100 125 150 ( )รูป 7.2 กราฟระหว่างขนาดการกระจดั ในแนวดงิ่ ∆y ( )( )กบั ก�ำ ลังสองของขนาดการกระจดั ในแนวระดับ ∆x 2 แนวค�ำ ตอบค�ำ ถามท้ายกจิ กรรม □ การปล่อยลูกกลมโลหะที่ตำ�แหน่งเดิมใกล้ปลายรางตอนบนทุกครั้ง มีผลต่อความเร็วที่ ปลายรางตอนล่างอยา่ งไร แนวค�ำ ตอบ การปลอ่ ยลกู กลมโลหะทตี่ �ำ แหนง่ เดมิ ใกลป้ ลายรางตอนบนทกุ ครง้ั ท�ำ ใหค้ วามเรว็ ของ ลูกกลมโลหะหลุดออกจากปลายรางตอนลา่ งมีคา่ เท่ากัน □ แนวการเคล่อื นท่ขี องลกู กลมโลหะจากกระดาษกราฟมลี ักษณะอยา่ งไร แนวคำ�ตอบ แนวการเคลอื่ นท่ขี องลูกกลมโลหะที่ปรากฏบนกระดาษกราฟเปน็ แนวโค้ง □ จากกราฟระหว่างขนาดการกระจัดในแนวด่งิ (∆y) กับกำ�ลังสองของขนาดการกระจัดในแนว ( )ระดับ (∆x)2 ปริมาณท้ังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างไร จะสรุปลักษณะของแนวการเคล่ือนที่ แบบโพรเจกไทลเ์ ปน็ แนวโคง้ แบบใด
314 บทท่ี 7 | การเคล่อื นที่แนวโคง้ ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 แนวค�ำ ตอบ จากกราฟสรปุ ไดว้ า่ ขนาดการกระจัดในแนวดงิ่ (∆y) แปรผันตรงกบั ก�ำ ลังสองของ ( )ขนาดการกระจัดในแนวระดับ (∆x)2 โดยพจิ ารณาได้จาก ∆y ∝ (∆x)2 หรือ ∆y = k(∆x)2 เมอื่ k เปน็ คา่ คงตวั ของการแปรผนั เนอื่ งจากสมการ y = kx2 เปน็ สมการของกราฟพาราโบลาที่ ผ่านจุดกำ�เนิด ดังนั้น การเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะเป็นการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ท่ีมีแนว การเคลื่อนที่เปน็ เส้นโค้งพาราโบลา อภปิ รายหลังการท�ำ กจิ กรรม ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายโดยใช้ผลการทำ�กิจกรรมและการตอบคำ�ถามท้ายกิจกรรมตาม รายละเอียดในหนงั สอื เรยี น จนไดข้ ้อสรปุ ดังน้ี 1. การปล่อยลูกกลมโลหะท่ีตำ�แหน่งเดียวกันทุกคร้ังเพ่ือให้ความเร็วของลูกกลมโลหะหลุดจาก ปลายรางตอนล่างมีคา่ เทา่ กนั 2. แนวการเคล่ือนทข่ี องลูกกลมโลหะท่ีปรากฏบนกระดาษกราฟเป็นแนวโค้ง 3. จากกราฟระหวา่ งขนาดการกระจดั ในแนวดง่ิ (∆y) กบั ก�ำ ลงั สองของขนาดการกระจดั ในแนวระดบั ( )(∆x)2 ทำ�ให้สรปุ ได้ว่า ∆y ∝ (∆x)2 หรอื ∆y = k(∆x)2 เมื่อ k เปน็ ค่าคงตัวของการแปรผนั ซงึ่ เปน็ สมการของเสน้ กราฟพาราโบลา ครใู หค้ วามรเู้ พม่ิ เตมิ วา่ การเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทลม์ แี นวการเคลอื่ นทเ่ี ปน็ เสน้ โคง้ พาราโบลา โดยวตั ถุ จะมีการกระจัดท้ังในแนวระดับและแนวดิ่งพร้อมกัน จากนั้น ให้นักเรียนอภิปรายว่าการกระจัดในแนวดิ่ง และแนวระดับมีความสัมพันธ์กันอย่างไร โดยครูอาจสาธิตด้วยการนำ�เหรียญขนาดเท่ากันสองเหรียญมา วางโดยให้เหรียญแรกวางท่ีขอบโต๊ะ และวางอีกเหรียญบนไม้บรรทัดส่วนที่ย่ืนพ้นขอบโต๊ะ แล้วกดปลาย ดา้ นหนง่ึ ของไมบ้ รรทดั น�ำ ไมบ้ รรทดั อกี อนั มาเคาะปลายไมบ้ รรทดั ทยี่ นื่ พนื้ ขอบโตะ๊ โดยเรว็ แลว้ ใหน้ กั เรยี น สงั เกตการเคลื่อนที่ของเหรียญทัง้ สองเมือ่ ใช้แรงเคาะต่าง ๆ กนั ดังรูป 7.3 รปู 7.3 การเคาะไมบ้ รรทดั ให้เหรียญท้งั สองเคล่ือนที่
ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 บทที่ 7 | การเคลอ่ื นท่แี นวโค้ง 315 ครใู ห้นักเรยี นอภิปรายร่วมกันเกย่ี วกับการเคลือ่ นทีข่ องเหรียญทั้งสองซ่งึ ควรได้ขอ้ สรุปวา่ เหรียญท่อี ยู่ บนไมบ้ รรทดั จะตกในแนวด่งิ ส่วนเหรียญทีข่ อบโต๊ะจะเคลอื่ นท่แี บบโพรเจกไทล์ แต่เหรียญทงั้ สองใช้เวลา ในการเคล่ือนที่ตกถึงพื้นพร้อมกันไม่ว่าจะเคาะด้วยแรงขนาดเท่าใดก็ตาม จากน้ันครูให้ความรู้เพิ่มเติมว่า วัตถุทเ่ี คลื่อนท่แี บบโพรเจไทล์ประกอบดว้ ยการเคลอ่ื นทท่ี ั้งในแนวระดบั และแนวดิง่ พร้อม ๆ กนั และเป็น อสิ ระตอ่ กนั โดยการเคลอื่ นทใ่ี นแนวระดบั จะเหมอื นกบั การเคลอื่ นทแี่ นวตรงดว้ ยความเรว็ คงตวั (ความเรง่ เป็นศูนย์) ส่วนการเคลื่อนท่ีในแนวด่ิงจะเหมือนกับการตกแบบเสรีด้วยความเร่งคงตัว การท่ีวัตถุมีการ เคล่ือนท่ที ง้ั สองแนวนี้ ทำ�ให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวโคง้ พาราโบลา ครใู หค้ วามรเู้ กยี่ วกบั สมการทใ่ี ชใ้ นการค�ำ นวณการเคลอื่ นทตี่ ามรายละเอยี ดในหนงั สอื เรยี น แลว้ อภปิ ราย ตวั อยา่ ง 7.1-7.6 ตามรายละเอยี ดในหนงั สอื เรยี น จากนน้ั ครใู หน้ กั เรยี นตอบคำ�ถามตรวจสอบความเขา้ ใจ และทำ�แบบฝึกหดั ทา้ ยหวั ข้อ 7.1 โดยอาจมกี ารเฉลยคำ�ตอบและอภปิ รายค�ำ ตอบร่วมกัน แนวการวัดและประเมนิ ผล 1. ความรู้เก่ียวกับการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ จากการตอบคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจ 7.1 และ การทำ�แบบฝกึ หัด 7.1 2. ทักษะการแก้ปัญหาและการใช้จำ�นวน จากการคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ แบบโพรเจกไทล์ 3. จิตวิทยาศาสตร์/เจตคติด้านความมีเหตุผล และความรอบคอบ จากการอภิปรายร่วมกัน และจาก การทำ�แบบฝึกหดั 7.1 แนวค�ำ ตอบค�ำ ถามตรวจสอบความเขา้ ใจ 7.1 1. ท่ีตำ�แหน่งสูงสุดของการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ อัตราเร็วของวัตถุเท่ากับศูนย์หรือไม่ อย่างไร แนวค�ำ ตอบ ไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ โดยอตั ราเรว็ ของวตั ถทุ ต่ี �ำ แหนง่ สงู สดุ จะเทา่ กบั อตั ราเรว็ ในแนว ระดับของวัตถุ
316 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ ฟิสิกส์ เลม่ 2 2. ในการยงิ วตั ถขุ น้ึ จากพน้ื ใหเ้ คลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ อตั ราเรว็ ขาขน้ึ กบั ขาลงทร่ี ะดบั ความสงู เทา่ กนั มีค่าเท่ากันหรือไม่ จงอธบิ าย แนวคำ�ตอบ มีค่าเท่ากัน โดยเม่ือพิจารณาอัตราเร็วของวัตถุในแนวดิ่งของวัตถุท่ีเคลื่อนท่ี แบบโพรเจกไทล์ ขณะวัตถุเคลื่อนท่ีข้ึนอัตราเร็วในแนวด่ิงจะมีค่าลดลงด้วยความเร่งเท่ากับ ความเร่งโน้มถ่วงของโลกจนกระท่ังเป็นศูนย์แล้วเคล่ือนที่ลงด้วยความเร่งขนาดเท่าเดิม จงึ ท�ำ ใหอ้ ตั ราเรว็ ในแนวดง่ิ ทต่ี �ำ แหนง่ ใด ๆ ขาขน้ึ เทา่ กบั ขาลง สว่ นอตั ราเรว็ ในแนวระดบั มคี า่ คงตวั จงึ ท�ำ ใหอ้ ตั ราเรว็ ขาขน้ึ กบั ขาลงทร่ี ะดบั ความสงู เทา่ กนั มคี า่ เทา่ กนั นน่ั คอื วตั ถทุ ถ่ี กู ยงิ ขน้ึ จากพน้ื ใหเ้ คลอ่ื นทแ่ี บบโพรเจกไทลท์ ร่ี ะดบั ความสงู เทา่ กนั จะมอี ตั ราเรว็ ขาขน้ึ กบั ขาลงเทา่ กนั 3. ยิงวัตถุจากขอบหน้าผาสูงด้วยอัตราเร็วเท่ากัน แต่ทำ�มุมแตกต่างกัน วัตถุที่ถูกยิงด้วยมุม 45 องศากับแนวระดบั จะไปตกบนพ้ืนดา้ นล่างไกลท่ีสุดจากขอบหน้าผาหรอื ไม่ จงอธบิ าย แนวคำ�ตอบ ไม่ไกลสุดเสมอไป เพราะถ้าความสูงของหน้าผามากพอ มุมยิงที่น้อยกว่า 45 องศา อาจทำ�ให้ผลคูณของอัตราเร็วในแนวระดับกับเวลาซึ่งคือระยะทางมากกว่า เช่น ยิงวัตถุทำ�มุม 30 องศากับแนวระดับ ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาที จากขอบหน้าผาสูง 30 เมตร จะทำ�ให้วัตถุเคลื่อนที่ในอากาศเป็นเวลา 3.70 วินาที และตกลงบนพ้ืนไกลจาก ขอบหน้าผา 64.08 เมตร ในขณะที่ยิงวัตถุทำ�มุม 45 องศากับแนวระดับ ด้วยอัตราเร็ว 20 เมตรต่อวินาที จากขอบหน้าผาสูง 30 เมตร จะทำ�ให้วัตถุเคลื่อนท่ีในอากาศเป็นเวลา 4.31 วินาที และตกลงบนพื้นไกลจากขอบหน้าผาเพียง 60.91 เมตรเท่าน้ัน ในกรณีนี้ การยิงวัตถุทำ�มุม 30 องศากับแนวระดับ จะตกบนพ้ืนด้านล่างไกลกว่าการยิงวัตถุทำ�มุม 45 องศากบั แนวระดับ 4. วตั ถุทถ่ี กู ยิงด้วยคู่มุมใด ๆ ที่มีผลรวมเปน็ 90 องศา เชน่ มมุ 15 องศากับมุม 75 องศา ด้วย อัตราเร็วต้นเท่ากันซึ่งมีการกระจัดในแนวระดับเท่ากัน จะใช้เวลาในการเคลื่อนที่เท่ากัน หรือไม่ แนวค�ำ ตอบ ใชเ้ วลาในการเคลอ่ื นทไ่ี มเ่ ทา่ กนั เนอ่ื งจากเวลาในการเคลอ่ื นทข่ี น้ึ กบั อตั ราเรว็ ตน้ u และมมุ θ ดงั สมการ t = 2u sinθ ในกรณนี ้ี อตั ราเรว็ ตน้ u เทา่ กนั เวลาในการเคลอื่ นท่ี g จึงข้ึนกับมุม θ เน่ืองจาก sin15° < sin 75° ดังน้ันวัตถุที่ถูกยิงด้วยมุม 15 องศา จะใช้ เวลาน้อยกว่าวตั ถุทถ่ี ูกยงิ ดว้ ยมมุ มมุ 75 องศา
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 7 | การเคลื่อนท่แี นวโคง้ 317 เฉลยแบบฝึกหดั 7.1 1. กอ้ นหินถกู ขวา้ งออกจากหน้าผาในแนวระดับด้วยความเรว็ ต้น 10 เมตรต่อวินาที ก้อนหินตกถงึ พ้ืนดนิ ในเวลา 8.0 วินาที กอ้ นหนิ ตกห่างจากจุดขวา้ งในแนวระดบั เทา่ ใด วิธีท�ำ จาก ∆x = uxt ∆x = (10 m/s)(8.0s) = 80 m ตอบ ก้อนหินตกหา่ งจากจดุ ขวา้ งในแนวระดับเท่ากับ 80 เมตร 2. ลกู บอลลูกหนง่ึ กลิง้ ตกลงมาจากโต๊ะราบซ่ึงสูง 1.0 เมตร ถา้ ลกู บอลกระทบพนื้ ตรงจดุ ทีห่ า่ งจาก ขอบโต๊ะตามแนวระดับ 1.0 เมตร ความเรว็ ของลกู บอลขณะหลดุ จากขอบโตะ๊ มคี ่าเทา่ ใด วิธีทำ� หาเวลาในการเคลอื่ นท่ี จาก ∆y = uyt + 1 a yt2 2 −1.0 m = 1 (−9.8 m/s2 ) t2 แทนคา่ 2 t = 0.451s จาก uux x=u=∆xtx=∆tx∆tx 1.0 m แทนค่า ux = 0.451s = 2.22 m/s ตอบ ความเรว็ ของลกู บอลขณะหลุดจากขอบโตะ๊ เทา่ กบั 2.2 เมตรตอ่ วนิ าที ในแนวระดับ 3. หินก้อนหนึ่งถูกขว้างออกไปในแนวระดับจากท่ีสูง 10 เมตรจากพ้ืน ก้อนหินตกกระทบพ้ืนดิน ทำ�มมุ 45 องศา กบั พ้ืน ความเร็วต้นที่ใชข้ ว้างกอ้ นหินมีคา่ เท่าใด วธิ ีทำ� หินถูกขว้างออกไปในแนวระดับ แสดงว่าความเร็วต้นเท่ากับความเร็วในแนวระดับ และ เน่อื งจากก้อนหนิ กระทบกับพนื้ ทำ�มุม 45 องศา กบั พืน้ ดังนั้นความเร็วในแนวระดบั (ux ) มีขนาดเทา่ กับความเรว็ ในแนวด่งิ (vy )
318 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นทแี่ นวโคง้ ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 หาความเร็วในแนวด่งิ ขณะกระทบพื้น จาก v 2 = u 2 + 2a y ∆y y y แทนค่า v 2 = 0 + 2(−9.8 m/s2 )(−10 m) y = 96.04 m2s−2 จะได้ vy = 14 m/s ตอบ ความเร็วทใี่ ช้ในการขว้างก้อนหินในแนวระดบั เทา่ กับ 14 เมตรตอ่ วนิ าที 4. วัตถุชิ้นหนึ่งถูกยิงจากพ้ืนดินด้วยความเร็ว 60 เมตรต่อวินาทีในทิศทางทำ�มุม 30 องศา กับ แนวระดบั จงหาว่า ก. วตั ถนุ ้นั ลอยอยใู่ นอากาศเป็นเวลานานเทา่ ใดกอ่ นจะตกถงึ พ้ืน ข. ขณะทอ่ี ยู่จดุ สูงสดุ วตั ถุอย่สู งู จากพ้ืนดนิ เท่าใด วิธีท�ำ เขยี นภาพการเคลอ่ื นท่ขี องวตั ถไุ ด้ดังน้ี uy = u sin 30° u = 60 m/s 30°ux = u cos 30° ก. หาเวลาที่วตั ถอุ ย่ใู นอากาศ จาก 1 2 ∆y = uyt + a yt2 แทนคา่ 0 = (60 m/s sin 30° ) t + 1 (−9.8 m/s2 )t2 2 t = 6.12 s ตอบ วตั ถลุ อยอยใู่ นอากาศเปน็ เวลา 6.1 วนิ าที ข. หาความสงู ขณะวตั ถอุ ยทู่ ีจ่ ุดสูงสดุ จาก v 2 = u 2 + 2a y ∆y y y แทนคา่ 0 = (30 m/s)2 + 2(−9.8 m/s2 )∆y ∆y = 45.9 m ตอบ วตั ถุจะข้นึ ไปได้สูงสดุ จากพื้น 46 เมตร
ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคล่ือนทแ่ี นวโคง้ 319 5. เตะลกู บอลขน้ึ ไปในอากาศ ถา้ ลกู บอลลอยอยใู่ นอากาศนาน 4.0 วนิ าที และลกู บอลเคลอ่ื นทไี่ ป ไดไ้ กลในแนวระดบั 45.0 เมตร จงหาวา่ ก. ลูกบอลข้นึ ไปได้สงู สุดเท่าใด ข. ความเรว็ ของลูกบอลทอ่ี อกจากเทา้ มีคา่ เทา่ ใด วิธที ำ� เขยี นภาพการเคลอื่ นทขี่ องลูกบอลได้ดังน้ี uy = usinθ u θ ux = u cosθ รปู สำ�หรับปญั หาขอ้ 5 ก. หาระยะทลี่ กู บอลขึ้นไปได้สูงสดุ วตั ถใุ ชเ้ วลาเคลอ่ื นทท่ี ง้ั หมด 4.0 วนิ าที ดงั นน้ั วตั ถเุ คลอ่ื นทข่ี น้ึ ถงึ จดุ สงู สดุ ใชเ้ วลา 2.0 วนิ าที หาความเร็วตน้ ในแนวดง่ิ จาก vy = uy + ayt แทนค่า 0 = uy + (−9.8 m/s2 )(2.0s) uy = 19.6 m/s หาระยะทางที่ลกู บอลเคลือ่ นทไ่ี ดส้ ูงสดุ ∆y = uyt + 1 a yt 2 แทนคา่ ∆y = (19.6 2 1 m/s2 s)2 m/s) (2.0 s) + 2 (−9.8 )(2.0 = 19.6 m ตอบ ลกู บอลขน้ึ ไปไดส้ ูง 19.6 เมตร ข. หาความเร็วของลกู บอลทอี่ อกจากเท้า หาความเร็วตน้ ในแนวระดบั จาก ∆x = uxt แทนคา่ (45.0 m) = ux (4.0s) ux = 11.25 m/s
320 บทที่ 7 | การเคล่ือนที่แนวโคง้ ฟสิ กิ ส์ เลม่ 2 หาความเร็วของลกู บอลท่หี ลุดออกจากเทา้ จาก uu == uuxx++uuyy ( ) จะได้ u = (ux )2 + uy 2 แทนคา่ u = (11.25 m/s)2 + (19.6 m/s)2 = 22.60 m/s ตอบ ความเร็วของลกู บอลทีอ่ อกจากเท้ามีคา่ เทา่ กบั 22.6 เมตร/วินาที 7.2 การเคล่อื นท่แี บบวงกลม จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1. ทดลองการเคล่ือนที่แบบวงกลมเพื่อศึกษาความสัมพันธ์เกี่ยวกับคาบ แรงสู่ศูนย์กลาง รัศมีของ การเคล่อื นทีแ่ บบวงกลม 2. อธิบายหลักการของการเคล่ือนที่แบบวงกลมที่เก่ียวข้องกับแรงสู่ศูนย์กลาง ความเร่งสู่ศูนย์กลาง และความสัมพนั ธร์ ะหว่างอัตราเร็วเชิงเส้นกับอตั ราเรว็ เชิงมุม 3. หาแรงลพั ธท์ ีท่ ำ�หนา้ ท่ีเป็นแรงสู่ศูนย์กลางซึ่งทำ�ให้เกิดการเคล่ือนท่ีแบบวงกลม 4. นำ�หลักการของการเคล่ือนที่แบบวงกลมไปคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคล่ือนท่ี แบบวงกลม 5. น�ำ หลกั ของการเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมไปค�ำ นวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การเคลอ่ื นของรถยนต์ หรอื รถจกั รยานยนต์บนถนนโคง้ 6. ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมในการอธิบายและคำ�นวณการโคจรของดาวเทยี ม
ฟิสิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ 321 ความเขา้ ใจคลาดเคลอื่ นทีอ่ าจเกิดขนึ้ ความเขา้ ใจคลาดเคลือ่ น แนวคดิ ทถี่ กู ตอ้ ง 1. ผกู เชอื กทวี่ ตั ถแุ ลว้ แกวง่ ใหเ้ คลอื่ นทเี่ ปน็ วงกลม 1. ผูกเชือกเข้าวัตถุแล้วแกว่งให้เคลื่อนที่เป็น ถ้าเชือกขาด วัตถุจะเคลื่อนท่ีต่อไปตามเส้นโค้ง วงกลม ถ้าเชือกขาด วัตถุจะเคล่ือนที่ต่อไปใน ของวงกลม แนวสัมผัสกับเส้นโค้งของวงกลม ณ ตำ�แหน่งท่ี เชือกขาด 2. วัตถุที่เคลื่อนท่ีแบบวงกลมด้วยอัตราเร็ว 2. วัตถุท่ีเคล่ือนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็ว สมำ่�เสมอเป็นการเคลอ่ื นที่แบบไมม่ ีความเร่ง สมำ่�เสมอเป็นการเคล่ือนที่โดยมีความเร่งท่ีมี ทิศทางเขา้ สศู่ ูนยก์ ลางของการเคล่อื นที่ 3. วัตถุที่เคล่ือนที่เป็นวงกลมจะมีแรงกระทำ� 3. วัตถุที่เคล่ือนที่เป็นวงกลมจะมีแรงกระทำ� ในทศิ ทางออกจากศูนย์กลาง ในทิศทางเข้าส่ศู ูนย์กลาง แนวการจดั การเรียนรู้ ครชู แ้ี จงจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรขู้ องหวั ขอ้ 7.2 จากนนั้ ครนู �ำ เขา้ สบู่ ทเรยี นโดยใหน้ กั เรยี นยกตวั อยา่ งของ วตั ถทุ ม่ี กี ารเคลอื่ นทแี่ บบวงกลม เชน่ การโคจรรอบโลกของดาวเทยี ม การเคลอื่ นทข่ี องรถยนตร์ อบวงเวยี น การเคล่ือนท่ีของรถไต่ถัง การหมุนรอบของกระเช้าไฟฟ้าของชิงช้าสวรรค์ การแกว่งของวัตถุท่ีผูกติดกับ เชอื กใหเ้ คลอื่ นทเ่ี ปน็ วงกลม การเคลอ่ื นทขี่ องรถไฟตลี งั กาในสวนสนกุ การขวา้ งคอ้ นของนกั กฬี าขวา้ งคอ้ น เป็นต้น จากนนั้ ใหน้ ักเรยี นอภิปรายร่วมกันเก่ียวกบั การเคลือ่ นท่ขี องวัตถุดังกล่าวในประเดน็ ต่อไปนี้ - เส้นทางการเคล่อื นท่ีของวตั ถมุ ีลักษณะอยา่ งไร - ทิศทางของความเรว็ ของวัตถุขณะเคล่อื นท่มี ลี กั ษณะเป็นอยา่ งไร - แรงทีก่ ระทำ�ต่อวตั ถุขณะทว่ี ตั ถเุ คล่ือนที่มอี ะไรบา้ ง และมีทิศทางใด ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนตอบคำ�ถามอย่างอิสระ ไม่คาดหวังคำ�ตอบที่ถูกต้อง จากน้ัน ครูให้ความรู้ ตามรายละเอยี ดของหนงั สอื เรยี นวา่ การเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถทุ ม่ี เี สน้ ทางการเคลอื่ นทเี่ ปน็ วงกลมหรอื สว่ นของ วงกลม เรยี กว่า การเคล่อื นท่แี บบวงกลม (circular motion) ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรม 7.2 ในหนงั สอื เรยี น จากนน้ั อภปิ รายรว่ มกนั จนไดข้ อ้ สรปุ เกย่ี วกบั การเคลอ่ื นที่ แบบวงกลม
322 บทท่ี 7 | การเคล่ือนที่แนวโค้ง ฟสิ กิ ส์ เล่ม 2 กจิ กรรม 7.2 การเคลอ่ื นทีแ่ บบแนววงกลม จุดประสงค์การทดลอง 1. ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคาบ และแรงสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่แบบวงกลมของวัตถุ ในระนาบระดับเม่อื รศั มคี งตัว 2. ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคาบ และรัศมีของการเคลื่อนท่ีแบบวงกลมของวัตถุในระนาบ ระดับเมอื่ แรงสู่ศนู ยก์ ลางคงตัว เวลาที่ใช้ 90 นาที วสั ดุและอปุ กรณ์ 1 ชดุ 1. ชุดทดลองการเคลื่อนที่แบบวงกลม 6 ตัว 2. นอต 1 เรอื น 3. นาฬิกาจับเวลา 1 ตัว 4. ลวดหนีบกระดาษ แนะน�ำ ก่อนทำ�กจิ กรรม 1. กอ่ นการทดลองจรงิ นกั เรยี นควรฝกึ แกวง่ จกุ ยางเพอ่ื ใหส้ ามารถแกวง่ จกุ ยางดว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั โดย พยายามใหล้ วดหนีบกระดาษอยูห่ า่ งจากปลายลา่ งของทอ่ พีวซี ี 1 เซนติเมตร คงตัวตลอดเวลา 2. ขณะแกวง่ จุกยางควรให้นกั เรยี นทีไ่ ม่ไดแ้ กว่งจกุ ยางเปน็ ผู้ตรวจสอบวา่ จุกยางเคลือ่ นทแ่ี บบวงกลม ในแนวระดับหรอื ไม่ โดยเปรยี บเทียบกบั แนวการแกวง่ ของจกุ ยางกับขอบบนของท่อพวี ีซหี รือแนวเสน้ ตรง ของสง่ิ อืน่ ๆ ทอ่ี ยู่ในแนวระดับ เชน่ ขอบกระดาน ขอบประตู ขอบหน้าตา่ ง 3. เพอ่ื ช่วยให้การจบั เวลาไดถ้ ูกต้องยิง่ ขึ้น ควรมนี ักเรียนนับจ�ำ นวนรอบในการแกวง่ ของจกุ ยาง 1 คน และจับเวลา 1 คน โดยเร่ิมต้นการนับจำ�นวนรอบและจับเวลาหลังจากที่ผู้ทำ�การทดลองสามารถแกว่ง จกุ ยางใหม้ อี ัตราเรว็ คงตัวได้ 4. การวัดความยาวเส้นเชือกทำ�ได้โดยการวัดระหว่างก่ึงกลางของจุกยางถึงปลายด้านบนของท่อพีวีซี ขณะท่ลี วดเสียบกระดาษห่างจากปลายลา่ งของทอ่ พีวีซี 1 เซนติเมตร ซึ่งเป็นต�ำ แหนง่ เดียวกับขณะท่ีแกวง่ จกุ ยาง
ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ 323 ตัวอย่างผลการทำ�กิจกรรม ตอนท่ี 1 ความสัมพันธ์ระหว่างคาบ และแรงสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนท่ีแบบวงกลมของวัตถุในระนาบ ระดับเมื่อรศั มีคงตัว ตัวอยา่ งตารางบันทึกผลการทดลอง ความยาวของเสน้ เชอื กวดั จากกงึ่ กลางของจกุ ยางถงึ ปลายบนของทอ่ พวี ซี เี ทา่ กบั 60 เซนตเิ มตร จำ�นวนนอต F (N) ชว่ งเวลาการ T (s) T 2 (s2) 1 (s-2) เคลอ่ื นที่ T2 30 รอบ (s) 3 3W 15 0.50 0.25 4.0 4 4W 13 0.43 0.18 5.6 5 5W 12 0.40 0.16 6.3 6 6W 11 0.37 0.14 7.1 1 (s-2) T2 8 6 4 2 0 2W 4W 6W F (N) 1 รูป 7.4 กราฟระหวา่ ง T 2 กับ F
324 บทท่ี 7 | การเคล่ือนทีแ่ นวโค้ง ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 แนวคำ�ตอบค�ำ ถามท้ายกจิ กรรม □ เมอ่ื ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชอื กเพม่ิ ขน้ึ ชว่ งเวลาในการเคลอื่ นทค่ี รบรอบของจกุ ยางเปน็ อยา่ งไร แนวคำ�ตอบ ชว่ งเวลาในการเคลอื่ นที่ครบรอบของจกุ ยางลดลง □ กราฟระหวา่ งสว่ นกลบั ของก�ำ ลงั สองของคาบ 1 กบั ขนาดแรงดงึ ในเสน้ เชอื ก (F) มลี กั ษณะ T2 อยา่ งไร และสรปุ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งปริมาณทง้ั สองไดอ้ ยา่ งไร แเปน็นวกคร�ำ าตฟอเบส้น กตรรางฟแรสะดหงววา่ ่างสเมว่ ื่อนรกัศลมบั คี ขงอตงัวก �ำ สลว่ งั นสอกงลขบั อขงอคงากบำ�ลังTส1อ2 งขกอบั งขคนาบาดแTร1ง2ดงึ ในแเปสรน้ ผเนัชอืตกรง(กFบั ) ขนาดของแรงท่ใี ช้ดึงจกุ ยาง (F) ตอนท่ี 2 ความสัมพันธ์ระหว่างคาบ และรัศมีของการเคล่ือนท่ีแบบวงกลมของวัตถุในระนาบระดับเม่ือ แรงสศู่ ูนยก์ ลางคงตัว ตวั อยา่ งตารางบันทกึ ผลการทดลอง ความยาวเสน้ ช่วงเวลาการเคล่อื นท่ี T (s) T 2 (s2) เชือก l (m) 30 รอบ (s) 0.50 11 0.37 0.14 0.60 13 0.43 0.18 0.70 15 0.50 0.25 0.80 17 0.57 0.32
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทที่ 7 | การเคลื่อนทีแ่ นวโค้ง 325 T 2(s2) 0.40 0.30 0.20 0.10 0 0.25 0.5 0.75 l (m) รปู 7.5 กราฟระหวา่ ง T 2 กับ l แนวค�ำ ตอบค�ำ ถามท้ายกิจกรรม □ เมือ่ รศั มกี ารเคลอ่ื นท่เี พม่ิ ขึ้น ช่วงเวลาในการเคล่ือนที่ครบรอบของจกุ ยางเป็นอย่างไร แนวคำ�ตอบ ช่วงเวลาในการเคล่อื นที่ครบรอบของจกุ ยางเพิม่ ขน้ึ □ กราฟก�ำ ลงั สองของคาบ (T 2) กบั ความยาวเสน้ เชอื ก (l) มลี กั ษณะอยา่ งไร และสรปุ ความสมั พนั ธ์ ระหว่างปริมาณท้ังสองได้อยา่ งไร แนวคำ�ตอบ กราฟก�ำ ลังสองของคาบ (T 2) กบั ความยาวเส้นเชือก (l) เป็นกราฟเส้นตรง แสดงว่า เมื่อขนาดของแรงท่ีใช้ดึงคงตัว กำ�ลังสองของคาบ (T 2) แปรผันตรงกับความยาวเชอื ก (l) อภปิ รายหลงั การทำ�กิจกรรม ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายโดยใช้ผลการทำ�กิจกรรมและการตอบคำ�ถามท้ายกิจกรรมตาม รายละเอยี ดในหนังสอื เรยี น จนไดข้ อ้ สรปุ ดงั น้ี 1. ขณะรัศมีคงตัว ถา้ ขนาดแรงเข้าสู่ศนู ยก์ ลางเพม่ิ ข้นึ คาบการเคลอื่ นทจี่ ะลดลง ดเ สงึ ้นจ2ตกุ .รย งากงแราส(Fฟด)รงะวห่าหรวเอื มา่ ง่อื Tส1รว่2ัศนม∝กีคลงFับตวัขอสงว่ กนำ�กลลังับสอขงอขงอกงำ�คลาังบสองขT1อ2งคากบับขTน12าดแแรปงดรึงผใันนตเสรน้งกเชบั อื ขกนา(ดFข)อเปงแน็ รกงรทา่ใี ฟช้
326 บทที่ 7 | การเคลอื่ นที่แนวโค้ง ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 3. ขณะท่แี รงดึงในเส้นเชอื กคงตวั คาบของการเคลอ่ื นท่จี ะเพิ่มข้นึ ถ้ารัศมีของการเคล่ือนที่เพิม่ ขนึ้ 4. กราฟระหวา่ งกราฟก�ำ ลงั สองของคาบ (T 2) กบั รศั มขี องการเคลอ่ื นทข่ี องจกุ ยาง (r) เปน็ กราฟเสน้ ตรง แสดงว่า เม่ือขนาดของแรงที่ใช้ดึงคงตัว กำ�ลังสองของคาบ (T3) แปรผันตรงกับความยาวเชือก (l) หรือ T2 ∝l เมื่อจบการอภิปรายหลงั การทำ�กิจกรรมแลว้ ครูให้ความรู้ตามรายละเอียดในหนังสือเรียนจนสรุปได้ว่า แรงสศู่ นู ยก์ ลางทกี่ ระท�ำ ตอ่ วตั ถใุ หเ้ คลอ่ื นทแ่ี บบวงกลม แปรผนั ตรงกบั ก�ำ ลงั สองของอตั ราเรว็ ของวตั ถุ และ แปรผกผนั กับรศั มีของวงกลม จากนน้ั ครใู หค้ วามรเู้ กย่ี วกบั การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมสม�ำ่ เสมอ การเคลอื่ นทข่ี องดาวเทยี ม และการเลย้ี ว โค้งของรถยนต์หรือรถจักรยานยน โดยอภิปรายตัวอย่าง 7.7-7.12 ตามรายละเอียดในหนังสือเรียน จากนั้น ครูให้นักเรียนตอบคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจและทำ�แบบฝึกหัดท้ายหัวข้อ 7.2 โดยอาจมี การเฉลยค�ำ ตอบและอภิปรายคำ�ตอบร่วมกัน ขอ้ แนะน�ำ เพ่มิ เตมิ สำ�หรับครูผสู้ อน กรณกี ารแกวง่ ของจกุ ยางใหเ้ คลอื่ นทเี่ ปน็ วงกลมในระนาบระดบั เสน้ เชอื กจะไมอ่ ยใู่ นแนวระดบั เพราะ นำ�้ หนักของจกุ ยางทำ�ให้เส้นเชอื กเอียงทำ�มุม θ กบั แนวระดับเลก็ น้อย ดังรูป F sinθ F θ F cosθ mg รปู 7.6 การแกวง่ จุกยางที่เส้นเชือกท�ำ มมุ θ กบั แนวระดบั ให้ F เปน็ แรงดึงในเสน้ เชือก โดยแรง F ท�ำ มมุ θ กบั แนวระดับ จะได้ว่า องค์ประกอบของแรงดึง ในเส้นเชือกในแนวดิ่ง F sinθ จะเท่ากับน้ำ�หนักของจุกยาง mg โดยมีทิศตรงกันข้ามกัน เพื่อทำ�ให้ แรงลัพธท์ ีก่ ระท�ำ ต่อจุกยางในแนวดง่ิ เปน็ ศนู ย์ น่ันคอื F sinθ − mg = 0 หรือ F sinθ = mg
ฟสิ ิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 7 | การเคล่ือนท่ีแนวโค้ง 327 ส่วนองค์ประกอบของแรงดึงเชือกในแนวระดับ คือ F cosθ เป็นแรงท่ีกระทำ�ต่อจุกยางให้เคล่ือนท่ี แบบวงกลมในระนาบระดับอยู่ได้ นั่นคือ องค์ประกอบของแรงดึงเชือกในแนวระดับทำ�หน้าที่เป็น แรงสู่ศนู ยก์ ลาง นนั่ คอื F cosθ = Fc F cosθ = mv2 r ในการทดลองตอนท่ี 1 เมอ่ื จกุ ยางเคลอื่ นทีด่ ว้ ยอัตราเรว็ คงตวั ในระนาบระดบั มุม θ จะเปล่ยี นไปบา้ ง แต่ค่าของ cosθ จะใกล้เคียงกัน จึงถือได้ว่า cosθ มีค่าคงตัว น่ันคือ ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลาง Fc แปรผนั ตรงกบั ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชือก F ทำ�นองเดียวกนั รศั มขี องการเคล่ือนที่ r จะเทา่ กบั l cosθ เม่อื l เปน็ ระยะจากจุดกง่ึ กลางของจุกยาง ตามแนวเสน้ เชอื กถงึ ปลายบนของท่อพวี ีซี และ cosθ มคี ่าคงตัว จะไดร้ ัศมกี ารเคลือ่ นที่ของจกุ ยางมีค่า ใกลเ้ คียงความยาวของเส้นเชือก ดงั นนั้ จงึ เขยี นความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งขนาดของแรงสศู่ นู ก์ ลาง อตั ราเรว็ และรศั มขี องการเคลอ่ื นท่ี ไดด้ งั น้ี Fc ∝ v2 r แนวการวัดการประเมนิ ผล 1. ความร้คู วามเขา้ ใจเกย่ี วกบั การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลม จากการตอบคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจ 7.2 และการท�ำ แบบฝึกหดั 7.2 2. ทักษะการแก้ปัญหาและการใช้จำ�นวน จากการคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ที่เก่ียวข้องกับการเคล่ือนที่ แบบวงกลม 3. จิตวิทยาศาสตร์/เจตคติด้านความมีเหตุผล และความรอบคอบ การการอภิปรายร่วมกัน และจาก การท�ำ แบบฝกึ หัด 7.2
328 บทที่ 7 | การเคลื่อนทีแ่ นวโคง้ ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 แนวคำ�ตอบคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจ 7.2 1. ขณะวตั ถมุ กี ารเคลอื่ นทแี่ บบวงกลมสม่ำ�เสมอ ปรมิ าณใดตอ่ ไปนม้ี ที ศิ ทางเขา้ สศู่ นู ยก์ ลางของ ว งกกล.มคแวลามะปเรรว็ มิ าvณ ใ ด ม ที ขิศ.ทแารงงใทนี่กแรนะวทเส�ำ ตน้ ่อสวัมตั ผถสั ุ วFงก ล ม ค. ความเร่ง a ศแนูนยวก์คลำ�าตงอขบอ งวขงณกละมวัตคอืถุมแีกรงาทรก่ี เคระลท่ือ�ำ นตทอ่ ่ีวแตั บถบุ วFงกแลลมะคสวมาำ่�มเเสรมง่ อa ปริมาณท่ีมีทิศทางเข้าสู่ แนวเส้นสัมผสั วงกลม คือ ความเร็ว v สว่ นปรมิ าณทม่ี ที ศิ ทางใน 2. ดาวเทยี มคา้ งฟา้ อย่ทู ีต่ ำ�แหน่งความสูงต่างกนั ได้หรอื ไม่ จงอธิบาย แนวคำ�ตอบ โดยหลักการแล้วดาวเทียมค้างฟ้าอยู่ท่ีตำ�แหน่งความสูงต่างกันไม่ได้ เพราะ การเคล่ือนของดาวเทียมค้างฟ้าจะต้องเคล่ือนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุม ของการหมนุ รอบตวั เองของโลก ท�ำ ใหด้ าวเทยี มคา้ งฟา้ ตอ้ งมรี ศั มวี งโคจรเดยี วกนั หมด จงึ อยู่ ทต่ี �ำ แหนง่ ความสงู ตา่ งกนั ไมไ่ ด้ ทงั้ น้ี ในทางปฏบิ ตั ิ เนอ่ื งจากระยะความสงู ของดาวเทยี มจาก ผิวโลกมีคา่ มาก ทำ�ให้สามารถมีดาวเทียมค้างฟ้าทีต่ �ำ แหน่งความสูงต่างกนั เล็กน้อยได้ 3. เหตใุ ด นกั มอเตอรไ์ ซคไ์ ตถ่ งั จงึ สามารถควบคมุ ใหร้ ถมอเตอรไ์ ซคว์ ง่ิ ไตถ่ งั ไปตามผนงั ของถงั ได้ แนวคำ�ตอบ นกั มอเตอรไ์ ซคแ์ ละรถมอเตอรไ์ ซǁม˪ กี ารเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมในระนาบระดบั โดยนกั มอเตอรไ์ ซคต์ อ้ งขบั รถใหม้ อี ตั ราเรว็ พอเหมาะจนท�ำ ใหแ้ รงแนวฉากทถ่ี งั กระท�ำ ตอ่ รถ เป็นแรงสู่ศูนย์กลางในการเคล่ือนที่แบบวงกลม และมีแรงเสียดทานในทิศข้ึนที่มีค่าเท่ากับ น�้ำ หนกั ของนกั มอเตอรไ์ ซคแ์ ละรถ จงึ ท�ำ ใหส้ ามารถควบคมุ ใหร้ ถมอเตอรไ์ ซคว์ งิ่ ไตถ่ งั ไปตาม ผนังของถงั ได้
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคลือ่ นทีแ่ นวโค้ง 329 แบบฝกึ หดั 7.2 1. วตั ถุเคลอ่ื นทอ่ี ยา่ งสมำ่�เสมอในแนววงกลมด้วยอตั รา 20 รอบในเวลา 4.0 วนิ าที จงหา ก. คาบของการเคลอ่ื นท่ี ข. ความถขี่ องการเคลือ่ นท่ี ค. อัตราเรว็ ของการเคล่อื นท่ี ถ้ารศั มขี องการเคลื่อนทเ่ี ท่ากับ 2.0 เมตร วิธที ำ� ก. หาคาบของการเคลอ่ื นที่ เวลาที่ใช้ในการเคลอ่ื นที่ T = จำ�นวนรอบของการเคล่อื นที่ T = 4.0 s 20 = 0.2 s ตอบ คาบของการเคล่ือนที่ของวัตถเุ ท่ากับ 0.2 วนิ าที ข. หาความถข่ี องการเคลอ่ื นท่ี = 5 s-1 ตอบ ความถข่ี องการเคลือ่ นท่ขี องวัตถเุ ทา่ กบั 5 รอบตอ่ วนิ าที ค. หาอตั ราเร็วของการเคล่อื นที่ v = 2π r T = (2)(3.1416)(2.0 m) (2.0 s) = 62.83 m/s ตอบ อัตราเรว็ ของการเคล่ือนท่ขี องวตั ถเุ ทา่ กบั 62.8 เมตรต่อวนิ าที
330 บทท่ี 7 | การเคลอื่ นทแี่ นวโคง้ ฟิสกิ ส์ เลม่ 2 2. จงหาความเร่งสู่ศูนยก์ ลางของวตั ถุทเี่ คล่อื นที่ในแนววงกลมรศั มี 16.0 เมตร ดว้ ยอัตราเรว็ 40.0 เมตรต่อวนิ าที วิธที �ำ ความเร่งสูศ่ นู ย์กลางของวัตถุ ac = v2 r (40.0 m/s)2 = (16.0 m) = 100 m/s2 ตอบ ความเรง่ สู่ศูนย์กลางของวตั ถเุ ท่ากบั 100 เมตรต่อวนิ าท2ี 3. ลูกยางกลมลูกหนึ่งผูกไว้กับเชือกแล้วแกว่งให้เคลื่อนที่ตามแนววงกลมรัศมี 1.30 เมตร ด้วย ความถ่ี 5.0 รอบต่อวินาที จงหาความเรง่ ส่ศู นู ยก์ ลางของลูกยางกลม วิธที �ำ จาก a c a cac= = =v 2v 2v 2 rrr โดยท่ี v = ωr และ ω = 2π f จะได้ acacac== =4π4π24πf2 2f2r2fr2r = 4(3.14)2 (5s−1)2 (1.30 m) = 1283 m/s2 ตอบ ความเรง่ สูศ่ นู ย์กลางของลูกยางกลมมคี ่าเท่ากบั 1.3 ×103 เมตรตอ่ วนิ าท2ี 4. ในการแกวง่ ชดุ ทดลองการเคลอ่ื นทแี่ บบวงกลมใหจ้ กุ ยางเคลอื่ นทดี่ ว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั ในแนวระดบั ปรากฏวา่ ขณะนนั้ เชอื กท�ำ มมุ 20 องศา กบั แนวระดบั ตลอดเวลา ถา้ ขนาดน�้ำ หนกั ของขอเกย่ี วโลหะ และนอตท่ใี ชม้ คี า่ 1.2 นิวตัน จงหา ก. แรงสู่ศนู ย์กลางของจุกยาง ข. ความเร่งสศู่ นู ย์กลางของจุกยาง
ฟิสิกส์ เล่ม 2 บทที่ 7 | การเคล่ือนทแ่ี นวโคง้ 331 วิธีท�ำ เขียนภาพการเคลอ่ื นท่ีของจุกยางไดด้ ังนี้ F sin20° F 20° F cos20° mg รปู ส�ำ หรับปัญหาขอ้ 4 ก. หาแรงสศู่ ูนย์กลางของจกุ ยาง แรงสู่ศนู ยก์ ลางของจุกยาง คือ Fc มขี นาดเทา่ กบั F cos 20 แต่ F คือแรงดงึ ในเส้นเชอื กซงึ่ มขี นาดเท่ากบั น�้ำ หนักขอเก่ยี วโลหะและนอต ดังนนั้ Fc = (1.2 N) cos 20 = (1.2)(0.9397) = 1.13 N ตอบ แรงสศู่ ูนย์กลางของจุกยางมีขนาดเทา่ กบั 1.1 นวิ ตัน ข. หาความเรง่ สู่ศูนยก์ ลางของจุกยาง ความเร่งของจุกยางที่เคล่ือนท่ีในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วคงตัวในแนวระดับก็คือความเร่ง สู่ศูนย์กลางของจุกยาง เน่ืองจากเส้นเชือกทำ�มุม 20 องศากับแนวระดับตลอดเวลา แสดงว่า จุกยางเคล่ือนที่อยู่ ในระนาบระดับท่ีคงตัว ดังนั้น แรงลัพธ์ในแนวด่ิงท่ีกระทำ�ต่อจุกยางมีค่า เปน็ ศนู ย์ จะได ้ = mg แทนคา่ m = (1.2 N)(0.3421) 9.8 m/s2 = 0.042 kg
332 บทที่ 7 | การเคล่ือนทแี่ นวโค้ง ฟสิ ิกส์ เล่ม 2 จาก Fc = mac แทนคา่ a acc == 11..1133NN 00..004422kkgg = 26.9 m/s2 ตอบ ความเร่งสู่ศูนยก์ ลางของจุกยางมีขนาดเทา่ กบั 27 เมตรต่อวินาท2ี 5. วงโคจรของดวงจันทร์รอบโลกมีรัศมีประมาณ 384000 กิโลเมตร และคาบการโคจรของดวง จันทร์ 27.3 วนั อตั ราเรว็ ของดวงจันทรเ์ ทยี บกบั โลกเปน็ เทา่ ใด ในหน่วยกิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง วิธที ำ� อัตราเรว็ ของดวงจนั ทรเ์ ทยี บกับโลก หาไดจ้ าก v = 2π r แทนค่า v = T = 2(3.14)(384000 km) 27.3 d × 24 h/d 3.681×103 km/h ตอบ อตั ราเรว็ ของดวงจนั ทรเ์ ทยี บกบั โลกเทา่ 3.68 ×103 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง
ฟิสกิ ส์ เล่ม 2 บทท่ี 7 | การเคลอื่ นทีแ่ นวโค้ง 333 เฉลยแบบฝกึ หัดทา้ ยบทที่ 7 คำ�ถาม 1. การดดี เหรยี ญออกจากขอบโตะ๊ ดว้ ยแรงในแนวระดบั ทม่ี คี า่ แตกตา่ งกนั เสน้ ทางการเคลอื่ นทขี่ อง วตั ถุจะเปน็ ดังรปู 123 รปู ประกอบค�ำ ถามขอ้ 1 ความเรว็ ตามแนวระดบั ของเหรยี ญตามเส้นทาง ทั้งสามเป็นอยา่ งไร แนวคำ�ตอบ การดีดเหรียญออกจากขอบโต๊ะด้วยแรงในแนวระดับท่ีมีค่าแตกต่างกัน จะทำ�ให้ ความเร็วตามแนวระดับของเหรียญมีค่าต่างกัน ถ้าเหรียญท้ังสามใช้เวลาในการเคล่ือนท่ีเท่ากัน เหรียญท่ีมีความเร็วต้นในแนวระดับมากกว่าจะเคล่ือนท่ีได้ระยะทางในแนวระดับมากกว่า นั่นคือ ตกไกลจากโตะ๊ มากกวา่ ดงั นน้ั ความเรว็ ตามแนวระดบั ของเหรยี ญตามเสน้ ทาง 3 มากกวา่ เสน้ ทาง 2 และ 1 ตามลำ�ดับ 2. นักกีฬายิงธนูออกไปในแนวระดับไปยังเป้า ลูกธนูมีการเคลื่อนท่ีแนวตรงหรือการเคล่ือนท่ีแบบ โพรเจกไทล์ ใหเ้ หตผุ ล แนวคำ�ตอบ เมื่อนักกีฬายิงธนูออกไปในแนวระดับไปยังเป้า เราอาจเห็นว่าลูกธนูมีการเคลื่อนที่ แนวตรง แต่จริง ๆ แล้วลูกธนูมีการเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ เช่นเดียวกับการดีดเหรียญจาก ขอบโต๊ะ หรือขว้างวัตถุออกไปในแนวระดับ ทั้งนี้เน่ืองจากลูกธนูมีความเร็วต้นค่อนข้างสูงและเป้า อยูไ่ ม่ไกลมาก จงึ ใชเ้ วลาในการเคลื่อนทนี่ ้อย ทำ�ให้ระยะทางในแนวด่ิงมคี ่าน้อย
334 บทท่ี 7 | การเคลอ่ื นท่แี นวโคง้ ฟิสิกส์ เลม่ 2 3. ดดี เหรยี ญทวี่ างบนขอบโตะ๊ ถา้ บรเิ วณนน้ั ปราศจากสนามโนม้ ถว่ ง แนวการเคลอ่ื นทขี่ องเหรยี ญ จะเปน็ อยา่ งไร แนวคำ�ตอบ ถา้ บริเวณทีด่ ดี เหรยี ญปราศจากสนามโน้มถ่วง จะไมม่ แี รงโน้มถว่ งกระทำ�ตอ่ เหรียญ จงึ ไมม่ กี ารเคลอื่ นทใ่ี นแนวดงิ่ มแี ตก่ ารเคลอื่ นทใ่ี นแนวระดบั นน่ั คอื แนวการเคลอื่ นทข่ี องเหรยี ญจะ เปน็ เส้นตรงในแนวระดับโดยมคี วามเรว็ ในแนวระดบั คงตวั 4. ขณะทกี่ ำ�ลังถบี รถจักรยานดว้ ยอัตราเรว็ คงตัว ก็ปล่อยเหรียญบาทให้ตกสู่พน้ื ถนน แนวทางเดนิ ของเหรียญบาทที่สังเกตโดยผู้ถีบรถจักรยานจะเป็นอย่างไร และผู้ที่ยืนอยู่ฝ่ังตรงข้ามของถนนจะ เห็นแนวทางเดินของเหรียญบาทเป็นอย่างไร เหมือนผู้ถีบรถจักรยานเห็นหรือไม่ (ลองทำ�ดู) และ เขียนแนวทางเดนิ ของเหรยี ญที่ผู้สงั เกตทง้ั สองเห็น แนวค�ำ ตอบ ขณะท่ีกำ�ลังถีบรถจักรยานด้วยอัตราเร็วคงตัว เม่ือเหรียญบาทถูกปล่อยให้ตกสู่พื้น ถนน เหรียญบาทและคนถีบจะมีความเร็วในแนวระดับค่าเดียวกัน ผู้ถีบรถจักรยานจะเห็นเหรียญ ตกในแนวด่ิง ดงั นน้ั แนวทางเดินของเหรยี ญบาททผ่ี ้ถู ีบจักรยานเหน็ จะเป็นเส้นตรงในแนวดิง่ ส่วน ผทู้ ย่ี นื อยฝู่ งั่ ตรงขา้ มของถนนจะเหน็ แนวทางเดนิ ของเหรยี ญบาทเปน็ เสน้ โคง้ พาราโบลา ทม่ี คี วามเรว็ ในแนวระดบั เทา่ กับความเร็วของรถจกั รยาน 5. พิจารณาทางเดินของลกู บอลทีถ่ ูกเตะออกไป ดังรูป ขณะทีล่ กู บอลลอยอยู่ B CD AE รปู ประกอบค�ำ ถามข้อ 5 จงหา ก. ตำ�แหนง่ ใดทีข่ นาดของความเร็วในแนวดิ่งมคี า่ มากท่สี ุด ข. ตำ�แหนง่ ใดทขี่ นาดของความเรว็ ในแนวระดับมีคา่ เทา่ กนั ค. ตำ�แหนง่ ใดท่ขี นาดของความเร็วในแนวดิ่งมคี า่ นอ้ ยที่สดุ ง. ตำ�แหนง่ ใดที่ขนาดของการกระจดั มีค่ามากทีส่ ดุ
ฟสิ ิกส์ เลม่ 2 บทท่ี 7 | การเคลือ่ นทแ่ี นวโค้ง 335 แนวคำ�ตอบ ถ้าลกู บอลถูกเตะออกไปจาก A จะได้ ก. ที่ A และ E ขนาดของความเร็วในแนวดงิ่ มีคา่ มากทีส่ ดุ ข. ขนาดของความเร็วในแนวระดับทุกตำ�แหน่งมคี า่ เทา่ กนั ค. ที่จุดสูงสุด C ขนาดของความเร็วในแนวด่งิ มีค่านอ้ ยทีส่ ุด ง. ที่ E ขนาดของการกระจัดมีค่ามากท่ีสดุ 6. เด็กคนหนึ่งกำ�ลังเล่นรถบังคับไร้สายบนระเบียงบ้าน ปรากฏว่ารถพุ่งออกนอกระเบียงตกสู่พ้ืน ดา้ นล่าง เวลาที่รถตกถึงพน้ื ขึ้นกับอัตราเรว็ ขณะพ้นขอบระเบยี งหรอื ไม่ เพราะเหตุใด แนวคำ�ตอบ เวลาทรี่ ถตกถงึ พ้นื ไมข่ นึ้ กบั อตั ราเร็วขณะพ้นขอบระเบียง เพราะถ้าถอื วา่ รถพงุ่ ออก จากระเบียงในแนวระดับ เมื่อพิจารณาจากสมการ ∆y = 1 gt2 พบว่าเวลาท่ีรถตกถึงพ้ืนขึ้นกับ 2 ความสูงของระเบยี งเท่าน้นั 7. การป่ันผ้าของเคร่ืองซักผ้าทำ�ให้ผ้าหมาดได้ เพราะน้ำ�พุ่งออกจากผ้าในแนวรัศมี คำ�กล่าวนี้ถูก ต้องหรอื ไม่ ใหเ้ หตผุ ล แนวคำ�ตอบ คำ�กล่าวน้ีไม่ถูกต้อง เน่ืองจากเสื้อผ้าในถังปั่นของเครื่องซักผ้าแห้งได้ เพราะนำ้�ถูก สะบัดออกจากเสอ้ื ผ้าในแนวเสน้ สมั ผสั วงกลม 8. จากชุดทดลองการเคลอ่ื นทีแ่ บบวงกลม ขณะท่จี กุ ยางเคลือ่ นทแ่ี บบวงกลม ถ้าเชือกท่ผี ูกจุกยาง ขาด จุกยางจะเคล่อื นทอี่ ย่างไร แนวคำ�ตอบ จุกยางจะเคลือ่ นที่ในแนวตรงตามแนวเส้นสัมผัสวงกลม 9. วตั ถเุ คลอ่ื นทต่ี ามแนวทางโคง้ โดยมคี วามเรง่ เปน็ ศนู ยห์ รอื ความเรง่ คงตวั ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด แนวคำ�ตอบ ในบทเรียนน้ี การเคล่ือนท่ีตามแนวทางโค้งอาจเป็นได้ทั้งวัตถุท่ีเคล่ือนท่ีแบบ โพรเจกไทล์และแบบวงกลมสมำ่�เสมอซ่ึงจะมีความเร่งเป็นศูนย์ไม่ได้เพราะทิศทางของความเร็ว เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เมอ่ื พจิ ารณาความเรง่ ของวตั ถุ จะพบวา่ การเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทลค์ วามเรง่ คงตวั ไดเ้ พราะเปน็ การเคลอื่ นทภ่ี ายใตส้ นามโนม้ ถว่ ง แตก่ ารเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมสม�ำ่ เสมอความเรง่ คงตวั ไม่ได้เพราะทิศทางของความเร่งเปลีย่ นแปลงตลอดเวลา
336 บทที่ 7 | การเคล่ือนท่แี นวโค้ง ฟิสิกส์ เลม่ 2 10. แรงท่ีกระทำ�ต่อวัตถุที่ตกแบบเสรี วัตถุที่เคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ และวัตถุที่เคลื่อนที่แบบ วงกลม กับแนวการเคลอ่ื นท่ขี องวัตถทุ ัง้ สามกรณี เหมอื นหรอื ตา่ งกันอยา่ งไร แนวคำ�ตอบ แรงท่ีกระทำ�ต่อวัตถุแบบตกเสรีกับการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์เหมือนกัน แต่ ต่างจากการเคลื่อนท่ีแบบวงกลม สว่ นแนวการเคลื่อนทท่ี ง้ั สามแบบแตกตา่ งกัน ดังตาราง การเคลื่อนที่ แรงทกี่ ระท�ำ ต่อวตั ถุ แนวการเคลอ่ื นที่ การตกแบบเสรี แรงโนม้ ถ่วง เสน้ ตรงในแนวดง่ิ การเคล่อื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ แรงโน้มถ่วง แนวโคง้ พาราโบลา การเคล่อื นท่ีแบบวงกลม วงกลมหรือส่วน แรงลัพธจ์ ากแรงใดๆ ท่มี ที ศิ ทาง เขา้ ส่ศู นู ยก์ ลางวงกลม ของวงกลม